STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI E APPLICAZIONI ECONOMICHE

Transcript

1 Alma Mater Studiorum Università di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Scienze di Internet STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI E APPLICAZIONI ECONOMICHE Tesi di Laurea in Matematica Generale Relatore: Chiar.mo Prof. RITA FIORESI Presentata da: MATTEO MALAGOLI Sessione III Anno Accademico 2007/2008

2

3 Introduzione La tesi nasce con l intento di studiare e modellare un sistema economico competitivo, cioè cercheremo di analizzare la competizione al variare del tempo attraverso un approccio analitico e computazionale. Il primo capitolo introdurrà molte tipologie di equazioni differenziali, tra cui le equazioni non lineari. Per risolvere queste particolari equazioni procederemo verso un approccio di tipo geometrico e alla linearizzazione del sistema. Partendo da una descrizione sintetica delle fasi, procederemo alla caratterizzazione di tutte le differenti tipologie di punti critici. In un primo momento l analisi verterà su sistemi lineari, per poi approdare ai sistemi non lineari, ed infine allo studio della stabilità dei loro punti di equilibrio attraverso il metodo indiretto di Lyapunov. Infine studieremo il modello Competizione tra specie, modello base di riferimento per lo studio del nostro problema economico. Il secondo capitolo riprenderà i concetti esaminati chiarendo i quesiti risolti e quelli non ancora risolti. Si comprenderà l impossibiltà di reperire informazioni riguardanti i bacini di attrazione, ossia quei domini di grande importanza per la comprensione del sistema. Per sopperire alla mancanza di informazioni introdurremo il metodo diretto di Lyapunov, e i relativi risultati. 2

4 Nel terzo capitolo si utilizzeranno gran parte delle competenze apprese nei due precedenti applicate al Fenomeno Empirico. Si introdurrà il modello Hamman e Freeman(1977, che verrà ricondotto alla sua forma base, cioè al modello Competizione tra Specie. Si analizzeranno localmente tutti punti critici, definendone le caratteristiche di stabilità o instabilità. Quindi, al temine del nostro studio qualitativo, identificheremo una serie di condizioni che governano tutto il sistema ma, che allo stesso tempo, lasciano alcuni quesiti irrisolti. Per rispondere a queste domande costruiremo una Funzione di Lyapunov per il problema in esame.

5

6 Indice Introduzione 2 Elenco delle Figure. 7 1 Equazioni Differenziali non Lineari e Stabilità Motivazioni Piano delle Fasi: Sistemi Lineari Autovalori Reali Diversi Stesso Segno Autovalori Reali di Segno Opposto Autovalori Reali Uguali Autovalori Complessi Autovalori Immaginari Puri Sommario Punti Critici Sistemi Autonomi e Stabilità Metodo Indiretto di Lyapunov: Approssimazione di Sistemi non Lineari Perturbazioni di Sistemi Lineari Competizione tra Specie Modello Predatore-Preda Metodo Diretto di Lyapunov Introduzione alla Teoria della Stabilità di Lyapunov Teorema di Lyapunov Costruzione della funzione di Lyapunov Descrizione e Significato del Modello Economico Fenomeno Empirico Modello del Fenomeno Empirico Analisi del Fenomeno Empirico: Ricerca dei Punti Critici Linearizzazione del Fenomeno Empirico Analisi Qualitativa: Fenomeno Empirico Significato Economico dei Punti Critici

7 3.7 Funzione di Lyapunov e Stabilità del Fenomeno Empirico Bibliografia 67 6

8 Elenco delle figure 1.1 Autovalori Reali Diversi Stesso Segno: Nodo Autovalori Reali di Segno Opposto: Punto Sella Due Autovettori Indipendenti: Punto Stella Un Solo Autovettore Indipendente: Nodo Degenere Autovalori Complessi Coniugati: Punto Spirale Autovalori Immaginari Puri: Centro Punti Critici Quattro Casi Rilevanti per la Competizione tra Specie Direzioni del Modello Predatore Preda Interpretazione geometrica del metodo di Lyapunov Schematizzazione Modello Mollona e Presutti( Risultati Matrice Hessiana in P

9 Capitolo 1 Equazioni Differenziali non Lineari e Stabilità 1.1 Motivazioni Le equazioni differenziali sono, uno dei più importanti strumenti che l analisi matematica mette a disposizione per lo studio di modelli applicati nei più disparati settori scientifici: fisica, biologia, economia. Una comprensione di processi complessi è spesso ottenuta creando e combinando modelli base più semplici. Quindi la conoscenza di questi modelli, delle equazioni e delle soluzioni che li descrivono è il primo e indispensabile passo verso la soluzione di modelli ad alta complessità che rappresentano problematiche reali. E dunque importante per la risoluzione di modelli prevalentemente complessi l uso di una varietà di tecniche matematiche, analitiche e numeriche. Risultati quantitativi e grafici, prodotti dal computer,che possono illustrare e chiarire conclusioni che potrebbero essere oscurate da espressioni analitiche particolarmente complesse. In altre parole, l attuazione di procedure numeriche resterà sempre un buon punto di partenza per un analisi preliminare; questa, sarà la guida che ci porterà verso la definizione di soluzioni qualitative e verso la scoperta di quei range di variabili che meritano grande importanza. Quindi per studiare tali modelli saranno richieste entrambe le tecniche analitiche e computative, sarà compito di chi realizza lo studio scegliere quella maggiormente adatta al problema in esame, ed utilizzarle entrambe per potenziare lo studio e la comprensione del problema. 8

10 1.2 Piano delle Fasi: Sistemi Lineari Il piano delle fasi associato a un sistema di equazioni differenziali, mostra il comportamento del sistema attraverso curve e linee piene, traiettorie del sistema al tempo t. La rappresentazione del piano delle fasi avviene attraverso i ritratti delle fasi, rappresentazioni geometriche delle traiettorie del sistema in cui ogni insieme di condizioni iniziali è rappresentato da una curva differente, o da un punto. Queste curve possono essere pensate come spostamenti di una particella su diverse traiettorie la cui velocità e definita dall equazione differenziale. Tali ritratti sono di grandissima importanza, perchè rivelano informazioni non intuitive come traiettorie di convergenza(divergenza, bacini di attrazione(repulsione al variare del tempo. L analisi e la tipicizzazione di queste traiettorie sarà l ingrediente base per l utilizzo di una teoria qualitativa. Data la difficoltà computazionale di molte equazioni differenziali un approccio calcolistico diretto non è sempre possibile e dunque diventa di grande importanza ottenere informazioni qualitative senza attualmente risolvere le equazioni in esame. Consideriamo l equazione autonoma di primo grado dy/dt = f(y, (1.1 consideriamo inoltre con il sistema di equazioni differenziali più semplice: omogeneo di secondo ordine a coefficienti costanti dx/dt = Ax (1.2 ove A è una matrice 2x2 e x un vettore 2x1. Sistemi di questo tipo vengono normalmente risolti cercando soluzioni nella forma x = ξe rt. Sostituendo alla x dell Eq (1.2 troveremo l equazione. (A riξ = 0. (1.3 9

11 Un semplice calcolo mostra che r deve essere un autovalore mentre ξ è un autovettore della matrice A. Ricordiamo che gli autovalori della matrice A sono soluzioni dell equazione polinomiale det(a ri = 0 (1.4 mentre gli autovettori sono determinati risolvendo l Eq.(1.3. Per l Eq.(1.1 zero è un punto di grande importanza; questo punto corrisponde a una soluzione stazionaria detta soluzione di equilibrio o punto critico. Analogamente per il sistema (3.2, Ax = 0 corrisponde a una soluzione di equilibrio. Assumendo che A sia non-singolare e che deta 0, l unica possibile soluzione è x = 0. Vogliamo ora studiare i diversi comportamenti del punto di equilibrio x = 0 a seconda delle tipologie degli autovalori reali distinti, reali coincidenti e complessi coniugati. 1.3 Autovalori Reali Diversi Stesso Segno La soluzione generale per l Eq.(1.2 dove r 1 e r 2 sono entrambi positivi o negativi è data da: x = c 1 ξ (1 e r 1t + c 2 ξ (2 e r 2t. Supponiamo r 1 < r 2 < 0 e i corrispondenti autovettori ξ (1 e ξ (2. Tutte le soluzioni a prescindere dai valori assunti dalle costanti c 1 e c 2, si avvicinano al punto critico nell origine per t. In questi casi è di grande utilità riscrivere l equazione nel seguente modo. x = e r 2t [c 1 ξ (1 e (r 1 r 2 t + c 2 ξ (2 ] Scrivendo l equazione generale in questa forma, si nota subito che mentre t, c 1 ξ (1 e r 1t è trascurabile per t sufficientemente grande, in quanto r 1 r 2 è minore di 0 e quindi la soluzione seguirà la traiettoria ξ (2 verso l origine. 10

12 Tutte le altre soluzioni si avvicineranno all origine tangenti a ξ (2, ad eccezione delle traiettorie che giacciono su ξ (1. Figura 1.1: Autovalori Reali Diversi Stesso Segno: Nodo Ora supponiamo analogamente che 0 < r 2 < r 1 e riscriviamo nuovamente la soluzione generale: x = e r 1t [c 1 ξ (1 + c 2 ξ (2 e (r 2 r 1 t ], si osserva che mentre t il termine c2ξ (2 e (r 2 r 1 t è trascurabile per t sufficientemente grande e che la soluzione segue la traiettoria ξ (1 allontanandosi dall origine. Tutte le altre traiettorie si allontanano dall origine e sono tangenti a ξ (1 ad eccezione di quelle che giacciono su ξ (2. 11

13 1.4 Autovalori Reali di Segno Opposto La Soluzione generale per l Eq.(1.2 è data da: x = c 1 ξ (1 e r 1t + c 2 ξ (2 e r 2t ove stavolta supponiamo gli autovalori r 1 > 0 e r 2 < 0. Osserviamo il piano delle fasi. Figura 1.2: Autovalori Reali di Segno Opposto: Punto Sella Dal grafico vediamo che se la soluzione parte da un punto iniziale su ξ (1, c 2 sarà uguale a zero. Conseguentemente la soluzione rimarrà su ξ (1 per qualunque t dato che r 1 è maggiore di zero x come t. Diversamente se la soluzione parte da un punto iniziale su ξ (2, allora c 1 sarà uguale a zero visto che r 2 è minore di zero, x 0 come t. Quindi possiamo dire che le uniche traiettorie che si avvicineranno all origine, sono quelle che giacciono precisamente su ξ (2, mentre tutte le altre seguiranno traiettorie simili a quelle mostrate in figura. 12

14 1.5 Autovalori Reali Uguali Supponiamo r 1 = r 2 = r, consideriamo il caso in cui r 1 e r 2 siano entrambi negativi(positivi traiettorie simili direzione inversa. Esistono due sottocasi: gli autovalori ripetuti hanno due corrispondenti autovettori linearmente indipendenti o uno solo. (a Due autovettori indipendenti. La soluzione generale dell Eq.(1.2 è nella forma x = c 1 ξ (1 e r 1t + c 2 ξ (2 e r 2t dove ξ (1 e ξ (2 sono autovettori indipendenti. Per tracciare le traiettorie è utile scrivere l equazione in questa forma x = e rt [c 1 ξ (1 + c 2 ξ (2 ] dalla quale possiamo osservare che il rapporto tra x 2 /x 1 è indipendente da t ma dipendente dagli autovalori e dalle costanti arbitrarie. L esponenziale invece definisce la direzione delle traiettorie all aumentare di t. Per tali motivi ogni traiettoria giace in una linea passante per l origine come in figura. 13

15 Figura 1.3: Due Autovettori Indipendenti: Punto Stella (b Un autovettore indipendente. La soluzione generale dell Eq(1.2 in questo caso è x = c 1 ξ (1 e rt + c 2 (ξ te rt + η e rt dove ξ è l autovettore e η è l autovettore generalizzato associato a quello ripetuto. Per tracciare le traiettorie è ancora opportuno scrivere l equazione in questa forma x = e rt [(c 1 ξ + c 2 η + c 2 ξ t] = ye rt dalla quale possiamo osservare, che l esponenziale ha effetto solo sulla grandezza di x, ma che insieme a r modificherà la direzione delle traiettorie verso l interno o l esterno. Notiamo anche che c 2 ξ t è dominante per t sufficientemente grande e che se c 2 = 0 allora x = c 1 ξ e rt. Procediamo disegnando le linee date da (c 1 ξ+c 2 η+c 2 ξ t per osservarne la direzione all aumentare di t. Inoltre osserviamo che le suddette traiettorie quando t = 0 passano per il punto c 1 ξ + c 2 η. Se t aumenta la traiettoria segue l incremento di t ma insieme alla diminuzione della grandezza di x che quindi si avvicinerà allo zero a causa del decadimento dell esponenziale e rt quando r 1 = r 2 < 0. Se invece 14

16 r 1 = r 2 > 0, le traiettorie saranno similari ma la direzione questa volta sarà verso l esterno. Figura 1.4: Un Solo Autovettore Indipendente: Nodo Degenere 1.6 Autovalori Complessi Supponiamo che gli autovalori siano del tipo λ ± ıµ, dove λ e µ sono reali, λ 0 e µ > 0. Questo tipo di sistemi è caratterizzati dalla seguente forma: x = ( λ µ µ λ x. Ora introduciamo le traiettorie del sistema rappresentate in coordinate polari date da r e θ, ricordiamo che r 2 = x x 2 2 e tanθ = x 2 /x 1. r = ce λ t (1.5 θ = µ t + θ 0 (1.6 15

17 Ogni sistema con autovalori complessi e λ 0 è sempre una spirale intorno all origine la cui direzione verso l interno o l esterno varia a seconda del termine ce λ t. Figura 1.5: Autovalori Complessi Coniugati: Punto Spirale Dall Eq.(1.5 se t con λ 0 possiamo vedere che r 0 se λ < 0 oppure r se λ > 0. Le traiettorie quindi sono spirali che si avvicinano o allontanano dall origine a seconda del segno di λ. Infine θ dall Eq.(1.6 ci fornisce informazioni sul senso orario o antiorario del moto. Se µ > 0 mentre t, θ diminuirà quindi il moto sarà orario, viceversa se µ < 0 per t θ aumenterà e il moto sarà antiorario. 16

18 1.7 Autovalori Immaginari Puri Se λ = 0 il nostro sistema assume la forma: x = ( 0 µ µ 0 x e ha autovalori del tipo ±ıµ. Utilizzando nuovamente le coordinate polari osserviamo che r = c θ = µ t + µ 0 dove c e θ 0 sono costanti. Da cui le traiettorie sono ellissi, centrate nell origine con movimento orario o antiorario a seconda che il termine µ sia > 0 oppure < 0. Questo particolare punto critico viene chiamato centro. Figura 1.6: Autovalori Immaginari Puri: Centro 17

19 1.8 Sommario Punti Critici Figura 1.7: Punti Critici 18

20 1.9 Sistemi Autonomi e Stabilità Sistema Autonomo. Definiamo sistema autonomo un sistema composto da due equazioni differenziali, nella seguente forma { dx/dt = F (x, y dy/dt = G(x, y ove le funzioni F e G sono continue, con derivate parziali del primo ordine continue in un qualche dominio D del piano xy. Se (x 0, y 0 è un punto in D, allora esiste una soluzione x = φ(t, y = ψ(t del sistema che soddisfa le condizioni iniziali x(t 0 = x 0, y(t 0 = y 0 definita in qualche intervallo aperto I di tempo contenente t 0. Frequentemente il problema viene riscritto nella forma dx/dt = f(x, x(t 0 =x 0 dove x= xi+yj, f(x = F (x, yi+g(x, yj e x 0 = x 0 i+y 0 j e (i, j la base canonica di R 2. La soluzione del sistema è espressa come x = Φ(t dove Φ(t = φ(ti+ψ(tj, che interpreteremo come una curva tracciata muovendo un punto sul piano xy. Osserviamo inoltre che F e G non dipendono direttamente dalla variabile t, ma solamente attraverso x e y. Un esempio di sistema autonomo a due dimensioni è dato dai sistemi lineari che assumono la forma: ( d x dt y ( a b = c d ( x y dove A è una matrice 2x2. In altre parole, se uno o più elementi della matrice A sono in funzione della variabile indipendente t, il sistema sarà non-autonomo. 19

21 Stabilità e Instabilità. Sia x = f(x I punti dove f(x = 0 sono chiamati punti critici del sistema autonomo. In questi punti x = 0 e dunque questi punti corrispondono a soluzioni di equilibrio per il sistema. Un punto critico x 0, viene detto stabile se, data qualsiasi ɛ > 0, esiste una δ > 0 tale che ogni soluzione x = Φ(t del sistema, quando t = 0 soddisfa Φ(0 x 0 < δ ed inoltre soddisfa Φ(t x 0 < ɛ per ogni t 0 in cui la soluzione esiste. Ogni soluzione che parte da un punto sufficientemente vicino (entro δ a x 0 resterà vicino a x 0 (cioè entro la distanza ɛ. Se il punto critico non è stabile allora si dice instabile. Un punto critico x 0 si dice asintoticamente stabile se è stabile e se esiste δ 0, con 0 < δ 0 < δ tale che se una soluzione soddisfa Φ(0 x 0 < δ 0 allora lim Φ(t = x0 t Le traiettorie vicine a x 0 non restano solamente in prossimità, ma si avvicinano a x 0 per t. 20

22 1.10 Metodo Indiretto di Lyapunov: Approssimazione di Sistemi non Lineari Si consideri il sistema non lineare autonomo in due dimensioni x = f(x. (1.7 In primis vogliamo descrivere le traiettorie del sistema nelle vicinanze del punto critico x 0. Per farlo approssimeremo il sistema non lineare con uno lineare più semplice da analizzare e descrivere. È sempre conveniente scegliere un punto x 0 0 vicino all origine. Sarà poi sempre possibile sostituire al punto x = x 0 + u nell Eq.(1.7, soddisfando il sistema nuovamente con un punto nell origine. Si consideri un sistema non lineare x = Ax + g(x (1.8 tale che x = 0 sia un punto critico isolato per il sistema (1.7. Questo significa che esiste un qualche intorno del punto, all interno del quale non esistono altri punti critici. Assumiamo anche che det(a 0 così che x = 0 sia punto critico anche per il sistema lineare x = Ax. Per il sistema non lineare, avvicinarsi al sistema lineare, significa che g(x è molto piccolo o più precisamente g(x ha derivate parziali continue del primo ordine e soddisfa la condizione sui limiti. g(x / x 0 x 0 Si osserva che g(x è piccolo rispetto a x vicino all origine. Questo tipo di sistema è chiamato quasi lineare in prossimità di x = 0. 21

23 ESEMPIO ( x y = ( ( x y ( + x 2 xy 0.75xy 0.25y 2 Un punto critico è (0, 0 e il det(a 0. Inoltre non è difficile determinare che gli altri punti critici sono (0, 2, (1, 0 e (0.5, 0.5, conseguentemente l origine è un punto critico isolato. Si verifichi che g(x rispetti la condizione sui limiti g 1 (x, y r = x2 xy r = r2 cos 2 θ r 2 cos θ sin θ r = r(cos 2 θ + cos θ sin θ 0 come r 0. Allo stesso modo anche g 2(x,y r quasi-lineare. 0 come r 0 quindi il sistema è 22

24 Riscriviamo il sistema di Eq.(1.7 come: x = F (x, y, y = G(x, y Se assumiamo che le funzioni F e G abbiano derivate parziali continue fino al secondo ordine, possiamo dare la seguente approssimazione lineare del sistema, per un intorno di un punto critico (x 0, y 0. Consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor nel punto critico per le funzioni F e G. F (x, y = F (x 0, y 0 + F x (x 0, y 0 (x x 0 + F y (x 0, y 0 (y y 0 + η 1 (x, y G(x, y = G(x 0, y 0 + G x (x 0, y 0 (x x 0 + G y (x 0, y 0 (y y 0 + η 2 (x, y dove η 1 (x, y/[(x x (y y 0 2 ] 1/2 0 come (x, y (x 0, y 0 e analogamente per η 2. Notiamo inoltre che F (x 0, y 0 = G(x 0, y 0 = 0 e che dx/dt = d(x x 0 /dt e dy/dt = d(y y 0 /dt. Dunque in un intorno del punto critico (x 0, y 0 il nostro sistema è: ( d x x0 dt y y 0 = ( Fx (x 0, y 0 F y (x 0, y 0 G x (x 0, y 0 G y (x 0, y 0 ( x x0 t y 0 + ( η1 (x, y η 2 (x, y Il sistema lineare che approssima il sistema non-lineare in prossimità di (x 0, y 0, è definito dalla parte lineare dell Eq.(1.11: ( d u dt v ( Fx (x = 0, y 0 F y (x 0, y 0 G x (x 0, y 0 G y (x 0, y 0 ( u v (1.9 dove u = x x 0 e v = y y 0. Vediamo un esempio pratico di come sia possibile approssimare un sistema non lineare in un intorno di un suo punto critico. 23

25 ESEMPIO Consideriamo il sistema non lineare: { dx/dt = F (x, y = y dy/dt = G(x, y = ω 2 sin x γ y I punti critici sono (0, 0 e (π, 0. Poichè: F x = 0 F y = 1 G x = ω 2 cos x G y = γ nell origine il corrispondente sistema lineare che approssima il sistema non-lineare è: ( d x dt y ( 0 1 = ω 2 γ ( x y Analogamente per il punto (π, 0 il sistema lineare corrispondente è dato da: ( d u dt v ( 0 1 = ω 2 γ ( u v (1.10 dove x = π + u, y = v. E ragionevole pensare che almeno vicino all origine ciò che trasciniamo sia piccolo comparato ad Ax e quindi il nostro sistema sia una buona approssimazione. Sostanzialmente possiamo dire che per piccole variazioni della x, il sistema non lineare ha a sua volta piccole perturbazioni che di fatto non hanno effetto sulle caratteristiche del punto critico e sulla stabilità del sistema, ad eccezione dei due casi sensibili. Ossia r 1 e r 2 sono puri immaginari oppure r 1 e r 2 sono reali e coincidenti. E quindi ragionevole aspettarsi che solo in questi due casi piccole perturbazioni alterino la stabilità e che in tutti gli altri sia possibile studiare il sistema attraverso un semplice sistema lineare. 24

26 1.11 Perturbazioni di Sistemi Lineari Dato il sistema lineare x = Ax (1.11 e ricordando che se il det(a 0, x = 0 sarà il solo punto critico per il sistema. Il punto critico si dirà asintoticamente stabile se r 1 e r 2 sono valori reali negativi o hanno una parte reale negativa; stabile ma non asintoticamente stabile se se r 1 e r 2 sono puri immaginari; instabile se r 1 e r 2 sono reali e l uno o l altro sono positivi o hanno una parte reale positiva. E ormai chiaro che gli autovalori r 1 e r 2 della matrice A determinano il tipo di punto critico in x = 0 le sue traiettorie e conseguentemente le su caratteristiche di stabilità o instabilità. Questi sistemi spesso vengono utilizzati in campi applicati e quindi con misure fisiche a meno di una certa incertezza. Diventa quindi importante comprendere come piccole variazioni perturbino le caratteristiche di stabilità o instabilità del punto critico. In generale piccole modifiche dei coefficienti si traducono in altrettanto piccole perturbazioni degli eigenvalues, strade dell equazione polinomiale det(a ri = 0. Esistono tuttavia eccezioni, situazioni sensibili come quando r 1 = iµ e r 2 = iµ. Il punto critico è il centro, mentre le traiettorie sono curve chiuse intorno al punto critico. Dopo una piccola variazione r 1 = λ 1 + iµ e r 2 = λ 1 iµ, se λ 1 è debole allora µ = µ, altrimenti se λ 0 come spesso accade e se λ < 0 il sistema punterà il centro restando stabile, altrimenti se λ > 0 instabile. Un altro caso si presenta quando r 1 = r 2 ; in questa situazioni piccole perturbazioni nei coefficienti generalmente causano una biforcazione delle soluzioni. Se le nuove soluzioni sono reali allora il punto critico del sistema perturbato resterà un nodo ma se le soluzioni diventano complessi coniugati il punto critico diventerà un nodo spirale. 25

27 1.12 Competizione tra Specie In questo capitolo vogliamo esplorare ed analizzare le interazioni legate all analisi di alcuni problemi relativi a popolazioni dinamiche. Questi problemi sorgono quando due o più popolazioni interagiscono tra loro. Siano x e y le popolazioni corrispondenti a due specie in competizione, per un certo numero limitato di scorte di cibo al tempo t. Supponiamo che ogni specie in assenza di rivali sia governata da una equazione. { dx/dt = x(ɛ1 σ 1 x dy/dt = y(ɛ 2 σ 2 y Con ɛ 1 e ɛ 2 tassi di crescita della popolazione e ɛ 1 /σ 1, ɛ 2 /σ 2 livelli di saturazione. Per mettere in competizione le specie basterà modificare ɛ 1 σ 1 x con ɛ 1 σ 1 x α 1 y dove α 1 è una stima del grado di interferenza della specie contrapposta. Otteniamo così il sistema: { dx/dt = x(ɛ1 σ 1 x α 1 y dy/dt = y(ɛ 2 σ 2 y α 2 x Poichè questo sistema modella una situazione concreta, ci interesseremo soltanto alle soluzioni x e y non negativi. Questo particolare modello sarà alla base della nostra sperimentazione. Inizieremo a trattarlo partendo da un caso specifico, spostandoci poi verso la soluzione in forma parametrica, di grande utilità per la risoluzione di modelli di maggiore complessità che tratteremo nell ultimo capitolo. 26

28 ESEMPIO DI COMPETIZIONE TRA SPECIE Consideriamo il sistema: { dx/dt = x(1 x y dy/dt = y( y 0.75x I punti critici sono determinati ponendo f(x = 0 da cui { x(1 x y = 0 y( y 0.75x Dopo un breve calcolo si ottiene che punti sono (0, 0, (1, 0, (0, 2 e (0.5, 0.5, i quali corrispondono ai punti di equilibrio del nostro sistema. Si noti che i primi tre punti corrispondono all estinzione di una o entrambe le specie e che il punto (0.5, 0.5 è l unico in cui coesistono le due specie. La sopravvivenza delle specie, è quindi determinata dallo stato iniziale del sistema. Per analizzare la stabilità studiamo l approssimazione lineare del sistema nelle vicinanze di ogni punto critico. Punto critico x = 0, y = 0. ( d x dt y = ( ( x y Gli autovalori sono determinati risolvendo: ( 1 r 0 0 1/2 r = 0, 27

29 cioè r 2 3/2r + 1/2 = 0 r 1,2 = 3/2 ± 1/4 2 r 1 = 1 r 2 = 0.5. I corrispondenti autovettori sono dati da ( /2 ( ξ1 ξ 2 = ( 0 0, ( 1/ ( ξ1 ξ 2 = ( 0 0 Da cui risulta subito che : ( 1 ξ (1 = e ξ 0 (2 = ( 0 1. Quindi la soluzione generale è ( x y ( 1 = c 1 0 e t + c 2 ( 0 1 e 1/2t L origine è una soluzione instabile per il sistema lineare e conseguentemente anche per il sistema non lineare. Tutte le traiettorie lasciano l origine tangenti all asse y, ad eccezione della traiettoria che giace sull asse x. 28

30 Punto critico x = 1, y = 0. Sostituendo all equazione x = 1 + u e y = v il corrispondente sistema lineare traslato sarà: ( d u dt v = ( ( u v I suoi autovalori e autovettori sono ( 1 r 1 = 1, ξ (1 = 0 e la sua soluzione generale è data da:, r 2 = 0.25, ξ (2 = ( 4 3, ( u v ( 1 = c 1 0 e t + c 2 ( 4 3 e 0.25t. Il punto (1, 0 è asintoticamente stabile per il sistema lineare e conseguentemente anche per il sistema non lineare. Se i valori iniziali di x e y sono sufficientemente vicini al punto, il processo di iterazione porterà all estinzione della specie y. Osserviamo che esistono un paio di traiettorie che approcciano il punto sull asse x mentre tutte le altre si avvicineranno a (1, 0 tangenti a ξ (2. Punto critico x=0, y=2. Procedendo in modo analogo a quanto fatto precedentemente otteniamo: ( d u dt v = ( ( u v I suoi autovalori e autovettori sono dati da ( 1 r 1 = 1, ξ (1 = 3 e la sua soluzione generale è, r 2 = 0.5, ξ (2 = 29 ( 0 1,

31 ( u v ( 1 = c 1 3 e t + c 2 ( 0 1 e 0.5t, Il punto critico (0, 2 è asintoticamente stabile come il punto precedente. Tutte le traiettorie si avvicinano al punto critico lungo l asse y ad eccezione della traiettoria che si avvicina lungo l autovettore ξ (1. Punto critico x=0.5, y=0.5. Ragionando come in precedenza abbiamo: ( d u dt v = ( ( u v. Gli autovalori e autovettori sono: ( r 1 = = , ξ (1 = ( r 2 = = , ξ (2 = e la soluzione generale è data da: ( u v = c 1 ( 1 ( 3 57/8 1 ( 3 57/8 1 ( /8 e 0.159t + c 2 (,, 1 ( /8 e t Poichè gli autovalori hanno segno opposto, il punto critico è un punto sella, quindi instabile. Un paio di traiettorie si avvicinano al punto critico per t, mentre le restanti si allontanano da esso. Si osserva inoltre che mentre le traiettorie entranti si avvicinano al punto critico, sono tangenti all autovettore ξ (1. 30

32 ESEMPIO COMPETIZIONE TRA SPECIE SISTEMA GENERICO L esempio precedente mostra chiaramente come in alcuni casi la competizione tra specie approdi verso uno stato di coesistenza, mentre in altri la competizione porti all estinzione di una delle specie. Per comprendere pienamente il meccanismo che porta a uno scenario piuttosto che all altro, è utile analizzare nella forma più generale possibile le funzioni F e G che definiscono l interazione. Quattro sono i casi rilevanti da tenere in considerazione, dipendenti dalla direzione delle rette. x(ɛ 1 σ 1 x α 1 y = 0 y(ɛ 2 σ 2 y α 2 x = 0 Risolvendo l equazione algebrica osserviamo che l uguaglianza è verificata da x = 0 e x = (ɛ 1 α 1 y/σ 1. Risolviamo ogni caso singolarmente. Caso (x = 0 y(ɛ 2 σ 2 y = 0 L uguaglianza è verificata per y = 0 e y = (ɛ 2 /σ 2, i primi due punti critici sono P 1 = (0, 0, P 2 = (0, ɛ 2 σ 2 31

33 Caso (x = ɛ 1 α 1 y σ 1 yɛ 2 σ 2 y 2 α 2 σ 1 y (ɛ 1 α 1 = 0 y( y ( σ 1 σ 2 + α 1 α 2 + (σ 1 ɛ 2 α 2 ɛ1 = 0 l uguaglianza è verificata per y = 0 e y = (σ 1 ɛ 2 α 2 ɛ 1 /(σ 1 σ2 α 1 α 2, che sostituiti alla prima equazione ci danno x = ɛ 1 /σ 1 e x = (σ 2 ɛ 1 α 1 ɛ 2 /(σ 1 σ 2 α 1 α 2, gli ultimi due punti critici sono. P 3 = ( ɛ 1 σ 1, 0, P 4 = ( σ 2ɛ 1 α 1 ɛ 2 σ 1 σ 2 α 1 α 2, σ 1ɛ 2 α 2 ɛ 1 σ 1 σ2 α 1 α 2 Figura 1.8: Quattro Casi Rilevanti per la Competizione tra Specie 32

34 Supponiamo che (X, Y sia uno qualunque dei quattro punti critici precedentemente determinati con X e Y entrambi positivi. Per studiare il sistema nelle vicinanze di questi punti dobbiamo osservare il sistema lineare ottenuto da quello non lineare. F x (X, Y = ɛ 1 2σ 1 x α y, F y (X, Y = α 1 X G x (X, Y = α 2 Y, G y (X, Y = ɛ 2 2σ 2 Y α 2 X Il sistema lineare che approssima del sistema non lineare è data da: ( d u dt v ( ɛ1 2σ = 1 x α y α 1 X α 2 Y ɛ 2 2σ 2 Y α 2 X ( u v. L equazione. determinata stabilisce le condizioni sotto le quali è possibile la coesistenza delle specie x e y. Dei quattro casi, solo il (c e (d possono portare a questo stato, cioè solo nel punto critico P 4 sarà possibile la coesistenza nel lungo periodo. X = σ 2ɛ 1 α 1 ɛ 2 σ 1 σ 2 α 1 α 2, Y = σ 1ɛ 2 α 2 ɛ 1 σ 1 σ2 α 1 α 2 Nel punto critico ɛ1 σ 1 X α 1 Y = 0 e ɛ 2 σ 2 Y α 2 X = 0 e quindi il sistema lineare generale potra essere ridotto alla forma. ( d u dt v ( σ1 X α = 1 X α 2 Y σ 2 Y ( u v 33

35 Risolvendo il polinomio caratteristico otteniamo gli eigenvalues del sistema. ( σ1 X r α det( 1 X α 2 Y σ 2 Y r = 0 r 2 + r(σ 1 X + σ 2 Y + (XY (σ 1 σ 2 α 1 α 2 = 0 r 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = (σ 1X + σ 2 Y ± (σ 1 X + σ 2 Y 2 4(XY (σ 1 σ 2 α 1 α 2 2 Se σ 1 σ 2 α 1 α 2 < 0, il radicando è positivo e maggiore di (σ 1 X + σ 2 Y 2. Da cui gli autovalori saranno reali e di segno opposto, conseguentemente il punto sarà un punto sella, la coesistenza sarà impossibile. Se σ 1 σ 2 α 1 α 2 > 0, il radicando sarà minore di (σ 1 X + σ 2 Y 2. In questo caso gli autovalori saranno reali, negativi e diversi tra loro oppure complessi con una parte reale negativa. Un attenta analisi inoltre del radicando mostra che valori complessi non sono ottenibili quindi il punto critico è asintoticamente stabile e quindi la coesistenza è possibile. Ricordando la condizione che vuole X, Y positivi, quando σ 1 σ 2 > α 1 α 2, la competizione è debole e le specie possono coesistere; quando σ 1 σ 2 < α 1 α 2, l interazione è forte e quindi le specie non potranno coesistere, una dovrà morire. Supponendo stabile il centro del sistema, si osserva che per gli altri punti dovranno valere le seguenti condizioni. ɛ 1 σ 2 α 1 ɛ 2 > 0 e σ 1 ɛ 2 α 2 ɛ 1 > 0 Tale per cui i punti critici qualitativamente sono. il punto (0, 0 è instabile il punto ( ɛ 1 σ 1, 0 è instabile il punto (0, ɛ 2 σ 2 è instabile 34

36 1.13 Modello Predatore-Preda Questo modello rappresenta una evoluzione del modello precedente. Il modello predatore preda sotto analisi riprenderà un situazione di interazione tra due specie; una (il predatore, preda l altra (la preda. Le due specie sono sostentate da due diverse tipologie di cibo. Chiaramente un modello così semplice non può ricreare un fenomeno di tale complessità, tuttavia può essere un primo passo verso una maggiore comprensione del fenomeno. Siano x e y popolazioni di prede e predatori al tempo t. Assumiamo che : In assenza di predatori le prede aumentino in percentuale proporzionalmente al livello corrente della popolazione: dx/dt = ax, a > 0 quando y = 0 In assenza di prede i predatori muoiano: dy/dt = cy, c > 0 quando x = 0 Il numero degli incontri tra le due specie è proporzionale al prodotto delle loro popolazioni. Ogni incontro tende ad aumentare i predatori e diminuire le prede. Quindi l incremento dei predatori è di γ xy mentre le prede diminuiscono di α xy con α e γ costanti positive. Il sistema è dato da: { dx/dt = x(a α y dy/dt = y( c + γ x anche detta Eq. di Lotka-Volterra. 35

37 Per calcolare i punti critici poniamo f(x = 0 { x(a α y = 0 y( c + γ x = 0 I punti critici sono (0, 0 e (c/γ, a/α. Si valuti la soluzione del corrispondente sistema lineare in ogni punto critico. Punto critico (0,0 ( d x dt y = ( a 0 0 c ( x y La matrice A è una matrice diagonale e quindi gli autovalori saranno esattamente i coefficienti della diagonale. Gli autovalori e i corrispondenti autovettori sono r 1 = a, ξ (1 = ( 1 0 ; r 2 = c, ξ (2 = ( 0 1 e la soluzione generale è ( x y ( 1 = c 1 0 e at + c 2 ( 0 1 e ct. Si osserva che a > 0 mentre c < 0 con a, c costanti positive. Ne segue che il punto critico (0, 0 è un punto sella per il sistema lineare e quindi anche per il corrispondente sistema non lineare, in cui solo due traiettorie si avvicinano all origine sull asse y, mentre tutte le altre si allontanano. 36

38 Punto critico ( c γ, a α Sostituendo x = (c/γ + u, y = (a/α + v troviamo il corrispondente sistema lineare: ( d u dt v = ( 0 α c γ γ a α 0 ( u v e che gli autovalori e i corrispondenti autovettori sono immaginari puri, della forma r = ± i ac. Il punto critico è quindi stabile e un centro per il sistema. Per identificare le traiettorie è possibile dividere la seconda equazione del sistema per la prima. Ottenendo dv du = dv/dt du/dt = γ a α u α c γ v α 2 cv dv + γ 2 au du = 0 infine integrando: α 2 c v 2 + γ 2 a u 2 = k con k costante di integrazione. Le traiettorie che circondano il punto critico ( c γ, a α, sono ellissi ed è possibile dimostrare che per k costante il punto critico è anche un centro per il sistema non lineare. 37

39 Figura 1.9: 4 Direzioni del Modello Predatore Preda La variazione ciclica può essere analizzata nel dettaglio quando deviazioni dal punto critico sono piccole e quindi u = c γ K cos( act + φ v = a α c a K sin( act + φ e x = c γ + c γ K cos( act + φ y = a α + a α c a K sin( act + φ 38

40 Queste equazioni sono buone approssimazioni per le traiettorie ellittiche nell intorno del centro del sistema. Osservandole vediamo che: Il numero dei predatori e delle prede varia con un periodo di 2π/ ac indipendentemente dalle condizioni iniziali. I predatori e le prede sono fuori fase per un quarto di ciclo. Le prede conducono e i predatori le seguono. L ampiezza dell oscillazione è di Kc/γ per le prede e a ck/α a per i predatori. Inoltre dipende dalle condizioni e dai parametri del problema. La popolazione media dopo un ciclo è la stessa presente nel punto di equilibrio ( c γ, a α. Il modello predatore preda di Lotka-Volterra dimostra come sia possibile anticipare variazioni cicliche. Attraverso il suo studio è possibile giungere a conclusioni non intuitive, applicabili nei più svariati campi. 39

41 Capitolo 2 Metodo Diretto di Lyapunov 2.1 Introduzione alla Teoria della Stabilità di Lyapunov Il problema della stabilità di un sistema dinamico è una questione di fondamentale importanza, sia teorica che pratica. Come abbiamo più volte ripetuto un sistema è stabile se la sua dinamica, a partire da certe condizioni iniziali nell intorno di un punto critico per il sistema, raggiunge tale punto e in questo caso possiamo dire che non si evolve ulteriormente. Un importante approccio alla stabilità di sistemi non lineari, fu introdotto da Alexander Mikhailovich Lyapunov alla fine del secolo diciannovesimo. L approccio di Lyapunov al problema comprende due metodi: il metodo indiretto che abbiamo già trattato (linearizzazione e il metodo diretto. Il metodo indiretto determina le caratteristiche di stabilità locale di un sistema non lineare nell intorno di un punto di equilibrio di un sistema non lineare, attraverso lo studio della sua approssimazione lineare vicino a tale punto. Sfortunatamente questo metodo è una teoria locale e quindi non è in grado di determinare il bacino di attrazione del punto critico, cioè un dominio contenente il punto stesso e tale che tutte le traiettorie del sistema che si originano all interno di tale dominio e tendano ad avvicinarsi ed eventualmente raggiungere il punto critico per t. Il metodo diretto è nato proprio per affrontare il problema della determinazione del bacino di attrazione. Questo metodo affronta il problema della stabilità globale dei sistemi non lineari, generalizzando due principi della fisica. Lyapunov infatti formalizzò l idea secondo cui se l energia totale di un sistema viene dissipata il sistema deve essere stabile. Il vantaggio del metodo diretto è dato dal fatto che le caratteristiche di stabilità 40

42 di un sistema non lineare di complessità anche molto elevata possono essere definite studiando una funzione ausiliaria scalare del tipo energia, senza quindi dover risolvere analiticamente le equazioni differenziali che descrivono la dinamica del sistema. Tale metodo è molto potente e ci garantisce un gran numero di informazioni come per esempio l estensione della base di attrazione anche se non è sempre facile da attuare. 2.2 Teorema di Lyapunov Nel metodo diretto, come vedremo, la funzione di Lyapunov riveste un importanza fondamentale. Vediamo le sue caratteristiche e i tre teoremi fondamentali di Lyapunov. Funzione Definita Positiva/Negativa Sia V : D R una funzione definita in un dominio D R n, ove D contiene l origine. Diremo che V è definita positiva in D se V (0, 0 = 0 e V (x, y > 0 per tutti gli altri punti in D. Similarmente diremo che V è definita negativa se V (0, 0 = 0 e V (x, y < 0 per ogni altro punto del dominio. Infine se la disuguaglianza è non stretta ( allora chiameremo la funzione semi definita positiva o semi definita negativa. ESEMPIO FUNZIONI DEFINITE POSITIVE/NEGATIVE Consideriamo la funzione energia V : R 2 R V (x, y = sin(x 2 + y 2 Vediamo subito che essa è definita positiva nel dominio 0 < x 2 + y 2 V (0, 0 = 0, infatti in tale dominio V (x, y > 0. Vediamo la funzione: < π/2 con V (x, y = (x + y 2. Questa funzione è solamente semi-definita positiva infatti V (0, 0 = 0 e y = x se V (x, y = 0. 41

43 Primo Teorema di Lyapunov Supponiamo che il sistema autonomo abbia un punto critico isolato all origine. Se esiste una funzione V continua detta funzione energia con derivate parziali del primo ordine continue positivamente definite e per le quali V (x, y definita come V x (x, y dx +V dt y(x, y dy dt è negativamente definita in un qualche dominio D nel piano-xy contenente (0,0, allora l origine è asintoticamente stabile. Se V è negativa ma solamente semi-definita allora l origine è un punto critico stabile. Figura 2.1: Interpretazione geometrica del metodo di Lyapunov Secondo Teorema di Lyapunov Supponiamo che l origine sia un punto critico isolato per il sistema autonomo consideriamo V funzione continua con derivate parziali continue V : D. Si presume che V (0, 0 = 0 e che nelle vicinanze dell origine ci sia almeno un punto per il quale V è positiva (negativa. Se esiste un dominio D contenente l origine tale che la funzione V è positiva definita(negativa definita in D, allora l origine è un punto critico instabile. Terzo Teorema di Lyapunov Supponiamo che l origine sia un punto critico isolato per il sistema autonomo e consideriamo V funzione continua con derivate parziali continue. Se esiste un dominio limitato 42

44 D k contenente l origine dove V (x, y < K, V è positiva definita e V è negativa definita, allora ogni soluzione del sistema omogeneo che parte da un punto in D k si avvicina all origine per t che tende all infinito. 2.3 Costruzione della funzione di Lyapunov La difficoltà maggiore del il metodo diretto di Lyapunov è che non esiste un metodo per identificare la funzione scalare V che ci permette di analizzare il sistema attraverso i tre teoremi di Lyapunov. Nel caso in cui il sistema autonomo rappresenti un problema della fisica è naturale considerare come funziono V, la funzione dell energia totale. Sfortunatamente in tutti gli altri casi non possiamo avvalerci di alcun metodo generale per costruire la funzione; per alcune classi speciali di equazioni ci si è resi conto dell utilità del seguente teorema per creare funzioni definite negative o positive. La funzione V (x, y = ax 2 + bxy + cy 2 è positiva definita se e solo se a > 0 e 4ac b 2 > 0 è negativa definita se e solo se a < 0 e 4ac b 2 < 0 43

45 Esempio del Metodo Diretto: Competizione tra Specie dx/dt = x(1 x y dy/dt = y(0.75 y 0.5x Riprendendo i concetti precedentemente trattati, questo sistema modella un certo tipo di competizione tra specie che nel punto critico (0.5,0.5 il sistema è asintoticamente stabile. Utilizzando una funzione di Lyapunov vogliamo determinare un bacino di attrazione per tale punto. Sostituendo x = u, y = v alle equazione del sistema omogeneo. du/dt = 0.5u 0.5v u 2 uv dv/dt = 0.24u 0.5v 0.5uv v 2 Si consideri come funzione di Lyapunov V (u, v = u 2 + v 2 che chiaramente è definita positiva e in V (0, 0 = 0. Ora dobbiamo solamente determinare una regione contenente l origine nel piano-uv, nella quale le derivate V rispetto al sistema siano definite negative. V (u, v = 2u(du/dt + 2v(dv/dt [(u uv + v 2 + (2u 3 + 2u 2 v + uv 2 + 2v 3 ] 44

46 Vogliamo mostrare che l espressione tra parentesi quadre è definita positiva almeno per u, v sufficientemente piccoli. Se scriviamo u uv + v 2 = 0.25(u 2 + v (u + v 2, vediamo che questi termini sono definiti positivi. Ora cerchiamo di mostrare che nelle vicinanze di u = 0, v = 0 i termini cubici sono più piccoli in forza dei termini quadrati 2u 3 +2u 2 v+uv 2 +2v 3 < 0.25(u 2 +v (u+v 2. 2u 3 + 2u 2 v + uv 2 + 2v 3 = r 3 2 cos 3 θ + 2 cos 2 θ sin θ + cos θ sin 2 θ + 2 sin 3 θ 2u 3 + 2u 2 v + uv 2 + 2v 3 = 7r 3 Dato che sin θ, cos θ sono 1 diremo che l equazione è definita positiva se è verificata la disuguaglianza. 7r 3 < 0.25(u 2 + v 2 = 0.25r 2 r < 1/28 L origine è quindi asintoticamente stabile e di conseguenza anche il punto critico (0.5, 0.5 quando r < 1/28, cioè abbiamod eterminato un bacino di attrazione circolare di raggio r = 1/28 centrato in 0.5,

47 Capitolo 3 Descrizione e Significato del Modello Economico 3.1 Fenomeno Empirico Vogliamo prendere in considerazione la realtà di un distretto industriale, e il suo sviluppo e dare una spiegazione alla dinamica evolutiva delle popolazioni delle organizzazioni localizzate, ossia quelle aggregazioni che subiscono il fenomeno dell internazionalizzazione passiva. In altre parole prenderemo in considerazione il fenomeno della competizione tra imprese e il loro cambiamento a seguito dell ingresso di nuovi competitori stranieri. Nel lavoro (Mollona e Presutti, 2006 gli autori esaminano un distretto industriale tessile italiano. Comincino la loro osservazione da una situazione di equilibrio interno, che nel corso degli anni 90 si è via via destabilizzata, a causa della localizzazione veloce di piccoli fornitori specializzati stranieri, procedendo verso una concorrenza forte fra fornitori locali e fornitori stranieri in un area limitata. Negli anni 90 infatti molti distretti italiani hanno dislocato la loro produzione all estero internazionalizzandosi ossia aprendosi a un processo di frammentazione territoriale della catena di valore. Questo processo ha comportato a sua volta una forte transizione del controllo interno del distretto verso di un più aperto controllo globalmente integrato. Improvvisamente sono diventate rilevanti nuove strategie per migliorare il controllo sui mercati interni e stranieri in un ottica di apertura internazionale. 46

48 In questo processo di globalizzazione, si osserva la tendenza all aumento dei competitori stranieri. Questo nuovo sviluppo è stato chiamato internazionalizzazione passiva dei distretti italiani e come effetto ha prodotto un conflitto potenziale fra la rete locale ormai consolidata e i nuovi entrati stranieri. In generale le domande alle quali vorremmo trovare una risposta sono le seguenti: Come possiamo valutare l entrata di diversi attori stranieri nei distretti italiani? Per quale motivo gli attori stranieri erano in grado di sostituire velocemente gli operatori locali tradizionali? Qual è la dinamica e l evoluzione della concorrenza fra le popolazioni delle ditte esistenti e le popolazioni dei nuovi arrivati? Quali modifiche ha portato nel modello di controllo tradizionale del distretto l entrata di aziende straniere? La dinamica di questo processo è chiaramente ambigua e di difficile giudizio data la carenza di dati empirici che mettano in evidenza l equilibrio dei distretti sotto l effetto dell internazionalizzazione passiva. Sin dagli anni 60 l industria tessile italiana ha sviluppato caratteristiche specifiche di qualità e manualità che hanno determinato un particolare modello industriale basato sulla presenza di piccole e medie imprese specializzate. E quindi interessante considerare l ingresso di nuove popolazioni nel distretto industriale e cercare di spiegarne le interazioni. 47

49 3.2 Modello del Fenomeno Empirico Riprendendo il fenomeno empirico precedentemente descritto della Competizione tra Specie, cercheremo di definire un modello che descriva la concorrenza fra le popolazioni dei fornitori e dei produttori delle merci all interno di una serie di ingranaggi industriali, osservando il fenomeno da una prospettiva di ecosistema biologico. Nell ambiente in esame all interno di un distretto industriale si osserva che i produttori di beni finiti generano risorse per la popolazione dei fornitori. Consideriamo i fornitori tradizionali originari del distretto industriale ed i nuovi fornitori esterni entranti come popolazioni eterogenee, dato lo sviluppo relazionale e le strategie competitive differenti che comportano reazioni diverse alle dinamiche ambientali esogene. D altra parte, anche i produttori delle merci finite che appartengono al distretto e quelli che arrivano dall esterno, sono due popolazioni differenti dalle organizzazioni con differenti costi e prezzi di vendita, ma che a loro volta interferiscono nello stesso distretto industriale delle risorse creando competizione. Il modello Competizione tra Specie, (Hamman e Freeman(1977, è definito da equazioni nella forma: dx i dt = g ix i ( u c ji x i u Nell equazione, gli indici i e j rappresentano le popolazioni in competizione. g i è il tasso di crescita della popolazione i mentre u è la risorsa limitata disponibile nel distretto necessaria alla sopravvivenza degli attori. Infine c ji è il tasso di competitività della popolazione j rispetto alla popolazione i ossia la probabilità che un membro della popolazione j batta un membro della popolazione i nell acquisizione delle risorse. 48

50 Utilizzando come base il modello Hamman e Freeman(1997, Mollona e Presutti(2006 ne propongono una ritrattazione ampliata in cui la competizione si svolge su due livelli. Più precisamente, la quantità u è il numero di imprese clienti delle popolazioni all interno dello stesso distretto. Conseguentemente, denominando con x 1, x 2 le popolazioni dei fornitori appartenenti allo stesso distretto, con y 1, y 2 popolazioni di produttori di beni finiti dello stesso distretto ed u numero di utenti finali potenziali acquirenti del prodotto, avremo un modello competitivo schematizzato in figura. Figura 3.1: Schematizzazione Modello Mollona e Presutti(2006 La competizione si struttura nel seguente modo: x 1, x 2 fornitori dello stesso distretto competono tra loro per cercare per cercare di rifornire il maggior numero di produttori rappresentati da y 1 + y 2. A loro volta i produttori y 1, y 2 dello stesso distretto competono per cercare di accaparrarsi il maggior numero di consumatori finali u. Si definisce quindi un sistema omogeneo nella seguente forma: dx 1 dt = g 1x 1 ( (y 1 + y 2 c 21 x 1 (y 1 + y 2 dx 2 dt = g 2x 2 ( (y 1 + y 2 c 12 x 2 (y 1 + y 2 dy 1 dt = g iy 1 ( u c 21 y 1 u dy 2 dt = g iy 2 ( u c 12 y 2 u 49

51 3.3 Analisi del Fenomeno Empirico: Ricerca dei Punti Critici Definito il modello di riferimento cercheremo di studiare qualitativamente la dinamica evolutiva dello stesso; sia da un punto di vista analitico, cercheremo i punti critici e nei loro intorni analizzeremo la stabilità sia da un punto di vista computazionale ossia cercando di capire cosa succede al sistema quando ci si allontana da questi punti. dx 1 dt = g 1x 1 ( (y 1 + y 2 c 21 x 1 (y 1 + y 2 dx 2 dt = g 2x 2 ( (y 1 + y 2 c 12 x 2 (y 1 + y 2 dy 1 dt = g 1y 1 ( u c 21 y 1 u dy 2 dt = g 2y 2 ( u c 12 y 2 u Dove: x 1, x 2, y 1 e y 2 sono variabili che rappresentano le popolazioni g 1, g 2, g 1 e g 2 sono costanti positive che rappresentano i tassi di crescita relativi a ogni popolazione c 21, c 12, c 21 e c 12 sono costanti positive che rappresentano i tassi di competitività u è una costante positiva che rappresenta l ampiezza del mercato cioè il numero dei potenziali clienti Si osserva che le ultime due equazioni del sistema formano un sistema indipendente del tipo Competizione tra Specie ; per cui è molto semplice calcolare subito le possibili coordinate y 1, y 2 dei punti critici. Sostituendo questi valori nelle prime due equazione ricaveremo le restanti coordinate di x 1 e x 2. 50

52 Il sistema ammette dodici punti di equilibrio, cioè punti di particolare importanza in cui sistema prende comportamenti particolari di stabilità o instabilità. P 1 = (0, 0, 0, u P 2 = (0, u, 0, u P 3 = (u, 0, 0, u P 4 = ( u(c 21 1 c 12 c21 1, u(c 12 1, 0, u c 12 c21 1 P 5 = (0, 0, u, 0 P 6 = (0, u, u, 0 P 7 = (u, 0, u, 0 P 8 = ( u(c 21 1 c 12 c 21 1, u(c 12 1, u, 0 c 12 c 21 1 P 9 = (0, 0, u(1 c 21 1 c 12 c21, u(1 c 12 1 c 12 c21 P 10 = (0, u(2 c 12 c 21 1 c 12 c 21, u(1 c 21 1 c 12 c 21, u(1 c 12 1 c 12 c 21 P 11 = ( u(2 c 12 c 21 1 c 12 c 21, 0, u(1 c 21 1 c 12 c 21, u(1 c 12 1 c 12 c 21 P 12 = ( u(2 c 12 c 21 (1 c 21 1 c 12 c 21 (1 c 12 c 21, u(2 c 12 c 21 (1 c 12, u(1 c 21, u(1 c 12 1 c 12 c 21 (1 c 12 c 21 1 c 12 c 21 1 c 12 c 21 51

53 3.4 Linearizzazione del Fenomeno Empirico Per caratterizzare i punti di equilibrio e darne una descrizione occorre studiarne la stabilità. Il problema in esame è definito da un sistema non lineare autonomo composto da quattro equazioni differenziali. Per maggiore semplicità chiameremo l equazione differenziale i-esima con F i e la derivata della funzione i-esima nel punto P 0 rispetto alla variabile j con F i j (P 0. Per comprendere un sistema così complesso applicheremo il metodo indiretto di Lyapunov o linearizzazione, cioè trasleremo nell origine i nostri punti critici annullando la parte non non lineare. Calcolando le derivate parziali otteniamo F 1 x 1 = g 1 g 1c 21 x 2 y 1 + y 2 2g 1x 1 y 1 + y 2 F 1 x 2 = c 12g 1 x 1 y 1 + y 2 F 1 y 1 = g 1x 1 (x 1 + c 21 x 2 y 1 + y 2 F 1 y 2 = g 1x 1 (x 1 + c 21 x 2 (y 1 + y 2 2 F 2 x 1 = c 12g 2 x 2 y 1 + y 2 F 2 x 2 = g 2 g 2c 12 x 1 y 1 + y 2 2g 2x 2 y 1 + y 2 52