FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 4 Laboratorio

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1 FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 4 Laboratorio Paolo Mazzucchelli mazzucch@elet.polimi.it Campionamento di segnali In MATLAB, qualunque segnale continuo è approssimato da una sequenza campionata. Si può simulare il campionamento di un segnale continuo, semplicemente riducendo il suo passo di campionamento (decimazione della sequenza). Il comando che permette di decimare un vettore, che approssima il segnale y(t) è: tc=t(1:step:end); yc=y(1:step:end); (dove step rappresenta il rapporto tra il nuovo e il vecchio passo di campionamento) La visualizzazione più adatta ai segnali campionati è ottenuta con il comando: stem(tc,yc); Il segnale y(t) (somma di due sinusoidi di frequenza f 1 =5 Hz f 2 =20 Hz, e ampiezza A 1 =2, A 2 =1) originariamente campionato con passo dt=1 ms, viene sottocampionato con passo dt=10 ms. Si disegni il segnale originale ed il segnale sottocampionato. La durata dell osservazione è T=1 sec. dt=0.001; t=[0:dt: ]; y=3*sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*20*t); tc=t(1:10:end); yc=y(1:10:end); plot(t,y,'r'); hold on; stem(tc,yc); 1

2 Campionamento ed equivocazione L effetto della discretizzazione di un segnale continuo è replicare la risposta in frequenza del segnale a passo f c =1/dt. In prima approssimazione quindi le uniche frequenze rappresentabili sono limitate all intervallo ±1/(2*dt). Frequenze più elevate vengono interpretate come altre frequenze nell intervallo definito in precedenza (equivocazione). Date due sinusoidi campionate con freq. di campionamento f c =20 Hz, la prima a frequenza f 1 minore di f c /2 (non equivocata) e l altra a frequenza f 2 =f 1 +f c, si può verificare come i campioni delle due sinusoidi si sovrappongono perfettamente (equivocazione). fc=20; % freq. campionamento dt=1/fc; % intervallo campionamento t=[0:dt:2]; % asse campione tempi f1=2; % freq. non aliasata f2=f1+fc; % freq. aliasata figure subplot(2,1,1), plot(t,sin(2*pi*f1*t),'*',t,sin(2*pi*f2*t),'o') xlabel('tempo') subplot(2,1,2), t1=[0:dt/10:2]; plot(t1,sin(2*pi*f1*t1),t1,sin(2*pi*f2*t1),t, sin(2*pi*f1*t),'*') xlabel('tempo') 2

3 Ricostruzione di segnali Il segnale può essere ricostruito correttamente, se il segnale campionato, definito nei soli istanti y(n*dt), (e quindi con trasformata periodica di periodo fc=1/dt), viene filtrato con un filtro passa-basso nell intervallo 1/2dt, 1/2dt. Questo può essere fatto convolvendo con la risposta all impulso del filtro ideale, ovvero il sinc(t). Quindi, per poter effettuare la ricostruzione: % spettro del segnale continuo N =length(t); df=1/(n*dt); f=[n/2+[0:n-1]]*df; % N è pari Y =fftshift(fft(y))*dt; % spettro del segnale impulsivo yi=zeros(size(y)); yi(1:10:end)=yc; YI =fftshift(fft(yi))*dt; % ricostruzione sinc th=[-1:dt:1]; h =sin(pi*100*th)./(pi*100*th); h(find(th==0))=1; yr=conv(yi,h); tr=th(1)+t(1)+[0:length(yr)]*dt; set=find(tr>=0 & tr<1); yr=yr(set); YR=fftshift(fft(yr))*dt; subplot(3,1,1), plot(t,y,'--r',t,yr,'b'); subplot(3,1,2), semilogy(f,abs(yi),'b'); grid, axis([ e-3 1]); subplot(3,1,3), semilogy(f,abs(yr),'b',f,abs(y),'--r'); grid, axis([ e-3 1]); Possiamo interpretare l esempio presentato come simulazione del comportamento del filtro analogico necessario per la ricostruzione, ma anche come sovracampionamento numerico (esempio, il classico sovracampionamento 8:1 utilizzato nei cd-player), che permette di semplificare lo stadio analogico successivo comunque necessario. Infatti, il sovracampionamento (o interpolazione) numerico, permette di allontanare le repliche spettrali (per il sovracampionamento 8:1, il periodo diventa 8fc!) e quindi di richiedere la realizzazione di filtri analogici con piccole pendenze. Ovviamente nella ricostruzione di segnali continui si impiegheranno filtri di breve durata, per rendere l operazione possibile in tempo reale. Ad esempio si potranno utilizzare il mantenitore, l interpolatore lineare, cubico. In MATLAB, questo tipo di ricostruzione può essere simulata con il comando interp1. La risposta in frequenza del corrispondente filtro di ricostruzione sarà 3

4 un approssimazione tanto peggiore del filtro passa-basso ideale, quanto più bassa è la lunghezza della risposta impulsiva del filtro. % ricostruzione pratica di segnali yr=interp1(tc,yc,t,'nearest'); % provare anche con linear, % v5cubic, spline yr(find(isnan(yr))=0; YR=fftshift(fft(yr))*dt; subplot(2,1,1), plot(t,y,'--r',t,yr,'b'); subplot(2,1,2), semilogy(f,abs(yr),'b',f,abs(y),'--r'); grid, axis([ e-3 1]); Si analizzi la risposta impulsiva dei diversi interpolatori nel dominio delle frequenze (si calcoli la trasformata di Fourier della sequenza ottenuta interpolando 10:1 un singolo impulso) Discrete Fourier Transform La trasformata di Fourier di una sequenza periodica di periodo N, è ancora una sequenza periodica di periodo N. Come già accenato la trasformata discreta (DFT) si può calcolare in MatLab utilizzando l algoritmo FFT, con il comando: X=fft(x); x=ifft(x); (dove entrambi i vettori, rappresentano un solo periodo della sequenza nei tempi e nelle frequenze. I corrispondenti assi delle ascisse nei due domini saranno: n=[0:n-1]; f=[0:1/n:1-1/n]; dove f rappresenta le frequenze normalizzate. 4

5 Si calcoli la DFT della sequenza y=cos(2*pi*f*n), con n=[0:255], per differenti valori della frequenza normalizzata f. Qual è il motivo delle differenze osservate nella trasformata La convoluzione circolare La moltiplicazione tra gli sequenze trasformate (ottenute con l operazione DFT) corrisponde alla convoluzione circolare delle sequenze corrispondenti. Si vuole calcolare la convoluzione circolare (con periodo N=17) tra le due sequenze: b=[1:9,8:-1:1]; a=[1:6,5:-1:1]; 1. calcolare la convoluzione circolare nel dominio trasformato 2. calcolare la convoluzione lineare nel dominio diretto 3. calcolare la convoluzione lineare nel dominio trasformato (come deve essere scelta la durata del periodo N in questo caso?) 5