DAI CIRCUITI AI GRAFI

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1 MTODI P 'NISI DI IUITI Nel seguto engono llustrat, medante esemp, alcun tra metod pù utlzzat per l'anals de crcut elettrc. Il problema che s uole rsolere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse da generator ndpendent present, n generale funzon qualunque del tempo, s uole calcolare l'andamento temporale delle corrent e delle tenson n tutt ram del crcuto. ome gà detto, s suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre alla potes medante l'ntroduzone d crcut equalent de component a pù d due termnal. Gl esemp llustrat s rferscono, per semplctà, a crcut n regme stazonaro (o regme d corrente contnua), defnto dalla condzone d/dt. In tal caso, ogn grandezza nel crcuto s suppone tempo-narante. DI IUITI I GFI È possble assocare ad ogn crcuto un enttà matematca G chamata grafo, formata da un nseme d nod N (nod del crcuto) e da un nseme d ram (ram del crcuto) che collegano nod tra loro. Notamo che s è così edenzata la struttura topologca del crcuto, coè l modo n cu sono conness component tra loro, senza preoccupars delle caratterstche de component stess. d ogn ramo sono assocat una corrente d ramo ed una tensone d ramo. È possble assocare ad ogn nodo un potenzale (tensone d nodo) defnta come tensone esstente tra l nodo n esame e l nodo d rfermento, l cu smbolo è, scelto arbtraramente. Una propretà del crcuto che s trasfersce al corrspondente grafo è la propretà d connessone, secondo la quale tutto l crcuto è connesso elettrcamente, e qund per ogn nodo del crcuto è possble troare un percorso che, seguendo ram del grafo, connetta tale nodo al nodo d rfermento (nel caso n cu l crcuto non sa connesso edremo che è sempre possble connetterlo nterponendo un collegamento tra ogn coppa d crcut non conness). Ogn ramo del grafo dee essere orentato, ottenendo così un grafo orentato: questa orentazone corrsponde al erso posto della corrente n quel ramo. orentazone della tensone del ramo può essere fatta ndpendentemente da quella della corrente. Tuttaa, usualmente la tensone sarà orentata secondo la conenzone degl utlzzator n modo che la corrente ada dal termnale posto a quello negato. on questa conenzone, la potenza p(t) (t) (t) è assorbta se posta, erogata se negata. Se la tensone è orentata n senso opposto (conenzone de generator), allora la potenza è assorbta se negata, erogata se posta. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura (N nod, ram), doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat per tenson e corrent d ramo medante la scelta dell utlzzatore. Il grafo orentato corrspondente è llustrato n fgura.a. I D D Metod per l anals de crcut -

2 Fgura Fgura.a e egg d Krchhoff (delle Tenson e delle orrent) c permettono d screre delle equazon che descrono la topologa del crcuto, oero l modo n cu component sono conness tra loro: a egge d Krchhoff delle orrent (K) afferma che la somma algebrca delle corrent n un nodo è nulla n qualsas stante d tempo. - quazone per un nodo (K n ): r a egge d Krchhoff delle Tenson (KT) può essere formulata n due mod equalent tra loro: - a somma algebrca delle tenson d ramo su ram d una magla è nulla per qualsas stante d tempo; - quazone per una magla (KT m ): - Ogn tensone d ramo è data dalla dfferenza de potenzal d nodo de suo termnal. - quazone per un ramo (KT r ): e e (.c) n r m r r (.a) (.b) Scramo le equazon K e KT utlzzando l grafo assocato al crcuto. Supponamo che l grafo assocato abba N nod e ram orentat. on rfermento al grafo d fgura.a, N (,,, D) e. S scelga ad esempo l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento (e D ). e equazon KT r e K n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): KT r : e e e e e e e e e (una equazone per ogn ramo, qund n generale equazon n cu compaono tenson d ramo ed N potenzal d nodo; nell esempo n oggetto possamo qund screre KT r n cu compaono tenson d ramo ed potenzal d nodo) K n : (una equazone per ogn nodo, meno quello d rfermento, qund n generale N equazon n cu compaono corrent d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre K n n cu compaono corrent d ramo). È oamente possble screre una ulterore K n applcata al nodo d rfermento ( ), ma è facle mostrare che è una combnazone lneare delle precedent N. Infatt, tale equazone s ottene sommando le (.). S not che le (.) e le (.) sono N equazon n N ncognte (tenson d ramo, potenzal d nodo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. (.) (.) Metod per l anals de crcut -

3 a KT può essere enuncata consderando le magle del crcuto (secondo la formulazone.b). Per questo, ntroducamo l concetto d albero T assocato ad un grafo G:. T è un sottografo d G con tutt nod e una parte de ram; ogn ramo consera la sua orentazone;. T è connesso;. T non ha magle: c è un solo percorso che collega ogn coppa d nod. Oamente, ad ogn grafo è assocato pù d un albero. omunque, ogn albero T ha N ram. I ram d G appartenent a T sono chamat ram dell albero, mentre rmanent sono chamat ram del coalbero (e sono N ). Se aggungamo un ramo del coalbero a T, creamo una magla che è formata da ram dell albero e da quell unco ramo del coalbero (magla fondamentale). Per ogn ramo del coalbero, possamo rpetere l operazone formando ogn olta una magla dersa, ndpendente da tutte le altre (*). S può allora dmostrare che l numero d magle ndpendent d un crcuto (coè l nseme delle magle fondamental) è par a ram del coalbero, e precsamente (N ) N. ttolo d esempo s consder l grafo llustrato nella fgura.a; uno de possbl alber è llustrato n fgura.b (ram, e ). I ram tratteggat sono quell d coalbero (ram, e ). e magle ndpendent sono qund N, (n partcolare a, b D, c DD). a b c D Fgura.b pplcando la KT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: KT m : (.) (una equazone per ogn magla ndpendente qund n generale N equazon n cu compaono tenson d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre KT m n cu compaono tenson d ramo) S not che le (.) e le (.) sono equazon n ncognte (tenson d ramo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. (*) Un nseme d m magle s dce ndpendente se le m equazon ottenute applcando la KT ad ognuna d esse sono lnearmente ndpendent. Pertanto, una magla è ndpendente da altre se la relata equazone KT è ndpendente dalle equazon KT delle altre. Metod per l anals de crcut -

4 Operatamente, per troare le magle ndpendent d un crcuto, s dee assocare un albero T al grafo G del crcuto, qund screre la KT m per ogn magla assocata ad un ramo del coalbero. IUITI PIVI DI MMOI I crcut pr d memora sono quell n cu tutt component del crcuto sono pr d memora ossa le loro caratterstche tensone-corrente stablscono un legame stantaneo tra le due grandezze che non dpende da alor da esse assunte n precedenza. In tal caso l sstema rsolente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon algebrche ed l alore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del alore delle grandezze mpresse del crcuto n quello stesso stante. nals d Tableau Il metodo pù generale, per l'anals d un crcuto qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), consste nel consderare come ncognte del sstema le corrent d ramo, le tenson d ramo e le (N ) tenson d nodo rspetto ad un nodo arbtraramente scelto come nodo d rfermento. Il sstema rsolente ene qund ottenuto da equazon KT r (una per ogn ramo), da N equazon K n (una per ogn nodo, tranne quello d rfermento) e da equazon costtute de component. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura, doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat con la regola dell utlzzatore per tenson e corrent d ramo. I D Fgura S scelga arbtraramente l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento. e equazon KT r e K n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): e e ( equazon KT r n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed N potenzal d nodo) e e e e e e e (.) Metod per l anals de crcut -

5 (N equazon K n n cu compaono come ncognte corrent d ramo) Il sstema ene qund chuso dalle seguent equazon costtute de component: ( equazon costtute de component n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed corrent d ramo) I Il sstema costtuto dalle equazon (.), (.) e (), doe sono note le grandezze, I,,, ed, costtusce un sstema d equazon nelle ncognte del problema che sono rspettamente e, e, e,,,,,,,,,,,,. Il sstema d equazon rsolente è non lneare per la presenza del dodo che è un componente non lneare (ultma equazone delle ()). Il procedmento llustrato è completamente trasferble su un computer e la soluzone (o le soluzon matematcamente possbl, poché n generale, essendo l sstema non lneare, può esstere pù d una soluzone) può essere ottenuta numercamente. In questo caso la soluzone può essere ottenuta elmnando la non lneartà del sstema, consderando separatamente due cas possbl: dodo n conduzone ( >, ) oppure dodo nterdetto (, < ). Dodo n conduzone. Ponendo nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d equazon lnear nelle ncognte e, e, e,,,,,,,,,,,, la cu soluzone è la seguente: e e e I ; ; I ; ; I I I I ; ; ; I I I ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo n conduzone dee essere > e qund, dalla ultma delle () dee essere: (.) () () I () Metod per l anals de crcut -

6 Dodo nterdetto. Ponendo nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d equazon lnear nelle ncognte e, e, e,,,,,,,,,,,, la cu soluzone è la seguente: e I ; e I ; e I ; ; ; I ; I I ; I I ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo nterdetto dee essere < e qund dalla ultma delle () dee essere: () I (7) Dal confronto della () con la (7) s ede che, una olta assegnat alor d, I ed, una sola delle due soluzon è accettable. assumendo, per applcare l metodo d Tableau ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s prende arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, s applca la KT r ad ogn ramo del crcuto, s applca la K n a tutt nod tranne quello d rfermento e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: equazon KT r M e N equazon K n equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), e è l ettore delle tenson d nodo (dmensone N ), M è una matrce costante (N ) ed è una matrce costante (N ) [ome s è gà sto, rsulta che M è la trasposta d, coè: M T ]. In generale la funzone f può dpendere anche dalla arable temporale t, ma tale dpendenza, per semplctà d notazone, non è esplctamente ndcata. Il sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Nel caso partcolare n cu tutt component sano resstor lnear, generator ndpendent d tensone e d corrente oppure generator plotat con caratterstca lneare, la rete s defnsce lneare e le equazon delle caratterstche possono essere scrtte nella forma equazon caratterstche H K S doe H è una matrce costante, K è una matrce costante ed S è l ettore d dmensone che contene le tenson e le corrent mpresse da generator ndpendent (su ram n cu sono present e zero altroe). In tal caso l sstema rsolente è lneare ed è possble esprmere ogn arable come combnazone lneare delle sole tenson e corrent mpresse da generator ndpendent. on rfermento alla corrente sul k-esmo ramo potremo qund screre: Metod per l anals de crcut -

7 k k n gen. nd. tensone g, ns, n αk, mis, m per ogn k m gen. nd. corrente Tale relazone è l enuncato del Prncpo d Sorapposzone degl ffett: In una rete lneare la corrente n un generco ramo (effetto) è uguale alla somma algebrca delle corrent che sarebbero prodotte da sngol generator ndpendent present nella rete se agssero separatamente. o stesso ale per le tenson d ramo e d nodo (o). lmnazone delle tenson d nodo e soluzon () e () sono state ottenute rsolendo un sstema d equazon lnear n ncognte. Tale soluzone, anche se la matrce del sstema è sparsa, può rsultare complessa. ordne del sstema rsolente può essere rdotto osserando che è possble ottenere un sstema d equazon ndpendent nelle sole tenson e corrent d ramo ncognte. S consder nfatt la fgura n cu sono ndcate ( N rsulta n questo caso uguale a ) magle ndpendent del crcuto ndduate n fgura.b. pplcando la KT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: ( N equazon KT m n cu come ncognte compaono tenson d ramo) (.) (o) solere una rete lneare con l prncpo d sorapposzone degl effett sgnfca allora scomporre la rete orgnara n tante rete parzal quant sono generator ndpendent, calcolare la corrente ne ram per ognuna d queste ret, e sommare algebrcamente le corrent parzal. S calcol ad esempo la corrente nella resstenza della rete d fgura. S ha: Ponendo ; I s ha I, doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: I I ' ' '' I '' I a prma è la rete che s ottene da quella orgnara, annullando l'azone del generatore ndpendente d corrente, la seconda quella n cu è annullata l'azone del generatore ndpendente d tensone. a fgura llustra l concetto mostrando, nel contempo, n che modo s esclude l'azone de generator: generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert. Metod per l anals de crcut - 7

8 a b c I Fgura e KT m (.), le K n (.) e le relazon costtute () costtuscono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. (N equazon K n n cu compaono come ncognte corrent d ramo) ( equazon costtute de component n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed corrent d ramo) D I Infne, per tutt component controllat n tensone (n questo esempo l ramo ) o n corrente (n questo esempo ram,,, e ), è possble sostture le equazon costtute nelle KT m ed K n. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a (Numero d component non controllat né n tensone né n corrente), n altrettante arabl (tenson o corrent d ramo). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo è l unco componente presente non controllato né n tensone né n corrente) l seguente sstema d 7 equazon nelle ncognte,,,,,, : ( N equazon KT m ) (N equazon K n ) (equazone costtute de component non controllat né n tensone né n corrente) I (.) () (.) (.) (.) assumendo, per applcare l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s applca la KT m ad ogn magla ndpendente del crcuto, s applca la K n a tutt nod tranne uno e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: Metod per l anals de crcut - 8

9 N equazon KT m N equazon K n equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), è una matrce costante ( N ) ed è una matrce costante (N ). Il sstema rsolente contene dunque equazon n ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n tensone o n corrente è possble sostture le caratterstche nelle KT ed K, gungendo ad un sstema rsolente d equazon n ncognte. Metodo de Tagl Fondamental Una dfferente semplfcazone del sstema rsolente (.), (.), () s può ottenere osserando che le K permettono d esprmere la corrente n cascun ramo d albero come una combnazone lneare delle corrent su ram d coalbero. Infatt, dato che l albero assocato al grafo è, per defnzone, pro d magle, è sempre possble assocare ad ogn ramo d albero una superfce chusa (superfce d taglo) che ntersech, oltre ad esso, solo ram d coalbero. nseme de ram ntersecat da tale superfce chusa prende l nome d taglo (la rmozone del taglo separa l grafo n due sotto-graf non conness). Se l taglo contene un solo ramo d albero, esso prende l nome d taglo fondamentale relato a quel ramo e a quell albero. In fgura.b sono llustrat tre superfc che ndduano tagl fondamental assocat a ram d albero (tagl fondamental: [,, ], [, ], [,, ]) da cu è possble rcaare le (8) applcando la egge d Krchhoff delle orrent su tal superfc (K t ). D Fgura.b (N equazon K t n cu compaono come ncognte corrent d ramo) (una relazone per ogn ramo d albero qund n generale N relazon che esprmono le N corrent d albero n funzone delle N corrent su ram d coalbero; nell esempo n oggetto possamo qund screre relazon che esprmono le corrent d albero, e n funzone delle corrent su ram d coalbero, e ) (8) Metod per l anals de crcut - 9

10 Dato che le (8) sono state ottenute applcando la egge d Krchhoff delle orrent, esse rsultano equalent alle (.) (nfatt sosttuendo le (8) nelle (.) s ottengono tre denttà ). Inoltre, per tutt component su ram d albero è possble sostture le relazon (8) nelle relazon costtute de component. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N, n altrettante arabl (tenson d ramo e corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund l seguente sstema d 9 equazon nelle ncognte,,,,,,,, : ( N equazon KT m n cu come ncognte compaono tenson d ramo) ( equazon costtute de component n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed N corrent d coalbero) I ( ) ( ) (.) Infne, per tutt component controllat n corrente (n questo esempo ram,,, e ), è possble sostture le equazon costtute nelle KT m. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N (Numero d component non controllat n corrente), n altrettante arabl (tenson d ramo o corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo ed l generatore d corrente non sono controllat n corrente) l seguente sstema d equazon nelle ncognte,,,, : ( N equazon KT m ) ( ) ( ) ( ) ( ) (equazone costtute de component I non controllat n corrente) (8.) (8.) (8.) S not che rsulta conenente, se possble, sceglere ram dell albero escludendo quell contenent generator d corrente ndpendent. In tal caso nfatt, s ottengono drettamente delle equazon del tpo I (relazone costtuta del generatore d corrente), che consentono d rdurre drettamente l ordne del sstema. assumendo, per applcare l metodo de Tagl fondamental ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s defnsce un albero (ed un coalbero), s applca la KT m ad ogn magla fondamentale, s applca la K t ad ogn taglo fondamentale e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: N equazon KT m N equazon K t ed N denttà Q c equazon caratterstche f (, ) Metod per l anals de crcut -

11 doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), c è l ettore delle corrent de ram d coalbero (dmensone N ), è una matrce costante ( N ) detta matrce delle magle fondamental e Q è una matrce costante ( N ) [le prme N rghe d Q corrspondono ad denttà] detta matrce de tagl fondamental. È dunque sempre possble sostture le K nelle equazon caratterstche ottenendo l sstema rdotto N equazon KT m equazon caratterstche f (Q c, ) Il sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n corrente, coè se f (, ) h(), è possble sostture le caratterstche nelle KT, gungendo ad un sstema rsolente d N equazon nelle N ncognte corrent de ram d coalbero. N equazon KT m h(q c ) Metodo de potenzal d nodo Quando l numero de nod N del crcuto è pccolo, è possble e conenente utlzzare l metodo dell'anals de nod per screre un sstema rsolente d (N ) equazon nelle (N ) tenson d nodo ncognte del crcuto. tale scopo s consderno nuoamente le (.), (.) e (): ( equazon KT r n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed N potenzal d nodo) (N equazon K n n cu compaono come ncognte corrent d ramo) ( equazon costtute de component n cu compaono come ncognte tenson d ramo ed corrent d ramo) e e e e e e e e e I Per ogn ramo è possble sostture le relazon (.) nelle relazon costtute de component (). Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N, n altrettante arabl (potenzal d nodo e corrent d ramo). Nell esempo n oggetto otterremo qund l seguente sstema d 9 equazon nelle ncognte e, e, e,,,,,, : (.) (.) () Metod per l anals de crcut -

12 (N equazon K n n cu compaono come ncognte corrent d ramo) ( equazon costtute de component n cu compaono come ncognte corrent d ramo ed N potenzal d nodo) Infne, per tutt component controllat n tensone (n questo esempo ram,, e ), è possble esplctare le corrent e sostture le equazon costtute nelle K [ (e e )/, (e e )/, e /, I]. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N (Numero d component non controllat n tensone), n altrettante arabl (corrent d ramo o potenzal d nodo). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo ed l generatore d tensone non sono controllat n tensone) l seguente sstema d equazon nelle ncognte e, e, e,, : (N equazon K n ) e e e e e e e e e e I e e e e e I e e (equazon costtute de component e e non controllat n tensone) e (.) (9.) (9.) (9.) assumendo, per applcare l metodo de potenzal d nodo ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s prende arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, s applca la KT r ad ogn ramo del crcuto, s applca la K n a tutt nod tranne quello d rfermento e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: equazon KT r M e N equazon K n equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), e è l ettore delle tenson d nodo (dmensone N ), M è una matrce costante (N ) ed è una matrce costante (N ). È dunque sempre possble sostture le KT nelle equazon caratterstche ottenendo l sstema rdotto N equazon K n equazon caratterstche f (, M e) Metod per l anals de crcut -

13 Il sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n tensone, coè se f (, ) g(), è possble sostture le caratterstche nelle K, gungendo ad un sstema rsolente d N equazon nelle N ncognte tenson d nodo. N equazon K n g(m e) Il metodo de potenzal d nodo è partcolarmente utle quando l numero d nod è pccolo e tutt component sono controllat n tensone. ome esempo lmte s consder l crcuto llustrato nella fgura, che contene un solo nodo ndpendente (N ). Tre component, costtut cascuno da un generatore ndpendente d tensone e da un resstore collegat n sere (generatore d tensone reale), sono collegat n parallelo a un generatore d corrente. Prendendo l nodo come nodo d rfermento, è presente una sola tensone d nodo e ncognta. ascuno de component è controllato n tensone. Infatt, dalla legge costtuta de component, s può esprmere la corrente n ogn ramo del crcuto n funzone della tensone a suo cap: k k k k G k ( k ), k,, I a tensone a cap d cascun ramo, dalle KT r può essere espressa come dfferenza delle tenson d nodo de nod cu l ramo è collegato. Il sstema rsolente s ottene screndo la K n per ogn nodo del crcuto, escluso quello d rfermento, e rsulta qund costtuto da (N ) equazon nelle (N ) tenson d nodo ncognte. on rfermento all'esempo d fgura rsulta: k Gkk I k k k Gk ( k ) I k G k k k k () 'ultma relazone delle (), che mostra la relazone tra la tensone d nodo, le tenson e la corrente mpresse de generator e le resstenze de ram stess; ene anche ndcata col nome d Teorema d Mllman, e può essere estesa ad un numero qualsas d generator real n parallelo. Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: V, V, V,. Ω,. Ω, Ω, I dalla () s ottene. V e sosttuendo nelle ().8,.8,.. I I () Metod per l anals de crcut -

14 Teorema d Theenn Ipotes. Sono dat due bpol, ed N collegat come llustrato nella fgura. Il bpolo è una rete lneare e controllato n corrente, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. Tes. mtatamente alla corrente ed alla tensone alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo (quello lneare) con un generatore d tensone ed un bpolo ' collegat n sere, è equalente n ogn stante al crcuto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eentualmente present ( generator ndpendent d tensone engono qund sosttut con de corto-crcut ed generator ndpendent d corrente engono sosttut con de crcut apert). a tensone mpressa del generatore d tensone d Theenn è par al alore della tensone alla porta del bpolo quando la corrente è nulla (È da notare che l erso posto d è arbtraro: una olta scelto l erso posto, l alore d è par alla tensone se l termnale posto è, è par nece a se l termnale posto è ) N N ' Fgura Teorema d Theenn Dmostrazone: poché l bpolo è controllato n corrente (data la corrente è possble determnare la tensone a termnal), è possble, a fn del calcolo della tensone, sostture al bpolo N un generatore d corrente ndpendente la cu corrente mpressa (t) concde con la corrente assorbta dal bpolo. N (t) Dato che l bpolo è lneare, è possble applcare l prncpo d sorapposzone degl effett. In partcolare, consderamo due crcut: nel prmo azzeramo generator ndpendent n (e ndcheremo tale bpolo con ', nel secondo azzeramo l generatore ndpendente d corrente (come gà sto, generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert.). Metod per l anals de crcut -

15 (t) (t) S ha: e ' '', doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: ' '', doe ' ed '' sono le tenson nelle due sottoret: È edente tuttaa che ' (t) e che ''. Inoltre, applcando la KT alle due sottoret ottenamo (s rcord che per potes è controllato n corrente): ' V ' (') V ' () '' V ('') V () doe V ' ( ) ed V ( ) rappresentano le caratterstche de bpol ' ed, rspettamente. Infne, defnendo V () a uoto s ottene: V ' () che è propro la caratterstca del bpolo equalente mostrato n fgura. Il teorema d Theenn, come enuncato, è aldo n regme qualsas. In partcolare, n regme stazonaro (corrente contnua) s ha che Un crcuto lneare con due termnal controllato n corrente è equalente a un generatore d tensone reale (bpolo d Theenn) formato da un generatore ndpendente d tensone n sere con un resstore e, n cu è la tensone a uoto a termnal e e è la resstenza sta a termnal quando generator ndpendent sono spent. Infatt, poché l bpolo è lneare e controllato n corrente, la sua relazone costtuta è esprmble per potes come V ' () e. Questo è suffcente a defnre unocamente l alore d e. sulta nfatt: e V ' () / ( /) Generator Indpendent d Spent S può applcare l teorema d Theenn alla soluzone del crcuto d fgura consderando come bpolo N l dodo deale e qund come bpolo l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura.a). Il bpolo ' è quello ndcato nella fgura.b, mentre l alore della tensone ene calcolato rsolendo l crcuto rportato nella fgura.c ed è dato dalla relazone (). D' N ' D' ' Metod per l anals de crcut -

16 D' ' I D D' Fgura.a ' D' D D' D' ' ' e ' ' Fgura.b I D D' - ' Fgura.c a soluzone del crcuto d fgura è mmedata notando che l ramo costtusce un taglo fondamentale. Pertanto, e dunque s ha che I ed / Infne la alutazone d s ottene applcando la KT alla sequenza D: oero I Metod per l anals de crcut -

17 D' I () e Infne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura, ottenuto sosttuendo l bpolo con l suo crcuto equalente d Theenn. ' Fgura S rtroa qund che sono possbl due cas: dodo nterdetto oppure dodo n conduzone. Se l dodo è nterdetto allora la corrente è nulla e la tensone 'D', che essendo nulla la caduta d tensone sulla resstenza e (corrente nulla) concde con, dee essere mnore od uguale a zero, da cu scende ancora la relazone (7). Se l dodo è n conduzone allora la corrente è par a / e e dee rsultare maggore od uguale a zero, da cu s rcaa nuoamente la (). Supponendo ad esempo che dat del problema sano seguent: V, I, Ω, Ω, 8 Ω rsulta: I < I dodo n conduzone e qund dalla soluzone del crcuto d fgura e dalle legg d Krchhoff per l crcuto d fgura s ottene: I. I. 88. V I 88. V.. 8 V V V. È da notare che la soluzone del crcuto d fgura n cu sono present solo generator e resstor (lnear e non), coè element pr d memora, s ottene medante relazon algebrche, n ogn stante, dal alore che n quell'stante hanno le ecctazon del sstema, coè le grandezze mpresse de generator. Metod per l anals de crcut - 7

18 nalogo al teorema d Theenn, con potes sml e le stesse possbltà d applcazone è l teorema d Norton. Teorema d Norton Ipotes. Sono dat due bpol, ed N collegat come llustrato nella fgura. Il bpolo è una rete lneare e controllato n tensone, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. Tes. mtatamente alla corrente ed alla tensone alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo (quello lneare) con un generatore d corrente ed un bpolo ' collegat n parallelo, è equalente n ogn stante al crcuto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eentualmente present (l bpolo ' è lo stesso che nterene nel teorema d Theenn). a corrente mpressa I c del generatore d corrente d Norton è par al alore della corrente alla porta del bpolo quando la tensone è nulla (' da notare che l erso posto d I c è arbtraro: una olta scelto l erso posto l alore d I c è par alla corrente se la frecca punta erso l termnale doe la corrente esce da, è par nece a se la frecca punta erso l termnale doe la corrente entra n ) N N ' I c Fgura Teorema d Norton Dmostrazone: poché l bpolo è controllato n tensone (data la tensone è possble determnare la corrente assorbta), è possble, a fn del calcolo della corrente, sostture al bpolo N un generatore d tensone ndpendente la cu tensone mpressa (t) concde con la tensone a termnal del bpolo. N (t) Dato che l bpolo è lneare, è possble applcare l prncpo d sorapposzone degl effett. In partcolare, consderamo due crcut: nel prmo azzeramo generator ndpendent n (e ndcheremo tale bpolo con ', nel secondo azzeramo l generatore ndpendente d tensone (come gà sto, generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert.). Metod per l anals de crcut - 8

19 (t) (t) S ha: e ' '', doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: ' '', doe ' ed '' sono le tenson nelle due sottoret: È edente tuttaa che ' (t) e che ''. Inoltre, applcando la K alle due sottoret ottenamo (s rcord che per potes è controllato n tensone): ' I ' (') I ' () '' I ('') I () doe I ' ( ) ed I ' ( ) rappresentano le caratterstche de bpol ' ed, rspettamente. Infne, defnendo I c I () n cortocrcuto s ottene: I ' () I c che è propro la caratterstca del bpolo equalente mostrato n fgura. Il teorema d Norton, come enuncato, è aldo n regme qualsas. In partcolare, n regme stazonaro (corrente contnua) s ha che Un crcuto lneare con due termnal controllato n tensone è equalente a un bpolo (bpolo d Norton) formato da un generatore ndpendente d corrente I c n parallelo con un resstore e, n cu I c è la corrente d cortocrcuto tra termnal e e è la resstenza sta a termnal quando generator ndpendent sono spent. Infatt, poché l bpolo è lneare e controllato n tensone, la sua relazone costtuta è esprmble per potes come I ' () / e. Questo è suffcente a defnre unocamente l alore d e. sulta nfatt: e /I ' () ( /) Generator Indpendent d Spent S not che tale espressone concde con quella troata nel teorema d Theenn. Infatt, applcando l teorema d Norton al bpolo d Theenn n regme stazonaro (corrente contnua) s ottene l equalenza mostrata n fgura, alda se I c / e, oero se e I c. e I c se e solo se e I c / e Infne, teorem d Theenn e d Norton, possono essere enuncat anche se nel bpolo sono present nduttor lnear e condensator lnear. S può applcare l teorema d Norton alla soluzone del crcuto d fgura consderando come bpolo N l dodo deale e qund come bpolo l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura 7.a). Il bpolo ' è quello ndcato nella fgura 7.b, mentre l alore della corrente I c ene calcolata rsolendo l crcuto rportato nella fgura 7.c ed è dato dalla relazone (). Metod per l anals de crcut - 9

20 D' D' N ' ' I D' ' D D' ' Fgura 7.a D' D D' D' ' ' e ' ' Fgura 7.b Metod per l anals de crcut -

21 I Fgura 7.c a soluzone del crcuto d fgura è mmedata notando che: D D' I I I c I c / I c / I c Infne la alutazone d I c s ottene applcando la KT alla sequenza D: ' oero I c (I I c ) ( ) I c I D' I c I () e I c Infne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura 8, ottenuto sosttuendo l bpolo con l suo crcuto equalente d Norton. ' Fgura 8 S rtroa qund che sono possbl due cas: dodo nterdetto oppure dodo n conduzone. Se l dodo è nterdetto allora la corrente è nulla e la tensone 'D',che concde con la caduta d tensone sulla resstenza e, coè con e I c, dee essere mnore od uguale a zero, da cu dscende ancora la relazone (7). Se l dodo è n conduzone allora la corrente è par a I c e dee rsultare maggore od uguale a zero, da cu s rcaa nuoamente la (). Trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella Nella fgura 9 sono mostrat tre resstor collegat a stella; nella fgura sono mostrat tre resstor collegat a trangolo. ntramb sstem costtuscono un trpolo che ene collegato al crcuto esterno attraerso tre termnal, e. Facendo uso delle egg d Krchhoff e delle relazon costtute de resstor è possble dmostrare che, per quanto rguarda le tenson e le corrent a termnal (, e ), è possble sostture tre resstor collegat a stella con tre resstor, d resstenza opportuna, collegat a trangolo e ceersa. a sosttuzone a ntesa nel senso che qualunque sa l sstema d tenson applcate a termnal, e l sstema d corrent assorbto da due carch è lo stesso. Metod per l anals de crcut -

22 O Fgura 9 Fgura on rfermento alle fgure 9 e, le espresson delle resstenze equalent per le trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella sono le seguent doe è ndcata con G la conduttanza, coè l nerso della resstenza. Trasformazone trangolo-stella Trasformazone stella-trangolo G G G G G G G G G G G G G G G G G G IUITI NON ONNSSI Tutt crcut st snora godono della la propretà d connessone, secondo la quale tutto l crcuto è connesso elettrcamente, e qund per ogn coppa d nod del crcuto è possble troare un percorso che l connetta seguendo ram del grafo. onsderamo ora l caso n cu l crcuto da studare sa costtuto da due o pù sottoret non connesse. S consder ad esempo l crcuto d fgura 9.a. Sosttuendo al trasformatore deale l suo crcuto equalente s ottene la rete elettrca non connessa d fgura 9.b. Dato che la rete non è connessa, non è possble per ogn nodo del crcuto troare un percorso che, seguendo ram del grafo, connetta tale nodo al nodo d rfermento. nalogamente, non è possble defnre un albero per l ntero crcuto. I metod d Tableau, delle tenson d nodo e delle corrent d coalbero non sono qund drettamente applcabl. Possamo però applcare l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo (n cu le arabl sono le tenson e le corrent d ramo) ad ogn sottorete. In partcolare, per l crcuto d fgura 9.b, la sottorete d snstra () ha ram e N nod, e la sottorete d destra () ha ram e N nod. Metod per l anals de crcut -

23 K : K K Fgura 9.a Fgura 9.b e KT m, le K n e le relazon costtute della sottorete d snstra () costtuscono un sstema d equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete: ( N equazon KT m per la sottorete ()) (.) (N equazon K n per la sottorete ()) (.) ( caratterstche de component della sottorete ()) K (.) e KT m, le K n e le relazon costtute della sottorete d destra () costtuscono un sstema d equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete: ( N equazon KT m per la sottorete ()) (.) (N equazon K n per la sottorete ()) (.) ( caratterstche de component della sottorete ()) K (.) Pertanto, le (), (), costtuscono un sstema d ( ) equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete. nalogamente qund a crcut conness, le KT m, le K n (applcate ad ogn sottorete) e le relazon costtute costtuscono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. (o) a soluzone del sstema (-) è la seguente: K K K K K K K K K K Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: V, V, K V,. Ω,. Ω s ottene.9, 9.,.9, 9., ottene.9,.9,.9,.9. (o) S not che è fondamentale applcare le egg d Krchhoff ad ogn sottorete separatamente. In caso contraro, con rfermento alla fgura 9.b, dett ram del crcuto e N nod, s sarebbe tentat d screre sbaglando N equazon KT m ed N equazon K n. ome s ede dalle () e () s sono applcate nece equazon KT m ed equazon K n. Metod per l anals de crcut -

24 Dato che, come s è sto l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo porta a screre un sstema d equazon, è lecto cheders se non sa possble, modfcando la topologa del crcuto, applcare metod delle tenson d nodo e delle corrent d coalbero anche a crcut non conness. tale scopo, consderamo l grafo d fgura.a: n assenza d nformazon su component present su ram potremmo defnre due rferment (pù n generale, uno per ogn sottorete connessa). a dffcoltà n tal caso è douta al fatto che, mentre per l prmo rfermento (ef ) possamo annullare la tensone del nodo corrspondente, per l secondo rfermento (ef ) la tensone del nodo corrspondente è ncognta (rspetto al prmo rfermento). Dal grafo d fgura.a è noltre charo che non c è scambo d corrente tra le due sottoret. onsderamo ora l grafo d fgura.b, n cu s è nserto l ramo tra nod d rfermento delle due sottoret (e dunque se ne è lascato uno solo per tutta la rete). Il ramo è un taglo fondamentale e dunque (e non c è scambo d corrente tra le due sottoret). ef Fgura.a ef Fgura.b Il componente pù opportuno da nserre sul ramo dpende anche dalle nformazon dsponbl: se s conosce (ed è un dato aggunto) la tensone tra due rferment ( ef ), è possble nserre un generatore d tensone ndpendente (come n fgura.a). In caso contraro la tensone tra rferment è ncognta e possamo nserre un cortocrcuto (equalente a supporre ef ) con l aertenza che la dfferenza tra potenzal d nod appartenent a due ret derse non ha logcamente senso. In entramb cas l crcuto è connesso è possamo utlzzare ogn metodo gà sto per la sua soluzone. K K K K D ef D Fgura.a Fgura.b on rfermento al crcuto d fgura.b, con ram ed N nod, s ha: Metodo de Tagl Fondamental [albero,, ] (sstema d N (Numero d component non controllat n corrente) equazon) Metod per l anals de crcut -

25 ( N equazon KT m ) (equazone costtute de component non controllat n corrente) K K (.) (.) Metodo de potenzal d nodo [e D ] (sstema d N (Numero d component non controllat n tensone) equazon) (N equazon K n ) (equazon costtute de component non controllat n tensone) a soluzone del sstema () è la seguente: K K K K K e e e e e e Ke K (.) (.) K K K K K e e Metod per l anals de crcut -

26 IUITI ON MMOI Vengono dett crcut con memora quell n cu è presente almeno un componente dotato d memora; n questo caso l sstema rsolente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon non pù algebrche, come nel caso de crcut senza memora, ma, n generale ntegrodfferenzal ed l alore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del alore delle grandezze mpresse del crcuto n tutto l'nterallo temporale precedente all'stante consderato, a partre da un stante nzale n cu sono note le arabl d stato del sstema (quelle grandezze cu è assocata una energa elettromagnetca mmagazznata nel crcuto: tensone a cap de condensator e corrente attraerso gl nduttor). Tutt metod precedentemente descrtt per l caso de crcut senza memora, sono applcabl n questo caso, con le stesse potes, compres teorem d Theenn e d Norton, la cu formulazone, nfatt, non fa alcun rfermento alle caratterstche d memora del crcuto, ma portano a screre un sstema d equazon ntegro-dfferenzal. In partcolare, per quanto rguarda l'anals d Tableau, le equazon costtute dalle K e KT rmangono un sstema d equazon algebrche lnear che ene però chuso dalle equazon costtute de component n cu compaono termn ntegro-dfferenzal. Metodo delle equazon d stato S consder un crcuto n cu gl unc component dotat d memora sano nduttor e condensator, è possble perenre con un procedmento automatco ad un sstema rsolente costtuto da tante equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne, quant sono condensator e gl nduttor present nel crcuto, n cu le ncognte sono le arabl d stato del crcuto, e coè le tenson a cap de condensator e le corrent attraerso gl nduttor. S consder ad esempo l crcuto llustrato nella fgura.a. e equazon costtute del condensatore e dell'nduttore portano a screre le seguent equazon: d dt () d dt Fgura.a - Fgura.b a corrente attraerso l condensatore e la tensone a cap dell'nduttore possono essere espresse n funzone delle arabl d stato ed rsolendo, con una qualsas delle metodologe gà ste, l crcuto pro d memora llustrato nella fgura.b, ottenuto dal crcuto orgnale sosttuendo l'nduttore con un generatore d corrente con corrente mpressa ed l condensatore con un generatore d tensone con tensone mpressa. Metod per l anals de crcut -

27 a soluzone del crcuto d fgura.b può essere ottenuta medante l metodo dell'anals de nod, calcolando prma la tensone del nodo rspetto al nodo. In questo caso la formula d Mllman è drettamente applcable; l procedmento seguto per ottenere la formula d Mllman porta a screre le seguent relazon: c È qund possble esprmere la corrente e la tensone n funzone delle arabl d stato del sstema (la (7) esprme nfatt la tensone n funzone delle arabl d stato): Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: V, V,. Ω,. Ω, Ω, - F, - H, dalla (7) s ottene: sosttuendo la (9) nelle (8): (7) (8).. (9).. Infne, sosttuendo le () nelle () s ottene: d dt d dt.... a soluzone del sstema d equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne () può essere ottenuta, eentualmente per a numerca, a partre dall'stante nzale n cu sono not alor ed delle arabl d stato (condzon nzal): ( ) ( ) () () () In generale s ha nteresse a studare crcut n cu nterene una stantanea arazone della topologa, ossa crcut n cu sono present nterruttor deal che s aprono e s chudono stantaneamente. Quando l nterruttore deale è aperto esso equale ad un crcuto aperto e qund la corrente che lo attraersa è nulla ( ). Vceersa quando l nterruttore è chuso esso equale ad un corto crcuto e la tensone a suo cap è nulla ( ). Metod per l anals de crcut - 7

28 Interruttore aperto T Interruttore chuso T Interruttore deale aperto e chuso nterruzone o l nstaurars d una corrente elettrca n un nterruttore reale è un fenomeno molto complesso che non aene stantaneamente; aene comunque n un tempo molto pccolo che può rsultare trascurable a fne del transtoro che s uole studare, n questo caso è possble descrere l processo medante l nterruttore deale. Per determnare l eoluzone delle grandezza elettrche n crcut con nterruttor deal, è necessaro conoscere alor delle arabl d stato nell stante nzale (t ), ossa nell stante n cu s modfca la topologa del crcuto e nza l transtoro. S consder ad esempo l crcuto rappresentato nella fgura n cu è presente l nterruttore deale T che s chude stantaneamente all stante t. t (a) T (b) T - - Fgura rcuto con nterruttore deale aperto (a) e chuso (b) ll stante t, coè un stante prma che l nterruttore s chuda, l crcuto s troa n regme stazonaro; la corrente è nulla e qund è nulla anche la tensone a cap dell nduttore e del resstore. Un stante dopo che l nterruttore s è chuso (t ) le grandezze del crcuto hanno n generale, essendo cambata n manera dscontnua la topologa del crcuto, alor ders da quell relat all stante t. d esempo, la tensone a cap della sere resstore nduttore, nulla all stante t rsulta par ad all stante t. Non rsultano però cambat alor d quelle grandezze a cu è assocata una energa del crcuto, coè le corrent degl nduttor e le tenson de condensator (le arabl d stato); nel caso specfco l alore della corrente nullo all stante t rsulta qund nullo anche all stante t. Il Postulato d ontnutà dell nerga afferma nfatt che l energa non può subre dscontnutà nel tempo. Una dscontnutà dell energa n un nterallo d tempo nfntesmo equarrebbe, nfatt, all nterento d una sorgente d potenza nfnta, l che non è fscamente accettable. ome conseguenza d tale postulato s deduce che alor delle grandezze cu è assocata una energa nel crcuto sono funzon contnue del tempo e, n partcolare, che: la corrente non può subre dscontnutà n un ramo contenente un nduttanza; la tensone non può subre dscontnutà n un ramo contenente un condensatore. Metod per l anals de crcut - 8

29 Questo consente d rsolere l crcuto all stante t a partre dalla conoscenza de alor delle arabl d stato (coè tensone a cap de condensator e corrente attraerso gl nduttor) all stante t e qund permette d determnare le condzon nzal necessare per rsolere l sstema d equazon ntegro - dfferenzal che modella l crcuto. T Fgura.a Fgura.b - Schema crcutale per t < S uole ora studare l eoluzone delle grandezze elettrche nel crcuto rappresentato n fgura.a, nelle condzon defnte dalla chusura dell nterruttore T, poszonato come llustrato n fgura.a. Per calcolare le condzon nzal (coè all stante mmedatamente successo alla chusura d T) è suffcente dunque consderare l crcuto d fgura.b, coè prma della chusura dell nterruttore T (t < ). Infatt, è charo che ( ), sto che l nterruttore T è aperto, e che ( ), poché l condensatore s comporta n contnua come un crcuto aperto. Utlzzando ora l postulato d contnutà dell energa è possble affermare che ( ) e che ( ). Il sstema () ene qund completato dalle condzon nzal e può essere rsolto: d.. dt d dt ( )., ( ) In forma ettorale l sstema () s scre come: d dt ( t ). 8. Il sstema dfferenzale da rsolere utlzzando l metodo delle equazon d stato è sempre smle al () e coè, ndcando con x l ettore delle arabl d stato, un sstema d equazon dfferenzal lnear del prmo ordne a coeffcent costant: () () Metod per l anals de crcut - 9

30 dx [ ] x b dt x( ) x ntegrale generale d un sstema d equazon dfferenzal lnear come questo è la somma d un ntegrale partcolare (soluzone d regme, se l regme esste) e dell ntegrale generale del sstema omogeneo assocato (soluzone transtora): x(t) x p (t) x (t). Se l termne noto è costante, per calcolare l ntegrale partcolare è suffcente annullare le derate e qund rsolere l sstema [] x p b. Per quanto rguarda l ntegrale generale del sstema omogeneo assocato (coè con b ), esso a sempre cercato nella forma d un esponenzale reale o mmagnaro. a sosttuzone dell esponenzale e λt nel sstema omogeneo assocato del () porta a screre l equazone caratterstca det[ λi] che permette d determnare, calcolando gl autoalor d [], le costant d tempo del sstema. anals matematca approfondta d sstem dfferenzal n questa forma esula dagl scop d questa trattazone. In ogn caso l sstema () è soluble tramte sarat metod ampamente trattat n letteratura. Gl autoalor d [] sono partcolarmente rleant nello studo della stabltà delle ret (Un crcuto s dce stable se, sottoposto ad una ecctazone esterna d durata lmtata, ha rsposta che rmale lmtata nel tempo dopo che la sollectazone esterna ha fnto d agre). S può dmostrare nfatt che un crcuto è stable se (λ), per ogn λ autoalore d []. In partcolare, crcut lnear, tempo narant, contenent solo element pr d memora pass ed element con memora sono stabl. () Nel seguto engono llustrat alcun esemp d soluzone d crcut con memora. Il problema che s uole rsolere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse de generator ndpendent present, s uole calcolare l'andamento temporale delle corrent d ramo e delle tenson d ramo. S suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre all'potes medante l'ntroduzone d crcut equalent de component a pù d due termnal. S consder, ad esempo, l crcuto n fgura, che è un crcuto del ordne, coè un crcuto caratterzzato da un equazone dfferenzale del prmo ordne (coè contenente un solo elemento con memora). pplcando la egge d Krchhoff delle Tenson (KT) all stante t (coè un stante dopo la chusura dell nterruttore T), s ottene: d dt () ntegrale generale d una equazone dfferenzale lneare è la somma d un ntegrale partcolare (soluzone d regme, se esste l regme) e dell ntegrale generale dell equazone omogenea assocata (soluzone transtora): (t) p (t) (t). Se s assume che sa costante, per calcolare l ntegrale partcolare è suffcente annullare la derata: p (t) /. Per quanto rguarda l ntegrale generale dell equazone omogenea assocata, esso a sempre cercato nella forma d un esponenzale reale o mmagnaro. a sosttuzone dell esponenzale e λt nella omogenea assocata della () porta a screre l equazone caratterstca: λ λ / (t) / I e t/ a determnazone della costante I può essere effettuata se è noto l alore nzale: ( ) (7) Metod per l anals de crcut -

31 Per calcolare l alore nzale è suffcente consderare l crcuto d fgura.a, coè prma della chusura dell nterruttore T (t < ). È edente che ( ), sto che l nterruttore T è aperto. Utlzzando ora l postulato d contnutà dell energa è possble affermare che ( ). sulta qund: / I I / In conclusone, l andamento temporale della corrente è stato calcolato tramte la soluzone della seguente equazone dfferenzale lneare del prmo ordne a coeffcent costant con l alore nzale d corrente nulla. d dt ( ) Il parametro τ / è detto costante d tempo del crcuto. a costante d tempo rappresenta l nterallo d tempo necessaro perché la rsposta transtora raggunga l % del suo alore d regme. Dopo un tempo par a τ la rsposta transtora supera l 99% del suo alore d regme. Dalla fgura emerge una nterpretazone del parametro τ che può essere assunto ad ndcare la maggore o mnore rapdtà del fenomeno transtoro. ( t) e τ t Fgura S consder ora l crcuto rappresentato nella fgura.a n cu è presente l nterruttore deale T che s chude stantaneamente all stante t. a KT nel ramo consderato ha la forma: ossa: d dt ( ), oe, è l alore della tensone nzale a cap del condensatore (che s mantene uguale a t e a t per l postulato d contnutà dell energa). Dalla (9) s ottene la seguente equazone dfferenzale lneare del prmo ordne a coeffcent costant: d dt τ τ t τ ( t) e doe τ è la costante d tempo del crcuto. Per la determnazone della costante s consdera l alore nzale e s scre la () per t : / t τ, t τ ( ) ( t) ( ) e ( t) e t (8) (9) () (),, Il grafco della () è mostrato n fgura.b. S not che anche n questo caso emerge una nterpretazone del parametro τ che può essere assunto ad ndcare la maggore o mnore rapdtà del fenomeno transtoro. In partcolare, per t > τ s può assumere che l transtoro sa esaurto e che s sa raggunta la soluzone d regme (che n questo caso è (t) ). Metod per l anals de crcut -