Si considerino i sistemi elettrici RL rappresentati nella seguente figura: L u 1 (t)

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1 Esercizio Circuiti R in serie). Si considerino i sistemi elettrici R rappresentati nella seguente figura: u t) R y t) u t) R y t) Si consideri inoltre il sistema ottenuto collegando in serie i due sistemi precedenti: + ut) R R + yt). Si determinino i modelli di stato e le funzioni di trasferimento G s) e G s) dei due sistemi rappresentati nella prima figura.. Si determini il modello di stato e la funzione di trasferimento Gs) del sistema rappresentato nella seconda figura.. Si mostri che comunque assegnati i valori positivi) di, R e R, la matrice di stato A del modello di stato del sistema rappresentato nella seconda figura è diagonalizzabile. 4. Si mostri che tutti e quattro i sistemi sono necessariamente BIBO-stabili e asintoticamente stabili.. Si confrontino la funzione di trasferimento Gs) e la funzione di trasferimento serie W s) : G s)g s). Si commenti il risultato del confronto. 6. Si mostri che i modi del sistema rappresentato nella seconda figura non possono avere componenti oscillatorie. 7. Si determinino le costanti di tempo τ : /R e τ : /R in modo che il sistema rappresentato nella seconda figura abbia i modi: e + )t e )t. 8. Si ponga R R R e si assuma che τ : /R sia pari a un secondo. Si calcolino la risposta indiciale del sistema di funzione di trasferimento Gs) e quella del sistema di funzione di trasferimento W s) : G s)g s). 9. Si assuma che τ : /R sia pari a un secondo e che τ : /R τ /000. Si calcolino la risposta indiciale del sistema di funzione di trasferimento Gs), quella del sistema di funzione di trasferimento W s) : G s)g s) e quella del sistema di funzione di trasferimento G s). Si confrontino le tre risposte indiciali calcolate e si commentino i relativi risultati.

2 Soluzione a cura di Francesca Berto e Isabella Sgro).. Circuito : scelgo come unica variabile di stato : x i e equazioni di stato sono quindi: ẋ v u v R ) u R i R u R x y v R R i R R x ossia { ẋ A x + b u y c x con A R ; b ; c R a funzione di trasferimento risulta pertanto: G s) c si A ) b R R ) R R R R Circuito : come per il circuito si trova la seguente funzione di trasferimento: G s) R R. Circuito : scelgo come variabili di Stato : x [ x x ] e equazioni di stato sono quindi: x v u v R ) u R i i )) u R x + R x [ i i ] x v v R v R ) R i R R i ) R i i ) R i ) R i R + R )i ) R x R + R x y v R R i R R x ossia { ẋ Ax + bu con A R R R R +R y cx b c [ 0 ] R 0

3 a funzione di trasferimento risulta pertanto: Gs) csi A) b + 0 [ ] R R 0 R R R +R [ ] 0 R R ) R +R ) R 0 R R s + R +R R R R s + R +R R R R R +R ) R R 0. Una matrice A R n n è diagonalizzabile se ha n autovalori distinti si noti che il viceversa non vale). In questo caso è quindi sufficiente dimostrare che A ha autovalori distinti. Il polinomio caratteristico è π A s) detsi A) s + R + R R R. Esso ha due zeri distinti se e solo se il relativo discriminante 0. Si ha ) R + R 4 R R 4R + 4R R + R 4R R 4R + R 0 R, R, > 0. Quindi A è diagonalizzabile. 4. Dato che stabilità asintotica BIBO-stabilità ma non! viceversa se i sistemi risulteranno asintoticamente stabili saranno anche BIBO-stabili, altrimenti si procederà con la verifica della BIBO-stabilità. Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori del polinomio carateristico hanno parte reale negativa, Reλ i ) < 0, λ i π A s). Per il circuito : π A s) s+ R da cui si ricava l unico autovalore reale λ R 0, quindi il sistema è asintoticamente stabile quindi anche BIBO-stabile. < Per il circuito : stesso ragionamento, si ottiene λ R asintoticamente stabile quindi anche BIBO-stabile. < 0, quindi il sistema è Per il circuito : da π A s) si ricava s, R +R ± 4R +4R R +R 4R R R +R ± 4R + R

4 Si noti che 4R + R non può essere negativo o nullo perchè dato dalla somma di due termini per ipotesi positivi e non nulli). Si ottengono quindi due autovalori reali distinti pari a s R +R + 4R + R, s R +R 4R + R È immediato verificare che s < 0. Riguardo a s, si ha: s < 0 R + R + 4R + R < 0 4R + R < R + R 4R + R < R + R ) 4R + R < 4R + 4R R + R 4R R > 0. Quest ultima condizione è chiaramente verificata perché R e R sono positivi per ipotesi. Il sistema risulta quindi asintoticamente stabile e quindi anche BIBO-stabile.. Funzione di Trasferimento serie: W s) : G s)g s) R R R R R R s + R +R R R R R s + R + R ) R R Questa funzione di trasferimento risulta essere diversa da Gs) perché al denominatore troviamo R +R s invece di R +R s. In altre parole, la funzione di trasferimento della serie dei due circuiti non è la serie delle due funzioni di trasferimento relative. Il motivo è che nel calcolo della funzione di trasferimento G s) si assume che i morsetti di uscita siano aperti, cosa che non avviene nella serie dei due circuiti. 6. Per dimostrare che i modi del sistema rappresentato dal circuito non hanno componenti oscillatorie basta dimostrare che il discriminante nella formula per il calcolo di s, che sono i poli di Gs)) è non-negativo. Infatti, in tal caso, gli autovalori di A sono reali e quindi i modi sono esponenziali senza componenti oscillatorie. Abbiamo già calcolato 4R + R che è positivo perché R, R, > 0 per ipotesi. 7. Quando i modi sono non oscillatori come in questo caso), si presentano nella forma e s t, e s t. Siccome i modi richiesti sono e + )t e e )t si può dedurre che s + ; s da cui si ricava che ) R +R 4R +R R R 4R +R 4 4 τ + τ + 4 τ τ

5 + τ τ τ ) τ + 4 τ τ 0 τ da cui τ τ ) τ τ + 4, τ 4 ± e si ottiene τ quindi τ. Sostituendo poi nel sistema si ottiene τ. 8. Calcolo della risposta indiciale risposta al gradino) per il sistema con funzione di trasferimento Gs) e ingresso ut) t) quindi Us). s Sostituendo all equazione di Gs) i valori R R R e τ : si ottiene: R Gs) s + con s, ± 9 4 s +, s Y s) Gs)Us) s G0) s + Gs) ) + A ) + ) ) + ) B + ) dove G0) sy s) s0 A ) Y s) s B + ) Y s) s e antitrasformando yt) Y s) + + ) + + e + + ) + ) t + + e ) ) + t t) Calcolo della risposta indiciale risposta al gradino) per il sistema serie con funzione di trasferimento Ws) e ingresso ut) t) quindi Us). s Sostituendo all equazione di Ws) i valori R R R e τ : si ottiene: R W s) Y s) W s)us) s s + da cui si ricava ) ) W 0) + A s ) + A )

6 dove W 0) sy s) s0 A d ds[ ) Y s) ] s d ds[ s] s s s A ) Y s) s Y s) s ) e antitrasformando yt) e t te t )t) 9. Con τ R e τ R τ, calcolare la risposta indiciale risposta al gradino) del sistema Gs) circuito ), del sistema W s) sistema serie) e del sistema G s) circuito ). In questo caso Gs) ha l espressione: Ne calcolo i poli: ossia Gs) R R τ τ s + R + R s, 00 ± Pertanto ) R R s + τ + τ ) τ τ 00 ± s, s 00 Gs) G A s) 000 ) 00) 000 s ± 000 Osservo che con questa approssimazione G0) G A 0) 000. Pertanto, il 00 valore di regime nella risposta al gradino del sistema approssimato è diverso da quello relativo al sistema originale. Pertanto, risulta più ragionevole utilizzare la seguente approssimazione più spinta): Gs) Detto α : 000/00, si ha dunque Y s) Gs)Us) /00) 00) 000 s α) 00) G0) + A s α + B 00 dove G0) A α)y s) s α αα+00) B 00)Y s) s ss+α) s

7 Y s) s.00 0, 00 + α 00 yt).00e αt e 00t )t) Dopo aver sostituito i valori di τ e τ, si ha: 000 W s) s , s, 00 ± ottenendo s, s 000 W s) Y s) W s)us) 00 ± ) 000) 000 s ) 000) W 0) + A s + B 000 dove W 0) A )Y s) s 000 ss+000) s.00 B 000)Y s) s ss+) s Y s) s, , yt), 00e t + 0, 00e 000t )t) Riscrivo G s) come: G s) R R s R + ) sτ + Y s) G s)us) s G 0) + A s dove G 0) sy s) s0 A )Y s) s Y s) s e antitrasformando si ha: yt) e t )t). Confronto tra le risposte indiciali: È evidente che le tre risposte indiciali sono quasi uguali. unica differenza che tuttavia si nota solo su scale di tempo brevissime) è che le prime due risposte partono da zero con derivata nulla perché le relative funzioni di trasferimento hanno grado relativo pari a, mentre la terza parte da zero con derivata non nulla perché la 7

8 Step Response Amplitude Time seconds) Figure : a curva in verde rappresenta le due risposte indiciali di G e W indistinguibili su questa scala. a curva in rosso, rappresenta la risposta indiciale di G relativa funzione di trasferimento ha grado relativo pari a cfr. scale). figura e relative a ragione per la quale le tre risposte indiciali sono praticamente identiche è la seguente. Esaminando il transitorio, cioè i modi in cui la risposta tende al proprio valore di regime, si osserva che, in tutti e tre i casi: Y s) Y ts) dove Y t s) n i A i s s i y t t) n A i e s it i Res i ) < 0. Se s i R allora e s it 0 esponenzialmente. a convergenza è determinata dal modo più lento, cioè quello che corrisponde al polo più a destra e quindi più vicino all asse immaginario. Siccome il contributo dei poli più a sinistra poli veloci) si esaurisce presto, in prima approssimazione possono essere trascurati. Sistema con funzione di trasferimento Gs) : Si può trascurare il contributo del polo 00 e si ottiene un andamento approssimabile a yt) e t )t). Sistema con funzione di trasferimento W s) : Si può trascurare il contributo del polo 000 e si ottiene un andamento approssimabile a yt) e t )t). 8

9 Sistema con funzione di trasferimento G s) : Si ha senza approssimazioni): yt) e t )t). 9