Lezione 5 - SM. (Campionamento) Architettura di un sistema di misura

Transcript

1 Lezione 5 - SM (Campionamento) Architettura di un sistema di misura

2 Schema generale di un elaboratore di segnali A) Parte Analogica S(t) Trasdsuttore Amplificatore Filtro Registratore B) Interfaccia analogico/numerica Conversione A/D alla memoria del calcolatore C) Parte Numerica S(n) Preelaborazione Estrazione Parametri Classificazione all utente Parte Analogica Requisiti: 1. non perturbare il fenomeno fisico osservato (trasduttore) 2. buon rapporto Segnale/Rumore 3. fedeltà nella riproduzione del segnale Il segnale non viene distorto se la banda passante della parte analogica della catena di misura copre completamente l estensione dello spettro del segnale. ES.: Il segnale elettrocardiografico ha banda passante di circa 100 Hz. Per evitare distorsioni la catena di misura dovrà avere componenti che lascino passare le frequenze fino a 100 Hz.

3 La conversione analogico-digitale (A/D) S(t) S(n) S*(n) Campionamento Quantizzazione Conversione Analogico-Digitale Codifica numerica out V0=000 V(t) V1=001 V2=010 Ts V(n) in V*(n) : N(n) V7=111 Campionamento (visto nel dominio del tempo) un segnale campionato a passo costante, T C, nel dominio del tempo continuo è descritto come il prodotto di y(t) per una serie di impulsi a passo T C y(t) i= δ(t it C ) = y(itc ) δ(t itc ) i= -2T C -T C 0 T C 2T C 3T C 4T C nel tempo discreto è descritto come serie di numeri y i = y(it C ) t i

4 Campionamento (v. nel dominio del tempo) 2 ovviamente la serie numerica e la serie di impulsi modulata hanno lo stesso identico contenuto di informazione quest ultima viene utilizzata per calcolare quale informazione è persa nel processo di campionamento, se sia possibile interpolare i campioni per tornare alla y(t), con quale approssimazione ed, infine, quale sia il tipo di interpolazione ottimale queste considerazione richiedono di operare nel dominio delle frequenze e verranno riprese in seguito per ora osserviamo che occorrono almeno 2 campioni per ogni periodo considerando la massima frequenza rappresentata Teorema di Shannon o del campionamento Se un segnale s(t) con spettro s(f) ha banda limitata di larghezza B (s(f)=0 per f>b), s(t) può essere campionato, senza perdita di informazione e senza introdurre distorsioni, purché la frequenza di campionamento sia f C 2B. Esempi di errori introdotti da Fc troppo bassa A) s(t)= sin(2πft), fc=f (T C =1/f) s(t) s(nt c ) t istanti di campionamento componente costante assente in s(t)

5 Campionamento Esempi di errori introdotti da Fc troppo bassa B) s(t)= sin(2πft), f<fc<2f (1/f>T C >1/2f) s(t) s(nt c ) t Istanti di campionamento Oscillazione a bassa frequenza inesistente nel segnale originale Analisi in frequenza - segnale campionato il risultato del campionamento è così quello di replicare Y(ω) attorno ai multipli di ω C =2πf C sommandoli F y(t) δ(t itc ) = cost. Y(ω kωc) i= k = y(t) F Y(ω) T C t ω C ω

6 Analisi in frequenza - segnale campionato da queste considerazioni discende l enunciato del Th. del campionamento o di Shannon: la frequenza di campionamento deve essere almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale, ovvero ω C > 2ω M SI ω C /2 0 ω M ω C ω NO 0 ω M ω C ω Analisi in frequenza - segnale campionato in altri termini, fissata la frequenza di campionamento, la massima frequenza presente, f M =ω M /2π, deve essere minore della metà della frequenza di campionamento f N =f C /2=ω C /4π in un segnale campionato, dunque, la metà della frequenza di campionamento, f N, ha il significato di massima frequenza rappresentabile e prende il nome di frequenza di Nyquist data la simmetria rispetto a 0 e la periodicità rispetto ad f C, si usa rappresentare il contenuto in frequenza di un segnale campionato da 0 ad f N, ovvero, in termini di frequenza normalizzata f/f C, da 0 a 0.5, ovvero, in termini di pulsazione normalizzata Ω, da 0 a π Ω = 2π f/f C = ωt C 0 π Ω

7 Equivocazione delle frequenze - aliasing nel primo esempio della fig. precedente la condizione di Shannon è rispettata mentre nel secondo no i due spettri sono riportati qui sotto evidenziando lo spettro del segnale campionato da 0 alla freq. di Nyquist nel secondo caso, le frequenze da ω N ad ω M non solo non sono rappresentate fedelmente ma vengono equivocate e ribaltate nel tratto da 2ω N -ω M a ω N. 0 ω N ω 0 ω N ω 2ω N -ω M ωm Aliasing: sinusoidi nel tempo consideriamo 3 sinusoidi a 1.2, 5.2 e 9.2 Hz tutte campionate a 4 Hz: tutte danno luogo allo stesso campionamento che viene ricostruito a 1.2 Hz

8 Aliasing: sinusoidi nelle frequenze infatti, la Trasf. di Fourier della sinusoide a 1.2 Hz presenta due impulsi a +1.2 e a -1.2Hz che replicato attorno a 4 Hz per il campionamento dà luogo ad impulsi a 4k-1.2 e 4k+1.2 Hz 5.2 Hz = Hz --> 4(k-1)-1.2 e 4(k+1)+1.2 Hz 9.2 Hz = 2x4+1.2 Hz --> 4(k-2)-1.2 e 4(k+2)+1.2 Hz considerando tutti i k troviamo gli stessi impulsi in freq. Filtro anti-aliasing avendo scelto una f C bisogna eliminare tutte le componenti eventualmente presenti oltre la frequenza di Nyquist prima del campionamento y(t) filtro antialiasing ω N ω convertitore A/D y i le componenti eliminate possono essere dovute a rumore oppure a dettagli veloci del segnale che non si vuole (o non si può) registrare e.g., un segnale ECG su 24h (Holter) viene campionato a 100 Hz limitando la banda a 50 Hz e perdendo alcuni dettagli dei complessi QRS che vengono invece conservati in altri contesti

9 Esempio - filtro anti-aliasing supponiamo di avere un segnale di pressione arteriosa con una frequenza cardiaca di 66 battiti al minuto = 1.1 Hz per riprodurre la forma della pulsazione riteniamo necessarie 20 armoniche: la banda va da 0 a 22 Hz decidiamo di campionare a 45 campioni/sec > 22x2 Hz il segnale è sporcato da un rumore alla freq. di rete = 50 Hz in assenza di filtro antialiasing il segnale campionato viene sporcato da una componente equivocata a (-45+50) = 5 Hz (in fig. la replica attorno a -45 Hz è tratteggiata) ω N ω -ω C ω N ω C ω Interpolazione di un segnale campionato un modo semplice per ricostruire il segnale nel t. continuo è quello di interpolare fra i punti campionati con una opportuna legge; l approssimazione varia a seconda del metodo ed il risultato migliora se il segnale è sovracampionato rispetto a quanto imposto dal Th di Shannon mantenitore interpolazione lineare cubic spline

10 Ricostruzione ideale se il Th. di Shannon è rispettato si può concepire una ricostruzione ideale si tratta di eliminare con un filtro passa basso ideale le repliche dello spettro ai multipli della f C, che il campionamento (modulazione di impulsi) aveva introdotto. y k y(t) t p. basso ideale t ω N ω ω Scelta della frequenza di campionamento Teorema del Campionamento (Fc>2f max ) Risoluzione temporale (se si vogliono distinguere nel tempo eventi separati da un tempo t 1, Fc>1/t 1 ) Algoritmi di elaborazione (ex. Derivata Numerica two points central difference, dove la derivata è data da: x( k + 1) x( k 1) y( k) = 2 Questo algoritmo si comporta come un derivatore fino ad una frequenza F=0.224 Fc; per frequenze più alte si comporta come un filtro passa-basso.) T s

11 Quantizzazione La quantizzazione corrisponde alla discretizzazione in ampiezza. Il numero di livelli in cui è suddiviso l intero range del convertitore vine detto risoluzione. L ampiezza di un singolo livello è chiamata passo di quantizzazione. Più alta è la risoluzione, piu piccolo è il minimo livello di tensione misurabile. La figura mostra una sinusoide campionata e quantizzata da un convertitore ideale a 3 bit. Rumore di quantizzazione la quantizzazione dei valori (discretizzazione, digitalizzazione) conseguente alla conversione A/D dà luogo ad un errore di approssimazione, visto come un rumore additivo y^=y+n Q le caratteristiche di processo stocastico del rumore di quantizzazione sono facilmente ricavabili: 1) la distribuzione di probabilità è uniforme fra -Q/2 e Q/2 (l errore può cadere con uguale probabilità in qualsiasi punto dell intervallo di quantizzazione ampio Q) 2) quindi m Q =0, σ Q2 =Q 2 /12 3) si tratta di un rumore bianco (l approssimazione su un campione è indipendente da quella fatta sul c. precedente) 4) il rumore è indipendente e quindi scorrelato dal segnale 5) la varianza è aumentata del rumore di quantizzazione σ y^2 = σ y2 + Q 2 /12 6) gli altri campioni della ACF non sono variati: r y^,k = r y,k, k 0

12 Rumore di quantizzazione Arrotondamento Troncamento Densità di probabilità dell errore di quantizzazione m Q =0, σ Q2 =Q 2 /12 m Q =-Q/2 Rumore di quantizzazione (2) Il passo di quantizzazione determina la precisione della conversione di un segnale da analogico a digitale (A/D). Il passo dipende dal n di bit (cifre binarie) con cui il convertitore quantifica il valore di un campione. Esempio: Con 8 bit si possono rappresentare 2 8 =256 Valori diversi. La precisione è: 1/ % dell intero campo dei valori rappresentabili (di solito da 5V a +5V o da 10V a +10V).

13 Quantizzazione e codifica numerica Range Il range è definito come la differenza tra il massimo ed il minimo valore di tensione che un dispositivo A/D riesce a convertire. I dispositivi di progettazione recente offrono la possibilità di programmare il range in modo da adattare il convertitore ai segnali di tensione in ingresso ( tipicamente 0-5V, 0-10V, -5 +5V, V) Code Width Il range, la risoluzione e il guadagno determinano il più piccolo valore di tensione rilevabile dalla conversione. Questo valore rappresenta il bit meno significativo (LSB) del valore numerico ed è chiamato code width. Il code width teorico si trova dividendo il Range per il guadagno moltiplicato per due elevato al numero di bit del convertitore. Ad esempio, con un convertitore a 16- bit, un range da -10 a +10 V ed un guadagno di 20 il code width teorico è dato da: = 7,63μV Accuratezza Relativa E una misura in LSB del peggior caso di deviazione del valore realmente convertito rispetto al valore teorico. Infatti la caratteristica ideale di un convertitore (Codice numerico in funzione della tensione in ingresso) dovrebbe essere una retta. In realtà, se si diagrammano le differenze tra i valori ideali in bit ed i valori reali si ottiene un diagramma simile a quello in basso a destra. L accuratezza relativa è il peggior caso di deviazione dalla linea di zero.

14 Acquisizione continua di segnali Vi sono applicazioni in cui non è possibile determinare a priori la durata dell acquisizione o in cui il numero di campioni è talmente elevato da dover ricorrere all acquisizione continua. Durante l acquisizione continua, i valori campionati sono messi temporaneamente in un buffer circolare dallìhardware. Simultaneamente il software rimuove dal buffer i valori precedentemente acquisiti, li elabora e li memorizza su una memoria permanente (disco), mentre il convertitore continua a produrre nuovi campioni. Se il software è in grado di rimuovere i valori dal buffer più velocemente di quanto il convertitore A/D ci mette a riempirlo, il buffer circolare non si riempie mai, e l acquisizione può continuare senza mai finire. Operazioni con il Doppio Buffer Il buffer circolare, di fatto, viene logicamente diviso in due metà. Il software controlla che quando una metà è piena, può essere trasferita (vedi in Figura b.) mentre il convertitore riempie l altra metà. Una volta riempito tutto il buffer, si ricomincerà sovrascrivendo i valori presenti nella prima metà (che erano già stati trasferiti come in Figura c.) e così via in sequenza. L imortante è che il trasferimento avvenga in un tempo minore dell acquisizione.

15 Problemi con l acquisizione continua Ovviamente può accadere che si sovrascrivano dei dati prima che siano stati trasferiti come rappresentato in Figura. Un simile problema insorge quando il software non fa in tempo a rimuovere i dati nel tempo in cui il convertitore li fornisce. Quando ciò accade si verifica una condizione di overrun, che normalmente viene segnalata dal software. In generale è dovuta alla lentezza del codice software in un ciclo di acquisizione (ad esempio per visualizzare i dati o elaborarli in tempo reale) che dura troppo rispetto alla velocità con cui i valori vengono acquisiti. Multiplexing Una tecnica molto utilizzata per acquisire numerosi canali con un solo convertitore A/D è il multiplexaggio Il convertitore campiona un canale, commuta sul secondo e lo campiona, commuta sul terzo e così via Poiché lo stesso convertitore campiona più canali, l effettiva frequenza di campionamento per ciascun canale è inversamente proporzionale al numero di canali. Ad esempio, campionando a 1 Mhz su 10 canali si avrà una frequenza individuale di 100Khz per canale.

16 Problemi del multiplexaggio 1. I valori che arrivano al convertitore dai vari canali non sono mai contemporanei 2. Anche se ogni singolo canale varia lentamente, il segnale multiplexato può risultare un segnale a frequenza elevata (vedi figura) 3. L amplificatore programmabile posto prima del convertitore deve avere un settling time molto basso. Schema di conversione ECG multicanale

17