Lezione 3. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 3. A. Iodice

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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino La () Statistica 1 / 27

2 Outline La Proprietà del 7 La () Statistica 2 / 27

3 La Si consideri il carattere X, carattere quantitativo discreto con K + 1 modalità, tali che x 0 x 1 x K oppure il carattere X quantitativo continuo suddiviso in K classi [x 0, x 1 ], )x 1, x 2 ],..., )x K 1, x K ]; la distribuzione delle frequenze relative cumulate può essere rappresentata tramite la seguente funzione di F (x) = 0 per x x 0 F 1 per x 0 < x x 1 F 2 per x 1 < x x F K per x K 1 < x x K 1 per x > x K () Statistica 3 / 27

4 Esempio di costruzione di una f. di Si consideri il carattere età, variabile continua suddivisa in classi e rappresentata in tabella La () Statistica 4 / 27

5 Esempio di costruzione di una f. di la funzione di corrispondente è... 0 per x per 10 < x 30 F (x) = 0.7 per 30 < x per 50 < x 70 1 per 70 < x 90 La () Statistica 4 / 27

6 Rappresentazione grafica di una f. di : caso discreto variabile discreta n.f igli absf reqs cum.f reqs relf reqs cum.relf r La () Statistica 5 / 27

7 Rappresentazione grafica di una f. di : caso discreto Step function la funzione di ottenuta è rappresentabile graficamente come segue: La () Statistica 6 / 27

8 Rappresentazione grafica di una f. di : caso continuo Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in chilogrammi. f.abs f.rel cum.f.abs F(x) fino a (50,55] (55,60] (60,65] (65,70] (70,75] (75,80] (80,85] (85,90] oltre La () Statistica 7 / 27

9 Rappresentazione grafica di una f. di : caso continuo La funzione di è rappresentata graficamente come segue: La () Statistica 8 / 27

10 funzione di La funzione di di una variabile X, o di una mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione [x 0, x K ], gode delle seguenti proprietà: 1 F (X) = 0 per x < x 0 2 F (X) = 1 per x > x K 3 F (X) è una funzione non decrescente La () Statistica 9 / 27

11 ...piccola digressione La Si consideri di avere n elementi a 1, a 2,..., a n. La loro somma può essere espressa in questo modo: a 1 + a a n ovvero la degli elementi a i, per i che varia da 1 ad n. data la costante C si ha che n Ca i = C n a i data la costante C si ha che n C = nc n (a i + b i ) = n a i + n b i a i () Statistica 10 / 27

12 Gli indici sintetici La Gli indici sintetici consentono di esprimere con un unica misura numerica l intera distribuzione di un carattere su un collettivo in base al tipo di informazione espressa dall indice si distingue tra indici di e posizione indici di di variabilità indici di forma quali vantaggi comporta l utilizzo degli indici? si possono confrontare distribuzioni di un carattere nel tempo, nello spazio, in circostanze diverse è possibile verificare gli effetti (in termini di variazione, direzione e intensità) di una determinata azione sulla distribuzione del carattere considerato () Statistica 11 / 27

13 indici sintetici: tipologie La Una ulteriore classificazione degli indici sintetici rispetto alla loro natura indici assoluti: dipendono dalla unità di misura del carattere oggetto di analisi indici relativi: sono numeri puri e consentono il confronto tra fenomeni omogenei. Un indice relativo può essere dato dal rapporto tra indici assoluti oppure dal rapporto tra un indice assoluto e il suo massimo (o minimo) indici normalizzati: sono indici relativi che assumono valori negli intervalli [0, 1] e [ 1, 1]. Per normalizzare un indice I I = I I min I max I min dove I rappresenta la versione normalizzata dell indice I di estremi I min e I max. () Statistica 12 / 27

14 La Definizione di Data una variabile X, si definisce il valore M tale che: sia compreso tra il minimo ed il massimo della distribuzione di frequenza della variabile considerata, ovvero: min(x) < M < max(x) secondo il criterio di internalità (Cauchy) rispetto ad una funzione f(.) delle osservazioni M risulta essere f(x 1, x 2,..., x n ) = f(m, M,..., M) (1) secondo il principio della rappresentatività(chisini) () Statistica 13 / 27

15 La scelta di f(.) - additiva, moltiplicativa, inversa...- viene fatta in funzione della natura della variabile. e determina differenti tipi di medie La () Statistica 14 / 27

16 La Si consideri la funzione f(.) additiva, vale a dire f(x 1, x 2,..., x n ) = Ricordando il principio di rappresentatività (equazione 1) si ha che x i f(x 1, x 2,..., x n ) = f(µ, µ,..., µ) Poichè f(.) è di tipo additivo la precedente uguaglianza si può riscrivere come f(x 1, x 2,..., x n ) = µ () Statistica 15 / 27

17 quindi x i = µ x i = nµ µ = 1 n x i La () Statistica 16 / 27

18 La semplice: µ = 1 n per dati organizzati in frequenze (k è il numero di modalità): µ = k j=1 x jn j k j=1 n j per frequenze relative: µ = k j=1 x i = 1 n x j n j n = k x j n j j=1 k x j f j j=1 () Statistica 17 / 27

19 Calcolo del semplice: un esempio La La distribuzione unitaria del voto di un collettivo di n = 20 studenti µ = 1 ( ) = = = () Statistica 18 / 27

20 Calcolo del semplice: un esempio La La distribuzione unitaria del voto di un collettivo di n = 20 studenti µ = 1 ( ) = = = () Statistica 18 / 27

21 Calcolo del semplice: un esempio La La distribuzione unitaria del voto di un collettivo di n = 20 studenti µ = 1 ( ) = = = () Statistica 18 / 27

22 Calcolo del per dati in frequenze assolute: un esempio La Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. µ = 1 20 (c 1 n 1 + c 2 n c 3 n 3 + c 4 n 4 ) = = 1 ( ( ) = = = () Statistica 19 / 27

23 Calcolo del per dati in frequenze assolute: un esempio La Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. µ = 1 20 (c 1 n 1 + c 2 n c 3 n 3 + c 4 n 4 ) = = 1 ( ( ) = = = () Statistica 19 / 27

24 Calcolo del per dati in frequenze assolute: un esempio La Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. µ = 1 20 (c 1 n 1 + c 2 n c 3 n 3 + c 4 n 4 ) = = 1 ( ( ) = = = () Statistica 19 / 27

25 Calcolo del per dati in frequenze relative: un esempio Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. La () Statistica 20 / 27

26 Calcolo del per dati in frequenze relative: un esempio Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. La () Statistica 20 / 27

27 Calcolo del per dati in frequenze relative: un esempio Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. µ = (c 1 f 1 + c 2 f c 3 f 3 + c 4 f 4 ) = = ( ) = = ( ) = La () Statistica 20 / 27

28 Proprietà del 1 criterio di internalità è sempre compresa tra il minimo e massimo della distribuzione osservata: x 1 x i x n nx 1 x i nx n n x 1 x i x n x 1 µ x n n La () Statistica 21 / 27

29 Proprietà del 2 come baricentro la somma degli scarti dal è nulla: (x i µ) = = x i nµ = n x i n( x i ) = n x i x i = 0 La () Statistica 21 / 27

30 Proprietà del 3 linearità del Sia X è una variabile con µ, allora la variabile Y = α + βx avrà La M(Y ) = 1 n (α + βx i ) = 1 n = 1 n (nα) + β( 1 n = α + βµ (α) + 1 n (x i )) = (βx i ) = () Statistica 21 / 27

31 Proprietà del Si consideri che α = 18/12 e β = 1 12 utilizzando α e β per normalizzare i voti degli studenti Y = α + X β = X 1 12 La () Statistica 22 / 27

32 Proprietà del La 4 proprietà associativa del Sia X una variabile osservata su più gruppi: può essere ottenuta come delle medie calcolate in ciascun gruppo - tenendo conto della differente numerosità dei gruppi. Il collettivo è suddiviso in Kgruppi di numerosità n 1, n 2,..., n K. La del carattere X sul collettivo è µ. Per la proprietà associativa si avrà che µ = µ 1 n 1 n + µ 2 n 2 n µ K n K n () Statistica 23 / 27

33 Proprietà del 5 minimizzazione dei quadrati degli scarti La µ rende minima la somma dei quadrati degli scarti X: (x i µ) 2 = min La () Statistica 24 / 27

34 La minimizza la somma dei quadrati degli scarti Tornando ai voti degli studenti... La () Statistica 25 / 27

35 La Nel calcolo del tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a 1 n nel determinare il valore µ. La () Statistica 26 / 27

36 La Nel calcolo del tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a 1 n nel determinare il valore µ. Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato. La () Statistica 26 / 27

37 La Nel calcolo del tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a 1 n nel determinare il valore µ. Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato. Siano ω i i pesi di ciascuna modalità x i, µ ω sar data da K µ ω = x iω i K ω i La () Statistica 26 / 27

38 La Nel calcolo del tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a 1 n nel determinare il valore µ. Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato. Siano ω i i pesi di ciascuna modalità x i, µ ω sar data da K µ ω = x iω i K ω i La () Statistica 26 / 27

39 Calcolo del : un esempio La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all impegno richiesto. La () Statistica 27 / 27

40 Calcolo del : un esempio La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all impegno richiesto. La () Statistica 27 / 27

41 Calcolo del : un esempio La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all impegno richiesto. La semplice µ = 18 = = = () Statistica 27 / 27

42 Calcolo del : un esempio La La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all impegno richiesto. studente A (26 4) + (24 6) + (24 4) +... µ ω = (23 4) + (30 12) = = () Statistica 27 / 27

43 Calcolo del : un esempio La La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all impegno richiesto. studente B µ ω = (26 4) + (24 12) + (24 4) (23 12) + (30 4) = = () Statistica 27 / 27