Fisica Generale - Modulo Fisica II Esercitazione 1 Ingegneria Meccanica LA FORZA ELETTRICA

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1 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione L FOZ LTTI a. Date le ue caiche fisse ella figua ove. e.5 la posizione i euilibio lungo l'asse i una teza caica mobile. si tova nel punto con ascissa ().7 m ().87 m ().5 m (D).6 m ().7 m Soluzione. ll'inteno el segmento (,) non vi può essee punto i euilibio peché le foze esecitate a entambe le caiche fisse hanno lo stesso veso (a esta nel nosto caso). Se si impone l'uguaglianza in moulo elle foze su k k ( ) ( ) si ottiene una euazione i secono gao in (espesso in meti) che ha come soluzioni.7 e.87 ta cui si eve scatae la secona soluzione peché intena al segmento. a. Una sfea conuttice i aggio 5 cm e caica iniziale 4 μ è posta bevemente in contatto elettico con una secona sfea conuttice i aggio 4 cm e caica iniziale μ posta a te meti i istanza alla pima caica. Dopo che il contatto è stato imosso le ue sfee si espingono con una foza i cica () N ().95 mn () 8. mn (D) 8.5 mn () 9 mn Soluzione. Le ue sfee hanno una caica complessiva pai alla somma algebica elle caiche ( μ). Duante il contatto le caiche si iistibuiscono in moo che l inteo sistema abbia lo stesso potenziale in ogni punto (i conuttoi sono supefici euipotenziali). e una sfea si ha V ( ) 4πε, e esseno il potenziale elle sfee uguale, la caica complessiva saà ipatita ta le ue sfee popozionalmente al aggio; opo il contatto le sfee hanno caiche (inicate con apici) ate a ' 5 ' 4 ( ) μ; ( ) μ ' ' Il moulo ella foza elettica vale petanto F k.947mn a. Una caica μ è posta su i una sfeetta metallica i g appoggiata a un e- stemo i una bacchetta isolante lunga cm. ll alto estemo p ella bacchetta vi è incollata una secona sfeetta, ientica alla pima, con una caica i. μ. Se la bacchetta uota in un piano oizzontale attono all asse veticale p ella figua, pe uale peioo i otazione la pima sfeetta si staccheà alla bacchetta? 5 cm 5 cm ().4 s ().4 s ().5 s (D) 5.44 s () Soluzione. L'attazione coulombiana (istanza. m) bilancia la foza centipeta ichiesta al moto cicolae i (aggio.5 m) al momento el istacco k. π m.5 T T.4s m

2 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione a4. Secono il moello atomico i oh, l elettone ell atomo iogeno (con massa m e 9. kg, caica e.6 9 ) pecoe un obita cicolae i aggio 5. m attono al suo nucleo con feuenza (eteminata all attazione elettica) () 7 Hz ().5( )Hz () 6.6( 5 )Hz (D).( 8 )Hz () 9.( 6 )Hz Soluzione. Occoe eguagliae la foza centipeta e l attazione coulombiana ta ue caiche uguali e i segno opposto; si icava poi la feuenza alla velocità angolae : m ω k e e ω ν π π k m e e 6.6( uesta è la feuenza ella aiazione nell'ultavioletto assobita all'atomo i iogeno uano viene ionizzato. La feuenza moltiplicata pe la costante i lanck (h) à l'enegia i ionizzazione. Una iscussione "classica" ell'atomo i iogeno si pesta a illustae intuitivamente la uantizzazione i obite e i campo elettomagnetico. 5 )Hz a5. Te caiche puntifomi μ sono poste ai te vetici i un uaato con lato l 4 m; nel uato vetice è posta la caica. La componente lungo ella foza agente su i una caica i μ posto al cento el uaato vale appossimativamente (,) ().4 N ().86N ().95 N (D).86 N (,) ().4 N a6. Un pocesso elettolitico ivie. mg i Nal (massa i una mole 59 g) in Na e l. Le caiche positive vengono allontanate a uelle negative sino a che la foza i attazione ta caiche i segno opposto si iuce a N. La istanza ta caiche positive e negative è i cica () km () km () 4 km (D) km () km a7. gli estemi, i un segmento lungo cm sono vincolate ue caiche positive con n e n. Una teza caica positiva 6 n è libea i muovesi lungo il segmento e all euilibio aggiunge un punto compeso ta e. La istanza vale cica (aotonae) () 5 cm () 59 cm () 69 cm (D) 76 cm ()6 cm a8. Una caica 4.( 6 ) è nell oigine. Se si vuole che su una caica i.6( 7 ) si eseciti una foza i intensità 6.( 6 ) N nella iezione positiva ell asse uesta caica eta nel punto i ascissa ().4 m (). 6 m () (D) 8. 4 m ().6 ve essee pos m

3 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione a9. Due sfeette conuttici caiche i aggio pai a cm si attiano inizialmente con una foza i 5 N uano sono alla istanza i m. Dopo essee state poste pe un attimo in contatto elettico meiante un filo conuttoe, le ue sfeette, sempe alla istanza i m, si espingono con una foza i intensità N. Il appoto ta le caiche iniziali sulle sfee vale in valoe assoluto (si scelga il appoto >) ().67 ().86 ().8 (D).4 () 5.8 a. Due sfeette caiche, ambeue i.5 cm i aggio, si attiano inizialmente con una foza i intensità 9 N uano sono poste alla istanza i m. Dopo essee state poste pe un attimo in contatto elettico meiante un sottile filo conuttoe, le ue sfeette, sempe alla istanza i m, si espingono con una foza i 4 N. Ta le seguenti affemazioni sono vee (segnae con sì o cocetta uelle vee) () Le ue caiche iniziali hanno segno opposto e valoi assoluti ivesi. () Le ue caiche finali hanno lo stesso valoe e lo stesso segno. () on i ati el poblema non é possibile eteminae i segni elle caiche iniziali e finali. (D) Il valoe assoluto i una elle ue caiche iniziali è i μ. () Il valoe assoluto i una elle ue caiche finali è i 66.7 μ. IL MO LTTIO b. Te caiche elettiche, sono poste ai vetici i un tiangolo isoscele i vetice, altezza H cm e base 6 cm. Se 5 n e il campo elettico nel baicento M si annulla la caica vale: () (). n ().89 n (D) 8.64 n ().5 n Soluzione. Il baicento ivie la meiana in moo che MHH/ 4 cm; peciò M MH H 5 cm. Si isegnino nel punto M i vettoi campi elettici, ( ). Dato che il campo isultante in M è nullo, la caica eve essee positiva e in valoe tale a soisfae la elazione: MH 4 sinα ove sin α M 5 M k sinα k sin α (M) (M) M n b. Due caiche.5 e. sono tenute fisse su ue punti iametalmente opposti i una ciconfeenza mente la caica. è libea i muovesi solo sulla stessa ciconfeenza. Nel punto in cui la caica è in euilibio l angolo α ella figua vale cica () 55 () 5 () 74 (D) 6 () 45 α M H α H α α α

4 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione Soluzione. Inichiamo con e le intensità ei campi elettici pootti nella posizione i a e e con e le istanze ta e e ta e. L euilibio si avà uano il campo isultante ha componente tangenziale nulla lungo la ciconfeenza, ovveo, uano il campo isultante è ietto come la etta. Osseviamo che il tiangolo è isoscele, uini gli angoli alla base sono uguali; e anche l angolo ta la iezione i e la iezione el aggio vale α peché opposto al vetice. La componente i tangenziale alla ciconfeenza è uini sin α ; allo stesso moo si può veee che la componente i tangenziale alla ciconfeenza è sin α (e è ietta in veso opposto alla peceente). Dato che ueste componenti evono essee uguali abbiamo: cos sinα sinα α ove si è sfuttata la elazione ta funzioni tigonometiche i angoli complementai; infatti α α π / pe le popietà el tiangolo inscitto in una semiciconfeenza. Si ha alloa / tanα / / / a cui α tan tan 4 59' b. Nei vetici e i un tiangolo euilateo sono state poste le caiche e. Nel tezo vetice si tova che il campo elettico è nomale a e ietto nel senso inicato. Se la caica vale, la caica tot vale () ().5 ().87 (D).87 () non esiste Soluzione. La componente i paallela a (tatteggiata nella figua) vale cos6 / Dalla figua si vee che / e che il campo ella caica in eve essee ietto veso. eciò la caica in è negativa e pai alla metà i uella in :.5. b4. Sui sei vetici i un esagono i lato.5 nm sono collocati te ioni ossigeno ( O ) e te ioni cesio ( s ) (caiche ispettive: e. 9 e e.6 9 ). Se la istanza massima ta gli atomi i ossigeno vale e la minima, il moulo el campo elettico nel cento ell esagono vale (k costante elettica /4πε ) ke 7ke 6ke () () () (D) () Soluzione. Il caso el testo è appesentato in figua, ove le palline piene appesentano gli ioni O e uelle vuote gli ioni s. onsieiamo una coppia i ioni O e s situati su ue vetici opposti ell esagono. Il campo ceato al cento ke ell esagono allo ione O vale in moulo, mente uello ceato allo ione s vale ke. sseno uesti ue campi euivesi, il campo ceato 4

5 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione ke al cento alla coppia O, s vale in moulo, e è ietto veso lo ione O. I campi pootti a ciascuna coppia sono appesentati in figua alle fecce. Dato che i te vettoi ke 6ke fomano angoli i 6, il moulo el campo isultante è. b5. Una sfea conuttice i aggio s cm con una caica s n ha il cento nell oigine O egli assi catesiani. L asse i un lungo cilino conuttoe i aggio c cm e caica pe unità i lunghezza pai a c /L n/m è paallelo all asse y e inteseca l asse nel punto (5,) che è istante 5 m a O. La componente el campo elettico nel punto (. m,.4 m) vale () 9.5 V/m () 6.87 V/m ().5 V/m (D).5 V/m (). V/m y O Soluzione. La sfea genea in un campo S ietto aialmente, la cui componente paallela all asse è: S S S cosϑ k cosϑ ove è la istanza i a O. Il campo geneato al cilino conuttoe nel punto è pepenicolae al filo ( y ), ha veso opposto all asse e la sua intensità è: ove è la istanza i all asse el cilino. πε L La componente el campo totale è peciò: S S cosϑ 4πε y y πε L 9 9 Nm m 8 (5.)m m [(.) (.4) ] m 9 Nm 9 /m V O S b6. Due fili conuttoi cicolai ( e ) caichi hanno i centi sull asse elle e appatengono a piani paalleli a yz. aggi () ei fili, ascisse ( ) ei centi e caiche () note sono ipotate in tabella. Il campo elettico si annulla nel punto ell asse elle che ha ascissa / cm. La caica vale z (cm) (cm) (μ) (). μ () 4. μ () 6. μ (D) 9.6 μ y? ().6 μ 5

6 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione Soluzione. a) b) Il calcolo el campo i una caica unifomemente istibuita su una ciconfeenza è elementae uano si pene in consieazione l asse el cechio, nel nosto caso l asse appesentato in a). Ogni elemento i caica ella ciconfeenza contibuisce al campo elettico a istanza al cento lungo l asse ella ciconfeenza con () k e il campo totale vale ( ) k ( ) / La funzione appesentata in b) ha un massimo pe e vale zeo nel cento () el cechio. on uesta fomula si calcolano i mouli ei campi ovuti a e in teneno conto che ( ) ( ) k, / ( ) k ( ) ( ( ) ) / ima i eguagliae le ue componenti si iscute il segno i ; è intemeio ta i ue centi e è positivo. Il campo si può annullae solo con > ( ) k ( ) / ( ) ( ( ) ) / ( ) ( ) k / ( ) ( ) ( ) 4.μ / b7. Un asta sottile che pota complessivamente una caica.5 n viene cuvata a foma i semicechio i aggio.77 m. Il campo elettico nel cento el semicechio vale () 5.7 V/m ().87 V/m ().4 V/m (D).76 V/m ().58 V/m ϑ O Soluzione. Si consiea il semicechio suiviso in tatti infinitesimi l su ciascuno ei uali vi è la caica l ϑ ϑ L π π O ϑ Ogni caica elementae genea in O il campo elettico k e il campo isultante è ato, pe agioni i simmetia, alla sommatoia elle componenti veticali i ciascun campo elementae ( tot ) 6

7 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione tot tot y π 9 sinϑ k π 9 Nm π 9.5 π (.77m) sinϑϑ k π V 5.7 m b8. Un gammo i iogeno atomico viene sepaato in N 6.( ) potoni, ciascuno con caica e.6( 9 ) e in altettanti elettoni (con uguale caica negativa); i potoni vengono potati al polo No e gli elettoni al polo Su. Se il aggio teeste è T 64 km, il campo elettico al cento ella Tea vale (in N/) () 98 () () 4 (D) 4( 7 ) ().6( 5 ) b9. Due caiche. e.4 si tovano agli estemi i un iameto i una ciconfeenza i aggio.5 m. Il punto ella ciconfeenza ove il campo elettico è nomale al iameto ha ascissa (vei figua) (). m (). m ().6 m (D).64 m ().8 m y 4 b. Le cooinate (in meti) ei punti ella figua tabella. Nel punto è posta una caica 9 n e la scelta in moo che il campo elettico nel punto O (,) sia vale () n () 4 n () 6.75 n (D) 7. n () n y O sono ipotate in caica in è nullo. La caica b. Il campo elettico nel tezo vetice i un tiangolo euilateo i lato. m, in cui gli alti ue vetici sono occupati ciascuno a una caica 5 n (positiva), vale in moulo () 75 V/m () 5846 V/m () 5 V/m (D) 757 V/m () b. Una caica 5.5 ( 8 ) è nell oigine ell asse e una caica.( 8 ) si tova in.58 m. che punto ell asse il campo è nullo? ().58 m ().8 m ().8 m (D).95 m (). b. Due fili paalleli e istanti.5 m potano la stessa caica positiva con una ensità i.8 6 /m. Il campo a.75 m al pimo filo e m all alto vale in moulo () V/m ().5 5 V/m () V/m (D) V/m ().4 4 V/m 7

8 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione IL FLUSSO DL MO LTTIO IL TOM DI GUSS c. Una caica elettica è istibuita unifomemente, cioè a ensità ρ costante, nel volume i una sfea i aggio cm. Il appoto ta il campo elettico a 5 cm al cento e il campo elettico a 5 cm al cento, ( )/( ), vale cica () /9 () 4/9 () / (D).66 ().5 Soluzione. Il poblema si isolve applicano il teoema i Gauss a una supeficie sfeica passante pe il pimo punto e a una passante pe il secono. e supefici sfeiche si ha sempe ( ) cont 4πε ove cont è la caica contenuta nella sfea (immaginaia) i aggio. onviene espimee i isultati in temini el campo elettico alla supeficie ella sfea caica che pe uanto etto vale evientemente: 4πε e > : la caica contenuta è tutta la caica uini 4 o 4 o πε πε 5.5 e < la caica contenuta è ata alla ensità i caica ρ moltiplicata pe il 4 / π volume 4 / π cont 4πε o 4πε o e infine si ottiene /.5. alla supeficie sfeica i aggio, uini 5 c. Una sfeetta i massa m g e caica (positiva) è appesa meiante un leggeo filo i seta lungo.5 m a una sottile lamina conuttice veticale che pota una caica i. m/m (vei figua). Se, nella conizione i euilibio, l angolo fomato ta il filo e la lamina è ϑ o la caica ella sfeetta vale () 5. n () 4.4 n () 5. n (D) 8.6 n () n Soluzione. Si eve calcolae il moulo el campo elettico pootto a una lamina caica, la uale viene iealizzata come ue supefici aventi ensità i caica supeficiale σ e σ, con σ σ. La caica pe unità i supeficie ella lamina è σ σ σ. m/m. Il isultato è lo stesso sia che si pena la supeficie i Gauss el cilino con base S, sia che si pena uello con base S ella figua. Nel pimo caso si ha: S σ S / ε σ / ε (la supeficie S nella lamina non contibuisce al flusso). S S S < ϑ T mg σ σ 8

9 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione S σ σ S ε σ ε σ ε Nel secono caso abbiamo: ( ) / / / ll euilibio il momento ella foza elettica e el peso mg ispetto al punto i sospensione evono essee uguali e opposti. Si può anche ie che in tal caso la isultante mg eve essee annullata alla tensione T el filo e eve uini essee ietta come il filo. eciò eve essee: T sin ϑ ; T cosϑ mg e uini ε mg tanϑ mg tanϑ 5. σ 9 c. alcolae il campo elettico a istanza i un filo infinitamente lungo, posto lungo l asse, caicato con una ensità lineae i caica ρ (in /m). Soluzione. In ualunue punto il campo elettico saà ietto pepenicolamente al filo in uanto non vi è agione pe cui il campo abbia una componente ietta lungo l asse. Sempe pe agioni i simmetia, il moulo i avà lo stesso valoe () in ogni h punto a istanza al filo. ome supeficie su cui applicae la legge i Gauss peniamo uella i un cilino i altezza h e i aggio, che ha pe asse il filo. Il flusso i è iveso a zeo solo attaveso la supeficie lateale (πh) e è popozionale alla caica ρ l h contenuta nel cilino: ρh ρ Φ( ) π h( ) ( ) ε πε c4. Si consiei la supeficie chiusa el cubo i lato a mostato in figua. Il flusso el campo elettico attaveso tale supeficie uano è pesente un campo elettico i (costante e ietto come l asse elle ) vale () a () a () 6 a (D) () z y c5. on ifeimento al poblema peceente, se il campo elettico è ietto come l asse elle e vale () i, con costante positiva, la caica contenuta nel cubo vale () ε a () ε /a () ε a (D) () c6. Una caica positiva è posta a mm i istanza sopa il cento ella calotta semisfeica i aggio m ella figua. Il flusso el campo e- lettico attaveso la supeficie piana che chiue la calotta supeiomente vale cica, in valoe assoluto () () () /ε (D) /ε () c7. on ifeimento al poblema peceente, il flusso el campo elettico attaveso la calotta semisfeica vale cica, in valoe assoluto () () () /ε (D) /ε () 9

10 Fisica Geneale - Moulo Fisica II secitazione c8. Una sfea isolante i aggio a ha una caica totale, istibuita con ensità volumetica unifome. La sfea è ciconata a un guscio sfeico concentico conuttoe con aggio inteno b e aggio esteno c. Disegnae ualitativamente l anamento, in funzione ella istanza al cento, el moulo el campo elettico nelle vaie egioni (inteno ella sfea isolante, ta sfea e guscio, inteno el guscio, e- steno el guscio) (a) La caica inotta pe unità i aea sulla supeficie intena el conuttoe cavo vale (b) La caica inotta pe unità i aea sulla supeficie estena el conuttoe cavo vale a b c c9. Su una baa cilinica i alluminio lunga m e avente il iameto i cm viene posta una caica i 5 μ. Il campo elettico alla supeficie ella baa a uguale istanza agli e- stemi in moulo vale ().54 MV/m (). MV/m () 5.4 MV/m (D).5 MV/m () 5 MV/m c. Il moulo el campo elettico immeiatamente sopa il punto centale i una piastina metallica caica a foma i uaato i cm i lato e. mm i spessoe è i 5 V/cm. La caica elettica complessiva ella piastina vale cica ().6 n () 5. n () 5.8 n (D).6 n () 5.4 n c. Il ivelatoe i un contatoe Geige è costituito a un filo lungo. m e iameto. mm in asse con un cilino metallico vuoto con iameto inteno i cm. Filo e cilino sono sotto vuoto e potano caiche i segno opposto e uguali in valoe assoluto. Se il moulo el campo elettico in possimità ella supeficie intena el cilino è ( 4 ) V/m, in possimità el filo vale () 6( 4 ) V/m () ( 4 ) V/m () ( 6 ) V/m (D) ( 7 ) V/m () π( 4 ) V/m