Raggi sismici nella Terra

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1 Raggi sismici nella Terra Jacopo Barbati luglio 23 Sommario Localizzazione della sorgente di un terremoto La localizzazione della sorgente di un terremoto richiede il calcolo della distanza epicentrale.. Calcolo della distanza epicentrale in un mezzo omogeneo Si consideri un evento sismico con sorgente nell ipocentro H, epicentro E, registrato nel punto Q della superficie terrestre e con profondità ipocentrale h. Per determinare la distanza epicentrale tra Q e H, supponendo che la Terra sia un mezzo omogeneo e che h, si vanno a considerare i tempi di arrivo in Q delle onde P (t P ) e delle onde S (t S ). Dato che t P = α e t S = β (dove α e β sono rispettivamente le velocità delle onde P e delle onde S), ne risulta che: = t S t P β α L epicentro di un sisma viene quindi determinato come l intersezione di almeno tre circonferenze di raggio che hanno per centro tre sismografi che l hanno registrato. 2 Raggi sismici in un semispazio In un semispazio elastico con velocità delle onde sismiche c(x 3 ) crescente monotona con la profondità, i raggi sismici sono curvi e con la concavità rivolta verso l alto. 2. Parametro del raggio Considerato un raggio sismico in un semispazio elastico, si definisce il parametro sin i(x3) del raggio p = c(x 3). Per i = π 2 si ha la profondità massima del percorso del raggio, dove c(x 3 ) = p.

2 3 Calcolo della distanza epicentrale (p) Considerando che d = tan idx 3, si può determinare (p) = 2 tan idx 3 e, ricordando che tan i = sin i sin 2 i e che sin i = cp, si ottiene cp (p) = 2 c2 p dx Calcolo del tempo di viaggio T (p) L incremento della distanza lungo il raggio è pari a ds = dx3 cos i, per cui: dx X3 3 T (p) = 2 c cos i = 2 dx 3 c c 2 p 2 5 Le omocrone Le omocrone sono curve che rappresentano T in funzione di per ogni fase sismica, vale a dire una famiglia di raggi sismici dello stesso tipo che compiono percorsi simili. 5. Equazione della omocrona Ogni omocrona rappresenta il tempo di viaggio di infiniti raggi sismici appartenenti alla stessa fase sismica; ogni raggio è caratterizzato da un proprio parametro del raggio. Si considerino due raggi infinitamente vicini, con S = 2ds, d = 2dl e ds = dl sin i. Si può dedurre che dt = 2ds (dove rappresenta la velocità sismica alla superficie), e quindi: dt d = sin i = p 6 Raggi sismici in una sfera In una sfera, la distanza epicentrale è misurata lungo l arco più breve della circonferenza massima che passa per l epicentro E e il sismografo Q, ed è espressa in gradi. In un pianeta sferico omogeneo, la velocità dei raggi c è costante e e raggi sismici sono corde del cerchio massimo passante per E e Q. 6. Dromocrona per un pianeta omogeneo Per un pianeta omogeneo: T ( ) = 2r sin 2 2 J. Barbati

3 p( ) = r cos 2 Nella Terra, che non è un pianeta omogeneo, i T aumentano poco rapidamente: le velocità aumentano con la profondità. I raggi sisici vengono rifratti continuamente e sono curvi, concavi verso l alto. 7 Raggi sismici in una sfera disomogenea In una sfera disomogenea, la velocità dipende dalla posizione: c = c(r). 7. Parametro del raggio In un generico punto r del raggio, la sua direzione è ˆn = d r ds e c è parallela a r. Dato che c = d ˆn ds c, si deduce che r ˆn c = costante: il raggio è contenuto in un piano e r sin i c = p. 7.2 Equazione della omocrona Si consideri una sfera di raggio r e due raggi sismici infinitamente vicini (ds, dl): d = 2dl r ; dt = 2ds. Quindi: dt d = r sin i = p 7.3 Distanza epicentrale e tempo di viaggio Un tratto ds del raggio corrisponde a una variazione della distanza radiale = ds cos i e a una variazione della distanza orizzontale rd = tan i: dove η(r) = r c(r) (p) = 2 r tan i r = 2p r η2 p 2 r r r T (p) = 2 c cos i = 2 η 2 η2 p 2 r ds ; dt = c ; ds = cos i. 8 Soluzione del problema inverso per la sfera Ossia determinare il valore di c(r) conoscendo i valori di T. Si tratta di risolvere l equazione di Abel: r p η2 p = 2 2 () 8. Formula di Herglotz-Wiechert Trattasi della soluzione dell equazione di Abel (): ln r o = arccosh p( ) d (2) π p 3 J. Barbati

4 9 La densità della Terra Si supponga che la Terra sia in sforzo iostatico: σ ij = pδ ij σ ij,j + ρg i = dp + ρg = dp = ρg. Si definisce inoltre la dilatazione θ come dθ = dp, dove K è il modulo di compressione. Si può quindi affermare che K dρ = ρ2 g K, dove g(r) = G r 2 r 4πr 2 ρ(r ) 9. Equazione di Adams-Williamson Alla fine si può ricavare l equazione di Adams-Williamson: dρ = 4πG ρ r 2 α β2 r La struttura elastica della Terra r 2 ρ(r ) (3) Le equazioni di Herglotz-Wiechert (2) e di Adams-Williamson (3) dimostrano, rispettivamente, che le velocità delle onde sismiche variano con la posizione, così come la densità, in un pianeta disomogeneo e stratificato come la Terra.. Effetti della stratificazione La stratificazione terrestre, oltre a causare le variazioni sopraccitate, permette l esistenza di superfici di discontinuità tra due diversi mezzi adiacenti, che causa la moltiplicazione delle fasi sismiche..2 Nomenclatura delle fasi sismiche Le onde sismiche hanno diverse denominazioni a seconda delle loro fasi e degli strati terrestri che attraversano: ˆ P: onda P attraverso il mantello; ˆ S: onda S attraverso il mantello; ˆ K: onda P attraverso il nucleo estero; ˆ I: onda P attraverso il nucleo interno; ˆ J: onda S attraverso il nucleo interno. Le onde S non si propagano nel nucleo. Abbreviazioni: per descrivere, per esempio, un onda P che subisce 3 riflessioni attraverso il nucleo esterno per poi colpire la superficie, si usa la notazione P KKKP oppure P 3KP..2. Nomenclatura delle fasi sismiche: terremoti profondi Se la sorgente è profonda, esisteranno delle onde riflesse sopra il piano della sorgente. Esse vanno indicate con le lettere minuscole p e s rispettivamente. 4 J. Barbati

5 .2.2 Nomenclatura delle fasi sismiche: riflessione sul nucleo Un raggio che dal mantello si riflette sul nucleo è indicato dalla lettera c..3 La zona d ombra del nucleo L esistenza del nucleo fa sì che non esistano onde P a > 3, mentre per > 44 appaiono le prime onde P KP : la zona con 3 < < 44 è detta zona d ombra delle onde P. Dato che le onde S non si propagano nel nucleo, la zona d ombra delle onde S sarà 3 < < 257. Ciononostante, possono comunque esserci dei raggi all interno delle zone d ombra a causa della diffrazione delle onde sismiche. Le onde P diffratte dal nucleo penetrano fino a = 2. 5 J. Barbati