Limiti di funzioni. Parte 2 calcolo. prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 10/2016

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1 Limiti di funzioni Parte calcolo prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, /6 L insieme R Il calcolo dei iti delle funzioni reali di variabile reale avviene nell insieme esteso dei numeri reali: R = R {, + }. Se a R, risulta: < a < + ; a ± = ± ; ± ± = ± ; a >, a ± = ± ; a <, a ± = ; 3 ± ± = + ; ± = ; 4 a = ; a = ; a, a =. 5 L algebra dei iti Per il calcolo dei iti sono essenziali le seguenti regole; queste possono tuttavia cadere in difetto generando le forme d indecisione indicate tra parentesi quadre. Siano, l, m R, k R e inoltre: f = l e g = m. k = k 6 f = l 7 [k f] = k l 8 [f ± g] = l ± m; [+ ] 9 [f g] = l m; [ ] f g = l [ ] m ;, ] [f] g = l m ; [ ], [ ], ] log f g = log l m; [log ], [log ], [log [, [log ], [log ]. 3 espressioni non univoche che richiedono ulteriore analisi per essere risolte.

2 P. Sarti - Limiti di funzioni, parte II 3 Il calcolo dei iti In assenza di forme d indecisione, il calcolo di un ite si riduce all applicazione delle regole di calcolo introdotte nelle sezioni precedenti. In presenza di forme d indecisione si deve invece procedere alla loro rimozione. Sono utili allo scopo i seguenti artifici: fattorizzare moltiplicare e dividere per una stessa quantità portare dentro/fuori dal segno di radice; razionalizzare effettuare sostituzioni usare identità, formule, iti notevoli confrontare ordini d infinitesimo o d infinito i quali, a seconda dei casi, possono essere utilizzati anche cumulativamente. 4 Limiti notevoli È molto frequente imbattersi nei seguenti iti, ai quali viene ricondotto il calcolo di molti altri. Teor.. Limite per del quoziente di due polinomi a coefficienti reali: a n + a n + + a n + a se n > m n b m + b m = a /b se n = m b m + b m se n < m. Dim.: Basta raccogliere a fattor comune la potenza massima di al numeratore e a denominatore e osservare che tutti i termini tra parentesi, ad eccezione di a e b, sono infinitesimi per. Risulta quindi: n a + a + + a n n + a n n m b + b + + b n m + b m m = a b n m. Se n = m, n m = e il ite vale a /b ; se n < m, n m tende a perché l esponente è negativo; se, infine, n > m allora n m, e tale è anche il valore del ite. Teor.. Se è un arco misurato in radianti, risulta: =. 5 Dim.: Il ite presenta la forma d indecisione [/] non einabile con artifici. Consideriamo il primo quadrante della circonferenza centrata nell origine O e raggio r vedi figura seguente. L arco AB è orientato in senso antiorario, ha il primo estremo nell origine A degli archi e è la sua misura in radianti.

3 P. Sarti - Limiti di funzioni, parte II 3 Figura : Per la dimostrazione di: =. T è l intersezione tra il prolungamento del raggio OB, dalla parte di B, con la retta tangente alla circonferenza in A. Risulta: cioè: Area triangolo OAB < Area settore OAB < Area triangolo OAT, Dividendo per r si ottiene : Invertendo i rapporti: r < r < r tan. < < cos. cos < <. Passando al ite per + e applicando il teorema del confronto, si ottiene la tesi. Poiché y = / è pari, il risultato sussiste anche per. Teor. 3. cos =, =. Dim.: Le funzioni e cos non ammettono ite per, tuttavia R : e cos, quindi: e cos. Poiché / =, dal teorema del confronto segue la tesi. Teor. 4. Se e è la base dei logaritmi naturali, risulta: + = e. 6 Per la dimostrazione si rimanda a un trattato di analisi di livello avanzato. se è nel primo quadrante, è positivo, pertanto la divisione non altera il verso delle disuguaglianze.

4 P. Sarti - Limiti di funzioni, parte II 4 5 Esempi Es. + 4 ln = [ ] + 4 = +. Il ite non presenta forme d indecisione. Il risultato si ottiene conoscendo il comportamento delle funzioni seno e logaritmo naturale in un intorno destro di zero e applicando le regole di calcolo in R. Es. 3 + = [+ ]. Fattorizzando : + = [+ ] =. Alternativamente, si poteva osservare che un polinomio è una funzione razionale intera, ovvero con denominatore di grado nullo. Il ite notevole 4 fornisce subito il risultato. Es = [ ]. La forma d indecisione viene rimossa fattorizzando il numeratore e semplificando: 3 5 =. Es. 4 sin = [ ]. Applicando la formula di duplicazione per il seno e semplificando il fattore comune, otteniamo: cos =. In alternativa, si può ricondurre il ite proposto al ite notevole 5: sin = sin =. Es. 5 =. ] Raccogliendo a numeratore si ottiene: = = +. Es. 6 cos = [ ].

5 P. Sarti - Limiti di funzioni, parte II 5 Osserviamo che il ite proposto può essere scritto nella forma: cos. Mediante la formula di bisezione si ottiene: =. Es = [ ] Il ite può essere scritto: +3 Ponendo: +3 = t si ottiene:. Calcoliamo separatamente i iti sinistro e destro. Risul- Es. 8 ta: +3 = + t = e. + 3 t t + = +; =. + I iti sinistro e destro esistono finiti ma diversi: il ite dato pertanto non esiste. Es. 9 non esiste. Risulta infatti: = + ; = +. Es Se + il ite vale +. Per c è l indecisione: [+ ], la quale viene rimossa moltiplicando numeratore e denominatore per + 3. Si ha infatti: Es. ] =. Raccogliendo ed estraendolo dal ra- dicale si ottiene: =. / = / + = /3. [ Es. ln ln4 + 3 ]. La forma d indecisione [+ ] viene rimossa applicando la nota proprietà: log a p log a q = log a p/q. Sfruttando la continuità del logaritmo e il ite notevole 6 si giunge al risultato: ln = ln = +.

6 P. Sarti - Limiti di funzioni, parte II 6 ln ] Es. 3 ln 3 4 =. Basta raccogliere ln sia a numeratore che al denominatore e semplificare: ln ln ln + ln ln 3 4 ln = +. Es. 4 + / = e. Basta porre: t = / per ricondursi al ite 6. log Es. 5 a + = log a e. Si scrive: log a +, poi si applica il risultato dell esempio precedente. Es. 6 a = ln a. Ponendo t = a, si ricava: = log a + t, con t se. Risulta: t t log a + t = = ln a. log a e