COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A

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1 Esercizio 1 Determinare il dominio della seguente funzione: COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D Fila A (a) f (, ln( + 4 Esercizio Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni, nei punti a fianco indicati: (a) (b) f (, cos in P(1,0) + + f (, ( + e in Q(0,0) Esercizio 3 Studiare le linee di livello delle seguenti funzioni e disegnare l intersezione con il piano,. cos (a) f (, e (b) f (, ln( Esercizio 4 Determinare il dominio e studiare i punti critici della seguente funzione: f (, + Obbligatori: esercizi 1, 4 più uno a scelta per ciascuno degli esercizi restanti (numeri,3). Ciascun esercizio, se svolto correttamente in tutte le sue parti, comporta una Valutazione di punti 1.5.

2 Esercizio 1 Determinare il dominio della seguente funzione: COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D Fila B (a) f (, e ln( ) Esercizio Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni, nei punti a fianco indicati: (a) f (, e + ln( + in P(0,1) (b) sin( + f (, + ) in Q(1,1) Esercizio 3 Studiare le linee di livello delle seguenti funzioni e disegnare l intersezione con il piano,. (a) f (, e (b) f (, ln( + Esercizio 4 Determinare il dominio e studiare i punti critici della seguente funzione: f (, Obbligatori: esercizi 1, 4 più uno a scelta per ciascuno degli esercizi restanti (numeri,3). Ciascun esercizio, se svolto correttamente in tutte le sue parti, comporta una valutazione di punti 1.5.

3 Soluzioni compito (A). Esercizio 1 Il dominio D della funzione è dato dalle coppie (, verificanti il sistema > 0 > ovvero. + 4 > 0 + > 4 La prima disequazione è verificata per ogni elemento dell insieme D 1 dei punti P(, al di sotto della parabola di equazione mentre la seconda da tutti i punti del piano esterni alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 4, sia D tale insieme. Dunque, D D 1 D che, graficamente, è rappresentato dalla parte tratteggiata nella figura seguente dove circonferenza e parabola non sono comprese. Esercizio (a) Indicando con f, f le derivate parziali rispettivamente rispetto ad ed, esse sono entrambe le derivate di un rapporto e si ha: ( + cos( cos( ( + + f cos( + cos(, ( + + cos( (, f cos( + + ( + ) cos( sin( + (, ( + )

4 ( + sin( cos( )) + sin( cos( da cui, sostituendo le ( + + coordinate di P, si ottiene f ( 1,0) 1/, f (1,0) 1/. (b) Risulta f + + (, e + ( + e da cui, mettendo in evidenza l esponenziale, +. f (, e ( + + 1). Analogamente f (, e ( + + 1) Ne segue f 0,0) 1 f (0,0). ( Esercizio 3 Le curve di livello sono le intersezioni tra il grafico della funzione, che è una superficie nello spazio ed un piano parallelo al piano, di equazione, quindi z, costante che può assumere tutti i valori del codominio delle funzione (se non appartiene a tale insieme l intersezione è l insieme vuoto). Dunque l espressione di tali curve è data da f(,. cos( ) (a) Per quanto esposto, si ha che le curve di livello sono date da e con strettamente positivo essendo (0,+ ) il codominio della funzione. Facendo il logaritmo di ambo i membri si ha: cos( ) ln( ) da cui cos( ) + ln( ). Le curve di livello sono, quindi, cosinusoidi traslate. L intersezione col piano, (che si ottiene per 0) è, evidentemente, l insieme vuoto. (b) Le curve di livello sono date da ln(. Facendo l esponenziale di ambo i membri si ha: 1 e da cui e + 1 e, dividendo per il secondo membro, 1. Le curve di livello sono, quindi, iperboli equilatere con fuochi sull asse e + 1 e + 1 delle. L intersezione col piano, (che si ottiene per 0) è l iperbole equilatera 1 il cui grafico è il seguente e le intersezioni con l asse sono i punti ( 0, ± ).

5 Esercizio 4 Il dominio della funzione, che è definita da un polinomio, è tutto il piano. Per procedere alla determinazione dei punti stazionari (critici) della funzione occorre dapprima calcolare le derivate parziali prime. Si ha: f (,, f (, +. I punti stazionari sono le soluzioni del sistema che si ottiene imponendo l annullarsi delle derivate parziali e, quindi, le soluzioni del sistema 0 0 ovvero che è un sistema lineare omogeneo Tale sistema ammette come unica soluzione la soluzione nulla. Pertanto, un solo punto stazionario dato da P(0,0). Stabiliamo, adesso, la natura di P. A tale scopo occorre calcolare l hessiano. La matrice hessiana è f f 1 data da H (, essendo f (,, f (, 1 f (,, f f 1 f (, le derivate parziali seconde di f. Notiamo che la matrice hessiana è costante per cui ciò vale anche per l hessiano che è il suo determinante ed è dato da H (, H (0,0). Inoltre f ( 0,0). Essendo H ( 0,0) > 0 ed f ( 0,0) > 0, si conclude che P è un punto di minimo per la funzione con f(0,0)0.

6 Soluzioni compito (B). Esercizio 1 Il dominio D della funzione è dato dalle coppie (, verificanti il sistema ln( ) > 0 > ln( ) ovvero. > 0 > 0 La prima disequazione è verificata per ogni elemento dell insieme D 1 dei punti P(, al di sopra della curva logaritmica mentre la seconda da tutti i punti del piano di ascissa positiva (primo e quarto quadrante escluso l asse delle ordinate). Dunque, D D 1 D che, graficamente, è rappresentato dalla parte tratteggiata nella figura seguente l asse delle è escluso mentre la curva logaritmica è compresa. Esercizio (a) Indicando con f, f le derivate parziali rispettivamente rispetto ad ed, si ha: 1 1 f (, e +, f (, da cui, sostituendo le coordinate di P, si + + ottiene f ( 0,1) 1, f (0,1) 1. ( + cos( + ) sin( + ) (b) Risulta f (, mentre ( + ( + cos( + ) sin( + ) f (,. ( + Esercizio 3 Le curve di livello sono le intersezioni tra il grafico della funzione, che è una superficie nello spazio ed un piano parallelo al piano, di equazione, quindi z, costante che può assumere tutti i valori del codominio delle funzione (se non appartiene a tale insieme l intersezione è l insieme vuoto). Dunque l espressione di tali curve è data da f(,.

7 (a) Per quanto esposto, si ha che le curve di livello sono date da e con non negativo essendo [0,+ ) il codominio della funzione. Facendo il quadrato di ambo i membri si ha: e da cui e. Le curve di livello sono, quindi, un fascio di gaussiane. L intersezione col piano, (che si ottiene per 0) è la gaussiana e rappresentata nel seguente grafico. (b) Le curve di livello sono date da ln( +. Facendo l esponenziale di ambo i membri si ha: + 1 e da cui + e + 1 e, dividendo per il secondo membro, + 1. Le curve di livello sono, quindi, ellissi con semiassi di e + 1 e + 1 lunghezza rispettivamente e + 1, e + 1. L intersezione col piano, (che si ottiene per 0) è l ellisse + 1 con semiassi di lunghezza rispettivamente, 1 il cui grafico è il seguente.

8 Esercizio 4 Il dominio della funzione, che è definita da un polinomio, è tutto il piano. Per procedere alla determinazione dei punti stazionari (critici) della funzione occorre dapprima calcolare le derivate parziali prime. Si ha: f (, +, f (, +. I punti stazionari sono le soluzioni del sistema che si ottiene imponendo l annullarsi delle derivate parziali e, quindi, le soluzioni del sistema ovvero che è un sistema lineare le cui equazioni sono disaccoppiate Tale sistema ammette come unica soluzione la soluzione (,( 1,. Pertanto, un solo punto stazionario dato da P( 1,. Stabiliamo, adesso, la natura di P. A tale scopo occorre calcolare l hessiano. La matrice hessiana è f f 0 data da H (, essendo f (,, f (, 0 f (,, f (, f f 0 le derivate parziali seconde di f. Notiamo che la matrice hessiana è costante per cui ciò vale anche per l hessiano che è il suo determinante ed è dato da H (, 4 H ( 1,. Inoltre f ( 1,. Essendo H ( 1, > 0 ed f ( 1, > 0, si conclude che P è un punto di minimo per la funzione con f( 1,.