FISICA. Lezione n. 6 (2 ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 16, Milano

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1 Unverstà degl Stud d Mlano Facoltà d Scenze Matematche Fsche e Natural Cors d aurea n: Informatca ed Informatca per le Telecomuncazon Anno accademco 010/11, aurea Trennale, Edzone durna FISICA ezone n. 6 ( ore) Ganluca Colò Dpartmento d Fsca sede Va Celora 16, 0133 Mlano web page: e-mal: ganluca.colo@m.nfn.t Carlo Pagan Dpartmento d Fsca aboratoro ASA Va F.ll Cerv 01, 0090 Segrate (Mlano) web page: e-mal: carlo.pagan@unm.t

2 energa a defnzone d energa non è unvoca! Da un punto d vsta squstamente tecnco l energa è una grandezza fsca scalare assocata allo stato o condzone d uno o pù corp. A patto d defnre n modo corretto: Il valore da attrbure alla grandezza energa per un dato sstema e regole con cu essa s trasfersce la quanttà d energa complessva del sstema rmane sempre nvarata: prncpo d conservazone dell energa! untà d msura SI dell energa è l joule (J), dal nome del fsco nglese James P. Joule ( ). Ganluca Colò & Carlo Pagan Fsca per Informatca 011

3 Energa cnetca energa assocata allo stato d moto d un corpo è l energa cnetca. Un corpo d massa m e veloctà v (fnché v è molto nferore alla veloctà della luce, ovvero v << c ) possede un energa cnetca par a: Alcun esemp: pccone n volo: locomotva: protone d HC: K ½ m v Dunque: [ J ] [ kg m ] s kg m m 1,0 kg ; v,0 m ; K J s s 5 m 7 m t kg v km h K kg s m ; 100 / 7,8 ; s J fasco d proton d HC: J!! 7 J Ganluca Colò & Carlo Pagan 3 Fsca per Informatca 011

4 avoro energa trasferta ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo tramte una forza è l lavoro. Il lavoro è n effett un trasfermento d energa, dunque è una grandezza scalare e s msura anch esso n joule (J). Intutvamente l lavoro ncarna l famlare concetto d fatca, ma attenzone: l lavoro è proporzonale sa allo spostamento effettuato sa alla forza mpegata Una forza che accresca l energa del corpo effettua un lavoro postvo, una che lo rduca effettua un lavoro negatvo la componente della forza che lavora è quella che nduce drettamente lo spostamento, coè quella parallela alla spostamento senza varazone d energa non v è lavoro: sostenere un peso fermo non comporta lo svolgmento d lavoro! Ganluca Colò & Carlo Pagan 4 Fsca per Informatca 011

5 Defnzone d lavoro Possamo mettere n relazone le formule vste fnora per un caso semplce: corpo n moto monodmensonale, senza attrto. F ma v v + a 1 1 mv F d 0 ; mv F d 0 ma ( moto F d unf. acc.) Qund con un espressone d valore generale, nel caso d forza costante applcata ad una massa puntforme: ρ ρ F d ; F d cos( θ ) Ovvero l lavoro è l prodotto scalare de vettor forza e spostamento Dunque l lavoro è postvo se la forza è parallela allo spostamento (lavoro motore), ed è negatvo se la forza è opposta allo spostamento (lavoro resstente) Ganluca Colò & Carlo Pagan 5 Fsca per Informatca 011

6 Teorema dell energa cnetca equazone appena rcavata contene un rsultato dal valore ancor pù generale, e noto come l teorema dell energa cnetca: 1 1 mv mv K K K 0 0 K K Ovvero: 0 F d Varazone d energa cnetca d una partcella avoro totale svolto sulla partcella dk m/ d(v ) mv dv m(v dt)(dv/dt) ma d F d d Il teorema è valdo per un corpo puntforme (appunto, partcella), oppure per un corpo esteso ma rgdo. Il lavoro totale è la somma algebrca de lavor svolt sngolarmente da cascuna forza. Ganluca Colò & Carlo Pagan 6 Fsca per Informatca 011

7 avoro nel caso generale Nel caso pù generco ad una partcella è applcata una forza non costante, dunque varable n modulo o drezone. In questo caso l lavoro è espresso da un ntegrale d lnea. Caso monodmensonale: j F j ; F j valore medo d F nel j esmo lm ( 0) f [ Fj ] F( ) d Caso bdmensonale: I vettor forza e spostamento varano entramb lungo una traettora l F l ( A, B ds ) A l B Ganluca Colò & Carlo Pagan 7 Fsca per Informatca 011

8 avoro delle forze gravtazonale ed elastca avoro g della forza gravtazonale: F g g g g mg mg( h h )cos( 1 φ) mgd cos( φ) mgd cos(180 ) mgd mgd cos(0 ) mgd - n salta - n dscesa avoro e della forza elastca: Conoscamo l espressone della forza d rchamo elastca, la legge d Hooke, qund applchamo quanto appena vsto: K e e F d ( k) d f 1 k f 1 k f f ( 1 k)[ ] ( 1 k)( ) f m Ganluca Colò & Carlo Pagan 8 Fsca per Informatca 011

9 Potenza a potenza è legata alla rapdtà con cu vene svluppata una certa quanttà d lavoro. Potenza meda: P t Potenza stantanea: P d dt ρ ρ F v untà SI della potenza è l watt (W): [ W ] J s Attenzone, n questo ambto sono ctate spesso anche altre grandezze: Cavallo-vapore (CV): 1 CV W Wattora (Wh): 1 Wh (1 W) (3600 s) J Il wattora è una msura d energa! Ganluca Colò & Carlo Pagan 9 Fsca per Informatca 011

10 energa potenzale Abbamo gà vsto come assocare un valore d energa, l energa cnetca, allo stato d moto d un corpo. Il suo valore dpende dalla veloctà. Un corpo può però possedere anche altr stat, relatv ad altre forze n goco e dpendent da altre grandezze fsche: Pensamo alla forza gravtazonale: l energa assocata allo stato d separazone d due corp legat da tale forza è detta energa potenzale gravtazonale U g. Il suo valore dpende dalla dstanza tra due corp Consderamo ora la forza elastca: l energa assocata allo stato d separazone d due corp legat da tale forza è detta energa potenzale elastca U e. Il suo valore dpende dalla estensone dell elemento elastco rspetto al suo punto neutro Ganluca Colò & Carlo Pagan 10 Fsca per Informatca 011

11 Defnzone d energa potenzale e forze conservatve Dunque: per le forze elastca e gravtazonale è possble assocare ad ogn punto dello spazo una funzone scalare detta energa potenzale. l energa potenzale d un corpo n un punto P è defnta come l opposto del lavoro necessaro alla forza n esame per portare l corpo stesso da un punto d rfermento a cu s assoca energa potenzale nulla, fno al punto P. U e forze elastca e gravtazonale appartengono ad una categora d forze dette conservatve. h P P h rf rf Se l lavoro computo da una forza su un corpo da un punto A ad un punto B è ndpendente dalla traettora percorsa e dpendente esclusvamente da punt A e B, la forza è conservatva. Ganluca Colò & Carlo Pagan 11 Fsca per Informatca 011

12 Forze conservatve, e non a prma conseguenza della stessa defnzone d forza conservatva è relatva al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chuso: Il lavoro complessvo netto svolto da una forza conservatva su una partcella che s muove lungo un percorso chuso è zero. ab, 1 ab, ; ab,1 ba, 1 ; aba 0 a forza peso, la forza gravtazonale, la forza elastca e la forza elettrostatca sono tutte forze conservatve. Se nel sstema agscono solo forze conservatve, problem relatv al movmento de corp sono molto semplfcat. Forze come quelle d attrto, d resstenza del mezzo e forza magnetostatca sono non conservatve. Ganluca Colò & Carlo Pagan 1 Fsca per Informatca 011

13 Espresson dell energa potenzale Ora samo n possesso della relazone necessara a determnare l espressone dell energa potenzale per le forze note: Energa potenzale gravtazonale: U F( ) d f U U y y ( y) mgy f ( mg ) dy mg[ y ] Energa potenzale elastca: U U ( ) 1 k f ( k) d y y ( 1 k )[ ] f f mg y 1 k f E sempre possble (e necessaro) fssare una confgurazone d rfermento per l calcolo del potenzale: ad essa ponamo U 0 ed y 0 o 0 1 k Ganluca Colò & Carlo Pagan 13 Fsca per Informatca 011

14 Conservazone dell energa energa meccanca d un sstema è data dalla somma dell energa potenzale U e dell energa cnetca K d tutt corp che lo compongono: Ora, se è verfcato che: E mecc K + U Il sstema s può assumere come solato, coè non vene consderata alcuna forza esterna al sstema Nel sstema agscono solo forza conservatve vale l prncpo d conservazone dell energa meccanca: Mentre l energa cnetca e potenzale, sngolarmente, possono varare la loro somma rmane nvarata! dk F d d -du dk + du de 0! Dat due stant qualsas del moto nel sstema n esame, 1 e, vale che: E mecc, 1 K1 + U1 Emecc, K + U Ganluca Colò & Carlo Pagan 14 Fsca per Informatca 011

15 Conservazone dell energa - Esempo 1: l moto d un pendolo travaso cclco dell energa potenzale U n energa cnetca K! Esempo : la caduta lbera Trasformazone dell nzale energa potenzale n energa cnetca! Ganluca Colò & Carlo Pagan 15 Fsca per Informatca 011

16 Conservazone dell energa - 3 Abbamo antcpato che n sstem conservatv lo studo del moto de corp rsulta notevolmente semplfcato valutamo questo esempo: Conoscendo v 0, y 0 e y, come determnare la veloctà v? Agsce solo la forza d gravtà e non v è attrto. Applcando cecamente l II prncpo della dnamca dovremmo conoscere l espressone esatta della curvatura della sltta!! a conservazone dell energa c offre una semplce va d uscta: E mecc v 1 mv + mgy Emecc 1 mv + mgy Neppure la massa,0 0 0 del corpo è v0 + g( y0 y) necessara alla soluzone! Ganluca Colò & Carlo Pagan 16 Fsca per Informatca 011

17 Eserczo: conservazone dell energa I dat del problema sono: P Tarzan 688N ; 18m ; h 3.m ; Tma 950N a lana ha una tensone d rottura T ma, arrverà a rompers? Valutamo Il blanco delle forze ponendoc nel sstema d rfermento non nerzale soldale con Tarzan: Fc T P T P T snθ equlbro sulla lana: T P cos θ + T mt v v è sempre tangente all arco percorso ( perpendcolare alla lana). h Tarzan θ Per la conservazone dell energa meccanca, assumendo U0 nel punto pù basso: E 0 1 h U 0 PT h E1 mt v Qund: Tma PT + PT 93N < 950N Ganluca Colò & Carlo Pagan 17 Fsca per Informatca 011

18 Curve d potenzale o studo del grafco della funzone energa potenzale è partcolarmente sgnfcatvo. Assumamo un caso undmensonale, vale che: U ( ) F( ) du ( ) F( ) d ( n forma dfferenzale) a forza assocata ad una funzone d energa potenzale è data grafcamente dall nverso della pendenza della funzone stessa! In partcolare: la condzone d energa cnetca nulla dentfca l punto d nversone del moto un mnmo nella curva d potenzale (dervata prma nulla) dentfca un possble punto d equlbro del moto Ganluca Colò & Carlo Pagan 18 Fsca per Informatca 011

19 Curve d potenzale - Potenzale gravtazonale: nessun possble punto d equlbro 6 0 Energa Potenzale Forza Peso m 1 kg g 9.8 m/s U ( h) mgh A l t e z z a Potenzale elastco: esste una condzone d equlbro Energa Potenzale Forza Elastca K 3.5 N/m 1 U ( ) k A l l u n g a m e n t o Ganluca Colò & Carlo Pagan 19 Fsca per Informatca 011

20 U U Energa potenzale gravtazonale a forza gravtazonale è conservatva, dunque ammette un potenzale. Per l calcolo dell energa potenzale gravtazonale: Dversamente dal caso della forza peso, scelgo che la confgurazone d rfermento caratterzzata da potenzale nullo U0 sa quella n cu due corp sano separat da una dstanza nfnta. Calcolo l potenzale d un corpo d massa m a dstanza R dalla terra (massa M) assumendo che l corpo raggunga tale punto (punto P) muovendos dall nfnto sempre n drezone radale (posso sceglere qualsas traettora!) Facco uso della defnzone stessa d energa potenzale: U U P U P U GMm GMm R P R 1 r R ρ F GMm dr r ρ ( r) dr F( r) dr cos( θ ) R R GMm R 0 (θ 180 ) ( U 0) E qund per la funzone potenzale: U ( r) GMm r Ganluca Colò & Carlo Pagan 0 Fsca per Informatca 011

21 Indpendenza del cammno Essendo l avoro dato dal prodotto scalare, 0 ρ ρ F( r) dr Il rsultato è ndpendente dal cammno d ntegrazone Ne tratt del tpo B-C, D-E e F-G la forza è perpendcolare allo spostamento e l prodotto scalare è nullo. Nota: sccome l campo gravtazonale è conservatvo, esso è descrtto da un campo scalare, Potenzale. U U(r). a forza gravtazonale s ottene dal Potenzale attraverso la relazone: ρ F( r) du ( r) dr d dr GMm r GMm r Ganluca Colò & Carlo Pagan 1 Fsca per Informatca 011

22 Veloctà d Fuga a veloctà d fuga è la veloctà mnma che deve avere un corpo per sfuggre al campo gravtazonale d un oggetto d massa molto pù grande: è l caso tpco d un mssle che deve sfuggre al campo gravtazonale terrestre per poter esplorare altr panet. Poché l energa potenzale del campo gravtazonale è data da: U ( r) GMm R Per poter sfuggre l mssle deve avere un energa cnetca mnma uguale all energa potenzale che lo trattene quando è nelle vcnanze del paneta: Qund, detta M la massa del paneta e R l suo raggo s ha: E totale K + U 1 mv fufa GMm R 0 v fuga GM R Ganluca Colò & Carlo Pagan Fsca per Informatca 011

23 Energa del moto armonco Conoscamo le espresson dell energa potenzale elastca, una volta applcare all oscllatore lneare s ottene che: energa potenzale: U energa cnetca: K ( t) k k cos ( ω t +ϕ) energa meccanca è dunque costante: ( t) mv k sn ( ω t +ϕ) 1 E ( t) U ( t) + K( t) k m m m Ganluca Colò & Carlo Pagan 3 Fsca per Informatca 011