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1 GIANCARLO CAPOZZA, DARIO CUSATELLI Dipartimento di Scienze statistiche Carlo Cecchi Università degli Studi di Bari SUL CONTROLLO DEL RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE * SOMMARIO 1. Introduzione 2. Definizioni preliminari 3. Indici temporali 4. Rappresentazione di un portafoglio obbligazionario 5. Selezione di portafogli immunizzati nell ipotesi del teorema di Fisher e Weil 6. Copertura di uscite multiple 7. Conclusioni Bibliografia * Il presente lavoro è opera comune dei due Autori, tuttavia per la stesura finale si possono attribuire i paragrafi 1, 2 e 3 a G. Capozza, i paragrafi 4, 5, 6 e 7 a D. Cusatelli.

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3 51 1. INTRODUZIONE Per gli intermediari finanziari (banche ed assicurazioni) selezionare il portafoglio di attività e passività in base al principio di perfect matching è diventato difficile e costoso; i portafogli con gli importi dell attivo non perfettamente allineati con gli importi del passivo hanno ampliato l effetto dell aleatorietà del tasso di interesse. Nei periodi caratterizzati da tassi di interesse stabili è diventato naturale vedere nei titoli obbligazionari investimenti non rischiosi per la bassa volatilità nella performance del rendimento. La turbolenza dei mercati finanziari ha generato, invece, una accentuata variabilità nel tempo dei prezzi e dei rendimenti dei titoli obbligazionari trasformando investimenti considerati prima non rischiosi in operazioni speculative; assume rilevanza, quindi, la componente di rischio di tasso di interesse, che investe sia i portafogli di puro investimento, sia i portafogli complessi di intermediazione. Il rischio di tasso è indotto dalla aleatorietà della struttura per scadenza dei tassi di interesse ed è connesso alla trasformazione dei tempi delle scadenze: la variabilità della struttura dei tassi influenza il risultato economico dell intermediazione, quindi la gestione dell impresa bancaria e della componente finanziaria dell impresa assicurativa non può che essere impostata con modelli di asset-liability management. Una teoria dei portafogli interest rate sensitive non può essere sviluppata seguendo i principi della teoria tradizionale, poiché la qualità dei titoli contraddice il principio di compensazione; i valori dei flussi componenti dipendono dall aleatorietà del tasso di interesse ed i rischi sono altamente correlati. La rischiosità dei portafogli di intermediazione può essere minimizzata componendo contratti quanto più possibile simili, ma con valenza contabile opposta (il perfect matching determina una correlazione negativa perfetta). Il termine immunizzazione fu definito da Redington (1952) in modo

4 52 inadeguato come una tecnica capace di produrre profitti da arbitraggio. Rispetto all impostazione classica avviata da Redington la ricerca più recente consente di ridefinire l immunizzazione finanziaria come controllo del rischio di tasso di interesse nel senso della teoria delle decisioni in condizioni di incertezza. È importante la definizione che può essere data, con riferimento al modello di equilibrio del mercato, ad un portafoglio di intermediazione finanziaria: quest ultimo si dice immunizzato (istantaneamente non rischioso) se ha una composizione tale da mantenere la condizione di solvibilità (valore netto nullo) per periodi infinitesimi. È possibile definire, quindi, schemi di controllo, prescindendo dalla specificazione della distribuzione di probabilità sugli stati di natura; si possono effettuare strategie di controllo che consentono di selezionare portafogli a minimo rischio (Fong e Vasicek), rispetto alle possibili variazioni della struttura dei tassi di mercato. È possibile, quindi, impostare schemi di gestione per portafogli di puro investimento o per portafogli composti da flussi di investimento e di debito sulla base del teorema generale di immunizzazione o, qualora si considerino titoli a tasso fisso, sulla logica del downside risk. In questa nota saranno illustrati alcuni modelli semideterministici di immunizzazione finanziaria nel senso di Fischer e Weil, del teorema generale e a minimo rischio. 2. DEFINIZIONI PRELIMINARI Se sono osservabili i prezzi, di titoli a cedola nulla (zero coupon bond) con valore di rimborso esigibile alla scadenza, per 1,2,,, si definisce struttura dei tassi di interesse a pronti:,, 1 ed essendo: si ha anche:,,,, 1.

5 53 Per la struttura dei tassi a termine 1 si ha: 1,,1,1, 1,1 1. La relazione di equivalenza finanziaria fra le due strutture dei tassi a pronti e impliciti può essere espressa dalla: 1, 1,1, per 1,2,,. Il valore del flusso di importi /, calcolato sulla base delle due strutture, è:, 1, 1,1, 3. INDICI TEMPORALI Considerando il flusso d importi,,,,,,, con 0 e l istante di valutazione, si definisce Duration di Macaulay (durata media finanziaria): essendo:,,,,,. 1 1 Con,,, per, si rappresenta il valore in, pattuito in, di un euro esigibile in e ponendo,,,, per, si ha che il valore di euro scadenti in è dato, per l indipendenza dall importo, da,,.

6 54 La Duration è la media ponderata delle vite a scadenza e rappresenta il baricentro finanziario del flusso di importi, essendo i pesi espressi come i valori attuali percentuali delle singole poste, calcolati in base alla struttura per scadenza dei prezzi a pronti in vigore sul mercato. Il momento di secondo ordine, o Duration di secondo ordine, è definito dalla:,,,, il momento secondo baricentrale da:,,,, e la dispersione standard da:,. Risulta:,0,,,0, Nell ipotesi di una struttura per scadenza piatta ad un livello costante del tasso, si ha la Duration a struttura piatta (flat yield curve Duration), cioè:, 1 1 Quest ultima è una versione semplificata della [1]. Nei casi in cui è possibile ricavare, unico, il tasso interno di rendimento del flusso di importi /, questo fornisce una buona approssimazione della formula generale. Gli indici di variabilità utilizzati per l analisi di sensitività del prezzo si ottengono immediatamente in riferimento alle derivate prima e seconda della funzione valore. Si definiscono: variazione relativa: ; elasticità: ; convexity: ; volatility convexity:. La variazione relativa risulta strettamente collegata alla Duration del flusso / calcolata in base ad una struttura piatta; la convessità della fun-

7 55 zione prezzo risulta collegata con gli indici di dispersione ed, infine, la convessità relativa (volatility convexity) al rapporto, cambiato di segno, fra la Duration di secondo ordine e la Duration di primo ordine del flusso di importi /. Per quest ultima si ha, infatti, per 0, rispetto all intensità : 0, 0, 4. RAPPRESENTAZIONE DI UN PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO Sia l istante iniziale e,,,, con 1,2,,, flussi di importi, definiti sullo scadenzario comune:,,, con. Un paniere di titoli obbligazionari può essere rappresentato dalla matrice di ordine : ove ogni riga rappresenta uno degli flussi di importi ed ogni colonna rappresenta una delle scadenze. Se in i prezzi degli titoli sono dati dal vettore,,,, il portafoglio di composizione,,,, selezionato dalla matrice, avrà costo: e flusso somma:,,,,,, essendo:, per 1,2,,.

8 56 Il valore in, calcolato rispetto ad una struttura a pronti,, con, è dato da:,,. Rispetto ai prezzi, il tasso interno di rendimento del portafoglio è dato da: 1 essendo il T.I.R. del titolo : 1, per 1,2,,. La Duration del flusso somma, generato dal portafoglio di composizione, è data da:,,., Risulta che la Duration del flusso di portafoglio può essere espressa come: essendo:,,,, 1,2,, 2, ossia come media aritmetica ponderata con pesi delle Duration dei flussi componenti il paniere ed essendo la somma dei pesi uguale ad 1. La Duration di secondo ordine del portafoglio può, in modo analogo, essere espressa nella forma di media pesata, cioè: essendo i pesi espressi dalla [2].,,

9 57 5. SELEZIONE DI PORTAFOGLI IMMUNIZZATI NELL IPOTESI DEL TEO- REMA DI FISHER E WEIL L impostazione originaria di Fisher e Weil (1971) può essere riformulata utilizzando la logica dei valori attuali. Siano assegnati, nell istante di valutazione, il flusso di importi dell attivo,,, definito sullo scadenzario,,, con, un unico importo passivo 0 esigibile in e la struttura per scadenza,. Il vincolo di bilancio è dato da:,, ossia il portafoglio composto è in equilibrio finanziario, nell istante di valutazione, se il valore attuale del flusso dell attivo è uguale al valore dell unica posta del passivo (liability). È immunizzato, rispetto ad uno shift additivo della struttura dei rendimenti che si verifichi in (istante successivo allo shift), se conserverà il suo valore netto non-negativo, ossia:,,. Si dimostra che ciò si verifica se e solo se esiste la condizione di Duration:,, ossia se la durata media finanziaria dell attivo, calcolata al tempo, è u- guale alla time to maturity dell unica posta passiva. Il tempo può essere interpretato come tempo ottimo di smobilizzo e, vedendo l unica posta passiva come valore strategico di fine periodo, l immunizzazione del flusso dell attivo avrà, come conseguenza sul periodo di ampiezza, un rendimento minimo garantito uguale a:,1. Supponendo che nell intervallo temporale di ampiezza si abbia un solo shift di tipo additivo di ampiezza aleatoria, l intensità istantanea di interesse,, rappresentante la struttura a termine dei tassi, potrà essere espressa, per ogni,, nella forma:,,, per. Quindi il reddito prodotto dal portafoglio, sarà, nell istante di smobilizzo, una funzione di, espressa nella forma:,,,

10 58 da cui si ottiene: 1,,,, ed essendo la derivata seconda rispetto a non negativa, bisognerà imporre che abbia derivata nulla in 0, cioè deve essere: per cui si ha: o anche:,,0,,,., Quest ultima, per il vincolo di bilancio, si può scrivere nella forma:,,, ossia l istante rappresenta il tempo in cui il reddito prodotto dal portafoglio (flusso) è comunque non minore del reddito che si avrebbe per effetto di una struttura dei rendimenti stabile, e naturalmente risulta 0,,,. La selezione di un portafoglio, nell ipotesi del teorema di Fisher e Weil, può essere impostata considerando un paniere delle opportunità di mercato rappresentato da cash-flow generici, definiti sul medesimo scadenzario: ;1,2,,;1,2,,. L obiettivo è quello di selezionare da un portafoglio, protetto dal rischio di tasso, di composizione:,,, a copertura della liability esigibile alla scadenza con vincoli di composizione assegnati, ;1,2,, e minimo costo. Indicando con,,, i prezzi dei titoli del paniere os-

11 59 servati in (istante di valutazione) ed essendo la struttura del mercato rappresentata dalla funzione,,, il portafoglio selezionato avrà: 1) flusso somma,,,, essendo per 1,2,,; 2) valore in : 3) Duration: 4) costo 2 :,, ;,, ;,. La selezione di un portafoglio immunizzato rispetto a shift di tipo additivo, a minimo costo può essere rappresentato con il seguente problema di programmazione lineare nell obiettivo e nei vincoli: s.v.,,,,,, con per 1,2,,. I vincoli di composizione permettono non solo di soddisfare precise e- sigenze operative riguardo ai quantitativi minimi e/o massimi detenibili in 2, definendo di equilibrio i prezzi (quotazioni) consistenti con la struttura per scadenza dei tassi di interesse caratteristica del mercato.

12 60 portafoglio, ma possono essere utilizzati anche per gestire politiche di ricopertura (ricalibratura di portafogli che risulterebbero non protetti dal rischio di tasso). 6. COPERTURA DI USCITE MULTIPLE Con riferimento a due generici flussi non nulli: e,,,,,, con importi non negativi e definiti al tempo sullo scadenzario:,,, con, se il vincolo di bilancio del portafoglio di attivo e passivo è: nell ipotesi: si avrà: se e solo se: e,,,,,,,,,,,, La [4], utilizzando la condizione [3] può essere riscritta:,, 3 con per 1,2,, 4,, e per 1,2,, rappresenta i cosiddetti vincoli MAD (Mean Absolute Deviation).

13 61 È facile dimostrare che l immunizzazione nel senso di Fisher e Weil viene ugualmente garantita: nel caso di unica posta passiva i vincoli MAD sono sempre soddisfatti, purché siano soddisfatti il vincolo di bilancio e la condizione di Duration. Il problema di selezionare dalla matrice, rappresentante il paniere di offerta di mercato, un portafoglio di composizione, con vincoli di composizione, ;1,2,,n con obiettivo di costo minimo, è lineare nell obiettivo e nei vincoli: s.v.,,,,,, 5,,, per 1,2,,n per 1,2,, La copertura del flusso passivo, in conseguenza del Teorema di immunizzazione a minimo rischio (si ipotizzano shift qualsiasi della struttura dei rendimenti usata nella valutazione), richiede che siano soddisfatte le stesse condizioni del teorema generale di immunizzazione, ma, in generale, il vincolo di bilancio, la condizione di Duration ed i vincoli MAD consentono di calcolare una limitazione inferiore (lower bound) del valore del flusso netto post shift e in questo senso possono essere di riferimento come misura del grado di esposizione del valore del portafoglio alle oscillazioni dei tassi di rendimento. Il problema di selezionare dal paniere un portafoglio immunizzato di composizione a copertura del flusso delle passività è lineare

14 62 nell obiettivo di minima dispersione e vincoli assegnati, e può essere scritto nella forma: sotto i vincoli [5]., 7. CONCLUSIONI Il teorema di immunizzazione a minimo rischio consente operativamente di ricercare portafogli di copertura caratterizzati da minimo rischio a parità di costo, ossia consente la ricerca dei luoghi di efficienza espressivi del tradeoff rischio-rendimento. Identificando i punti estremi della frontiera efficiente, risulta individuato l intervallo dei costi corrispondenti ai portafogli di copertura possibili. Il problema si risolve con il vincolo aggiunto dato da, con. Interessanti, quindi, diventano le applicazioni a segmenti del mercato obbligazionario a tasso fisso; è significativo, ad esempio, ricercare i luoghi di efficienza nel piano delle variabili costo/dispersione. BIBLIOGRAFIA Borch K. (1974) The Optimal Portfolio of Assets in an Insurance Company, The Mathematical Theory of Insurance, London. Bühlmann H. (1970) Mathematical Methods in Risk Theory, Heidelberg, New York. Capozza G. (2004) Sul controllo del rischio finanziario nell impresa assicurativa, Economia e Commercio, serie IV, anno XV, n.1. Castellani G., De Felice M., Moriconi F. (2005) Manuale di finanza, Il Mulino, Bologna. Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Mottura C. (1993) Un corso sul controllo del rischio di tasso di interesse, Collana di Finanza Matematica ed Economia Finanziaria, Il Mulino, Bologna. De Felice M. (1995) Immunization Theory: an Actuarial Perspective on Asset-Liablility Management, Financial Risk in Insurance, G. Ottaviani ed., Berlin, Springer.

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