Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio A)

Save this PDF as:
Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)"

Transcript

1 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3 =. Determinare il punto H, ottenuto come intersezione del piano π con la retta passante per P e perpendicolare al piano π. 2. Determinare equazioni cartesiane della retta che passa per H e Q.

2 Esercizio 2. Si discuta al variare dei parametri reali λ e µ la compatibilità del seguente sistema lineare: x + 2y + z = λ +, x y + 2z = µ, y + µz = 2µ.

3 Esercizio 3. Sia data la matrice A = Trovate una matrice P ortogonale tale che la matrice D = P T AP sia diagonale. 2. Scrivere la matrice D e calcolare P..

4 Esercizio 4. Sia V = M 2 2 (R) lo spazio delle matrici 2 2 a coefficienti reali, sia A = F : V V l applicazione lineare definita da F (X) = AX XA, X V. ( ) 2. Calcolare F (X) per X = Stabilire se F è iniettiva. 3. Stabilire se F è suriettiva. ( ), e sia

5 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 febbraio 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, si consideri la retta r di equazioni cartesiane: { 2x y + 2z = 3 x + y z =.. Determinare un equazione cartesiana per un piano π ortogonale a r e passante per P = (,, 5). 2. Stabilire se esiste una retta ortogonale e incidente sia a r che all asse delle x. In caso affermativo, determinare un equazione parametrica per tale retta.

6 Esercizio 2. Sia A = t.. Determinare i valori di t R per i quali A T A è invertibile. 2. Determinare i valori di t R per i quali tr (AA T ) =.

7 Esercizio 3. In R 2 [t], si consideri W = {p(t) R 2 [t] p() = }.. Dimostrare che W è un sottospazio di R 2 [t]. 2. Calcolare una base e la dimensione di W.

8 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare T : R 3 R 3 definita da T (x, y, z) = (2z 2y, 2y 2x, 2x + 2z).. Scrivere le matrici M C,C (T ) e M B,B (T ), dove C è la base canonica di R 3 e B = ((,, ), (,, ), (2, 3, )) 2. Determinare una base per Im T. 3. Stabilire se T è diagonalizzabile.

9 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 giugno 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x + x 2 x 3 = 2 2x + 3x 2 = 2, s 2 : { x + x 2 = 2 2x 2 + x 3 = 2.. Stabilire la posizione reciproca di s e s Determinare un equazione cartesiana per il piano α ortogonale a s e passante per il punto P = (3,, 2). 3. Determinare un equazione cartesiana per il piano β contenente la retta s 2 e parallelo alla retta { x + x r : 2 + x 3 =, x x 3 = 4

10 Esercizio 2. In R 4 munito del prodotto scalare standard si considerino i vettori v =, v 2 =, v 3 = e il sottospazio W da essi generato.. Trovare una base ortogonale di W. 2. Trovare una base di W.

11 Esercizio 3. Si considerino le applicazioni lineari T : R 3 R 4 e G : R 4 R 3 associate, nelle basi canoniche, alle matrici rispettivamente. A = e B = Determinare la matrice associata a G T rispetto alle basi canoniche. 2. Determinare la dimensione e una base per l immagine di T. 3. Determinare la dimensione e una base per il nucleo di T.,

12 Esercizio 4. Sia data la matrice A = Discutere la diagonalizzabilità di A su R e su C. 2. Provare che A 3 non è invertibile.

13 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 giugno 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x + x 2 x 3 = 2 2x + 3x 2 = 2, s 2 : { x + x 2 = 2 2x 2 + x 3 = 2.. Stabilire la posizione reciproca di s e s Determinare un equazione cartesiana per il piano α ortogonale a s e passante per il punto P = (, 2, ). 3. Determinare un equazione cartesiana del piano β contenente la retta s 2 e parallelo alla retta r : { x x 2 x 3 = x + x 3 = 4,

14 Esercizio 2. In R 4 munito del prodotto scalare standard si considerino i vettori v =, v 2 =, v 3 = e il sottospazio W da essi generato.. Trovare una base ortogonale di W. 2. Trovare una base di W.

15 Esercizio 3. Si considerino le applicazioni lineari T : R 3 R 4 e G : R 4 R 3 associate, nelle basi canoniche, alle matrici rispettivamente. A = e B = Determinare la matrice associata a T G rispetto alle basi canoniche. 2. Determinare la dimensione e una base per l immagine di G. 3. Determinare la dimensione e una base per il nucleo di G.,

16 Esercizio 4. Sia data la matrice A = Discutere la diagonalizzabilità di A su R e su C. 2. Provare che A 3 non è invertibile.

17 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 2 luglio 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, si consideri la retta r : { 2x x 3 = x x =.. Determinare un equazione cartesiana per il piano π ortogonale a r e passante per il punto P = (,, 2). 2. Detto Q il punto di intersezione tra la retta r e il piano π, determinare un equazione parametrica per la retta passante per P e Q.

18 Esercizio 2. In R 4, si considerino i sottospazi U e W definiti da U = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 } x 3 = x x 2, x 4 = x + x 2. W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 } x 3 = x + x 2, x 4 = x x 2,. Determinare una base di U e una base di W. 2. Trovare una base di U W. 3. Stabilire se R 4 è somma diretta di U e W.

19 Esercizio 3. Si consideri l applicazione lineare F : R 3 R 4 definita da F (,, ) = (3, 3,, ), F (,, ) = (,,, ), F (,, ) = (8, 6,, 2).. Trovare la dimensione e una base del nucleo di F, e dire se F è iniettiva. 2. Trovare la dimensione e una base dell immagine di F, e dire se F è suriettiva. 3. Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base B = ((,, ), (,, ), (,, )) di R 3 e alla base canonica C di R 4.

20 Esercizio 4. Data la matrice A = , trovare una matrice U ortogonale e una matrice D diagonale tali che D = U T AU.

21 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 9 settembre 23) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Al variare del parametro k R, si considerino la retta { x + y z = k s : x + 2y + z = 3 ed il piano π : x + ky z = k.. Studiare la mutua posizione di s e π al variare di k R. 2. Stabilire per quali valori di k R esiste una retta r parallela al piano π e alla retta { x y = 2 s 2 : x + y + 2z =

22 Esercizio 2. Sia L : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da a a L b c = b + c b + c. d d. Calcolare la matrice associata ad L rispetto alla base canonica in partenza ed in arrivo. 2. Trovare una base di Ker L e stabilire se L è un isomorfismo. 3. Stabilire se le immagini tramite L dei vettori e sono linearmente indipendenti.

23 Esercizio 3. Si consideri il sottospazio U di R 3 generato dai vettori 2,,. 2. Calcolare la dimensione di U. 2. Determinare equazioni cartesiane per U. 3. Trovare una base ortonormale di U rispetto al prodotto scalare canonico di R 3.

24 Esercizio 4. Data la matrice A = 4 h M 3 3 (R). Stabilire per quali valori di h R la matrice A è diagonalizzabile. 2. Stabilire per quali valori di h R la matrice A + A T è invertibile. 3. Stabilire per quali valori di h R si ha tr(a + ha T ) =.

25 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 23 settembre 23) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano s e s 2 le due rette di equazioni s : { x 2x 2 = x 2 x 3 = 2 x = t s 2 : x 2 = t x 3 = t, t R.. Determinare l intersezione s s Scrivere, se possibile, un equazione cartesiana per un piano passante per l origine e parallelo sia a s che a s 2.

26 Esercizio 2. Sia L A : R 4 R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice + k , k R. k. Determinare, al variare del parametro k, la dimensione di Im L A e una sua base. 2. Stabilire per quali valori di k R il vettore (,,, ) T Ker L A.

27 Esercizio 3. Si considerino i vettori v =, v 2 =. Provare che B = (v, v 2, v 3 ) è una base di R 3. 2, v 3 = Calcolare M(B, C), dove C denota la base canonica di R Sia L : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da L determinare M B,B (L). x y z = x x + y x ;

28 Esercizio 4. Data la matrice A = 3 3 2, trovare una matrice ortogonale U e una matrice diagonale D tali che D = U T AU.

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno

Dettagli

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2, Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

FOGLIO 4 - Applicazioni lineari. { kx + y z = 2 x + y kw = k. 2 k 1

FOGLIO 4 - Applicazioni lineari. { kx + y z = 2 x + y kw = k. 2 k 1 FOGLIO 4 - Applicazioni lineari Esercizio 1. Si risolvano i seguenti sistemi lineari al variare di k R. { x y + z + 2w = k x z + w = k 2 { kx + y z = 2 x + y kw = k Esercizio 2. Al variare di k R trovare

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione:

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z L @ ya = @ x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b)

Dettagli

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof.

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. A01 178 Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007 Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari

Dettagli

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

Dettagli

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A. APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K

Dettagli

II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari

II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari Nel capitolo precedente abbiamo visto come assumano un ruolo importante nello studio dello Spazio Euclideo la sua struttura di spazio affine e quindi di spazio

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può

Dettagli

Richiami di algebra lineare e geometria di R n

Richiami di algebra lineare e geometria di R n Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

3 Applicazioni lineari e matrici

3 Applicazioni lineari e matrici 3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2 Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di

Dettagli

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Autovalori e Autovettori

Autovalori e Autovettori Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA APPLICATA. Prof. ONORATI Mariano

PROGRAMMA di MATEMATICA APPLICATA. Prof. ONORATI Mariano ESAMI DI STATO SESSIONE ORDINARIA 2014/2015 CLASSE V SEZIONE E PROGRAMMA di MATEMATICA APPLICATA Prof. ONORATI Mariano Libro/i di testo in adozione: Matematica.rosso vol.5 Autori: Bergamini Trifone - Barozzi

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego CONVITTO NAZIONALE MARIA LUIGIA di Parma CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12 Disciplina : MATEMATICA Docente Prof.ssa Paola Perego COMPETENZE CONOSCENZE Funzione esponenziale e logaritmica

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

M P = PA^V. Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a

M P = PA^V. Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a VETTORI APPLICATI Sistema di vettori applicati L'ente matematico costituito da un punto P e da un vettore (libero) V, si dice vettore applicato in P e si denota con (P;V). E comodo rappresentare il vettore

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria LICEO SCIENTIFICO STATALE CAVOUR Via delle Carine 1 - ROMA Commissione Orientamento in Uscita Comunicazione n. 2013/006 Data: 29-11-2013 OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j. LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento

Dettagli

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:... Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli