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1 Poblemi)di)paagafo) 1) Pe la teza legge di Kepleo, il appoto fa la distanza Sole-pianeta e quella Sole-Tea è pai alla adice cubica fa i quadati dei due peiodi di ivoluzione, che in questo caso vale 64. Quindi la distanza deve essee 4 volte quella Tea-Sole. ) Nettuno, peché in base alla seconda legge di Kepleo ci saà più diffeenza ta le distanze Solepianeta, e di conseguenza ta le velocità, ispettivamente all'afelio e al peielio. 3) No, sistemi obitali divesi foniscono costanti divese pe il appoto a 3 / T. 4) S T S 3 T T T (10755d) 3 (1, m) 1, m (365,6d) 5) T N T T R N R T 3 (1 a) (30,07) anni 6 T R M R M 3 T 1, m 7 T T (686,98 d) 3 (365,6 d), m v π T π (1, m) (365,6 d) (8, s/d), m/s A 1 s 1 (1, m) (, m), m 8 v A Δs Δt S A A Δt 6, m 1, m 1s 9,090 m 103 s 9 v Δs Δt. La velocità aeolae è costante Δl A A Δl P P Δt Δt v P v A A 1, m P s, m, m 6,49 m 103 s v 6, m P s v A 1, m s 1,06 ) 1 Zanichelli 015

2 10) a (d Max + d Min ) K a3 T 3, m 7, s (4, km + 3, km) 3 1,0 m 1013 s 3, km 3 11) 3 3 M T G M T T G G 3 T 49,3 T 3 M M 3 G T 7, km 3 M M 57, km 1 Possiamo utilizzae la II Legge di Kepleo ifeendoci all aea A 1 descitta in T 1 8,0 mesi, appotata a quella totale A descitta nell inteo peiodo di ivoluzione T. Otteniamo: da cui icaviamo T A A 1 T 1 15A 1 A 1 (8,0 mesi) 10 a. Sostituendo T 1 8 mesi, A 1 A/15 (ovveo A 15 A 1 ), otteniamo il peiodo totale: T 15 8 mesi 10 mesi 10 anni. 13)) ) Poiché il volume della nuova biglia è 8 volte il pecedente e la biglia è omogenea e dello stesso mateiale, anche la nuova massa e di conseguenza la nuova foza gavitazionale saanno 8 volte maggioi. 14)) No, è scoetto peché la foza è invesamente popozionale al quadato della distanza, quindi nella popozionalità quadatica invesa al addoppiae della distanza la foza diventa 1 4 e così via. 15)) Peché sono quantità popozionali, ma dal punto di vista concettuale sono distinte. 16)) Come appoto ta la foza-peso della pentola e quella del kilogammo campione. 17)) Invetendo la fomula della foza di gavitazione univesale otteniamo m F. GM T La distanza del satellite dal cento della Tea si ottiene sommando il aggio teeste alla distanza del satellite dalla supeficie teeste: 500 km km 6878 km 6, m. Quindi: ( 6, m) 3, N m 6, N m kg 5, kg 18) 4, 10 5 kg F G M m T L 6, N m kg 5, kg 3, m ( 7,35 10 kg) 1, N Zanichelli 015

3 19) F G M G m E G M G m E F ( kg) 6, N m kg 480,0 100 kg 1, N 7, m 0) F G M m T M T F Gm (9,8N) (6, m) 6,0 10 6, N m kg (1,0 kg) 1)) Uguagliando le due foze di attazione abbiamo: G M m Tea Luna G M m Tea asteoide Luna asteoide Quindi asteoide Luna ) F G m m L I 6, N m kg 3) 4 kg m asteoide m Luna (3, m) (1, kg) (7,35 10 kg) 1, m.,4 kg,1 kg 1, N ( 0,050 m) La fomula del peiodo delle oscillazioni di una molla è: T π m k Peciò il appoto ta le masse è pai al appoto ta i quadati dei tempi, che indichiamo ispettivamente con T 1 e T. Poiché il campione ha massa unitaia, otteniamo m T 1 T (0,58s) 0,16 kg. (1,45s) 4) L'odine di gandezza della foza di attazione Sole-Luna si ottiene appossimando la distanza ta i due copi con la distanza Tea-Sole: F Luna-Sole ( N m /kg ) (7 10 kg) ( kg) (1, m) Quindi F Luna-Sole N. Poiché F Luna-Tea 10 0 N F Luna-Sole F Luna-Tea. 5) T π m k m T libo ( libo T m,1s ) 1 kg 1,7 kg campione campione 1,6 s F G M T m L R T m L FR T GM T Sì, i valoi coincidono. 16,7N 6, m 6, N m kg 5, kg 1,7 kg 3 Zanichelli 015

4 6) Peché in questo modo si equilibano le due foze-peso con cui la Tea attae le due masse appese al manubio e si misua solo l'intensità della foza ta ciuscuna massa appesa e la massa fissa ad essa vicina. 7) Un quato di quello attuale. 8) La taiettoia saà sempe una paabola, ma con maggioe gittata, dato il maggioe tempo di volo a causa del valoe infeioe di g. Meno doloe, poiché il sasso aiva al suolo sulla Luna con minoe velocità, quindi minoe enegia cinetica, ispetto al caso teeste. 9) Significa che la foza esecitata sull astonauta è pai a n volte la foza di gavità teeste. 30) Utilizziamo la fomula g GM R e otteniamo g Luna (6, N m /kg ) (7,35 10 kg) (1, m) 31) M gr G (1,63 m/s ) (1, m) (6, N m /kg ) 1,6 m/s. 0, kg 3) F Gm 1 m (6, N m /kg ) (1 kg) (0,015 kg) (0,050 m) 4, N F dim 1 F dim 7,1 cm 33) F Gm 1m d F L F T M L (d x) M T x x 1, d M ± (M M ) T T L (M T M L ) Scatiamo la soluzione che si ottiene con il segno + (che fomisce una posizione olte la Luna, invece che fa la Tea e la Luna). x (3, m) (5, kg) (5, kg) (7,35 10 kg) 3, m. (5, kg) (7,35 10 kg) 4 Zanichelli 015

5 34) F p mg g F p m 77 N 8,0 kg 8,87 m s m g GM M g 8,87 G s 6, m N m 6, kg 4, kg 35) Se si muove a velocità costante, significa che la foza che tia il caellino ha stesso modulo della foza di attito con la supeficie. Quindi: µ F T F T F m ca g,0 N (0,50 kg) (9,8 m/s ) 0,41 Su Satuno: 36) F s µf S µ Gm ca M S S 0,41 g G 318M T 11,0 T 6,67 N m kg N m 6, kg (0,50 kg) (568,3 104 kg),3 N (58, m) 5, , kg 11,0 6, m m s F Gm 1 m F G F T M G M T G T F G mg M G M T G T (1 kg) (9,8 m/s ) 318 (11,0) 5,8 N 37) F G m m 1 6, N m kg 380 kg 0,59 kg 0,0 m M df 1,6 m ( 3, N) 5, N m 3, N 38) Peché la loo distanza dalla Tea saebbe vincolata all'altezza del suppoto di lancio. Con un azzo vettoe si può decidee abitaiamente a quale quota mettee in obita il satellite. 39) La velocità angolae è ω π T v. Sostituendo nella elazione che uguaglia foza gavitazionale e R foza centipeta: G Mm mω R otteniamo R GM R 3. ω 40) No, peché la velocità e il peiodo del satellite non dipendono dalla massa. 5 Zanichelli 015

6 41) La sua velocità: infatti la foza di attazione gavitazionale fa cadee continuamente il satellite intono alla Tea (o a un pianeta). 4) Da Ovest a Est, seguendo il veso di otazione teeste: così la velocità di lancio si aggiunge alla velocità tangenziale del punto di lancio. Peché il aggio teeste è più gande all equatoe e quindi è maggioe la velocità tangenziale. 43) v GM R (6, N m /kg ) (5, kg) ( m), m/s La stessa: la velocità obitale non dipende dalla massa del satellite. 44) v GM R M R v G (1,6 (1, m) 103 m/s) (6, N m /kg ) 6,7 10 kg 45) v GM R (6, N m /kg ) (5, kg) (7, m) T π 7, m/s R 3 GM π (7, m) 3 (6, N m /kg ) (5, kg) 6, s 46) La foza centipeta è la foza di attazione gavitazionale Tea-satellite. F G M T m s T π 47) v GM S T π m s F GM T 3 GM T π ( 3, m + 6, m) 333 N 751 kg 6, N m kg ( 5, kg) ( 3, m + 6, m) 3 5, s 6, N m kg ( 5, kg) 6, N m kg kg 3 GM S π m + 58, 10 6 m ( m + 58, 10 6 m) 3 6, N m kg kg 1, m s, s 6 Zanichelli 015

7 48)) v GM N GM N v 6, N m kg kg 86, m 8, m s h + R N h R N 86, m 4, m 61, m 49) La distanza del satellite dal cento della Tea è: R R T + h 6370 km km 6970 km Poiché il satellite descive un obita cicolae, duante il suo moto è soggetto a un acceleazione centipeta che, pe il secondo pincipio della dinamica, deve essee podotta da una foza ivolta veso il cento: la foza di attazione gavitazionale. Saà dunque: F c mv R GmM, dove m è la massa del satellite, M la massa della Tea, R la R distanza del satellite dal cento della Tea, e G la costante di gavitazione univesale: G 6, m 3 kg 1 s La velocità saà dunque data dall equazione: v GM R (6, m 3 kg 1 s ) (5, kg) 6, m 3, m 3 s 6, m 7, m/s Da v ω R icaviamo: ω v R 7, m/s 6, m 1, ad s 1 Il peiodo saà: T π ω π 1, ad/s 5,8 103 s 50) Si deve applicae la teza legge di Kepleo utilizzando i dati noti della Luna e quelli, incogniti, del satellite. T L T R 3 L s R, avendo indicato con T s il peiodo di ivoluzione del satellite e con R s la sua distanza s dalla Tea. Sappiamo che il satellite è geostazionaio pu obitando intono alla Tea: questo vuol die che il suo peiodo di ivoluzione è esattamente pai al peiodo di otazione teeste, T s T T. Quindi possiamo calcolae l unica incognita del poblema, che è il semiasse maggioe dell obita del satellite, R s : /3 R s T s T R L 4, 10 7 m L Il poblema non è peò teminato, poiché non si chiede la distanza dalla Tea (cioè dal suo cento), bensì l altezza sulla supeficie. Bisogna quindi sottae a questa quantità il aggio teeste. Otteniamo così: h R s R T 3, m 3, km. 7 Zanichelli 015

8 51# Falso. Lo saebbeo se fosse costante il appoto indicano un appoto di popozionalità, ma non dietta: T è popozionale a R R T. Gli esponenti che compaioni nella legge 5# No, possiamo icavaci la componente della velocità pependicolae al aggio vettoe. 53# Peiodo e aggio dell obita di Euopa # T π R 3 GM π (4 6, m) 3 (6, N m / kg ) (5, kg) 4, s 55# Dalla teza legge di Kepleo: M π T R 3 G π (365,6 d) (8, s/d) 56# Restano costanti: l'enegia totale e il momento angolae. Vaiano: la velocità, il aggio dell'obita e il peiodo: R 4, 10 7 m + 6, m 4, m ( 1, m) 3 (6, N m / kg ) 1, kg v GM R (6, N m / kg ) (5, kg) (4, m) T π R v 1, s, m/s 57# v A v P d P d A (, m) (, m) 0,83 Nel peielio, pe la consevazione del momento angolae. 58# 4, s T 1,0 h 3600 s/h 3 T GM 4π GM 6, N m 3 4π T kg 5, kg 3 ( 4, s), m 4π h R T 6, m 6, m 0, 10 6 m 8 Zanichelli 015

9 59# La aggiunge in afelio v A v 46, ( m) 59, m P P s 3, m A 69, m s Il momento angolae si conseva quindi in C ha lo stesso valoe che assume in afelio o peielio: L C L P M P v P ( 3, kg) 46, ( m) 59, m s 8,96 kg m 1038 s No, il aggio vettoe non è pependicolae alla velocità in C quindi pe icavae la velocità dobbiamo conoscee l ampiezza dell angolo. 60# a 3 T GM 4π a GM 3 4π T 6, m a h max + h min + T h max a h min T 6, m 3 6, N m kg 5, kg 4π ( m) ( 6, m) 9, m 945 km 61# T 1,769 d 4 h/d 3600 s/h 1, s 3 a 3 T GM 4π M 4π a 3 4π 41, m GT N m 6, kg 1, s 1,9 10 ( 96, min 60 s/min) No, il peiodo e le caatteistiche dell obita dipendono unicamente dal pianeta attono cui uota il satellite. 6# La isposta si ottiene applicando la III Legge di Kepleo: R3 T GM T, dove M è la massa della Tea, 4π G 6, m 3 kg 1 s, R la distanza della ISS dal cento della Tea (e quindi R R T + h, dove R T è il aggio teeste e h l altezza della ISS sulla supeficie teeste) e T il peiodo cecato. Quindi: T 4π (R T + h) 3 5, s GM T Il peiodo di ivoluzione della ISS è dunque di 5, s che coispondono a cica 1,54 oe. 63# Il telo impetubato è un piano, su cui le sfeette «leggee» effettuano moti in due dimensioni. La pesenza di una sfea più gande defoma il piano e lo fa diventae una supeficie tidimensionale, sulla quale possiamo descivee il moto delle sfeette più piccole. Lo spazio inteplanetaio è tidimensionale, e in esso la pesenza di un campo gavitazionale intoduce una defomazione in una quata dimensione che non è oggetto di studio della fisica classica. 7 kg 9 Zanichelli 015

10 64# Poiché è il appoto ta una foza e una massa, ha le dimensioni fisiche di un'acceleazione. 65## No, il modulo è costante, la diezione cambia in ogni punto. 66# Tascuando il valoe di 1 m ispetto al aggio dei pianeti (indicati ispettivamente con i pedici T e M), sciviamo le espessioni dei due campi gavitazionali: g T GM T g M GM M, da cui abbiamo g T M R T M R T R M g M M M R T Quindi g T g M 67# ( 5, kg), m ( 3, kg) ( 6, m),65 g G M V 6, N m kg 4, kg m m 68# T π l g T S T T 7,57 g T g S (1,9 s) Aumentae la lunghezza l del pendolo. (9,8 m/s ) (11,17 m/s ) 1,8 s m s 69# T π l g g g T T M T T 9,8 m/s,0 s 3,6 m/s M 3,3 s 70# g G 3M T R T 3g 0 3 9,8 m s 9 m s g G M T ( 3R T ) 1 9 g ,8 m s 1,1 m s g G M T ( R T ) 1 g 1 0 9,8 m s 4,9 m s 71# 11 N m g G M GM 6,67 10 g kg 6,4 103 kg,7 m 4, m s h + R M R M h 4, m 0, m 3, m 7# U aumenta e L imane costante. 10 Zanichelli 015

11 73# La vaiazione di enegia potenziale di una massa che si sposta da A a B è pai all'opposto del lavoo compiuto nello spostamento. Pe allontanae il copo doi massa m il lavoo è svolto conto il campo gavitazionale, quindi è negativo. Di conseguenza U è positiva, cioè U aumenta. 74# Positiva, infatti allontanandosi dalla Tea l enegia potenziale aumenta. Positiva, la foza esecitata dal montacaichi ha lo stesso veso dello spostamento dell amadio. 75# U GMm R ( 5, kg) 10 kg ( 6, m) 6, N m / kg 6, J 76# A distanza infinita. Pe convenzione, si pone l'enegia potenziale uguale a 0 J quando la distanza è infinita. 77# U G M T m 6, N m kg ( 5, kg) 150 kg ( 35, m + 6, m) 1,4 109 J 78# ΔU mgδh (75 kg) (9,8 m/s ) 100 (0,18 m) [ ] 1, J W 1, J 79# ΔU GM T m K 6, N m kg 5, kg 80kg 1 6, m 1 6, m 7,1 106 J ΔU mgδh (80 kg) (9,8 m/s ) (8610 m) 6, J Vicino alla supeficie teeste i isultati sono in accodo peché g si può consideae pessoché costante. Il aggio teeste non è noto con la stessa accuatezza con cui è fonita l'altezza del K. 80# 1 ΔU U P U A GM S m M 1 A P 6, N m kg, kg W A P ΔU 3, J ( 0, kg) 3, J m m 3, J 11 Zanichelli 015

12 81# f R T + h + Δ ( 6, , , )m, m i R T + h ( 6, , 10 6 )m 19, m 1 ΔU U f U i GM T m s 1 i f 10 kg 6, N m kg 5, kg 1 19, m 1, m 4, J 8# No. L'enegia totale della Tea E K + U è negativa, peché il nosto pianeta è legato gavitazionalemte al Sole. Poiché l'enegia cinetica è sempe positiva e quella potenziale sempe negativa, il modulo di U deve sempe essee maggioe di K. 83# Sì. L'enegia potenziale è invesamente popozionale alla distanza dal Sole ma è negativa, quindi U assume il valoe massimo quando U è minimo, cioè alla massima distanza obitale dal Sole. 84# Paabolica. 85# Combinando la g GM con la v R f GM R v f gr v f, m/s si ottiene: L g L R L 0,166 (9,8 m/s ) 0,73 (6, m) 86# R S GM c (6, N m /kg ) (, kg) (, m/s) 3,5 km 87# R S GM T c R S GM S c 6, N m kg 5, kg 8, m 8,85 mm 3, m s 6, N m kg 1, kg, m,95 km 3, m s 1 Zanichelli 015

13 88# U G Mm R Mm R G 00 kg U 6,67 N m kg 5, kg 1, J Combinando la U GMm con la v 0 GM si ottiene: R R K 0 1 mv 0 1 m GM R 1 ( U) 1 (1, J) 5, , m 89# v f GM V R V 6, N m kg 4, kg 6, m No, la velocità di fuga della Tea è 11, km/s. 10, m s 10,4 km s 13 Zanichelli 015

14 Poblemi)geneali) 1) L'aea spazzata dal aggio vettoe in 1 s è l'aea di un tiangolo ettangolo: A dδs 1 d vδt A A 1 36 (1, m) (0,90 km/s) (1 s), m A P A A (pe la seconda legge di Kepleo). L A mv (6, kg) (0,90km/s) 36 (1, m), J s ) F Gm 1m d (6, N m /kg ) (7,35 10 kg) ( 1,0 m 3 ) (105 kg/m 3 ) 3,4 10 N (3, m) F Gm 1m d (6, N m /kg ) (7,35 10 kg) ( 3, m 3 ) (105 kg/m 3 ) 1, N (3, m) 3) N m F GmM 6, kg (1,0kg) (1, kg) S 5, N (1, m) T S La foza di attazione del Sole sulla massa m è cica 100 volte maggioe di quella della Luna. 4) g GM G(Vd) G 4 R R 3 π R3 d R 4 3 πgrd Poiché il pianeta ha la stessa densità della Tea, g è diettamente popozionale a R, quindi il peso sul pianeta saebbe 15 volte maggioe. 5) Il satellite più inteno. Dalla teza legge di Kepleo: T R4 T R4 T 4π GM π GM π GM T R4 T 8 Il satellite più lento (quello più esteno) ha un peiodo pai a 8 volte il peiodo del satellite più veloce (quello più inteno). 14 Zanichelli 015

15 6) K 1 mv v K m, J 9, m 510 kg s v < v f Non iesce a sfuggie al campo gavitazionale teeste. 7) E Tot K +U 1 mv G M m T kg 11, m 103 s 6, N m kg ( 5, kg) 348 kg 6, m +1, m 4, J 8) E tot 0 1 mv G M T m 0 v GM T 6, N m kg 5, kg 1, m 7, m s 9) 1 W P A GM T m L 1 A P 6, N m kg 5, kg ( 7,35 10 kg) 1 4, m 1 3, m 8, J 10) T π 3 GM L π [( ) 10 3 m] 3 6, N m kg (7,35 10 kg) 7, s v GM L N m 6, kg (7,35 10 kg) ( ) 10 3 m 1, m/s 11) L'accleazione centipeta di un copo in un'obita cicolae assume lo stesso valoe del campo gavitazionale pesente lungo l'obita. 1,3 a c G M T 6, N m kg 5, kg 1, m F c ma c 340 kg 1,3 m s 418 N m s 15 Zanichelli 015

16 1) I due asteoidi, quando sono a distanza molto gande, hanno enegia potenziale molto piccola ed enegia cinetica nulla: pe il teoema di consevazione dell'enegia meccanica meccanica possiamo consideae che, al momento dell'impatto, la somma dell'enegia cinetica e dell'enegia potenziale sia pai a zeo. Pe il sistema dei due asteoidi la distanza ta i centi, al momento dell'impatto, è pai a R: 1 mv + 1 mv G mm R 0, da cui abbiamo v G m R G R ρ 4 3 π R3 R π 3 Gρ. L'acceleazione si ottiene dal secondo pincipio della dinamica: a F G mm m (R) Gm m 4R G 4R ρ 4 3 π R3 π 3 GρR 13) Appossimiamo il aggio dell'obita del poiettile con quello del pianeta e uguagliamo i moduli della foza centipeta e della foza gavitazionale sul satellite: mv R p v G M p R p. G mm p R p, da cui si ha Pe il satellite geostazionaio il peiodo di ivoluzione dell'obita deve essee uguale a quello di otazione del pianeta su se stesso; la velocità di otazione si ha dalla fomula pecedente, pe un valoe di R geneico: v G M p R ; π R vt p G M p R T p. Elevando al quadato i due membi dell'equazione abbiamo R G M pt p, da cui otteniamo R4π R G M T 3 p p 4π e, dividendo pe R p la fomula, si ottiene il isultato. Pe ogni satellite in obita, il valoe dell'enegia cinetica vale metà del modulo del valoe dell'enegia potenziale: 1 mv 1 m GM p R p Quindi l'enegia totale vale: E K +U 1 mv 1 m GM p R p Analogamente a quanto svolto nel poblema n. 1: 1 mv G mm p R p 0, da cui V G M p R p. 1 G mm p R p. 16 Zanichelli 015

17 14) Quando i due copi si tovano all'infinito, l'enegia potenziale dei due asteoidi è nulla. Inizialmente i due copi sono in quiete, quindi anche la loo enegia cinetica è zeo e petanto l'enegia meccanica del sistema è nulla. Pe la consevazione dell'enegia meccanica totale si ha: G m 1m R + K tot 0 K tot G m 1m R 30 J. Duante il moto agisce solo la foza gavitazionale ta i due asteoidi, che è una foza intena; quindi la quantità di moto totale del sistema si conseva. Dato che inizialmente i due copi sono femi, la velocità del cento di massa è nulla e continua a essee zeo anche quando i due copi si tovano a distanza R. Pe la consevazione della quantità di moto del sistema: m 1 v 1 + (m 1 )v (m 1 + m 1 )v cm 0 v 1 v 1 1 m 1v (m 1)v 1 m 1v (m 1) 1 v 1 K tot v 1 4K tot 3m 1 3, m/s 15) R 3 GM S π (17,94 1, m) 3 T π ( 6, N m /kg ) ( 1, kg), s 76 anni cica Nell'anno , i nati attono al 000 avanno una sessantina d'anni, meno della duata di vita media, quindi è plausibile che gli studenti assistano al itono della cometa di Halley. ) 16) R S GM c ( 4, kg) 7,6 mm (, m/s) ( 0, kg) 0,958 mm ( 86, kg) 130 mm (, m/s) ( 0, kg) 0,49 mm (, m/s) Venee : 6, N m /kg Mate : 6, N m /kg, m/s Uano : 6, N m /kg Mecuio : 6, N m /kg Quindi in odine cescente: Mecuio, Mate, Venee, Uano. Dalla loo massa. 17 Zanichelli 015

18 17) Applichiamo la Teza Legge di Kepleo R 3 T GM 4π M 4π R 3 GT dove R è la distanza dal cento della galassia, T il peiodo di ivoluzione, G la costante di gavitazione univesale e M la massa della pozione di galassia contenuta ento un aggio di 7000 anni-luce. Convetiamo i dati in meti e secondi: R 7000 anni-luce, , m, m T anni,5 10 3,15 10 s 7,87 10 s e otteniamo: 4π (, m) 3 M (6, N m /kg ) (7, s) 1, kg Pe ottenee infine la massa totale M TOT della nosta galassia, dobbiamo consideae che, nell appossimazione fatta, la massa è popozionale all aea del disco su cui è distibuita, pe cui: M :( π 7000 ) quindi: M TOT : π M TOT M , kg 18) La foza di attazione gavitazionale deve essee uguale o supeioe alla foza centifuga, cioè: GmM mω R R Se ne icava dunque la disuguaglianza : M M min ω R 3 G (π / 1,0 s) ( m) 3 9, 10 4 kg 6, (N m )/kg Si noti che tale massa non dipende dalla massa degli oggetti posti sulla supeficie della stella di neutoni (univesalità della caduta libea). 19) Calcoliamo il valoe dell acceleazione di gavità sulla supeficie della stella in m/s : g 54g 54 9,8 m/s 5,3 10 m/s s T Dalla Teza legge di Kepleo a T 3 GM calcoliamo la massa della stella: 4π M 4π 4π (9,0 1, m) 3 GT a3 (6, m 3 kg 1 s ) ((0a) ( )s/a) 4π (1, m) 3 (6, m 3 kg 1 s ) (6, s) 4, kg Possiamo adesso calcolae il aggio della stella: R GM g S 7, m 18 Zanichelli 015

19 0 La distanza del satellite dal cento della Tea è 1, m +6, m, m. Il peiodo di ivoluzione è dato dalla fomula T π T 6,8 La velocità è data da: (, m) 3 6, N m / kg 3 GM da cui si ha: ( 5, kg) 3,9 104 s. v π T 6,8 (,5 107 m) 4, m/s (3, s) 1 Massa delle palline: m V d Feo 4π 3 ( 15,6 cm3) ( 7,9 g / cm 3 ) 0,5 kg. Invetiamo la fomula della legge di gavitazione pe icavae la distanza : G m 1m F Sostituendo m 1 m m 0,5 kg ; F 1, N, otteniamo: ( 6, N m / kg ) ( 0,5 kg) 1, N 1, m. Velocità al contatto: utilizzando la consevazione dell'enegia meccanica, poiché le palline patono da feme, abbiamo: 1 mv G m da cui otteniamo: v Gm ( 6, N m / kg ) ( 0,5 kg) 1, m / s 1, m Il punto essenziale da consideae è la distinzione fa il cento della Tea e il cento di massa del sistema Tea-Luna che, come detto, si muove di moto cicolae unifome; tascuando gli effetti dovuti ad alte cause, il valoe medio della duata dell'anno topico coincideebbe quindi con il peiodo di ivoluzione del cento di massa; questo si tova a cica 4600 km di distanza dal cento della Tea, sulla congiungente Tea-Luna, come si icava facilmente. Infatti in un ifeimento con oigine nel cento della Tea, dette M e m le masse di Tea e Luna ispettivamente, il cento di massa T-L si tova calcolando: x G Mx + mx ( 3, km) T L 4600 km, con M + m m M + m 8 x T 0 e x L. Al pimo quato Tea e Luna sono allineate con la tangente dell'obita della Tea e il cento della Tea è in anticipo sul cento di massa di cica,6 minuti, dato che Δt x G 4600 km v 30 km/s 153 s. Quindi l'equinozio (geocentico!) avviene,6 minuti pima del passaggio del cento di massa. Poiché in un anno ci sono cica 1,5 cicli lunai, il successivo equinozio avviene (appossimativamente) in fase di ultimo quato, guadagnando così altettanto peché adesso il cento della Tea tansita sulla linea del punto gamma dopo il cento di massa: l'anno isulta più lungo della media di Δt 5, minuti. 19 Zanichelli 015

20 Nell'anno successivo gli effetti sono opposti; l'anno è più coto di cica Δt e, detta T 0 la duata media dell'anno topico, la diffeenza ta i due anni, a causa della Luna, isulta: ΔT T 0 + Δt T 0 Δt 4Δt 10,4 minuti. Nota: come detto, ci sono molti alti effetti petubativi sul moto della Tea, cosicché la duata di anni topici successivi vaia in modo molto più accentuato e iegolae. Test) 1)B )B) 3)C) 4)B) 5)A) 6)A) 7)D) 8)B) 9)E) 10)A) 11)C) 1)E) 13)B) 14)A) 15)B! 16)B) 17)C) 18)A)! 0 Zanichelli 015

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