LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE

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Aurora Marchesi
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1 STATISTICA DESCRITTIVA LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE OBIETTIVO Esempio: Nella tabella seguete soo riportati i valori del tasso glicemico rilevati su 0 pazieti: Idividuare u idice che rappreseti sigificativamete u isieme di dati statistici. Paziete Glicemia (mg/00cc =03 = = =9 5 5 = =7 7 7 = =8 9 9 =9 0 0 =96 Totale 950

2 Calcolo delle frequeze di ogi classe: assolute e relative percetuali Costruzioe dell'istogramma e del poligoo di frequeza Classi di valori di glicemia Frequeza assoluta Frequeza relativa Totale 4 0 / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % 4 / 0 00% = 40 % / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % Frequeza assoluta GLICEMIA Frequeza assoluta Glicemia % LE MISURE DI POSIZIONE LA MEDIA ARITMETICA media aritmetica; mediaa; moda; media armoica; media geometrica. DEFINIZIONE: La media aritmetica è quel valore che avrebbero tutte le osservazioi se o ci fosse la variabilità (casuale o sistematica. Più precisamete, è quel valore che sostituito a ciascu degli dati e fa rimaere costate la somma.

3 dato u isieme di elemeti {,,... } Si dice media aritmetica semplice di umeri il umero che si ottiee dividedo la loro somma per. i... i = = = + + Formalmete possiamo esprimere la media aritmetica semplice attraverso la seguete formula: Nell Esempio i esame si ha: Esempio Riportiamo i tempi di sopravviveza (mesi di 9 pazieti co cacro dell addome = i i = = = 95mg /00 cc Mesi di sopravviveza ( i Frequeza (f i 8,5 9, 4 7,3 8 i f i 7 36,8 58,4 6,8 3,6 0, 3 30,3 Totale 9 56, 3

4 MEDIA ARITMETICA PESATA Si dice media aritmetica pesata di umeri: Nell esempio precedete la media aritmetica (poderata è data da: p + p p p + p p m m m = k f 56, 9 i i i = = = 8, mesi Dove i pesi p j soo le frequeze assolute di ogi modalità. PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA compresa tra il miimo dei dati e il massimo dei dati; la somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre uguale a zero; la somma degli scarti al quadrato assume valore miimo per z = media aritmetica; la media dei valori: k i è pari a la media aritmetica k (dove k è u umero reale qualsiasi; la media dei valori: i ± h è pari a: media aritmetica ±h (dove h è u umero reale qualsiasi. Esempio Lughezza (cm i u campioe di 66 eoati la media aritmetica dei 66 valori di lughezza è: =( /66 = /66 =

5 Media aritmetica per dati raggruppati i classi Valore cetrale della f i % X i f i classe X i = = = La media aritmetica è la misura di posizioe più usata ma. A volte, altre misure come la mediaa e la moda si dimostrao utili. Si cosideri u campioe di valori di VES (velocità di eritrosedimetazioe, mm/ora misurati i 7 pazieti {8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} I questo caso, la media che è = 0 mm/ora o è u valore tipico della distribuzioe: soltato u valore su 7 è superiore alla media! Limite della media aritmetica: è otevolmete ifluezata dai valori estremi della distribuzioe. Esempio Età alla morte di 5 soggetti = 34 ai; = 70 ai; 3 = 74 ai; 4 = 64 ai; 5 = 68 ai. La media aritmetica è pari a: = ( / 5 = 6ai LA MEDIANA DEFINIZIONE: La mediaa (Me è quell osservazioe che bipartisce la distribuzioe i modo tale da lasciare al di sotto lo stesso umero di termii che lascia al di sopra. L'idea che e alla base della mediaa e di cercare u umero che sia più grade di u 50% delle osservazioi e più piccolo del restate 50%. 5

6 Ritorado all Esempio della Glicemia, per il calcolo della mediaa è ecessario disporre i dati i ordie crescete: 7, 8, 90, 9, 94, 96, 97, 03, 07, 9 Me = (94+96/ = 95 mg/00 cc Il fatto che mediaa e media aritmetica i questo caso coicidao o è casuale i quato la distribuzioe è simmetrica. Ma, i geerale, ciò o avviee. Vataggio ell uso della mediaa: o è ifluezata dalle osservazioi aberrati o estreme. Fasi operative per il calcolo della mediaa LA MODA ordiameto crescete dei dati; se il umero di dati è dispari, la mediaa corrispode al dato che occupa la (+/ esima posizioe; 3 se il umero di dati è pari, la mediaa è data dalla media aritmetica dei due dati che occupao la posizioe / e quella (/+. DEFINIZIONE: La Moda (Mo è l osservazioe che si verifica co maggiore frequeza i ua data distribuzioe. Si possoo avere ache più valori modali. 6

7 I preseza di ua distribuzioe di frequeze è ecessario cosiderare le frequeze cumulate Mesi sopravviveza ( i Frequeze Frequeze Cumulate Cum % 6, , , , , Totale 9 Media aritmetica= 8, mesi Mediaa= 7,3 mesi Moda=7,3 mesi Voti ordiati ( i Frequeze (f i Freq. Cum. (F i Freq.Cum. (F i % 8 ( (.0 +4 = ( = ( = ( = ( = 9 00 Totale 9 I QUANTILI Frequeze Freq.Cum. Freq.Cum. Voti ordiati F i F i % 8 ( ( ( ( ( ( La Mediaa Totale (0.5 Geeralizzao la mediaa; L'idea alla base di u quatile-p dove p [0; ] e di cercare u umero che sia più grade p% dei dati osservati e più piccolo del restate (-p% dei dati. 7

8 Quale misura di posizioe usare? I quatili co p uguale a 0,5; 0,50 e 0,75 vegoo chiamati rispettivamete il primo, il secodo e il terzo quartile. Dividoo la popolazioe i quattro parti uguali. Si osservi che il quartile coicide co la mediaa. I quatili co p = 0,0; ; 0,99 si chiamao percetili. A quale misura di tedeza cetrale ci riferiamo? Il proprietario di ua ditta afferma "Lo stipedio mesile ella ostra ditta è.700 euro" Il sidacato dei lavoratori dice che lo stipedio medio è di.700 euro. L'agete delle tasse dice che lo stipedio medio è stato di.00 euro. Queste risposte diverse soo state otteute tutte dai dati della seguete tabella. Stipedio mesile N di lavoratori.300 Media aritmetica = euro Mediaa = euro Moda = euro Iterpretazioe delle misure di posizioe La media aritmetica idica che, se il dearo fosse distribuito i modo che ciascuo ricevesse la stessa somma, ciascu dipedete avrebbe avuto.700 euro La moda ci dice che la paga mesile più comue è di.700.euro La moda si cosidera spesso come il valore tipico dell'isieme di dati poiché è quello che si preseta più spesso. No tiee però coto degli altri valori e spesso i u isieme di dati vi è più di u valore che corrispode alla defiizioe di moda. La mediaa idica che circa metà degli addetti percepiscoo meo di.00.euro, e metà di più. La mediaa o è ifluezata dai valori estremi evetualmete preseti ma solo dal fatto che essi siao sotto o sopra il cetro dell'isieme dei dati. Relazioe tra media, mediaa e moda I ua distribuzioe perfettamete simmetrica, la media, la mediaa e la moda hao lo stesso valore. I ua distribuzioe asimmetrica, la media si posizioa ella direzioe dell asimmetria. Nelle distribuzioi di dati biologici, l asimmetria è quasi sempre verso destra (asimmetria positiva, verso i valori più elevati, e quidi la media è maggiore della mediaa o della moda 8

DISTRIBUZIONE SIMMETRICA Le osservazioi equidistati dalla mediaa (coicidete i

importate è forito dalla distribuzioe ormale DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA POSITIVA

Mediaa > Moda Media = Mediaa = Moda DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA NEGATIVA La curva

9 DISTRIBUZIONE SIMMETRICA Le osservazioi equidistati dalla mediaa (coicidete i questo caso col massimo cetrale presetao la stessa frequeza relativa U esempio importate è forito dalla distribuzioe ormale DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA POSITIVA La curva di frequeza ha ua coda più luga a destra del massimo cetrale Media > Mediaa > Moda Media = Mediaa = Moda DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA NEGATIVA La curva di frequeza ha ua coda più luga a siistra del massimo cetrale Media < Mediaa < Moda 9

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