Algoritmi greedy II parte. Progettazione di Algoritmi a.a Matricole congrue a 1 Docente: Annalisa De Bonis

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1 Algoritmi greedy II prte Progettzione di Algoritmi Mtriole ongrue 1 Doente: Annlis De Bonis 40

2 Prolem del hing offline ottimle Ching. Un he è un tipo di memori ui si può edere molto veloemente. Un he permette essi più veloi rispetto ll memori priniple m h dimensioni molto più piole. Possimo pensre d un he ome d un posto in ui possimo tenere portt di mno le ose he i servono m he è di dimensione limitt per ui doimo riflettere ene su os mettervi e su os togliere per evitre he i serv qulos he non imo portt di mno. Che hit: elemento già presente nell he qundo rihiesto. Che miss: elemento non presente nell he qundo rihiesto: oorre portre l elemento rihiesto nell he e se l he è pien oorre espellere dll he luni elementi per fre posto quelli rihiesti. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 41

3 Prolem del hing offline ottimle Ching. Formlizzimo il prolem ome segue: Memori entrle ontenente un insieme U di n elementi Che on pità di memorizzre k elementi. Sequenz di m rihieste di elementi d 1, d 2,, d n fornit in input in modo offline (tutte le rihieste vengono rese note ll inizio). Non molto relistio! Assumimo he inizilmente l he si pien, ioè onteng k elementi Def. Un evition shedule ridotto è uno sheduling degli elementi d espellere, ioè un sequenz he indi qule elemento espellere qundo è isogno di fr posto d un elemento rihiesto he non è in he. Un evition shedule non ridotto è uno sheduling he d un erto psso i può deidere di inserire in he un elemento he non è stto rihiesto PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 42

4 Prolem del hing offline ottimle Un evition shedule ridotto inserise in he un elemento solo nel momento in ui è rihiesto e se non è presente già in he l momento dell rihiest. Osservzione. In un evition shedule ridotto il numero di inserimenti in he è ugule l numero di he miss. Oiettivo. Un evition shedule ridotto he minimizzi il numero di he miss.. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 43

5 Evition Shedule ridotto d x d d x d d d d Uno shedule non ridotto Uno shedule ridotto 44

6 hing offline ottimle: Frthest-In-Future Frthest-in-future. Qundo viene rihiesto un elemento he non è presente in he, espelli dll he l elemento he srà rihiesto più in là nel tempo o he non srà più rihiesto. Che in questo momento: d e f Rihieste future: g e d d e f d e f g h... he miss Espelli quest Teorem. [Belldy, 1960s] Frthest-in-future è uno shedule (ridotto) ottimo. Dim. L tesi del teorem è intuitiv m l dimostrzione è sottile. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 45

7 Prolem del hing offline ottimle Esempio. Che di dimensione k = 2, Inizilmente l he ontiene, Le rihieste sono,,,,,,,. Usimo frthest-in-future: Qundo rriv l prim rihiest di viene espulso perhè verrà rihiesto più in là nel tempo rispetto. Qundo rriv l seond rihiest di viene espulso perhè non viene più rihiesto Sheduling ottimo: 2 he miss. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS rihieste he 46

8 Algoritmo di Beldy sto sull strtegi Frthest in Future (FF) Assume the requests d 1, d 2,,d n re rrnged in sending order of rrivl time For eh element d, let L[d] the list of j s.t.d j =d Let Q priority queue for j = 1 to n { if(list L[d j ] is empty nd d j is in the he) insert (j,d j ) in Q //j is the key ppend j to list L[d j ] } for j = 1 to n { if (d j is in the he){ remove first element from L[d j ] if(l[d j ] is empty) } reple key of d j with in Q else {p first element of L[d j ] reple key of d j with p in Q } } else{ //d j needs to e rought into the he (h,d h ) ExtrtMx(Q) evit d h from the he nd ring d j to the he remove first element from L[d j ] if(l[d j ] is NOT empty) { p first element of L[d j ] insert (p,d j ) in Q } O(n+k log k ) k = dimensione he O(n log k ) k = dimensione he 47

9 Anlisi dell lgoritmi di Beldy Tempo O(n log k) se Ad ogni elemento è ssoito un flg he è true se e solo l elemento è in he Usimo un hep ome od priorità ssumimo he l hep supporti l operzione hngekey he onsente di modifire l hive di un entrt ritrri dell hep e l operzione di remove he onsente di nellre un entrt ritri. Queste operzioni possono essere implementt in modo d rihiedere tempo O(log k). Considerimo ostnte il tempo per espellere e inserire isun elemento in he 48

10 Frthest-In-Future: ottimlità L dimostrzione dell ottimlità si s sui seguenti ftti he ndremo dimostrre Ogni shedule ridotto può essere trsformto nello shedule FF senz umentre il numero di he miss Possimo quindi trsformre uno sheduling ridotto ottimo nello sheduling FF senz umentre il numero di he miss. Ciò impli he FF v inontro llo stesso numero di he miss dell lgoritmo ottimo ed è quindi nh esso ottimo 49

11 Frthest-In-Future: ottimlità Affermzione. Un qulsisi evition shedule S può essere trsformto in un evition shedule ridotto S senz umentre il numero di elementi inseriti nell he. Dim. Se d un erto tempo t, S port un erto elemento d in he e d è stto rihiesto l tempo t llor S f l stess os. Se d un erto tenpo t, S port un erto elemento d in he senz he d si stt rihiesto, S f fint di fre lo stesso m di ftto non inserise niente in he ed eventulmente inserise d suessivmente qundo d è rihiesto. Il numero totle di inserimenti effettuti d S è lo stesso di S se tutte le volte he S inserise un elemento d non rihiesto de he d veng rihiesto in seguito. Se invee quluno degli elementi inseriti d S non è rihiesto nè in quel momento né suessivmente llor S effettu un numero minore di inserimenti. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS

12 Frthest-In-Future: ottimlità Teorem. Si S uno sheduling ridotto he f le stesse selte dello sheduling S FF di frthest-in-future per i primi j elementi, per un erto j 0. E possiile ostruire uno sheduling ridotto S he f le stesse selte di S FF per i primi j+1 elementi e determin un numero di he miss non mggiore di quello determinto d S. Dim. Produimo S nel seguente modo. Considerimo l (j+1)-esim rihiest e si d = d j+1 l elemento rihiesto, Siome S e S FF hnno ftto le stesse selte fino ll rihiest j-esim, qundo rriv l rihiest (j+1)-esim il ontenuto dell he per i due sheduling è lo stesso. o Cso 1: d è gi nell he. In questo so si S FF he S non fnno o niente perhé entrmi sono ridotti. Cso 2: d non è nell he ed S espelle lo stesso elemento espulso d S FF In questi due si st porre S =S visto he S ed S FF hnno lo stesso omportmentonheper l (j+1)-esim rihiest. Continu nell prossim slide 51

13 Frthest-In-Future: ottimlità o Cso 3: d non è nell he e S FF espelle e mentre S espelle f e. Costruimo S prtire d S modifindo l (j+1)-esim selt in modo he espell e invee di f j e f e f S S' j+1 j e d d f S or S h lo stesso omportmento di S FF per le prime j+1 rihieste. Oorre dimostrre he S riese d effetture suessivmente delle selte he non determinno un numero di he miss mggiore di quello di S. S' Continu nell prossim slide 52

14 Frthest-In-Future: ottimlità Dopo l (j+1)-esim rihiest fimo fre d S le stesse selte di S fino he, d un erto tempo j, de per l prim volt he non è possiile he S ed S fino l stess selt. A questo punto S deve fre neessrimente un selt divers d quell di S. Fimo però in modo he l selt di S rend il ontenuto dell he di S identio quello dell he di S. D questo punto in poi il omportmento di S srà identio quello di S per ui ndrà inontro llo stesso numero di he miss. Continu nell prossim slide PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 53

15 Frthest-In-Future: ottimlità Notimo he siome i due sheduling fino l tempo j si sono omportti in modo diverso un uni volt, il ontenuto dell he nei due sheduling differise in un singolo elemento he è ugule d e in S ed è ugule f in S. S e S' f Indihimo on g l elemento rihiesto l tempo j. I si he vreero permesso d S di fre l stess selt di S sono: g e, f ; g è presente nell he di S: in questo so g è presente nhe nell he di S non f niente ome S. g e, f ; g non è presente nell he di S ; S espelle un elemento diverso d e: in questo so g non è nenhe nell he di S ed S può espellere lo stesso elemento espulso d S. Nell prossim slide vedimo i si in ui S non può fre l stess selt di S. PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 54

16 Frthest-In-Future: ottimlità Cso 3.1: g e, f ; g non è né nell he di S né in quell di S ; S espelle e. In questo so fimo in modo he S espell f. In questo modo dopo il tempo j il ontenuto dell he di S è ugule quello dell he di S. Il numero di he miss di S è lo stesso di S. Cso 3.2: g = f ; S espelle e. In questo so S non f niente e d quel momento in poi le he di S è ugule quello di S. Il numero di he miss di S è minore di quello di S. S ge S' gf S fe S' f Cso 3.3: g = f ; S espelle e e. In questo so e è presente nhe nell he di S. Fimo in modo he, l tempo j, S espell e ed inseris e. D questo momento l he di S e quell di S hnno lo stesso ontenuto e il numero di he miss in ui inorrernno i due sheduling sr` lo stesso. Il teorem non è nor dimostrto per questo so in qunto S non è ridotto. Aimo però dimostrto he possimo rendere S ridotto senz umentre il numero di inserimenti. In questo sheduling ridotto il numero di he miss è ugule l numero di he miss di S. S f e e S' e e f 55

17 Frthest-In-Future: ottimlità NB: nel so 3.3 il numero di inserimenti di S e quello di S fino l psso j (inluso) sono uguli. Il numero di inserimenti di S e quello di S (prim dell trsormzione in uno sheduling ridotto) ontinuno d essere uguli fino ll fine perhe dl psso j in poi S ed S hnno in he gli stessi elementi e possono fre le stesse selte. Indihimo on m il numero totle di inserimenti. S e` ridotto per ui si h he il numero di he miss di S e` ugule d m. Nel trsformre S in uno sheduling ridotto il numero di inserimenti totle 1. non ument per ui risult minore o ugule di m. 2. divent ugule l numero totle di he miss. Ne onsegue he il numero totle di he miss di S e` minore o ugule di m ed e` quindi minore o gule del numero di he miss di S. 56

18 Frthest in Future: ottimlità Resteree il so g=e. Notimo he l tempo j non può dere he g=e. Vedimo perhé. Al tempo j+1 S FF h espulso e l posto di f per ui, dopo il tempo j+1, e viene rihiesto più trdi di f o non viene rihiesto fftto. Se dopo il tempo j+1 vi è un rihiest di e llor quest rihiest deve essere preedut d un rihiest di f. Come imo visto nell slide preedente l rihiest di f in un tempo suessivo l tempo j+1 porteree S fre un selt divers d S m iò non è possiile perhé stimo ssumendo he j è il primo momento (suessivo l tempo j+1) in ui de he S non può fre l stess selt di S. 57

19 Frthest-In-Future: ottimlità Teorem. Frthest-in-future produe un evition shedule S FF ottimo. Dim. Considerimo un evition shedule ridotto ottimo S *. Applindo il teorem preedente on j=0, si h he possimo trsformre S * in uno shedule ridotto S 1 he per l prim rihiest si omport ome S FF e v inontro llo stesso numero di he miss di S*. Applindo il teorem preedente on j=1, si h he possimo trsformre S 1 in uno shedule ridotto S 2 he per l prime due rihieste si omport ome S FF e v inontro llo stesso numero di he miss di S 1 e quindi di S*. Continuimo in questo modo pplindo induttivmente il teorem preedente per j=1,2,,n fino he non rrivimo d uno shedule S n he effettu esttmente le stesse selte di S FF (S n = S FF ) e v inontro llo stesso numero di he miss di S *. Si h quindi he S FF e S* vnno inontro llo stesso numero di he miss e di onseguenz S* è ottimo PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 58

20 Il prolem del hing nell reltà Il prolem del hing è tr i prolemi più importnti in informti. Nell reltà le riheste non sono note in ntiipo ome nel modello offline. E più relistio quindi onsiderre il modello online in ui le rihieste rrivno mn mno he si proede on l eseuzione dell lgoritmo. L lgortimo he si omport meglio per il modello online è l lgoritmo sto sul prinipio Lest-Reently-Used o su sue vrinti. Lest-Reently-Used (LRU). Espelli l pgin he è stt rihiest meno reentemente Non è ltro he il prinipio Frthest in Future on l direzione del tempo invertit: più lontno nel pssto invee he nel futuro E effie perhé in genere un progrmm ontinu d edere lle ose ui h ppen ftto esso (lolity of referene). E file trovre ontroesempi questo m si trtt di si rri PROGETTAZIONE DI ALGORITMI A.A A.DE BONIS 59