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Erica Cristina Brescia
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1 Esercizio Argomenti: gas perfetti, trasformazioni adiabatiche, primo principio. Livello: scuola superiore. Un gas perfetto monoatomico si trova in un contenitore chiuso da un pistone mobile. Inizialmente il gas si trova alla temperatura T = 27, 0 C, alla pressione = 10 5 a ed ha volume V = 10, 0 litri. Mantenedo il pistone bloccato nella posizione iniziale, il gas viene riscaldato cedendogli il calore Q = 10 J. Successivamente, dopo aver isolato termicamente il recipiente, il pistone viene sbloccato in modo che possa scorrere senza attriti ed il gas viene lasciato espandere. Durante l espansione, la pressione esterna agente sul pistone rimane costante e pari a quella iniziale. Al termine dell espansione, il gas viene compresso a pressione costante fino a riportarlo al volume iniziale. Calcolare: (a) il numero di moli di gas presenti nel recipiente; (b) la temperatura del gas dopo l assorbimento del calore Q; (c) la temperatura del gas dopo l espansione; (d) il lavoro fatto dal gas durante l espansione; (e) il calore scambiato dal gas durante la compressione. 1

2 B, V, T A C (a) Il recipiente contenente il gas. (b) Le tre trasformazioni subite dal gas. V Figura 1: Rappresentazione del sistema e delle sue trasformazioni. Soluzione unto (a) Chiamiamo A lo stato iniziale del gas. Di tale stato conosciamo tutte e tre le variabili termodinamiche e quindi possiamo ricavare n direttamente dall equazione di stato: A V A = nrt A n = AV A RT A = 0, 401 mol unto (b) Durante l assorbimento del calore Q, il gas subisce una trasformazione isocora poiché il pistone viene tenuto bloccato nella posizione iniziale e quindi il volume del recipiente non cambia. Chiamiamo B lo stato del gas dopo il riscaldamento. In figura 1b, la trasformazione A B è rappresentata sul piano (, V ) da una linea verticale poiché il volume rimane costante. La linea, inoltre, è orientata verso l alto poiché il gas si riscalda e quindi lo stato B avrà una temperatura più alta rispetto allo stato A (ricordiamo che sul piano (, V ) se ci si muove verso l alto si incontrano stati a temperature crescenti). 2

3 Osserviamo che, dal grafico, si deduce che nello stato finale B il gas avrà una pressione maggiore rispetto a quella iniziale. Durante un isocora, sappiamo che il lavoro compiuto dal gas è nullo e quindi dal primo principio si ricava: U AB = Q L AB = Q (1) er un gas perfetto, sappiamo che l energia interna è data da: U = nc v T e quindi l equazione (1) si può scrivere come: nc v (T B T A ) = Q T B = T A + Q nc v (2) er un gas perfetto monoatomico il calore specifico molare a volume costante è dato da: c v = 2 R e sostituendo questa espressione nell equazione (2) si ha: unto (c) T B = T A + 2Q nr = T + 2Q nr = ( ) K = 901 K = 628 C oiché il recipiente è stato isolato termicamente, durante l espansione il gas subisce una trasformazione adiabatica. Chiamiamo C lo stato del gas dopo l espansione. In figura 1b, la trasformazione B C è stata rappresentata sul piano (, V ) da un ramo di adiabatica discendente, poiché durante l espansione il volume aumenta; dal grafico si deduce quindi che durante la trasformazione la pressione del gas diminuisce. L espansione prosegue finché la pressione del gas raggiunge il valore di quella esterna (che vale ); in tali condizioni, infatti, su entrambi i lati del pistone agisce la stessa forza e quindi esso si ferma. ossiamo quindi affermare che: C = er determinare la temperatura T C dopo l espansione, non possiamo usare l equazione di stato applicata a C poiché dello stato C conosciamo la pressione ma non il volume e quindi

4 avremmo un incognita di troppo. ossiamo però usare l equazione delle trasformazioni adiabatiche applicata alla trasformazione B C. Conviene usare l equazione che contiene le variabili e T : T C 1 C 1 er un gas monoatomico è dato da: B = T B B T C = T B Œ 1 C Œ 1 B = T B () = c p c v = R + R 2 R = = 2 5 L equazione () diventa quindi: Œ 2 Œ 2 B 5 5 T C = T B = TB B (4) Nell equazione (4) però, la pressione B è ancora incognita e quindi dobbiamo determinarla. er farlo, basta applicare l equazione di stato allo stato B, del quale conosciamo sia la temperatura che il volume: B V B = nrt B B = nrt B V B = nrt B V A = nrt B V = 10 5 a Inserendo tale valore nell equazione (4) si ottiene: Œ T C = 901 K = 5 K = 581 K 9 unto (d) Applichiamo il primo principio alla trasformazione B C, tenendo conto che il calore scambiato, trattandosi di una adiabatica, è nullo: U BC = Q BC L BC = L BC er il lavoro si ottiene quindi: L BC = U BC = nc v (T C T B ) = n 2 R(T C T B ) Usando i risultati dei punti precedenti per n, T C e T B si trova: L BC = 1, J 4

5 unto (e) Applichiamo il primo principio al ciclo A B C A. oiché l energia interna è una funzione di stato, la sua variazione in un ciclo è nulla e quindi: 0 = Q AB + Q BC + Q CA L AB L BC L CA (5) La trasformazione B C è una adiabatica e quindi Q BC = 0; la trasformazione A B è una isocora e quindi L AB = 0; tenendo conto di ciò, l equazione (5) diventa: 0 = Q AB +Q CA L BC L CA = Q+Q CA L BC L CA Q CA = L BC +L CA Q (6) Il lavoro L CA si calcola facilmente essendo la trasformazione una isobara: L CA = A (V A V C ) = (V A V C ) (7) Il volume V C può essere ricavato dall equazione di stato: C V C = nrt C V C = nrt C C = nrt C = 1, m Inserendo questo valore nell equazione (7) si ottiene: L CA = 940 J (8) In definitiva, si ottiene: Q CA = L BC + L CA Q = (1, 60 0, 94, 00) 10 J = 2, 4 10 J Soluzione alternativa Applichiamo il primo principio alla trasformazione C A: U CA = Q CA L CA Q CA = U CA + L CA (9) er il lavoro, trattandosi di una trasformazione isobara, si ha: L CA = A (V A V C ) = (V A V C ) (10) 5

6 Il volume V C può essere ricavato dall equazione di stato: C V C = nrt C V C = nrt C C = nrt C = 1, m Inserendo questo valore nell equazione (10) si ottiene: L CA = 940 J (11) La variazione di energia interna nella trasformazione C A si ottiene come al solito tramite la variazione di temperatura: U CA = nc v (T A T C ) = n 2 R(T A T C ) = 1, J (12) Inserendo i risultati delle equazioni (12) e (11) nella (9) si ottiene: Q CA = 2, 5 10 J OSSERVAZIONE Questo esercizio poteva essere svolto usando un po più di algebra e meno aritmetica. Si è preferita la strada aritmetica per non distogliere troppo l attenzione dalla fisica, anche se la strada algebrica avrebbe consentito una maggiore comprensione della dipendenza dei risultati dai dati del problema. A chi volesse divertirsi a seguire questa seconda strada, posso suggerire di provare a ricavare i risultati (tranne n) in funzione della quantità: e, a volte, anche di Q. α = 2Q V 6

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