Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

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1 Corso di Fondameni di elecomunicazioni - SEGNALI E SPERI Prof. Mario Barbera [pare ] Sruura della lezione Proprieà dei segnali Valore medio, valore efficace, poenza, energia rasformaa di Fourier e speri Sisemi lineari e disorsione Segnali a banda limiaa e campionameno Banda dei segnali

2 Rappresenazione di un segnale Le forme d onda di ineresse nella rasmissione di informazione possono essere sia una ensione v( che una correne i( funzioni del empo. Per enrambi si uilizzano gli sessi srumeni maemaici, perano denomineremo genericamene w( le forme d onda, senza specificarne la naura fisica Dal puno di visa maemaico rappreseneremo un segnale con: La sua espressione analiica (Es: w( = cos(π) Il grafico della funzione w( 3 Forme d onda fisicamene realizzabili Hanno valori non nulli su un inervallo emporale finio Possiedono uno spero a valori non nulli su un inervallo frequenziale finio Sono funzioni coninue del empo Hanno valore di picco finio Sono a valori reali Spesso useremo modelli maemaici di segnali che non rispeano qualcuno o ui i crieri di cui sopra 4

3 Operaore media emporale Definizione: w() = lim w()d Linearià: a w + a w ( = a w ( + a w ( ) ( Valore medio emporale (o componene coninua): W m = W dc w() = lim w()d per una forma d onda fisicamene realizzabile, il valore medio si può anche valuare su un inervallo [, ] Wm = w( d 5 Segnali periodici Definizione: un segnale w( è periodico con periodo 0 se: w = w( + ) ( 0 dove 0 è il più piccolo numero posiivo che soddisfa la suddea relazione Valore medio emporale per un segnale periodico: W m = () w = 0 ( 0 ) + ( ) 0 a + a w()d a :cosane reale arbiraria 6

4 Poenza Dalla fisica: Poenza: lavoro nell unià di empo ensione: lavoro per unià di carica v( Correne: carica per unià di empo i( Poenza in un circuio elerico: Poenza isananea associaa ad un circuio p( = v( i( Poenza media P = p( = v( i( 7 Valore efficace e poenza normalizzaa Valore efficace (r m s) W eff = w( Poenza media su un carico resisivo R Se un carico è resisivo, la poenza media è: v ( V eff P = = i ( R = = Ieff R = V R R Poenza media normalizzaa P = = lim w( Poenza di picco P = max{ v( i( } picco d eff I eff calcolaa per R = Ω 8

5 Esempio Esempio - Frequenza doppia rispeo a ensione e correne 0

6 Esempio - P picco = VI P media = VI Segnali a energia finia e a poenza finia Energia normalizzaa oale E = lim w( Definizione: segnale a poenza finia d se e solo se la poenza normalizzaa media è finia e non nulla 0 < P < Definizione: segnale a energia finia se e solo se l energia normalizzaa è finia e non nulla Noa: 0 < E < un segnale può apparenere ad una sola classe: Poenza media normalizzaa P = w( = lim P finia E = E finia P = 0 w( d

7 Rappresenazione di un segnale reale ramie Fasori FASORE: Forma polare : c = c e Forma reangolare : jθ c c = x + jy c = x + θ = an c y ( y x) Dao un segnale sinusoidale: ( ) { j ω ω + θ = Re ce } 0 w( = c cos 0 c FASORE ROANE: 0 c e jω 3 rasformaa di Fourier e speri di un segnale Obieivo: la definizione di frequenza per un segnale sinusoidale è immediaa (l inverso del periodo) vogliamo ora deerminare il conenuo frequenziale per un generico segnale Definizione: rasformaa di Fourier j πf W ( f ) = I{ w( } = w( e d dea anche spero bilaero di w( f è il paramero frequenza, espresso in Herz (Hz=/s) 4

8 Espressioni per la F e anirasformaa di Fourier Forma reangolare W ( f ) = X ( f ) + jy ( f ) Forma polare W ( f ) = W ( f ) e jθ ( f ) dove: W ( f ) = X ( f ) + Y ( f ) θ ( f ) = an Y ( f ) X ( f ) SPERO di FASE SPERO di AMPIEZZA Anirasformaa di Fourier w( = W ( f ) e j πf df w( W ( f ) 5 ecniche di calcolo della rasformaa di Fourier Inegrazione direa abelle di rasformae di Fourier (vedi ab. - ed Es. -9) eoremi sulla F (vedi ab. - ed Es. -3) Principio di sovrapposizione degli effei, per scomporre il problema in due o più problemi più semplici Derivazione o inegrazione di w( (vedi Es. -6) Inegrazione numerica mediane PC (vedi Es. -5 e file E_055N.m) Fas Fourier ransform (FF) mediane PC 6

9 Qualunque segnale ammee rasformaa di Fourier? j πf w ( = W ( f ) = e d = ( cos πf j sin πfd W ( f ) = 0 f 0 W ( f ) 0 f = 0 w 0 ( = sin πf W ( f ) = = + sin πf e sin πf 0 0 jπf d = ( cos πf j sin πf d = W ( f ) = 0 f ± f W ( f ) 0 f = ± f 0 0 sin x sin y = cos( x y) cos( x + y) sin x cos y = sin( x y) + sin( x + y) = ( sin ( f 0 f ) + sin ( f0 + f ) j( cos ( f0 f ) cos ( f0 + f ) d π π π π 7 Condizioni di Dirichle Condizioni sufficieni di esisenza della F: w( è assoluamene inegrabile, cioè: w ( d < e su un qualsiasi inervallo emporale di lunghezza finia, w( ha un numero finio di disconinuià con valori-limie da desra e da sinisra finii, e ha un numero finio di massimi e di minimi Alra condizione sufficiene di esisenza della F: E w( d < dea condizione di energia finia ale condizione è rispeaa da ui i segnali fisicamene realizzabili 8

10 Esempio -: spero di un impulso esponenziale 9 Esempio -: spero di un impulso esponenziale 0

11 Proprieà delle rasformae di Fourier Simmeria Hermiiana dei segnali reali * W ( f ) = W ( f ) se w( è REALE W ( f ) è PARI cioè W ( f ) = W ( f ) θ W ( f ) è DISPARI cioèθw ( f ) = θ W ( f ) se w( è REALE e PARI W ( f ) è REALE e PARI se w( è REALE e DISPARI W ( f ) è IMMAGINARIA PURA e DISPARI Riassumendo f, chiamaa frequenza e misuraa in Herz, è un paramero della F che specifica il valore della frequenza della componene del segnale w( che vogliamo misurare La F cerca una componene a una frequenza f fissaa, considerando il segnale w( su uo l asse emporale < < W(f) è in generale complessa, anche se w( è reale Prossimo obieivo: calcolare le grandezze MEDIA, ENERGIA E POENZA uilizzando la rappresenazione dei segnali nel dominio della frequenza

12 eorema di Parseval eorema di Parseval * * w ( w ( d = W ( f ) W ( f ) df DIMOSRAZIONE * w ( w ( d = = = = W * W ( f ) w ( e W ( f ) e jπf jπf df d = df * jπf [ w ( e d] df = ( f ) ) * W ( f ) W ( f ) df * w ( d = Per il eorema di Fubini, che afferma che l ordine di inegrazione può essere scambiao se i due inegrali sono assoluamene convergeni 3 eorema di Rayleigh e densià sperale di energia (DSE) eorema di Rayleigh Permee di E w( d = W ( f ) df calcolare l energia di un segnale nel dominio della frequenza Definizione: densià sperale di energia (DSE) per segnali ad energia finia E( f ) = W ( f ) Ovviamene, abbiamo che: E = E( f ) df 4

13 eoremi relaivi alla rasformaa di Fourier 5 eoremi relaivi alla rasformaa di Fourier 6

14 Esempio -3: Spero di una sinusoide smorzaa (-34) 7 Da calcolare Esempio -3: Spero di una sinusoide smorzaa eorema della raslazione in frequenza ( ) π sin ω 0 = cos ω 0 8

15 Esempio -3: Spero di una sinusoide smorzaa (-44) 9 Segnali noevoli Funzione dela di Dirac, δ(x) Definizione : w ( x) δ ( x) dx = w(0) Definizione : δ ( x) dx = δ ( x) = 0 se se x = 0 x 0 Definizione 3: δ ( x) = e ± jπxy dy E una funzione generalizzaa, che viene sudiaa in maemaica nella eoria delle disribuzioni Proprieà campionarice della funzione δ(x): w ( x) δ ( x x0) dx = w( x0) 30

16 Segnali noevoli Funzione gradino uniario, u( se > 0 Definizione: u( = se = 0 0 se < 0 È facile rendersi cono che: d δ ( x) dx = u( u( = δ ( d Funzione segno, sgn( se > 0 u( = sgn( + Definizione: sgn( = 0 se = 0 se < 0 3 Esempio -4: pare (a) Spero di una sinusoide j πf W ( f ) = I{ w( } = w( e d δ ( x) = e ± jπxy dy 3

17 Esempio -4: pare (a) Spero di una sinusoide NOA: 33 Esempio -4: pare (b) Spero di una sinusoide 34

18 Esempio -4: pare (b) Spero di una sinusoide Alro esempio: A A W ( f ) = δ ( f f0) + δ ( f + f0) come nel caso: w( = Asin ( ω0 π f + θ0 f > 0 f0 θw ( f ) = π f + + θ0 f 0 f0 35 Spero a righe Noiamo che: lo spero in ampiezza del segnale sinusoidale è cosiuio da funzioni Dela di Dirac; queso è conseguenza del fao che il segnale sinusoidale è un segnale periodico ale ipo di spero si chiama spero a righe se si considera un impulso sinusoidale (sinusoide accesa solo per un breve periodo), il segnale non è più periodico, e quindi lo spero non sarà più a righe oppure, se consideriamo la sinusoide smorzaa, anch essa non ha uno spero a righe 36

19 Segnali noevoli Funzione impulso reangolare, Π( Definizione: Π 0 se se > Funzione impulso riangolare, Λ( Definizione: Λ 0 se se > 37 Segnali noevoli Funzione Sa(x) Definizione: sin x Sa( x) = x Funzione seno cardinale, sinc(x) Definizione: sin ( π x) sinc ( x) = π x sin ( π x) sinc ( x) = π x NOA: Sa ( π x) = sinc( x) 38

20 Spero di un impulso reangolare Valuiamo la F del segnale: w() = Π 0 se se > W ( f ) = e jω e d = j e jω jω ω ( ω ) sin = ω = sinc ( f ) da cui: Π sinc ( f ) 39 Spero di un impulso reangolare 40

21 Spero di un impulso reangolare W () w( f ) sinc ( W Π W W f Π Sa ( π f ) = sinc( f ) (-55) 4 Spero di un impulso reangolare 4

22 Spero di un impulso reangolare 43

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