Serie Numeriche e Convergenza Puntuale di Serie di Funzioni

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1 Sri umrich sri di fuzioi Sri Numrich Covrgza Putual di Sri di Fuzioi Suto- Il lavoro coti la risoluzio di alcui srcizi sullo studio dl carattr di sri umrich sulla covrgza putual di sri di fuzioi. Gli srcizi svolti prmttoo di rivisitar l tcich applicativ llo studio dl carattr di ua sri utilizzado uo di sguti critri: dl rapporto, dlla radic, di Libiz, dl cofroto di Gauss dl cofroto asitotico, dl cofroto itgral. Pr altri srcizi soo foriti opportui suggrimti com guida alla risoluzio soo idicati i risultati. A corrdo dl lavoro soo proposti altri srcizi da risolvr. Si sgala ach u approfodimto a proposito dlla somma di ua sri co i trmii a sgo altro ch vrifica dfiitivamt l ipotsi dl critrio di Libiz. ) = + La sri è a trmii positivi, quidi è rgolar. Pr lo studio dl carattr ci si avval dll proprità dlla sri armoica gralizzata α = Ricordiamo ch qust ultima covrg pr α> divrg positivamt α. Notiamo ch ->0 </; >- > Sussistoo i sguti casi Caso <0 Il umrator dlla trmi gral dlla sri pr è ifiitsimo d il domiator è ifiito a 0; i particolar possiamo scrivr a = = = (.) quidi la sri i sam ha lo stsso carattr dlla sria armoica gralizzata ch covrg s > < ; = poiché si sta cosidrado il caso <0 la codizio è soddisfatta, duqu la sri covrg. Caso = 0 a = la sri ha lo stsso carattr dlla sri ch covrg. = = + = Caso 0<</ Sia il umrator ch il domiator dl trmi gral dlla sri, pr, tdoo a ; tdo prst la (.), la sri ha acora lo stsso carattr dlla sri, quidi = covrg pr 0; ; pr ; risulta - quidi la sri divrg positivamt. Caso = / Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

2 Sri umrich sri di fuzioi ) ) = La sri assum la sgut forma a = il cui trmi gral divrg a quidi la sri stssa divrg = = positivamt. Caso > / Il umrator dl trmi gral td a, il domiator è ifiitsimo quidi risulta lim a =; la sri divrg positivamt. Riassumdo i casi prcdti scriviamo: < la sri covrg; la sri divrg positivamt. Esrcizi proposti- Vrificar ch pr l sri sguti sussistoo i risultati idicati +.a) 4 = + Risultato: La sri covrg pr <; divrg positivamt pr..b) = + 5 Risultato: La sri covrg pr <- >; divrg positivamt pr -..c) 4 = + Risultato: La sri covrg pr </; divrg positivamt pr /. La sri è a trmii positivi si studia agvolmt co il critrio dl rapporto. Risultato: La sri covrg pr >0 divrg positivamt pr 0. (! ) La sri è a trmii positivi la si studia co il critrio dl rapporto. Risultato: La sri covrg R. Altr sri ch si studiao co il critrio dl rapporto ( ).a) Risultato: Covrg pr ogi ral. = + = 0! = 0!.b) Risultato: Covrg pr 0; divrg positivamt pr >0.!.c) Risultato: Divrg positivamt pr 0; covrg pr >0. = 0 ( + )! 4) ( + )! = Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

3 Sri umrich sri di fuzioi 5) 6) 7) = = La sri è a trmii positivi, quidi è rgolar. Si può smplificar l sprssio dl tmi gral: ( + )! ( + )( + )! + a = = = ( + )! ( + )! + A qusto puto studiado il limit dl trmi gral lim a si vic ch o è soddisfatta la codizio cssaria pr la covrgza ( prché o è ifiitsimo) quidi. Risultato: La sri divrg positivamt. 4 + La sri è a trmii positivi la si studia co il critrio dlla radic. Si ha: lim = lim = = Risultato: La sri covrg s 4 < > 0, divrg positivamt pr 0. ( ) Si tratta di ua sri a trmii positivi, i particolar è ua sri gomtrica di ragio ( + )( ) a+ q= = = ( ) a Ua sri gomtrica covrg s la sua ragio è i valor assoluto mior di uo ( q < ), mtr o covrg s q. Nl caso i sam s la sri o covrg (ssdo a trmii positivi) divrg positivamt. Ebb risulta 0< < < Risultato: La sri covrg pr < la sua somma val ( ) a = = = q ; pr la sri divrg positivamt. = log La sri è a trmii positivi, quidi è rgolar. Lo studio dl carattr dlla sri si ffttua co il critrio dl cofroto itgral. Itato ossrviamo ch è soddisfatta la codizio cssaria (C.N.) pr la covrgza lim a = 0 ma provrmo ch la sri divrg positivamt. Cosidrado la fuzio di variabil ral f( ) = log, pr, proviamo ch soo soddisfatt tutt l ipotsi dl critrio dl cofroto itgral: Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

4 Sri umrich sri di fuzioi 4 f ( ) = a, =,,... ; la fuzio è positiva i tutto l itrvallo [;[; lim f( ) = lim = 0 ; log i ogi puto dll itrvallo cosidrato la drivata prima è strttamt gativa: log + f '( ) = < 0 ( log ) quidi la fuzio è ivi strttamt dcrsct. Studiado l itgral gralizzato f ( d ) si ha: k k d = lim d = lim log log = lim log log k log log = log k log k k quidi i virtù dl suddtto critrio la sri divrg positivamt. 8) = log Ach pr qusta sri lo studio dl carattr si ffttua co il critrio dl cofroto itgral. E soddisfatta la C.N. pr la covrgza: lim a = 0. Com fuzio ral di variabil ral associata si cosidra: f( ) = log, pr, ch vrifica tutt l ipotsi richist dal suddtto critrio: f ( ) = a, =,,... ; la fuzio è positiva i tutto l itrvallo [;[; lim f( ) = 0 ; i ogi puto dll itrvallo cosidrato la drivata prima è strttamt gativa: log + log f '( ) = < 0 ( log ) quidi la fuzio è ivi strttamt dcrsct. Studiado l itgral gralizzato f ( d ) si ha: k k d = lim d = lim ( log ) D(log ) d = log log k k Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

5 Sri umrich sri di fuzioi 5 k lim lim k log = k + = log k log log Risultato: Poiché l itgral covrg si coclud ch ach la sri cosidrata è covrgt. Ossrvazio I figura soo riportati i diagrammi dll fuzioi utilizzat pr lo studio dlla sri dll srcizio.7 (f ()) di qulla dl prst srcizio (f ()). Si oti ch pr, f () td a zro più vlocmt di f (). 9) = log Il carattr dlla sri ( i cui trmii soo positivi dal scodo i poi) può ssr dtrmiato facdo ricorso al critrio dl cofroto di Gauss. Ifatti, ossrviamo ch log > quidi la sri è dfiitivamt maggiorat dlla sri armoica fodamtal ch = è divrgt positivamt quidi ach la sri i sam divrg positivamt. Risultato: La sri divrg positivamt. 0) = log ( ) La sri ha i trmii a sgo altro può ssr studiata co il critrio di Libiz. L ipotsi prvist l critrio soo: a) ch i valori assoluti di trmii dlla sri siao dcrscti: a a + (è sufficit ch qusta proprità sia vrificata dfiitivamt) () ; b) ch il lim a = 0 Dimostrazio a) Cosidriamo la fuzio log f( ) =, pr [; [ d ossrviamo ch la sua drivata prima log f '( ) = è gativa pr >, quidi la fuzio è strttamt dcrsct ll itrvallo ];[ ch soo strttamt dcrscti i valori assoluti di trmii dlla sri dal scodo i poi. b) Si dv studiar il limit log lim a = lim () Ricordiamo ch il carattr di ua sri o è dtrmiato dai primi suoi k trmii. S lla sri sopprimoo i primi k trmii la uova sri R = k = a, dtta rsto k-simo, ha lo stsso carattr di a = k+ = a si. Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

6 Sri umrich sri di fuzioi 6 Il limit si prsta lla forma idtrmiata, ma l ifiito al umrator o ha ordi d è ifrior a qualsiasi ordi di ifiito prstabilito, quidi è ifrior all ordi (uo) dll ifiito prst al domiator il limit val zro. Ua divrsa giustificazio si può addurr passado al cotiuo, cosidrado la fuzio log ausiliaria f( ) = è studiado il limit pr tramit la rgola di D l Hôpital: log H. lim = lim = 0 La sri vrifica prtato l ipotsi dl critrio di Libiz quidi covrg. I tablla Tab. soo riportati rlativamt ai primi vti trmii i valori assoluti, i valori ffttivi d i valori dll somm parziali. I tablla Tab. soo riportat l iformazioi rlativ ai trmii 50, 00, 00, 00, Tab. 400, 500. log log a S Tab. = a ( ) = a log = log a ( ) = 5 0, , ,60 0 0, , ,7 0 0, , , , , , , , , , , ,567 Dalla tablla Tab. si vd ch dal scodo trmi i poi i valori assoluti dcrscoo strttamt: a > a > a Sulla somma dlla sri si può far ua valutazio, prvdr l tità dll rror ch si commtt sommado i primi k trmii. A tal proposito si vda quato riportato subito dopo l approfodimto torico ch sgu. S 0, , , ,6604-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0585 0, ,7748 0, , , , , ,608 0,9708-0, , , , ,50 5 0, , , ,7868 0, , , , , , , ,87 9 0, , , , , ,56 0, , ,08859 Cosidrazioi sulla somma di ua sri i cui trmii hao sgi altri Pr l sri i cui trmii soo a sgi altri ch vrificao l ipotsi dl critrio di Libiz, pr tutti i trmii o dfiitivamt, si hao ach iformazioi sull rror ch si commtt l valutar la somma. Prcisamt, sommado i primi trmii, cioè calcolado la somma parzial -sima, d approssimado il valor dlla somma dlla sri co il valor ottuto, l rror ch si commtt è ifrior al valor assoluto dl primo trmi trascurato. Ad smpio, sommado i primi cto trmii, il valor ottuto diffrisc dal valor dlla somma dlla sri pr mo dl valor assoluto dl trmi a 0. I simboli, dtta S la somma dlla sri sussist la disuguagliaza: S S < a Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

7 Sri umrich sri di fuzioi 7 Approfodimto (toria) Vogliamo soffrmarci ultriormt sull sri i cui trmii hao sgo altro pr provar ch s vrificao dfiitivamt l ipotsi prvist l critrio di Libiz, allora si vrifica comuqu ch il valor assoluto dlla diffrza tra la somma di primi trmii la somma ffttiva dlla sri è mior dl valor assoluto dl primo trmi trascurato, cioè di a +. Sia data la sri ( ) a () = suppoiamo ch ssa vrifichi l ipotsi dl critrio di Libiz dfiitivamt, cioè ch sussistao l sguti proprità: a) k N : >k a a + (i valori assoluti di trmii soo dcrscti da u crto puto i poi); b) lim a = 0 Vogliamo provar ch: ) la sri covrg; ) dtta S la somma dlla sri, sommado comuqu i suoi primi trmii, co >k, il valor ottuto diffrisc dalla somma dlla sri pr mo dl valor assoluto di a + (cioè dl primo trmi trascurato lla somma): h ( ) h < h= a S a + Dimostrazio ) La sri ottuta dalla () sopprimdo i primi k trmii ( ) a () = k+ vrifica l ipotsi dl critrio di Libiz, quidi covrg. D altra part il carattr di ua sri o cambia s si sopprimoo i suoi primi k trmii, quidi s covrg la () covrg ach la (). ) Sia S la somma dlla sri (). Sappiamo ch sommado i suoi primi p trmii il valor ottuto diffrisc dalla somma S pr mo di a k + p +. I simboli, posto ak+ + ak ak+ p = S' k+ p si vrifica la disuguagliaza S' k+ p S' < ak+ p+ (.) Podo Sk = a+ a ak (.) facciamo otar ch tra l somm dll du sri () () sussist l ovvia rlazio S = S k +S (.) Sommado i primi k+p trmii dlla sri () si ha a+ a a + a + a a = S = S + S' possiamo scrivr l sguti uguagliaz Sk+ p S = ( Sk + S' k+ p) ( Sk + S' ) = S' k+ p S' quidi dalla (.) ricaviamo la disuguagliaza k k+ k+ k+ p k+ p k k+ p Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

8 Sri umrich sri di fuzioi 8 Sk+ p S < ak+ p+ Cioè, il valor dlla somma parzial k+p-sima dlla sri () diffrisc dalla somma dlla stssa pr mo dl valor assoluto dl primo trmi trascurato. Dalla gralità dll itro p sgu la tsi. C.V.D. Applicazio dl risultato alla sri dll srcizio.0 I rlazio alla somma dlla sri i sam, utilizzado i dati riportati i Tab. sapdo ch la somma di primi 499 trmii dlla sri è S 500 0,66078 Possiamo affrmar ch sussist la sgut disuguagliaza S500 S < a50 S500 a50 < S < S500 + a50 quidi, ssdo a 50-0,04084, S 500 0,66078 possiamo affrmar ch pr la somma dlla sri sussistoo l limitazioi 0,54<S<0,78 Oprado co u foglio lttroico si possoo ottr approssimazioi dlla somma co la prcisio dsidrata. Sommado i primi 999 trmii si ha S 000 0,6769 d ssdo a 00 0, la somma parzial S 000 rapprsta la somma dlla sri co u rror ifrior 0,008. ) log, co R = La sri è a trmii positivi, quidi rgolar. Di sguito si ricoosc immdiatamt ch pr 0 la sri divrg positivamt. Pr lo studio dl carattr pr >0 o si rivla util il critrio dl rapporto, é qullo dlla radic. Ifatti: co il critrio dl rapporto a+ log( + ) lim = lim = ; (.) a ( + ) log co il critrio dlla radic log lim a lim = ; (.) passado al cotiuo si studia il limit logt t logt log lim log log(log t) logt log t t lim t t t t t t lim lim t = = = = t t log(log t) logt log(log t) logt lim lim lim t t t t t t 0 0 = = = Da qusto risultato si dduc ch ach il limit (.) val uo. I du critri o soo prciò utilizzabili. Effttuiamo lo studio dl carattr distigudo i divrsi casi Caso <0 Il trmi gral dlla sri td a : log lim = lim log = ( ) ( ) = Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

9 Sri umrich sri di fuzioi 9 quidi o è soddisfatta la C.N. pr la covrgza d ssdo a trmii positivi si coclud ch la sri divrg positivamt. Caso = 0 a = log lim a = la sri divrg positivamt. Pr valori positivi dl paramtro cofrotrmo la sri co la sri armoica gralizzata. o Caso 0< Pr qusti valori dl paramtro la sri è dfiitivamt maggiorat dlla sri armoica gralizzata = Ifatti, pr risulta log > poiché pr tali valori dl paramtro la sri armoica gralizzata divrg positivamt, divrg ach positivamt la sri i sam. o Caso > Ossrviamo subito ch pr qusti valori dl paramtro il trmi gral dlla sri è ifiitsimo pr : log lim = 0 quidi è soddisfatta la codizio cssaria (C.N.) pr la covrgza. Ciò prmsso, pr ciascuo di valori, scgliamo >0 tal ch risulti +< cosidriamo la sri armoica gralizzata = b + (.) = = Sappiamo ch la (.) è covrgt. Cofrotiamo asitoticamt co ssa la sri i sam (facciamo rifrimto quidi al critrio dl cofroto asitotico). log = a = = Studiamo il sgut limit log a log log lim lim + = = lim = lim b + Essdo -->0 il limit val zro () quidi i virtù dl critrio dl cofroto asitotico la sri i sam covrg. () Si tratta di u limit otvol: il umrator è u ifiito di ordi ifrior all ifiito dl domiator.i ogi caso, passado al cotiuo, basta applicar la rgola di D l Hôpital l limit corrispodt: log t H. lim = lim t = lim = 0 t t t ( ) t t ( ) t Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

10 Sri umrich sri di fuzioi 0 ) = Esrcizi simili proposti Studiar l sri al variar dl paramtro ral log( + ).a) Risultato: Divrg positivamt pr ; covrg pr >. = + log( + ).b) Risultato: Covrg pr <; divrg positivamt pr. = + log( 7).c) Risultato: Covrg pr < ; divrg positivamt pr 4 + = 8 log( + ) La sri è a trmii positivi si ricoosc immdiatamt ch pr 0 divrg positivamt prché lim a = Pr <0 scriviamo la sri lla forma sgut log( + ) = Cosidriamo i du casi a) 0< b) > Nl primo caso ossrviamo ch pr sussist la disuguagliaza log( + ) > quidi la sri i sam è dfiitivamt maggiorat dlla sri armoica gralizzata, ch s divrg positivamt, quidi ach la sri i qustio divrg = positivamt. Nl scodo caso, scgliamo u >0 tal ch si abbia +<- cosidriamo la sri armoica gralizzata = + = = b Qusta covrg; utilizzado il critrio dl cofroto asitotico proviamo ch covrg ach la sri i sam. Ifatti si ha: log( + ) a log( ) lim lim + = = lim = 0 ; ( ) b + + a qusto puto pr il suddtto critrio la sri covrg. ) = La sri è a trmii positivi, duqu rgolar. Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

11 Sri umrich sri di fuzioi Pr lo studio dl limit dl trmi gral a, ch si prsta lla forma idtrmiata, è opportuo passar alla forma spozial com di sguito 4) = idicato: lim lim = lim log log log = = lim ( 0 log ) = log log Il trmi gral è duqu ifiitsimo pr quidi è soddisfatta la codizio cssaria pr la covrgza dlla sri. Proviamo ch la sri è maggiorata dfiitivamt da ua sri umrica covrgt, prcisamt ch sussist la sgut maggiorazio k N : > k <, quidi ch la sri i sam è dfiitivamt maggiorata dalla sri umrica covrgt ==. + Dobbiamo provar ch < < dfiitivamt. (*) Cosguirmo l obittivo studiado il limit pr dl primo mmbro facdo vdr ch val zro. lim lim + ( + ) = lim log log + log = = lim ( 0 log ) = 0 ( + ) = = log log I virtù dl risultato ottuto, sclto u umro ral positivo ch vrifica la codizio 0<<, dalla dfiizio di limit mrg ch + + lim = 0 N : > < < < duqu la disuguagliaza (*) sussist sz altro dfiitivamt, quidi possiamo cocludr ch la sri i sam è covrgt prché è a trmii positivi d è dfiitivamt maggiorata dalla sri armoica, ch è covrgt. == s La sri è a trmii positivi. Il suo trmi gral pr è ifiitsimo. Pr studiar il carattr è cssario ricordar ch i virtù dl sgut limit t st H. cost lim = lim = t 0 t 0 t t 6 la sri i sam ha lo stsso carattr dlla sri sgut, ch è covrgt. 6 = 0 = = Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

12 Sri umrich sri di fuzioi 5) 6) 7) = = = s Cofrotado la sri riportata ll srcizio.4 si dduc ch la sri i sam ha lo stsso carattr dlla sri, ch a sua volta ha lo stsso carattr dlla sri = 6 armoica gralizzata. ( ) = La sri: 5 covrg, s ( ) > > ; 5 divrg positivamt pr. s Il carattr di qusta sri appartmt è com qullo dll sri umrica vista ll srcizio.4; ma o è così. Ifatti si ricoosc ch il trmi gral è solo ifiitsimo dl primo ordi. Prcisamt, podo = t, ossrvato ch + t 0, studiado il limit t st H. cost lim = lim = ( dal critrio dl cofroto asitotico) la sri i sam t 0 + t t 0 + ha lo stsso carattr dlla sri umrica, proprio prché la fuzio ϕ () t = t st, = pr t 0 è ifiitsimo quivalt a t. Poiché la sri divrg positivamt, divrgrà positivamt ach la sri i sam. Esrcizio proposto Provar ch la sri s = arctg Dal cofroto asitotico co la sri umrica si ricoosc = ch l du sri hao lo stsso carattr poiché la scoda è covrgt sarà covrgt ach la sri i sam. Studiamo prciò il sgut limit: covrg pr > divrg positivamt pr. = Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)

13 Sri umrich sri di fuzioi arctg lim ch co la sostituzio t = divta H. t arctgt lim = lim + t = + + t 0 t t 0 t t lim =. Avdo ottuto pr il limit u valor fiito divrso da zro l + t 0 t ( + t ) du sri hao lo stsso carattr. Quidi la sri covrg. Esrcizi proposti Provar l affrmazioi idicat pr l sri di sguito riportat () : 7.a) 7.b) 7.c) arctg = covrg pr </; divrg positivamt pr /. arctg = ha lo stsso carattr dlla sri, quidi divrg = positivamt. arctg = la sri è a trmii gativi d ha lo stsso carattr di, prciò = divrg gativamt. 7.d) 7.) arctg = la sri è a trmii positivi d ha lo stsso carattr dlla sri ch covrg. = arctg = co R la sri o ha sso prché il trmi gral è ua potza co spot.. la cui bas è.. () Pr l sri propost possoo ssr utili i sguti sviluppi di Taylor di puto iizial =0: arctg = + o( ) quidi arctg = + o( ); 8 8 arctg( ) = + o( ) quidi arctg( ) = + + o( ). Luigi Lcci\Lico Scitifico G. Stampacchia -Tricas (L)