Fondamenti di Gravitazione

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1 Fondamenti di Gavitazione Intoduzione all Astofisica AA 205/206 Pof. Alessando Maconi Dipatimento di Fisica e Astonomia Univesità di Fienze Dispense e pesentazioni disponibili all indiizzo maconi Ultimo aggionamento: 6 ottobe 205

2 Campo e Potenziale Gavitazionale Come noto dal coso di Fisica I, la foza gavitazionale esecitata su una massa test m s in ~x da una massa m, collocataallaposizione~x,èdatada ~F p~x q Gm s mp~x q ~x ~x 3 p~x ~x q Se p~x q è la densità di massa, alloa si può scivee che mp~x q p~x qd 3 ~x, con d 3 ~x elemento di volume. Integando sul volume si ottiene che F ~ p~x q m s ~g p~x q con ~g campo gavitazionale dato da ~g p~x q G ~x ~x ~x ~x 3 p~x qd 3 ~x ~g p~x q è il ben noto campo gavitazionale ovveo la foza gavitazionale pe unità di massa. E facile veificae che il campo geneato da una massa puntifome M collocata nell oigine del sistema di ifeimento è ~g p~x q GM ~x 3 ~x pe cui il modulo di ~g è gpq GM{ 2 con distanza dalla massa M. Definiamo il potenziale gavitazionale come p~x q p~x q G ~x ~x d3 ~x e calcoliamone il gadiente. Cominciamo notando che, ponendo ~ ~x ~x, possiamo scivee ˆ «~ ~x ~x ~x ~ ı ~x p ~ ~q {2 2p ~ ~q ~x ~ ~ ~ 3{2 Si ha ~ ~ ı i «B ÿ px j x j q 2 B px i x i q 2 2px i x i q Bx i Bx j i dal momento che la deivata ispetto a x i dà un isultato non nullo solo pe iteminidellasommatoiatalichej i. Alloa ~ ~x ~ ~ ı 2 ~

3 Si ottiene infine che ˆ ~ ~x ~x ~x ~ ~ 3 ~x ~x ~x ~x 3 Possiamo adesso completae il calcolo del gadiente di * ~ p~x q ~ p~x ~x " G q ~x ~x d3 ~x p~x ~x q G ~x ~x 3 p~x qd 3 ~x ~g p~x q ovveo si ottiene la ben nota elazione ta campo e potenziale gavitazionale ~g p~x q ~ p~x q E impotante icodae che e ~g contengono la stessa identica infomazione peò il potenziale è u t i l e p e c h é è u n c a m p o s c a l a e e c o m e t a l e è p i ù f a c i l e da tattae e visualizzae ispetto a ~g,campovettoiale: spessoèpiùsemplice calcolae epoiicavae~g dal suo gadiente. 2 L equazione di Poisson Calcoliamo adesso la divegenza del campo gavitazionale ˆ ~x ~ ~g p~x q G ~ ~x ~x ~x ~x 3 p~x qd 3 ~x isulta ~ ~x ˆ ˆ ~x ~x ~x ~x 3 p~x ~x q ~ ~x ~x ~x 3 e, analogamente a pima, ˆ ~ ~x ~x ~x 3 ` 3 ~x ~x ~x ~x 5 ~x ~x 3 ~ ~x p~x ~x q inolte ~ ~x p~x ~x q ~ ~x ~x 3 pe cui si ottiene ˆ ~x ~ ~x ~x ~x ~x 3 3 p~x ~x q p~x ~x q ~x ~x 5 3 ~x ~x 3 2

4 se ~x ~x alloa si può semplificae nel pimo addendo tovando che ˆ ~x ~ ~x ~x ~x ~x 3 3 ~x ~x 3 3 ~x ~x 3 0 Questo significa che l unico contibuto non nullo all integale si ha pe ~x ~x ; petanto possiamo estingee l integazione ad un volumetto sfeico di aggio infinitesimo h centato sul punto ~x ~x ~ ~g p~x q G ~x ~x h ~ ~x ˆ ~x ~x ~x ~x 3 p~x qd 3 ~x Pe h su cientemente piccolo e tendente a 0, si ha che ~x» ~x pe cui possiamo calcolae la divegenza ispetto a ~x invece che ispetto a ~x (cambiando ovviamente di segno) e potae fuoi dall integale ˆ ~x ~ ~g p~x q G p~x q ~ ~x ~x ~x ~x h ~x ~x 3 d 3 ~x adesso possiamo utilizzae il teoema della divegenza secondo cui, dato un vettoe U,unvolume ~ acchiuso dalla supeficie S, siha ~ ~Ud ~U ~n ds ottenendo ~ ~g p~x q G p~x q ~x ~x h S ~x ~x ~x 3 ~n ds ~x ds è l e l e m e n t o d i s u p e fi c i e s f e i c a d e fi n i t a d a ~x ~x h ed ~n la sua nomale; detto d l elemento di angolo solido, possiamo scivee ds ~x ~x 2 d ma, dato che ~n è i l v e s o e c o n l a s t e s s a d i e z i o n e d i p~x ~x q, siha Si ottiene quindi ~ ~g p~x q G p~x q 4 G p~x q ~n ds p~x ~x q ~x ~x d ~x ~x h ~x ~x ~x ~x 3 p~x ~x q ~x ~x d G p~x q d ~x ~x h 3

5 tenendo conto che ~g ~ si ottiene infine 2 p~x q 4 G p~x q nota come Equazione di Poisson e che ci pemette di ottenee apatie da, densità della distibuzione di massa. Questa è analoga all equazione tovata pe il potenziale elettostatico nel coso di Fisica II. Nel caso speciale di 0sihal equazionedilaplace, 2 0. Pe isolvee l equazione di Poisson è essenziale utilizzae le condizioni al contono coette: infatti, consideiamo, ad esempio, il caso in cui p~x q e p~x q`~k ~x sono soluzioni dell equazione di Poisson, con ~ k vettoe costante abitaio; i campi ~g coispondenti alle due soluzioni di eiscono peò di un vettoe ~ k. In un sistema isolato la condizione al contono è che si abbia Ñ 0pe ~x Ñ8. 3 Il Teoema di Gauss Adesso consideiamo l equazione di Poisson e integiamo membo a membo su un volume abitaio contenente una massa M 2 p~x qd 3 ~x 4 G p~x qd 3 ~x Si ottiene ~ ~ p~x qsd 3 ~x 4 G M ~ ~g p~x qd 3 ~x 4 G M applico il teoema della divegenza e ottengo S ~gp~xq ~nds 4 GM con S chiusa che acchiude il volume. Questo è il ben noto Teoema di Gauss che adesso è applicato al campo gavitazionale invece che al campo elettostatico: il flusso del campo ~g attaveso una supeficie chiusa S è p a i a 4 GM, conm massa acchiusa all inteno della supeficie. 4

6 4 L enegia potenziale gavitazionale di una distibuzione di massa Poichè ~g è il gadiente di un potenziale, significa che è un campo consevativo. Quindi, data una distibuzione di massa, ha senso definie la sua enegia potenziale gavitazionale ovveo il lavoo compiuto conto le foze gavitazionali pe assemblala potando le vaie pati dall infinito. Consideiamo una distibuzione di massa fatta di punti mateiali di massa m i posti alle posizioni ~x i con i, 2,,N.Lamassainisaà soggetta al campo gavitazionale jp~x i q geneato dalla massa in j, quindilasuaenegia gavitazionale saà W ij j p~x i q m i j p~x i q p~x i q i con i volume della massa in i. Peotteneel enegiapotenzialedelsistema devo sommae su tutte le masse i esututtilemassaj che inteagiscono con i ottenendo W ÿ p~x i q j p~x i q i 2 i,j i il fattoe {2 è necessaio pe non contae due volte l inteazione ta i e j; ovveo W ij W ji ma vanno consideate una sola volta. Infine, passando al limite di distibuzione continua di massa, possiamo scivee W p~x q p~x qd 3 ~x 2 espessione geneale che fonisce l enegia potenziale gavitazione di una distibuzione di massa autogavitante. Pe tovae un alta espessione utile pe W sostituiamo l espessione pe potenziale in quella appena tovata W 2 p~x q Posso notae che G p~x q ~x ~x d3 ~x 2 ~x ~x d 3 ~x 2 G d 3 ~x d 3 ~x p~x q p~x q ~x ~x 3 ~x ~x 2 px i x iqpx i x iq i i i x i px i x iq 2 x i px i x iq` 2 5 x ipx i x iq i x ipx i x i q i

7 pe cui W diviene W 2 G d 3 ~x d 3 ~x p~x q p~x q ~x ~x 3 2 G d 3 ~x d 3 ~x p~x q p~x q ~x ~x 3 x i px i x iq` i x ipx i x i q nel secondo integale posso scambiae ~x con ~x senza che cambi il valoe dell integale stesso, pe cui il secondo integale è uguale al pimo e posso scivee W 2 G d 3 ~x d 3 ~x p~x q p~x q ~x ~x 3 ~x p~x ~x q ovveo W d 3 ~x p~x q~x i d 3 ~x G p~x q ~x ~x 3 p~x ~x q ma l espessione ta le paentesi quade è quella del campo gavitazionale ~g p~x q geneato dalla stessa distibuzione di massa stessa. Infine si ottiene W ~x ~g p~x q p~x qd 3 ~x 5 Popietà di una distibuzione sfeica di massa Newton povò due isultati che ci pemettono di calcolae il potenziale di una qualsiasi distibuzione sfeica di massa. I o Teoema di Newton: un copo all inteno di una shell sfeica di massa non isente di alcuna foza gavitazionale da pate di quella shell. II o Teoema di Newton: la foza gavitazionale esecitata su un copo al di fuoi di una shell sfeica di massa è la stessa che si avebbe se tutta la massa della shell fosse concentata in un punto al suo cento. Le pove di questi teoemi sono analoghe a quelle viste pe il campo elettostatico a Fisica II. Qui le ipetiamo utilizzando il teoema di Gauss. Supponiamo di consideae il punto P all inteno della shell sfeica di massa in figua. Pe simmetia il campo gavitazionale all inteno e all esteno della sfea deve essee dietto adialmente e funzione solo della distanza dal cento della sfea, ~g p~ q gpq~u con ~u ~ { vesoe adiale. Il flusso di ~g sulla supeficie 6

8 P2 P +Δ Figua : Shell sfeica di massa ta e `. P e P 2 sono due qualsiasi punti ispettivamente inteni ed esteni alla distibuzione. sfeica passante pe P e centata nel cento della distibuzione di massa è pai a p~g q 4 gp q ed è nullo pe il teoema di Gauss dal momento che non c è alcuna massa all inteno della stessa supeficie sfeica, petanto gp q 0 povando il pimo teoema di Newton. Pe quanto iguada il secondo, si ipete il agionamento di pima solo che adesso si calcola il flusso su una supeficie passante pe P 2 esteno alla shell. Pe il teoema di Gauss si ha ~g ~n ds gp 2 q GM ovveo ~g p 2 q GM 2 2 ~u che è popio il campo geneato in P 2 dalla massa puntifome M collocata al cento della sfea. Un impotante coollaio del pimo teoema di Newton è che il potenziale all inteno di una shell sfeica è costante dato che ~g ~ 0. Petanto possiamo calcolae il potenziale in un qualsiasi punto all inteno della shell, e ne scegliamo il cento. Il potenziale dovuto a ciascun elemento di massa che costituisce la shell è popozionale a M{ petanto il potenziale all inteno della shell cava di aggio è pq GM cost. 7

9 Combinando il pimo ed il secondo teoema di Newton si ottiene quindi che una distibuzione sfeica di massa pq genea un campo gavitazionale dove ~u è i l v e s o e a d i a l e e ~g pq GMpq ~u Mpq 4 0 p q 2 d è la massa acchiusa all inteno del aggio. Infatti,dato un qualsiasi punto solo la massa Mp q ento contibuisce al campo e questa genea il campo come se fosse concentata nell oigine della sfea. Il potenziale gavitazionale totale può quindi essee ottenuto come la somma dei potenziali dovuti alle shell sfeiche di massa dmp q 4 2 p qd e, se ci poniamo a distanza, avemo il contibuto delle shell intene ( ), 9 {, edilcontibutodelleshellintene( ); entambi sono facilmente calcolabili pe quanto appena visto pq G 0 4 G dmp q G GMpq 0 8 p q 2 d ` 4 G 8 dmp q 8 p q d p q d Una popietà impotante di una distibuzione sfeica di massa è a sua velocità cicolae c pq definita come la velocità di otazione di una massa test pe un obita cicolae a distanza. Applicando il secondo pincipio della dinamica e icodando che il modulo dell acceleazione in un moto cicolae unifome è a 2 c { si ha 2 c GMpq La fequenza angolae associata all obita è c d ˇ d ˇ GMpq 8 3 {2

10 La velocità di fuga, ovveo la velocità minima pe cui la paticella test è slegata, si può ottenee imponendo che la sua enegia sia E 0ovveo ovveo 2 m f 2 ` m 0 f pq a 2 pq Infine, l enegia potenziale di una distibuzione sfeica di massa la possiamo calcolae a patie da W p~x q~x ~g d pq~u GMpq GMpq ~u 2 d pqd 6 Esempi di semplici potenziali 6. Massa puntifome In questo caso, come abbiamo già visto, si ha pq GM c pq f pq c GM c 2 GM Cuva di otazione Kepleiana 6.2 Sfea omogenea In questo caso pq cost. pe cui si ha Mpq 4{3 3 ovveo pq 4 3 G 2 2 G `max 2 2 ˆ 2 G c 4 c pq 3 G d ˆ f pq 4 G dove max è i l a g g i o m a s s i m o d e l l a d i s t i b u z i o n e d i m a s s a, n e c e s s a i o pe non avee una divegenza nella massa, nel potenziale ed in tutte le alte gandezze. 9

11 Si noti come la velocità cicolae cesca lineamente col aggio, come se si tattasse di un copo igido. Infatti, il peiodo di un obita cicolae a distanza è T 2 c 3 c pq G indipendente dal aggio dell obita. Se adesso consideiamo una massa test che si muove nella distibuzione di massa, e la ilasciamo da fema al aggio ( max ), la sua equazione di moto è d 2 GMpq dt G!2 con! 2 4{3 G, ovveol equazionediunmotoamonicoconpeiodo 2! c 3 G equestoèpopioilpeiododiotazionevistopima! Petantoilpeiodo obitale, pai al peiodo di oscillazione amonica nel potenziale, è il tempo dinamico caatteistico del sistema. Nel coso di astonomia è stato tovato che il tempo di fee fall di una distibuzione sfeica di massa è ff ˆ {2 3 32G con densità media. Si noti come in entambi i casi si abbia 9pG q {2. Calcoliamo adesso l enegia potenziale della distibuzione di massa (sempe ponendo max ) W GMpq G ˆ4 pqd GM d In geneale, pe una distibuzione di massa M a simmetia sfeica avò W f GM 2 con f fattoe dell odine di che saà maggioe di 3{5 incasodidistibuzione più compatta come, ad esempio, 9 con 0. Questo significa che W è minoe (più negativa ) ovveo il sistema è maggiomente legato. 0

12 6.3 Sfea isotema Come vedemo più avanti nel coso, una sfea isotema ha una possibile configuazione del tipo 9 2. Consideando sempe come aggio massimo della distibuzione e sviluppando i calcoli si ottiene 2 pq pq 4 G 2 ln c pq a 4 G f pq c8 G 2 ln ı ı mente il peiodo obitale è T c G el enegiapotenziale W GM2 dove adesso è il fattoe f, maggioe ispetto ai 3/5 di pima, e questo significa che il sistema è più legato poichè W è più negativa. Infatti, la distibuzione 9 2 è p i ù c o n c e n t a t a i s p e t t o a l c a s o d i d e n s i t à c o s t a n t e.