Abbiamo visto come si possa determinare il numero di possibili anagrammi di una parola, con lettere tutte distinte o con alcune lettere ripetute.

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1 MODELLI (Approfondimenti) Approfondiamo i 3 modelli più frequentemente utilizzati nell'analisi Combinatoria e nel Calcolo delle Probabilità, precisamente il modello ANAGRAMMA, il modello ESTRAZIONE e il modello LANCI ANAGRAMMA Abbiamo visto come si possa determinare il numero di possibili anagrammi di una parola, con lettere tutte distinte o con alcune lettere ripetute. Risolviamo adesso qualche problema più complesso A) fra le permutazioni della parola "ortodosso" quante sono quelle nelle quali 1) 4 lettere consecutive formano la parola "osso" 2) 4 lettere consecutive sono quelle della parola "osso"? 1) Considerando il gruppo "osso" come un blocco immutabile, si può considerare la parola "ortodosso" formata da 6 caratteri, con 2 lettere uguali ( le due <<o>> di "ortod") Pertanto il numero cercato è uguale a 6!/2! = 360 2) In questo caso invece la parola "osso" può essere permutata in 6 modi diversi, quindi il numero 360 determinato nel primo caso va moltiplicato per 6. In tutto abbiamo 360*6 = 2160 B) Ada, Bice, Carlo, Daniela ed Enrico devono posare per una foto di gruppo. In quanti modi si possono disporre in linea? 5!= 120 modi e se Daniela ed Enrico vogliono stare comunque vicini? Risposta : 4! * 2! =48 ( cfr. il caso 2 del quesito precedente) E se si dispongono in tre in piedi,indietro, e gli altri due avanti, accovacciati? 5!

2 e se Ada, Bice e Carlo si dispongono in piedi indietro e gli altri due avanti, accovacciati? Risposta : 3!* 2! =12 ( moltiplicazione combinatoria) C) In quanti modi diversi si possono collocare 4 palline di diverso colore ai vertici di un quadrato? Risposta : 4! e su una circonferenza? Risposta : 3! ( la prima può essere collocata in un punto qualsiasi e le altre 3 possono essere permutate in 3! modi diversi) ESTRAZIONE BINOMIALE Si consideri un'urna contenente N palline di 2 colori diversi e si supponga di estrarre successivamente n palline senza mai ricollocare nell'urna la pallina estratta.. SI PARLA IN QUESTO CASO DI ESTRAZIONE IN BLOCCO O SENZA REIMMISSIONE. Quando invece la pallina viene rimessa nell'urna dopo ogni estrazione si parla di ESTRAZIONE CON REIMMISSIONE o DI MODELLO BERNOULLIANO, dal nome dl matematico svizzero Jacques Bernoulli ( ) che ne trattò in modo esauriente tutte le proprietà A) Un urna contiene M palline di cui B bianche ed N nere. Si estraggono in blocco (senza reimmissione) n palline. Quante sono le possibili ennuple che contengono esattamente k palline bianche? fra B palline bianche se ne possono scegliere k in C B,k modi diversi; a ciascuno di questi assortimenti va associato uno dei possibili assortimenti di n-k palline nere scelte fra le N = M-B palline nere presenti nell'urna Tali assortimenti sono in numero di C N,n-k Pertanto in tutto abbiamo C B,k* C N, n-k possibilità.

3 B) Fra le possibili cinquine estratte nel gioco del Lotto, quante sono quelle che contengono 1) i tre numeri da te giocati? 2) tre dei cinque numeri da te giocati? il problema si riconduce al caso precedente se si considerano numeri giocati come palline bianche e i rimanenti come palline nere 1)C 3,3 *C 87,2 = C 87,2 2) C 5,3 *C 85,2 C) Nel mio cassetto ci sono 8 calze blu e 8 calze nere, alla rinfusa. Pesco al buio 8 calze a caso. Quale fra le seguenti è l'eventualità più probabile? a) pescare 4 calze di un colore e4 di un altro b) pescare 5 calze di un colore e 3 di un altro c) pescare 6 calze di un colore e 2 di un altro d) pescare 7 calze di un colore e 1 di un altro e) pescare 8 calze di n colore e 0 di un altro ( Olimpiadi di Matematica -Dicembre 1999) Risposta : Calcoliamo la probabilità di un evento come rapporto tra casi << favorevoli>> e casi <<possibili>> I casi possibili corrispondono a tutte le possibili scelte di 8 oggetti fra 16, cioè C 16,8 Per valutare i casi favorevoli in corrispondenza degli eventi richiesti, consideriamo dapprima quante, fra le possibili scelte, contengono k calzini, per esempio blu, e 8-k neri. Il loro numero è, in accordo col problema A, C 8,k * C 8, 8-k = ( C 8,k )², per la nota proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali. A tale scopo calcoliamo il valore di C 8,kcon k variabile da 0 a 8 ( nona riga del triangolo di Tartaglia) Consideriamo ora ciascun evento Nel caso a le scelte che comprendono 4 calze blu coincidono con quelle che comprendono 4 calze nere, mentre negli altri casi si può considerare l'uscita di k calze blu e 8-k nere o viceversa. Pertanto i rispettivi casi favorevoli sono a) 70² = 4900 b) 2* 56² = 6272

4 c) 2*28² d) 2*8² e) 2*1 La risposta esatta è pertanto la b D)Da un mazzo di carte in cui ci sono 4k carte (con 5<= k <= 10) cioè le carte numerate da 1 a k di ognuno dei 4 semi ( cuori,quadri, fiori, picche), si prendendo 5 carte a caso; la probabilità di avere 4 carte dello stesso numero ma di 4 semi diversi, è la stessa che quella di avere 5 carte dello stesso seme per a) k = 7 b) k= 8 c) k= 9 d) qualunque k con 5<= k <= 10 e) nessun k con 5<= k <= 10 (Gara di Matematica - marzo '95- Università di Tor Vergata) Casi possibili C 4k,5 Casi favorevoli all evento <<Poker>> : Il numero, per esempio, dei poker d'assi è uguale al numero di cinquine di carte che associano i 4 assi con una delle 4k-4 carte rimanenti. Poiché le carte del poker possono però variare in k modi diversi si avranno k (4k-4) casi favorevoli Casi favorevoli all'evento <<colore>> Le cinquine formate da carte tutte di un dato seme sono C k,5 Poiché il seme si può scegliere in 4 modi diversi avremo 4 C k,5 casi favorevoli L'uguaglianza si ha per k =8, come si può verificare, eventualmente a tentativi, dopo aver effettuato alcune semplificazioni

5 Vediamo ora un esempio di estrazione con reimmissione, di 2 palline da un'urna contenente 3 palline bianche e 2 nere. Costruendo un diagramma ad albero si potrà osservare che le possibili sequenze sono BB BN NB NN ovvero due bianche una bianca e una nera due nere Ciascuna può essere ottenuta rispettivamente in 3² 2* 3*2 2² modi Generalizzando ( per n estrazioni) le sequenze che contengono k palline bianche sono C n, k *3 k *2 n-k LANCI Il lancio può essere considerata una specie di estrazione bernoulliana, a patto che l esito del lancio possa essere ricondotto ad una doppia uscita : successo o insuccesso. Il successo può essere equiparato all uscita di una pallina bianca e l insuccesso ad una pallina nera. Esempi Si lancia un dado a sei facce. A)Successo : esce 6 ( ottenibile in un sol modo) Insuccesso : non esce 6 (ottenibile in 5 modi) B) Successo : esce un numero pari ( ottenibile in 3 modi) Insuccesso : esce un numero dispari(ottenibile in 3 modi) C) Si lancia due volte un dado In quanti modi si può ottenere un doppio 6? (k=2)

6 Risposta 1 sol modo In quanti modi si può ottenere 1 solo 6? (k=1) 2*1*5 = 10 modi In quanti modi si può ottenere due volte un numero diverso da 6? (k=0) 25 modi TOTALE =36 = 6 2 E se i lanci sono 3? Tre 6 in un sol modo Due volte 6 in 15 modi Un solo 6 in 3*25 = 75 modi Nessun 6 in 125 modi TOTALE =216 = 6 3