(Figura adattata da Modern Control Systems di R. Dorf R. Bishop, Pearson International Ed.)

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1 Prova TIPO A per: Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti): 6 dei 10 esercizi numerici (nell effettiva prova d esame verranno selezionati a priori dal docente) + domande a risposta multipla (v. ultime due pagine) Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (6 crediti) / CONTROLLI AUTOMATICI : tutti i 10 esercizi numerici (escluse le domande a risposta multipla nelle ultime 2 pagine) ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema costituito da un motore elettrico ed una coppia di pulegge connesse da una cinghia elastica, il cui obiettivo è movimentare un dispositivo di massa m (es. la testina di una stampante): (Figura adattata da Modern Control Systems di R. Dorf R. Bishop, Pearson International Ed.) Le equazioni differenziali che descrivono il modello dinamico del sistema, ottenute dal bilancio delle forze generalizzate agenti sulle parti in movimento, sono le seguenti: Si determini il corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati, del tipo:

2 fissando le seguenti scelte per stato, ingresso e uscita: A = B = C = D = ESERCIZIO 2. Dato il modello ottenuto nell Esercizio 1, si sostituiscano i seguenti valori per i parametri fisici: m = 10; r = 0,1; k = 20; J = 0,2; b = 0,6; k m = 0,2 e si verifichi se il sistema sia o meno completamente controllabile, calcolando la matrice di raggiungibilità ed il relativo rango. P = rango(p) = Perciò il sistema E / NON E completamente controllabile.

3 ESERCIZIO 3. Per il sistema con i valori numerici indicati nell Esercizio 2, si progetti una retroazione stato-ingresso (i.e. u = H x + v ), in modo tale che: gli autovalori assegnabili del sistema chiuso in retroazione siano tutti reali e distinti; il più lento di tali autovalori abbia tempo di assestamento (al 5%) di 1 secondo e gli altri assegnabili abbiano valori assoluti progressivi di una unità (es. -3, -4, ecc.). H = ESERCIZIO 4. Si determini la trasformata di Laplace del seguente segnale nel dominio del tempo f(t): F(s) =

4 ESERCIZIO 5. Si determini la funzione di trasferimento del seguente schema a blocchi: u A + - B y D C Y / U = ESERCIZIO 6. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si calcoli il valore di K tale per cui risulti: qualora sia ad u che a d siano applicati dei gradini unitari:

5 K = ESERCIZIO 7. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si disegni il corrispondente luogo delle radici valido per K > 0 (luogo diretto). Im Re

6 ESERCIZIO 8. Dato il sistema dal diagramma a blocchi dell Esercizio 7, si determini il valore di K > 0 per cui il sistema risulti semplicemente stabile. Per tale valore di K si calcolino poi i valori numerici dei corrispondenti poli sull asse immaginario del piano complesso. K = P 1,2 = ESERCIZIO 9. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: Si calcolino i valori di K 1 e K 2 tali per cui il sistema ad anello chiuso risulti avere tempo di assestamento T a = 0,5 secondi e coefficiente di smorzamento δ = 0,6. K 1 = ; K 2 = ESERCIZIO 10. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze:

7 10 4 G(jω) G c (jω)*g(jω) si determinino le due funzioni di trasferimento G(s) e G c (s), supposte a fase minima. G(s) = G c (s) =

8 TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. L ingresso u(t) e l uscita y(t) di un sistema sono legati dalla relazione Tale sistema è: puramente algebrico puramente dinamico dinamico, non puramente non fisicamente realizzabile DOMANDA 2. La retroazione stato-ingresso in un sistema dinamico lineare e stazionario, NON completamente controllabile, NON può modificare gli autovalori della parte: controllabile del sistema osservabile del sistema non controllabile del sistema non osservabile del sistema DOMANDA 3. La risposta impulsiva di un sistema dinamico lineare e stazionario, completamente osservabile e completamente controllabile, con un solo ingresso e una sola uscita, tende al valore -1 quando il tempo tende all infinito. Tale sistema è in forma minima è instabile è asintoticamente stabile è semplicemente stabile DOMANDA 4. Un sistema con funzione di trasferimento G(s) pari a: risulta essere: semplicemente stabile asintoticamente stabile a fase minima puramente dinamico DOMANDA 5. Un sistema dinamico lineare e stazionario caratterizzato dalla seguente matrice di transizione:

9 è semplicemente stabile è asintoticamente stabile è instabile è completamente controllabile DOMANDA 6. Il tempo di assestamento T a (al +/- 5%) della risposta al gradino per un sistema dinamico tempo-continuo avente funzione di trasferimento pari a: è: T a = 1 T a = 2 T a = 3 T a = 1/3 DOMANDA 7. Una rete correttrice ad ritardo e anticipo caratterizzata dalla pulsazione centrale Attenua l ampiezza per Amplifica l ampiezza per Attenua e introduce un ritardo di fase per Amplifica e introduce un anticipo di fase per DOMANDA 8. Il sistema avente la seguente funzione di trasferimento: può essere reso asintoticamente stabile con uno schema ad anello chiuso, con retroazione unitaria negativa, che includa: un regolatore PI una rete anticipatrice un regolatore PD una rete ritardatrice