Esercitazione 2: Introduzione al diagramma di Lexis: contabilità per generazioni e per contemporanei. Dai tassi alle probabilità.

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1 Esercitazione : Introduzione al diagramma di Lexis: contabilità per generazioni e per contemporanei. Dai tassi alle probabilità. Viviana Amati 8/04/010

2 Il diagramma di Lexis Il diagramma di Lexis 1 è un grafico che consente di rappresentare gli eventi vissuti da un individuo o da un insieme di individui secondo tre principali coordinate: la data dell evento, l età e il momento di nascita del soggetto. Più precisamente il diagramma di Lexis si rappresenta nel piano attraverso un sistema di assi cartesiani ortogonali: sull asse delle ascisse si riportano i tempi (teoricamente in milioni di anni, cioè pari al tempo trascorso dall origine dell uomo) mentre in ordinata le età (fino al massimo ω, l età irraggiungibile). Attraverso questo grafico è possibile rappresentare la biografia di ciascun soggetto ed evidenziare i fenomeni demografici che lo hanno interessato, in funzione sia dell istante in cui si sono verificati, sia dell età del soggetto nell istante medesimo. La storia di un soggetto viene così a coincidere con un segmento, chiamato linea di vita. Essa inizia nell istante della nascita in un determinato punto dell asse delle ascisse, prosegue con inclinazione di 45 e si arresta quando l individuo esce dalla collettività per decesso o emigrazione. Tale linea di vita, che correrà insieme a quella degli altri individui all interno del diagramma, sarà segnata da vari eventi, (passaggio dallo stato di studente a quello di lavoratore, matrimonio, nascita del primo figlio, cambiamento di lavoro, di città, divorzio, morte,... ), ciscuno dei quali è rappresentato da un punto. La Figura 1 mostra la linea di vita di un uomo nato il 6 maggio del 197, sposatosi il 0 giugno 1951, diventato padre il 18 agosto del 1953 e deceduto il 1 ottobre 000. Come si può osservare il punto che indica la nascita individua il momento in cui il soggetto è venuto al mondo, il segmento parallelo all asse delle ascisse l età e quello parallelo all asse delle ordinate il momento in cui è stato sperimentato l evento. Figura 1: Rappresentazione di una linea di vita Quindi il diagramma di Lexis si configura come un insieme di linee di vita (alcune delle quali 1 La denominazione deriva dal nome del demografo tedesco Lexis, al quale fu attribuita la paternità di tale strumento. 1

3 sovrapposte) costellate da tanti punti quanti sono gli eventi che si sono succeduti. Siccome è impossibile rappresentare in modo chiaro tutte le linee di vita, il grafico si basa sul conteggio e sulla classificazione degli eventi sia rispetto al tempo in cui si sono verificati, sia rispetto all età o all istante di nascita dei soggetti che li hanno vissuti. Per tale motivo il grafico si presenta come una griglia. Si supponga ora di ripartire il tempo in anni solari e l età in anni compiuti e di tracciare delle linee orizzontali che delimitano le età, delle linee verticali che invece definiscono gli anni e delle linee oblique che identificano gruppi di individui nati nel medesimo anno (cioè delle generazioni). Il risultato che si ottiene è riportato in Figura. Figura : Aree del diagramma che identificano gruppi di eventi accomunati dalle stesse caratteristiche Le aree A, B, C, D rappresentano i gruppi di eventi accomunati dalle stesse caratteristiche. In particolare i triangoli (A) contengono tutti i punti-evento che sono accaduti nello stesso anno di calendario, sperimentati da soggetti appartenenti alla stessa generazione ed aventi la stessa età. Dunque quest area è identificata da tutte e tre le informazioni rappresentabili in un diagramma di Lexis. Se, invece, si considera una classificazione basata su due sole caratteristiche si possono presentare i seguenti casi: - tutti i punti evento che condividono l età e l anno di nascita cadono nei parallelogrammi di tipo B - quelli accomunati dall anno di accadimento e dall anno di nascita sono inclusi nei parallelogrammi di tipo C

4 - quelli che riguardano lo stesso anno dell evento e la medesima età sono compresi entro i quadrati di tipo D Esempio Si consideri come evento il decesso e si supponga che la popolazione sia chiusa (cioè sia soggetta solo a nascite e decessi, ma non ai movimenti migratori). Nella Figura 3 ciascuna coppia di segmenti obliqui che iniziano in corrispondenza di anni contigui delimitano un fascio di linee di vita tutte con origine (rappresentata dalla nascita) nel medesimo anno di calendario. Ciascun fascio rappresenta una generazione di nati, cioè l insieme dei nati in un determinato anno di calendario. Si consideri ora la generazione del 197, il cui ammontare è pari a e coincide col numero di linee di vita che partono dal segmento AB. Il 31 dicembre 197 rimarranno in vita tutti coloro che hanno una linea di vita che intersecherà il segmento BC (879157). Le linee di vita che partite da AC non raggiungono BC sono pari agli eventi morte che avvengono nel triangolo ABC (315). In particolare vale la seguente relazione BC = AB ABC. Le linee della generazione del 197 che raggiungono il segmento CD compiono in quell istante il primo compleanno e sono pari a Alla luce di quanto sin qui visto, si può osservare che i segmenti verticali identificano gli individui che, in un dato istante, sono tutti viventi contemporaneamente e si chiamano quindi linee dei contemporanei (in altre parole sono le personi viventi in un dato momento storico). I segmenti paralleli all asse delle ascisse, invece, individuano i soggetti che hanno la stessa età, ma in momenti differenti, sono dunque le linee dei coetanei (in altre parole sono le persone viventi ad una precisa età). Figura 3: ANalisi per contemporanei (giallo) ed analisi per generazioni (azzurro) Dalla Figura 3 si può osservare che i morti del parallelogramma ABCD hanno età compiuta 0, appartengono tutti alla generazione del 197, ma sono morti in due anni differenti, nel 197 e nel Tali decessi sono pari a ABC +BCD = = 5789 e coincidono con i decessi avvenuti in un parallelogramma di tipo B in Figura. I decessi, invece, rappresentati nel quadrato ABCE, sono avvenuti nel 197 e riguardano anch essi individui con età compresa tra 0 e 1, ma appartenenti a due generazioni diverse, quella del 1971 e quella del 197. Essi possono essere determinati nel seguente modo: ABC + ACE = = Infine restano da considerare i decessi avvenuti nel parallelogramma BCDF (tipo C in Figura ). 3

5 Essi sono pari a BCD + CDF = = 5106 e coincidono con gli individui deceduti nel 1973 e nati nel 197. Esercizio 1 Disporre sul diagramma di Lexis i seguenti dati: - numero di donne di età 0 al 01/01/1974: numero di donne di età 0 al 01/01/1975: numero di donne di età 0 al 01/01/1976: numero di nati da donne di 0 anni nel corso del 1974: numero di nati da donne di 0 anni nel corso del 1975, di cui: 1503 da donne nate nel 1955 e da donne nate nel 1954 Esercizio Disporre i seguenti dati in un diagramma di Lexis Anno N matrimoni dove le ultime quattro colonne riportano il numero di separazioni per durata in anni del matrimonio (la durata è indicata dal nome delle colonne). Esercizio 3 Si dispone dei dati seguenti: x M x relativi ai morti per età (M x ) di una popolazione immaginaria chiusa ai movimenti migratori e in cui nessuno raggiunge il 5 compleanno. Disporre i dati su un diagramma di Lexis, secondo le due ipotesi: a) i dati si riferiscono a una generazione; b) i dati si riferiscono a contemporanei. Analisi longitudinale e trasversale Con riferimento all esempio precedente si supponga ora di voler studiare la legge di eliminazione per morte secondo l età. Si può procedere in due modi differenti. Il primo consiste nel considerare un certo numero di nati nel medesimo anno e seguirli nel tempo, osservando le modalità di eliminazione per morte finchè tutta la generazione si sarà estinta. Questo tipo di analisi si chiama analisi longitudinale o per coorte (o generazione) perchè segue lo svolgersi di eventi lungo la vita di un gruppo di individui. Così facendo si analizzano i soggetti esposti alle medesime circostanze esterne e ambientali. Una ccorte è un insieme di soggetti che sono accomunati dall aver sperimentato uno stesso evento-origine in un dato anno di calendario. Se l evento- origine è rappresentato dalla nascita allora la coorte coincide con una generazione. 4

6 Il secondo metodo è chiamato analisi trasversale o per contemporanei e consiste nell osservare alle varie età gli avvenimenti relativi a individui contemporanei, appartenenti a 100 o più generazioni. In questo caso il quadro ottenuto è frutto di comportamenti guidati e causati da esperienze passate assai diverse e accumulate dalle varie generazioni che concorrono al risultato finale. Le due tipologie di analisi sono riportate in Figura 4. Figura 4: Un esempio del diagramma di Lexis Per capire la differenza tra le due analisi si possono considerare queste due situazioni. 1. Se l interesse è rivolto allo studio del formarsi della discendenza da un gruppo di donne secondo l età, il modo più logico consiste nell osservare, registrare e addizionare i figli che una generazione mette al mondo tra l inizio e il termine dell età feconda. Infatti le decisioni in merito alla procreazione vengono prese in funzione delle decisioni prese in precedenza. Per esempio una donna che a 35 anni avrà raggiunto il numero di figli desiderato, smetterà di averne, mentre una donna che a 35 anni desidera ancora dei figli, attuerà una politica familiare differente. In questo ambito è dunque necessario far riferimento ad un analisi longitudinale.. Si consideri ora un analisi trasversale e si supponga di voler studiare il comportamento fecondo delle donne dai 15 ai 60 anni nel Mentre le giovani donne hanno potuto avvalersi, nella programmazione della loro vita feconda, della liberalizzazione dell aborto (1978), dell abolizione del divieto di propaganda dei metodi di limitazione delle nascite (1971) e dalla diffusione dei contraccettivi, le donne meno giovani hanno risentito di questi avvenimenti in maniera più attenuata e ad un età più tarda. Da ciò emerge che il comportamento demografico a qualsiasi età non è mai indipendente da ciò che è avvenuto alle età precedenti e pertanto è importante operare un analisi per generazioni. Lo studio per contemporanei si presta meglio all analisi congiunturale poiché aggrega segmenti di comportamenti prodotti da esperienze forzatamente eterogenee. I dati riportati in un diagramma di Lexis possono essere utilizzati per descrivere in maniera 5

7 sintetica un particolare fenomeno demografico. Le misure di sintesi che ora verranno considerate sono i tassi e le probabilità. In letteratura esistono diversi tipi di tassi e in questa esercitazione faremo riferimento ai tassi di flusso, che descrivono fenomeni demografici quali l emigrazione, l immigrazione, la natalità e la mortalità e che dunque riguardano i movimenti della popolazione. Tassi e probabilità Tassi di flusso Si supponga che nella città A si siano verificate 000 nascite e nella città B solo 500. E possibile affermare che l incidenza di nati sia maggiore nella città A che nella città B o, detto altrimenti, che la natalità nella città A sia più elevata che nella città B? Riflettiamo... Supponiamo che l ammontare della popolazione nella città A sia pari a e quella della popolazione B sia pari a Alla luce di queste nuove informazioni cosa è possibile concludere? Proviamo a considerare le frequenze relative = = Le dimensioni assolute dei fenomeni demografici dicono assai poco. Per poter valutare l intensità con la quale si manifestano i fenomeni di movimento è opportuno rappresentare la loro frequenza assoluta all ammontare della popolazione cui si riferisce Questo equivale a calcolare un tasso. Esistono due diversi tipi di tassi, i tassi generici e i tassi specifici. Un tasso generico è espresso come rapporto tra la dimensione assoluta di un fenomeno demografico e la dimensione della popolazione e risponde alla seguente domanda: Quanti eventi di un certo tipo (nascite, morti,...) si sono verificati nell unità di tempo considerata (in genere l anno) per ogni elemento (o per 100, 1000,... elementi) costitutivo della popolazione? Esempio. Esempi di tassi generici sono: Tasso di natalità n = N P 1000 Tasso di mortalità m = M P 1000 Tasso di emigrazionee = E P 1000 Tasso di immigrazione i = I P 1000 dove N M, E e I rappresentano nell ordine il numero di nati, di morti, di emigrati e di immigrati. I tassi vengono generalmente moltiplicati per 1000, per rendere significativa la cifra che ne risulta. Per procedere al calcolo dei tassi generici è opportuno fissare 1. l intervallo temporale al quale si riferisce l evento la cui frequenza è riportata a numeratore. l ammontare della popolazione da porre a denominatore 6

8 Per quanto riguarda il punto 1, per l intervallo temporale viene generalmente adottato l anno ma i tassi possono anche riferirsi a periodi pluriennali. Quanto al valore da porre a denominatore solitamente si adotta la media aritmetica semplice della popolazione al 1 gennaio e al 31 dicembre dell anno a cui si riferisce il tasso. Concettualmente ciò equivale a supporre che la popolazione abbia avuto uno sviluppo crescente lineare durante l anno e pertanto la popolazione media equivale anche alla popolazione a metà anno (30 giugno). Esempio La popolazione residente in provincia di Como all 1 gennaio 006 ammontava a individui, mentre al 31 dicembre 006 essa ammontava a Pertanto la popolazione media nell anno 006 è: P = P P = = I tassi generici sono misure ambigue dei fenomeni demografici in quanto sono influenzati dalla struttura per età della popolazione. I fenomeni demografici sono molto variabili secondo l età, poiché ad alcune di esse approssimano o raggiungono frequenza zero (le morti fra i giovanissimi, i matrimoni prima dell età minima legale, le nascite prima della pubertà o dopo la menopausa), mentre in alcune età raggiungono frequenze massime o comunque molto elevate. Esempio Sul tasso di mortalità non influisce solo il livello di salute della popolazione ma anche la sua distribuzione per età. Infatti a seconda che la popolazione sia più o meno vecchia si avranno decessi più o meno numerosi. Per tale motivo si fa riferimento ai tassi specifici, cioè dei tassi calcolati su distinti sottoinsiemi della popolazione, definiti dalle modalità di alcune prefissate caratteristiche (es. genere, età, stato civile...). I tassi specifici più utilizzati sono quelli per età, calcolati rapportando gli eventi relativi ad una classe di età (annuale o pluriennale) alla popolazione media (persone-anno) di quella classe. Analogamente ai tassi generici, i tassi specifici rispondono alla domanda: Quanti eventi relativi a una certa classe di età, si verificano in un anno per ogni k individui mediamente presenti nella popolazione aventi quel carattere? Supposto di considerare l età in classi di ampiezza h il calcolo dei tassi specifici può essere effettuato in modo del tutto analogo al calcolo dei tassi generici: Esempio. Il tasso specifico di mortalità per età può essere calcolato come: m x,x+h = M x,x+h P x,x+h 7

9 Esercizio 4 Avendo a disposizione le seguenti informazioni relative alla popolazione italiana residente nel 007 (in migliaia): Popolazione al 1 gennaio Nati 560 Morti 570 Immigrati 050 Emigrati 1600 Popolazione al 31 Dicembre calcolare il tasso di natalità, di mortalità, di emigrazione e di immigrazione e fornirne un interpretazione. Esercizio 5 Calcolare il tasso generico di mortalità i tassi specifici di mortalità per età avendo a disposizione i seguenti dati Classi di età M x,x+h 1.1.t P (x,x+h) 31.1.t P (x,x+h) Calcolare i tassi a partire dalle informazioni contenute nel diagramma di Lexis Il diagramma di Lexis contiene tutte le informazioni necessarie per misurare il fenomeno in considerazione attraverso i tassi specifici, a seconda della specificazione che viene effettuata. Poichè un tasso è definito come il rapporto tra il numero di eventi e la popolazione media, occorre definire, a seconda delle specifiche, queste due quantità. a) Se il tasso specifico è calcolato in base alle età (x) e all anno di calendario (t), le quantità da prendere in considerazione sono il numero di eventi calcolato in un quadrato di tipo D (E D ), a numeratore, e la semisomma della popolazione all inizio e alla fine dell anno (rispettivamente 1.1.t P x e 31.1.t P x ), a denominatore. b) Se si fissano, invece, la generazione (g) e l età (x), il numero di eventi da porre a numeratore è contenuto nel parallelogramma di tipo B (E B ) e la popolazione di riferimento è data dalla semisomma della consistenza numerica di coloro che raggiungono l x-esimo e l x + 1-esimo compleanno (rispettivamente P g x e P g x+1 ). c) Infine se si specificano la generazione (g) e l anno di calendario (t), il numero di eventi da porre a numeratore si trova nel parallelogramma di tipo C (E C ) e la popolazione da mettere a denominatore è pari alla semisomma dell ammontare della generazione all inizio dell anno e di quella alla fine dell anno (rispettivamente 1.1.t P g e 31.1.t P g ). Quanto detto è rappresentato in Figura 5. 8

10 Figura 5: Calcolo dai tassi e delle probabilità a partire dalla informazioni contenute nel diagramma di Lexis Dai tassi alle probabilità Una misura alternativa ai tassi è costituita dalle probabilità di sperimentare un evento. Mentre un tasso misura la frequenza media per persona con la quale un fenomeno si manifesta, le probabilità esprimono il rischio di sperimentare l evento in esame. La probabilità, nell approccio frequentista, è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili, che in questo ambito vengono rispettivamente a coincidere con il numero di eventi che si sono verificati e la popolazione a rischio di sperimentare l evento. Ancora una volta il diagramma di Lexis ci aiuta ad individuare opportunamente queste quantità. Ipotizzando l assenza di fenomeni migratori, la probabilità di sperimentare un evento può essere calcolata come rapporto tra il numero di eventi verificatesi tra il compleanno x e x + 1 e l ammontare della popolazione che ha compiuto il compleanno x. Tale probabilità prende il nome di probabilità tra compleanni Esiste un secondo tipo di probabilità, indicata con il temine probabilità prospettiva. Essa viene calcolata tra due date e due compleanni successivi e misura il rischio che hanno, in media, i soggetti in età x (anni compiuti) all istante iniziale t, di non essere in vita al compleanno x + 1 all istante finale t + 1. Il calcolo viene effettuando fissando una generazione e un anno di calendario. Le quantità coinvolte sono ricavabili dal diagramma di Lexis come riportato in Figura 5. Occorre ora considerare il caso più realistico, in cui la popolazione è soggetta oltre che alla natalità e alla mortalità, anche all immigrazione e all emigrazione. La presenza di movimenti migratori modifica l ammontare della popolazione esposta al rischio di morte e per poter calcolare la probabilità di morte occorre formulare un ipotesi sulla distribuzione delle migrazioni e sulla durata media della permanenza nella popolazione degli individui migrati. Si ipotizza quindi che le migrazioni si distribuiscano in modo uniforme durante l anno e che coloro che sono migrati siano rimasti esposti al rischio per un periodo di metà anno. 9

11 Esercizio 6 Sapendo che: - i ventiseienni al sono pari a 100; - l ammontare della popolazione che nel 1996 raggiunge i 6 anni è pari a 1400; e disponendo della distribuzione di decessi, rappresentata su un diagramma di Lexis: Figura 6: Tassi specifici calcolare: a) il tasso specifico di mortalità per l età 6 nell anno 1996; b) il tasso specifico di mortalità per l età 6 e la generazione del 1969; c) il tasso specifico di mortalità dell anno 1995 per la generazione del Esercizio 7 Avendo a disposizione i seguenti dati: calcolare la probabilità di morte a 60 anni. Supponendo di conoscere anche le informazioni sui migranti, calcolare la probabilità di morte a 60 anni. 10

12 Altri esercizi Esercizio 8 Disporre sul diagramma di Lexis i seguenti dati: a) nati vivi nel 1970; b) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970; c) morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 1970; d) totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel ; e) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969; f) contemporanei di 0 anni viventi al 31/1/1970 appartenenti alla generazione del 1970; g) totale morti di 0 anni appartenenti alle generazioni deceduti nel 1970; h) appartenenti alla generazione del 1970 sopravvissuti e coetanei al primo compleanno. Esercizio 9 Con riferimento ai dati dell esercizio 6, determinare: a) la probabilità di un 6-enne del 1995 di non raggiungere il 7-esimo compleanno b) la probabilità di un 5-enne al di non raggiungere i 6 anni al Esercizio 10 Avendo a disposizione i dati nel diagramma di Lexis: calcolare: a) P 40 b) il tasso specifico di mortalità per l età 41 nell anno 199 c) la probabilità di un 40-enne al di non raggiungere i 41 anni al d) la probabiltà di morte a 40 anni 11

13 Soluzioni Esercizio 1 Il diagramma di Lexis è: Esercizio Poichè non è possibile attribuire il numero delle separazioni per ciascun anno ad una coorte di matrimoni precisa, le uniche informazioni di cui si dispone sono l anno in cui si sono verifcati gli eventi considerati e la loro durata (che coincide con l età di matrimoni ). Di conseguenza i dati non possono che essere riportati in quadrati: 1

14 Esercizio 3 I dati per contemporanei sono stati indicati tra parentesi. Esercizio 4 Per calcolare un tasso è necessario determinare l ammontare della popolazione media del periodo considerato, che come detto in precedenza è fornita dalla semisomma dell ammontare della popolazione a inizio periodo e di quello a fine periodo. P = ( ) P + ( ) P = = 5930 Disponendo ora di tutte le quantità necessarie per determinare i tassi si può procedere al calcolo: n = N P m = M P = 1000 = = 1000 = i = I P e = E P = 1000 = = 1000 = I quattro tassi ci dicono nell ordine che all incirca ogni 1000 residenti italiani sono nati 9 bambini, sono deceduti 10 individui, ne sono immigrati 34 e ne sono emigrati 7. 13

15 Esercizio 5 Si calcolano i tassi specifici di mortalità m x,x+h = M x,x+h P x,x+h. Per esempio per le età comprese tra 0 e 9 anni: m 0,9 = M 0,9 P 0, = =. ( ) E procedendo in modo analogo si ottengono gli altri tassi specifici per età riportati nella tabella seguente: Classi di età M x,x+h P x,x+h m x,x+h Osservando i tassi specifici si nota come la mortalità aumenti all aumentare dell età (come è naturale che sia). Rimane ora da calcolare il tasso generico: m = M P 1000 = = ( ) Esercizio 6 1 Questo esercizio richiede il calcolo dei possibili tassi specifici di mortalità e di alcune informazioni che possono essere facilmente deducibili dal diagramma di Lexis (in blu). a) Per il calcolo di questo tasso specifico, avendo richiesto un età e un anno precisi, entrano in gioco due differenti generazioni, quella del 1969 e del Il valore cercato è dato da: 1996m 6 = 1996M 6 1 ( P x P x ) 1000 = = b) In questo caso si considerano due differenti anni, il 1995 e il 1996, avendo specificato l età e la generazione. Il tasso è pertanto determinato da: 1969 m 6 = 1969 M 6 1 (1969 P P 7 ) 1000 = =

16 c) L ultimo tasso di mortalità specifico prende in considerazione due differenti età, poichè in questo caso sono stati evidenziati anno e generazione. Pertanto il tasso viene calcolato nel seguente modo: Esercizio m = M ( P P ) 1000 = = Se non si considerano i fenomeni migratori per calcolare la probabilità di morte tra due compleanni si applica la consueta formula: q 60 = 1978 M 60 P 60 = = Se si considerano, invece, i fenomeni migratori il denominatore cambia: q 60 = 1978M 60 P ( 1978I E 60 ) = = (( + 14) ( )) Esercizio 8 a) nati vivi nel 1970 AB b) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970 ABC c) morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 1970 BCE d) totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel ABCE e) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969 ACD f) contemporanei di 0 anni viventi al 31/1/1970 appartenenti alla generazione del 1970 BC g) totale morti di 0 anni appartenenti alle generazioni deceduti nel 1970 ABCD h) appartenenti alla generazione del 1970 sopravvissuti e coetanei al primo compleanno CE Esercizio 9 I dati che occorrono per determinare i due tassi sono stati calcolati nell Esercizio 4. a) In questo punto si richiede la probabilità di morte tra due compleanni, cioè q 96 = 69 M = 1995P 6 14 = b) Nel secondo punto si chiede di calcolare la probabilità di morte tra due date ed età successive, cioè le probabilità prospettive di morte: q 5/6 = M P 5 = =

17 Esercizio 10 a) La popolazione di quarant anni al è fornita da: P 40 = = P M M E E I E 40 = = = 090 b) Il tasso specifico di mortalità è dato da: 9m 41 = 9M 41 1 ( P P 41 ) Poichè P 41 è nota è necessario calcolare solo P 41 : P 41 = = così si ottiene: 199m 41 = c) La probabilità prospettiva di morte è fonita da: q 40/41 = = ( ) M Tenendo conto anche del saldo migratorio: = P 090 = q 40/41 = M P + 1 ( 1991I 1991 E) = = (10 80) d) La probabilità di morte a quarant anni è pari a: M 40 q 40 = 1991P ( 1991I 1991 E) = = [ ( )] 16