rispetto alla direzione iniziale. Ricordando i valori della carica e della massa dell elettrone, e = C e m e = kg, si calcoli:

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "rispetto alla direzione iniziale. Ricordando i valori della carica e della massa dell elettrone, e = C e m e = kg, si calcoli:"

Eduardo Parisi
6 anni fa
Visualizzazioni

1 Esme scritto di Elettromgnetismo del 15 Luglio proff. S. Gigu, F. Lcv, F. Ricci Elettromgnetismo 10 o 12 crediti: esercizi 1,3,4 tempo 3 h e 30 min; Elettromgnetismo 5 crediti: esercizio 3,4 tempo 2 h e 20 min; Elettricitá e Mgnetismo 5 crediti: esercizi 1,2, tempo 2 h, 20 min; Recupero di un esonero: esercizi corrispondenti 1,2,3, tempo 1h e 20 min. Esercizio 1 Un sfer conduttrice di rggio R=10 cm e cric Q=8 nc, è per metà immers in cqu (costnte dielettric reltiv ɛ r = 80 ), mentre l restnte metà si trov in ri (ɛ r =1). Ricordndo le condizioni di rccordo del cmpo elettrico E nell ttrversre l superficie di seprzione tr due dielettrici diversi, si clcoli: ) le densità di criche libere e di polrizzzione sull superficie dell sfer; b) l pressione elettrosttic sull superficie dell sfer, indicndo esplicitmente su qule delle due superfici (quell immers in cqu o quell in ri) ess risult mggiore; c) il lvoro necessrio portre l sfer dll posizione inizile quell in cui l sfer si trov distnz infinit nell regione in cui è presente l ri, trscurndo il contributo dovuto ll forz di grvità. Esercizio 2 In un tubo ctodico di un pprecchio televisivo un fscio di elettroni viene ccelerto d un differenz di potenzile V = 25 kv e ftto pssre ttrverso un sistem formto dlle due bobine identiche cossili di rggio = 100 mm, limentte d un ugul corrente i = 2 A che scorre nello stesso verso e seprte tr loro d un distnz pri l loro rggio. Il cmpo mgnetico così prodotto risult sostnzilmente diverso d zero solo nell zon tr le due spire ed è pressochè uniforme (bobine di Helmotz). Il fscio, ttrversndo l zon di cmpo ed incidendo perpendicolrmente ll sse comune delle bobine, subisce un deflessione e l direzione d uscit dll zon di spzio delle bobine form un ngolo di θ = π 4 rispetto ll direzione inizile. Ricordndo i vlori dell cric e dell mss dell elettrone, e = C e m e = kg, si clcoli: ) il vlore del cmpo di induzione mgnetic B; b) il numero di vvolgimenti N d cui le bobine sono composte che producono quel vlore di B nel punto centrle dell sse tr e due bobine; c) l impulso trsferito nell unità di tempo nell unità di superficie ll porzione di schermo del televisore colpit dl fscio di elettroni di densità di corrente J = 50 µa cm 2. Si suppong l urto completmente nelstico.

2 Esercizio 3 Un bcchett conduttrice di lunghezz L = 10 cm si può muovere senz ttrito su due lunghi binri orizzontli collegti tr loro d un cvo rigido prllelo ll bcchett in modo d formre in tutto un spir rettngolre. I binri, il cvo e l bcchett sono dello stesso mterile e hnno l stess sezione Σ = 2 mm 2. Al tempo t = 0 l bcchett è conttto del cvo rigido e viene post in moto velocità costnte v = 5 m/s. Un filo prllelo i binri, complnre con essi e distnte = 10 mm dl binrio più vicino, è percorso d corrente I = 110 A. Spendo che l tempo t 1 = 3 s l potenz dissipt nell spir è pri P (t 1 ) = W, si clcoli: ) l forz elettromotrice indott; b) l resistività del mterile di cui è costituit l spir; c) l espressione dell forz necessri per mntenere in moto l bcchett; d) l energi dissipt dopo che l bcchett h percorso 1 m. I L v Esercizio 4 Un condenstore fcce pine prllele circolri di rggio R = 10 cm è collegto d un genertore di tensione continu pri V o = 10 V. L distnz tr le rmture del condenstore vri secondo l legge d(t) = d o + d 1 sin(ωt), essendo ω 2π = 1.0 khz, d o = 10 mm e d 1 = 1 mm. Si chiede di clcolre ) l ndmento temporle dell corrente di spostmento ll interno del condenstore, b) l circuitzione di B l tempo t = 0, clcolt lungo un circonferenz, cossile l condenstore, dispost su pino prllelo lle sue rmture e pssnte tr esse, nei due csi in cui il suo rggio ssum i vlori R 1 = 5 cm e R 2 = 15 cm; d) l ndmento temporle dei contributi elettrico e mgnetico ll energi immgzzint tr le rmture del condenstore.

3 Soluzioni Esercizio 1 1) Dentro il conduttore E=0. Il cmpo elettrico è rdile ed h lo stesso vlore in cqu e nel vuoto, in qunto l componente prllel ll superficie di seprzione di E è continu nel pssggio tr i due dielettrici. Il vettore D vle D 0 = ɛ 0 E nel vuoto, e D = ɛ E = ɛ0 ɛ r E nell cqu. Applicndo il teorem di Guss su di un superficie sferic concentric ll sfer e di rggio r > R si ottiene: 2πr 2 (D 0 + D) = Q d cui si ottiene: E = Q/(2πɛ 0 (1 + ɛ r )r 2 ). 2) Per il teorem di Coulomb l densità di cric è dt d: σ + σ p = ɛ 0 E, vendo indicto con σ l densità di cric liber e con σ p quell delle criche di polrizzzione, ed è distribuit uniformemente. L densità di cric liber vle: σ = D, ed è mggiore nell cqu che nell ri. L densità di cric di polrizzzione vle: σ p = P = ɛ 0 (ɛ r 1)E ed è null sull superificie conttto con l ri. Numericmente: σ = D 0 = ɛ 0 E = ɛ 0 Q/(2πɛ 0 (1 + ɛ r )R 2 ) = C/m 2 nell ri. σ = D = ɛ0e = ɛ 0 Q/(2πɛ 0 (1 + ɛ r )R 2 ) = C/m 2 nell ri. σ p = ɛ 0 (ɛ r 1)Q/(2πɛ 0 (1 + ɛ r )R 2 ) = C/m 2. 3) L pressione elettrosttic sull superficie vle: p = u E = 1/2D 2 /ɛ = 1/2σE. Poiché σ nell superficie conttto con l cqu è mggiore di quell nell superficie in ri, l pressione è mggiore sull superficie dentro l cqu, producendo un forz totle verso il bsso. Numericmente: p = P nell ri p = P nell ri 4) Il lvoro è ugule ll differenz delle energie elettrosttiche: L = U ( cqu/ri) U ( ri) = ( ri 1 2 ɛ 0ɛ r E 2 2πr 2 dr) R ɛ 0ɛ r E 2 0 4πr2 dr. 1 2 ɛ 0E 2 dτ + 1 cqu 2 ɛ 0ɛ r E 2 dτ) 1 2 ɛ 0ɛ r E0 2dτ = ( 1 R 2 ɛ 0E 2 2πr 2 dr + Avendo indicto con E e E 0 = Q/4πɛ o r 2, rispettivmente il cmpo elettrico nell configurzione inizile e finle (sfer cric in ri). Si ottiene: L = Q 2 4πɛ 0 (ɛ r+1)r Q2 8πɛ 0 R = Q2 8πɛ 0 R ( 2 ɛ r+1 1) = J.

4 Esercizio 2 ) Ciscun elettrone h un velocità v = 2 e V m e = m/s Fcendo riferimento ll figur sopr riportt, si deduce con semplici considerzioni geometriche che il tringolo ACO è rettngolo in A e il suo ngolo in C è α = 3π 8. Quindi, essendo il rggio di curvtur dell triettori R = mev eb = tn( 3π 8 ) deducimo che il cmpo B è 1 2me B = tn( 3π 8 ) e V = T b) Il cmpo B s distnz z lungo l sse di un spir di rggio è B s (z) = µ o 2 2 ( 2 + z 2 ) 3/2 i Quindi nel punto di mezzo delle due bobine (z = 2 ) di N spire l un si h : B(z = 2 ) = ( 2 5 ) 3 N µ o i e ssumendo per B il vlore precedentemente clcolto, bbimo N = ( 5 2 )3 B µ o i = 123 c) Not densità di corrente J e l velocità degli elettroni possimo dedurre l densità del fscio di prticelle n n = J ev = J me 2e 3 V Nel cso di urto perfettmente nelstico, l impulso trsferito sull unità di superficie nell unità di tempo dl fscio risult pri P = nv(m e v) = nm e v 2 = J 2 m e V e = P

5 Esercizio 3 ) Si B = µ oi cmpo mgnetico generto dl filo con direzione ortogonlmente l pino dell spir e 2π r verso uscente. Su tutti i punti dell bcchett in movimento velocità v gisce un cmpo elettrico: per cui l forz elettromotrice indott si scrive: E = +L v B d r = +L E = v B µ o Iv 2π r dr = µ ( ) oiv + L 2π ln = V b) L potenz dissipt nell spir è dt d: P = E 2 / R(t) dove R(t) = 2 ρ( + v t)/σ per cui t 1 = 3 si h: P (t 1 ) = E 2 / R(t 1 ) d cui trovimo ρ: ρ = ΣE 2 / 2 P (t 1 )(L + v t 1 ) = Ω m c) Un elemento dr di bcchett risente di un forz: d F = i b d r B dove i b = E/R(t) che si oppone l suo moto. Integrndo su tutt l bcchett trovimo che l forz totle è: +L +L µ o I F = i b B(r)dr = i b 2π r dr = i ( ) biµ o + L 2π ln = v ( ( )) µo I + L 2 R(t) 2π ln d) L energi dissipt dopo che l bcchett h percorso d = 1 m è: E diss = d/v 0 E 2 d/v R(t) dt = Σ E ρ (L + v t) dt = Σ E2 2 ρ v ln ( ) L + d = J L

6 Esercizio 4 ) Il condenstore è mntenuto d un differenz di potenzile costnte pri V o ed il cmpo di induzione elettric ( o vettore spostmento) cmbi nel tempo secondo l legge V o D = ɛ o d o + d 1 sin ωt Ne segue che l corrente di spostmento è un vettore uniforme diretto perpendicolrmente lle rmture del condenstore pino e cmbi nel tempo secondo l legge J = D t = ɛ ωd 1 cos ωt ov o (d o + d 1 sin ωt) 2 b) Per rgioni di simmetri le line di forz di B sono circonferenze cossili l condenstore e quindi circuitzione del vettore B lungo un tle circonferenz di rggio R 1 < R é pri e per R 2 > R C R1 = B dl = µo πr 2 1 J(t = 0) L 1 C R2 = B dl = µo πr 2 J(t = 0) L 2 Essendo J(t = 0) = ɛ o V o ω d 1 d o 2 = A m 2 segue che C R1 = T m C R2 = T m c) Gli ndmenti temporli dell energi elettric W e è: W e = 1 2 πr2 ɛ o V o 2 (d o + d 1 sin ωt) Nel cso dell energi mgnetic occorre esplicitre l dipendenz del cmpo mgnetico dll distnz r dll sse del condenstore Applicndo il teorem dell circuitzione di Ampère si ottiene H2πr = J(t)πr 2 e quindi H = J(t) r 2 W m = µ o R o H 2 (d o + d 1 sin ωt)πrdr = µ oπ 4 (d o + d 1 sin ωt) R 0 J 2 r 3 dr W m = µ oπ (ɛ ov o ωd 1 cos ωt) 2 16 R4 (d o + d 1 sin ωt) 3

Documenti analoghi

Compitino di Fisica II del 14/6/2006

Compitino di Fisica II del 14/6/2006 Compitino di Fisic II del 14/6/2006 Ingegneri Elettronic Un solenoide ssimilbile d un solenoide infinito è percorso d un corrente I(t) = I 0 +kt con k > 0. Se il solenoide h un lunghezz H, rggio, numero