INTRODUZIONE ALLA INFERENZA STATISTICA

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1 INTRODUZIONE ALLA INFERENZA STATISTICA 1) CONCETTO DI INFERENZA STATISTICA E SCOPI : L ifereza statistica è il procedimeto iduttivo che, avvaledosi del calcolo delle probabilità, cosete di estedere all itera popolazioe le iformazioi forite dal campioe. ) POPOLAZIONE E CAMPIONE: la popolazioe è l isieme degli elemeti che costituiscoo l oggetto dell aalisi; il campioe è u sottoisieme della popolazioe. 3) CAMPIONE CASUALE: il modo più comue di scegliere le uità da iserire el campioe è quello di sorteggiarlo o, come si suol dire, di sceglierle a caso. Il campioe che e risulta è detto campioe casuale. 4) RILEVAZIONE CAMPIONARIA: i pricipali vataggi della rilevazioe campioaria, rispetto a quella totale sull itera popolazioe, possoo essere così riassuti: a) maggiore tempestività delle iformazioi; b) possibilità di effettuare idagii più complesse; c) maggiore ecoomicità; d) livello medio più elevato dei rilevatori ( e occorroo di meo rispetto alle rilevazioi totali tipo il cesimeto della popolazioe ) e quidi, sovete, maggiore cura ed esattezza. 5) UNIVERSO DEI CAMPIONI O SPAZIO CAMPIONARIO: è l isieme di tutti i possibili campioi di umerosità deducibili da ua popolazioe mediate scelta casuale Campioe beroulliao o Campioe esaustivo : le uità Campioe i blocco : le co reiserimeto: le uità o possoo essere estratte uità vegoo estratte possoo essere estratte più volte; disposizioi semplici cotemporaeamete; più volte ; disposizioi co combiazioi semplici ripetizioe N N N ( N 1) ( N )... ( N + 1) FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 1 di 16

2 6) PARAMETRI E STATISTICHE: a) i parametri soo dei valori caratteristici della popolazioe ( media, variaza, frequeza relativa o percetuale) e si idicao co i simboli µ ; ; π b) le statistiche soo ivece delle FUNZIONI DELLE OSSERVAZIONI CAMPIONARIE el seso che esse dipedoo dagli elemeti del campioe ( media del campioe, variaza del campioe, frequeza relativa o percetuale del campioe ) e si idicao co i simboli x; s ; p 7) DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE STATISTICS : al variare del campioe ell uiverso campioario la statistica assume valori diversi, per cui è possibile costruire la sua distribuzioe. E questa la distribuzioe campioaria della statistica. Esempio: Cosideriamo ua popolazioe composta da 4 uità, N=4. I valori soo : 1; ; 3 ; 4 ; la media della popolazioe è µ=,5; L uiverso dei campioi di ordie co estrazioe beroulliaa, cioè tutti i possibili campioi composti da due elemeti co ripetizioe, è dato da N =4 =16. La distribuzioe campioaria delle medie è la seguete : campioi di due elemeti distribuzioe campioaria delle medie medie campioarie frequeze assolute frequeze relative (1 ; 1) /16 (1 ; ) 1,5 1,5 /16 (1 ; 3) 3 3/16 (1 ; 4),5,5 4 4/16 ( ; 1) 1, /16 ( ; ) 3,5 /16 ( ; 3), /16 ( ; 4) 3 Totale 16 1 (3; 1) (3; ),5 (3 ; 3) 3 (3 ; 4) 3,5 (4 ; 1),5 (4 ; ) 3 (4 ; 3) 3,5 (4 ; 4) 4 FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia di 16

3 La statistica - media del campioe viee pertato a cofigurarsi i ua serie di modalità e frequeze; quest ultime, espresse i termii relativi, assumoo il sigificato particolare di probabilità. L importaza della distribuzioe campioaria delle statistiche è legata alla possibilità di determiare i limiti di validità dei risultati campioari per l itera popolazioe. Tale distribuzioe campioaria è ua fuzioe discreta o cotiua che comprede tutti i valori di ua statistica ell uiverso dei campioi, è variabile, e o va cofusa co la distribuzioe del carattere oggetto di studio ella popolazioe che è costate. 8) DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIA : la distribuzioe campioaria della media aritmetica è caratterizzata dal fatto di avere la stessa media della popolazioe origiaria i tutti i tipi di uiverso prima cosiderati: E x ( ) = µ quidi la media delle medie campioarie è uguale alla media della popolazioe e la variaza della distribuzioe campioaria media aritmetica è sempre uguale a : VAR( x) = ell uiverso beroulliao N VAR( x) = N 1 ell uiverso dei campioi estratti i blocco quidi la variaza delle medie campioarie è uguale alla variaza della popolazioe diviso la umerosità del campioe ( ell uiverso beroulliao ). FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 3 di 16

4 Riprediamo l esempio precedete, dispoiamo i dati i tabella per il calcolo della media e della variaza campioaria : medie campioarie x _ i frequeze assolute i prodotti medie campioarie frequeze x _ i i valori quadratici per frequeze ,5 3 4, , ,5 7 4, Totale media aritmetica delle medie campioarie _ 40 x = =,5 16 _ x i i variaza campioaria = 110,5 16 _ = x media popolazioe,5 variaza popolazioe 1,5 1,5 variaza popolazioe/ = 0, 65 0,65 9) ALCUNI TEOREMI SULLE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA DELLA MEDIA: 1 CASO: POPOLAZIONE AVENTE DISTRIBUZIONE NORMALE N ( µ ; ) La variabile casuale media del campioe ha distribuzioe ormale co media u e variaza. Attuado la trasformazioe di variabile Z = ( x µ ) la variabile casuale Z è ua ormale stadardizzata co media 0 e variaza uguale a 1, N (0;1 ). FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 4 di 16

5 CASO: POPOLAZIONE NON AVENTE DISTRIBUZIONE NORMA LE TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: sia ( x x ; x ;... ) 1 ; 3 x u campioe beroulliao estratto da ua popolazioe o ormale di media u e variaza. La distribuzioe della media campioaria al crescere di tede alla distribuzioe ormale co media u e variaza. Ne deriva che attuado la trasformazioe di variabile Z = ( x µ ) la variabile casuale Z per sempre più grade tede a distribuirsi secodo ua ormale stadardizzata. L importaza di questo teorema ell ifereza statistica è collegata al fatto che, grazie ad esso, la distribuzioe campioaria della v.c. media del campioe si ricoduce sempre, per sufficietemete grade, ad ua distribuzioe ormale qualuque possa essere la forma della fuzioe di probabilità f (x) della popolazioe di parteza dalla quale il campioe è stato estratto. Nelle applicazioi si ha ua buoa approssimazioe alla variabile ormale qualora 1. 10) DIMENSIONE DEL CAMPIONE: Nella teoria dei campioi si distiguoo: a) gradi campioi, co >30 oppure >50 ; b) piccoli campioi, co <30 oppure <50 ; u limite preciso di separazioe tra i due gruppi, piccoli o gradi, o esiste. I geerale i piccoli campioi si riferiscoo alle ricerche sperimetali e il umero degli elemeti è i geere limitato ( miore di 30 ). FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 5 di 16

6 STIMA PUNTUALE E STIMA PER INTERVALLO PER UNA STATISTICA I base all osservazioe campioaria si tede a risalire al parametro icogito del collettivo di origie o popolazioe; la valutazioe del parametro icogito viee effettuata tramite uo stimatore che dovrà dare la migliore stima del parametro igoto ; lo stimatore, essedo determiato dalle osservazioi campioarie, risulta essere ua variabile casuale e pertato il suo valore tede ad essere diverso elle varie estrazioi del campioe. Geeralmete l idice viee scelto i stretta aalogia co il parametro icogito, la media campioaria per stimare la media della popolazioe, la variaza campioaria per stimare la variaza della popolazioe e così via. Idicato co θ ( teta ) la caratteristica o parametro della popolazioe e co segueti proprietà per gli stimatori: ) θ = 1) sia corretto o cetrato o o tedezioso: ( ) θ θ ) lo stimatore valgoo le E, il valor medio delle osservazioe campioarie dello stimatore sia uguale al parametro della popolazioe; ) sia efficiete: ) θ sia miima o comuque la variaza dello stimatore sia miore rispetto alle variaze di altri stimatori; 3) sia cosistete: lim Pr ob( ) θ θ < e = 1, al crescere della umerosità campioaria il valore stimato deve tedere sempre di più al parametro quidi lim E( ) θ ) = θ e lim = 0 ) θ I metodi di stima dei parametri soo due: stima putuale e stima per itervallo. STIMA PUNTUALE Co la stima putuale viee calcolato u solo valore che sarà lo stimatore del parametro icogito; i geere si calcola co il metodo della massima verosimigliaza. STIMA MEDIANTE GLI INTERVALLI Co la stima per itervallo si ricava u itervallo della statistica campioaria all itero del quale si ha fiducia che il parametro della popolazioe possa essere coteuto. Nel caso della distribuzioe della media campioaria, co popolazioe distribuita ormalmete, sappiamo che essa è distribuita ormalmete co media quella della popolazioe u e variaza / ; itrodotta la variabile ormale stadardizzata : FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 6 di 16

7 ( x µ ) Z = si può affermare che, co probabilità 0, 95, la variabile Z è compresa fra i limiti ± 1, 96 e sarà P ( 1,96 < Z < 1,96) = 0, 95 e sostituedo il valore Z si ottiee ( x µ ) P( 1,96 < _ < 1,96) P u 1,96 < x < u + 1,96 = 0,95. Ciò sigifica che su 100 medie di campioi, di dimesioe, 95 cadoo ell itervallo = u 1,96 ; u + 1,96 metre 5 cadoo fuori, vi è quidi probabilità del 95% che, scelto a caso u campioe casuale dalla popolazioe, la sua media _ x cada ell itervallo determiato. La rappresetazioe grafica è la seguete: Se la probabilità è del 99% il valore di z sarà uguale a ±, 576 ; se la probabilità salisse a 99,73%, come avviee di solito el cotrollo di qualità di u prodotto, il valore di z sarà uguale a ± 3. L itervallo tede ad ampliarsi per essere fiduciosi o quasi certi che la percetuale stabilita delle statistiche delle osservazioi campioarie siao comprese ell itervallo. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 7 di 16

8 INTERVALLI DI CONFIDENZA I pratica però si preseta il quesito opposto: è stato estratto u campioe casuale di elemeti estratti da ua popolazioe e di questo campioe si coosce la media e la variaza e si vuole stimare la media icogita della popolazioe. Partedo dalle relazioi precedeti si possoo trasformare le disuguagliaze isolado la media icogita della popolazioe: dall espressioe ( x µ ) P( 1, 96 < < + 1, 96) = 0, 95 possiamo ricavare l altra P( x 1, 96 < µ < x + 1, 96 ) = 0, 95 l itervallo x 1, 96 < µ < x + 1, 96 è chiamato INTERVALLO DI CONFIDENZA o DI FIDUCIA e la probabilità 0,95 che cotega la media icogita u è detta LIVELLO DI FIDUCIA. Co gli itervalli di cofideza si cerca di determiare, accettado u prefissato rischio di errore che si idica co α, u itervallo etro il quale dovrebbe trovarsi il corrispodete valore caratteristico della popolazioe. Il rischio si idica co α = 1 P, metre P = 1 α è detto livello di cofideza. Particolare attezioe bisoga porre ella illustrazioe dell itervallo di cofideza; metre è corretto affermare che la media di u campioe ha ua probabilità del 95% di cadere ell itervallo fisso di u, è ivece errato dire che co ua probabilità del 95% la media u della popolazioe cade ell itervallo x 1, 96 < µ < x + 1, 96 perché la media u della popolazioe è ua costate, metre è variabile la media del campioe e, quidi, è variabile l itervallo di stima. Si può dire, allora, che estratti tati campioi casuali di elemeti dalla popolazioe e cosiderati i relativi itervalli di cofideza del 95 %, il 95% di tali itervalli cotiee la quatità icogita u metre il 5% di tali itervalli o coterrà la media icogita. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 8 di 16

9 Noi realizzeremo u solo campioe; a quale delle due categorie apparterà? A quella dei campioi buoi, ossia co ua media o troppo distate da quella della popolazioe, oppure a quella dei campioi cattivi, co ua media sottostimata o sovrastimata per più di z rispetto alla media esatta? Poiché i campioi buoi soo 95 per ogi 5 campioi cattivi, CONFIDIAMO che la ostra estrazioe porti ad u risultato che rietri ella prima categoria. Il rischio che questa supposizioe sia iesatta è ovviamete del 5% e i geere è α. Lavorado co u livello di fiducia maggiore co α sempre più piccolo l ampiezza dell itervallo cresce, ma la stima è meo precisa; per otteere ua stima più precisa si deve dimiuire l ampiezza dell itervallo e questo si ottiee solo aumetado la umerosità del campioe. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 9 di 16

10 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA M E D I A DI UNA POPOLAZIONE Per determiare gli itervalli di cofideza per media icogita u della popolazioe, occorre cooscere la distribuzioe campioaria della media del campioe. Per procedere alla costruzioe dell itervallo di cofideza bisoga distiguere vari casi a secoda che la variaza della popolazioe sia ota o igota e se la popolazioe di parteza è ormale o meo. 1 CASO Popolazioe distribuita ormalmete e varia za ota Teedo coto che la v.c. x, media campioaria, è ormale co media uguale a quella della popolazioe u e variaza uguale a (, si cosidera la v.c. z= x µ ) ormale stadardizzata; l itervallo di cofideza, dopo pochi passaggi, risulterà: P( x z < µ < x + z ) = 1 α dove z si trova sulle tavole della ormale stadardizzata a livello di fiducia 1-α. Esempi: 1) α =0,05, P=0,95, f(z)=0,5-1 α =0,5-0,05=0,475, scorredo la secoda coloa delle tavole si trova z=1,96; ) α =0,01 P=0,99, f(z)=0,5-1 α =0,5-0,005=0,495, scorredo la secoda coloa delle tavole si trova z=,57. No possiamo affermare,però, a questo puto, che ell 1- α dei casi la media icogita u si troverà ell itervallo, ma che i ua luga serie di campioi di osservazioi, tratti da ua popolazioe distribuita ormalmete co media icogita u e variaza ota, si può determiare ua corrispodete serie di itervalli x ± z e che circa l 1-α di tali itervalli, detti di cofideza, deve icludere la quatità fissa icogita u. Se α =0,05 e 1-α =0,95, dalla media cercata ed esatta. 95 campioi su 100 o differirao più del valore ± z Noi realizzeremo u solo campioe. CONFIDIAMO che la ostra estrazioe porti ad u risultato che rietri ei campioi buoi, essedo questi 95 sul totale di 100. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 10 di 16

11 CASO Popolazioe distribuita ormalmete e varia za igota- piccoli campioi Allorché la variaza della popolazioe o è ota ( come succede i tutti i casi pratici ) occorre stimarla co la VARIANZA CORRETTA del campioe : ( xi x) i= 1 s = 1 Teuto coto che la v.c. x, media del campioe, è ormale co media uguale a quella della popolazioe u e variaza uguale a ( x µ), si cosidera la v.c. t = che o è s distribuita ormalmete ma come ua T di Studet co (-1) gradi di libertà. Scelto il livello di fiducia 1 α, dopo pochi passaggi si arriva all itervallo di cofideza: s s P( x t < µ < x + t ) = 1 α Questo procedimeto si riferisce, i particolare, ai piccoli campioi; per i gradi campioi, data la tedeza di T, all aumetare dei gradi di libertà, ad approssimarsi alla ormale, l itervallo di cofideza può essere calcolato come per il caso precedete. I gradi di libertà attegoo al umero di iformazioi che si ha della distribuzioe. Per u campioe di umerosità basta cooscere -1 valori per determiare l ultimo e pertato i valori liberi ( gradi di libertà ) soo (-1). Particolare attezioe bisoga porre per calcolare i valori di t ua volta scelto α ; metre ella distribuzioe ormale il valore f(z) dà l area della semicurva e pertato bisoga cosiderare il valore 0,5-1 α, ella fuzioe T di Studet f(t) l area si riferisce all itera curva e quidi sulle tavole si puta direttamete al valore 1-α scorredo le righe per i gradi di libertà. Esempio: α =0,05, P=0,95, f(t)=0,95 e cosiderato ua umerosità campioaria di 16 elemeti i gradi di libertà sarao (16-1)=15; ella tavola il valore sarà otteuto dall icrocio della probabilità pari a 0,95 lugo la coloa e 15 gradi di libertà sulle righe: il valore sarà t=, CASO: POPOLAZIONE NON DISTRIBUITA NORMALMENTE GRANDI CAMPIONI Se il carattere della popolazioe o è distribuito ormalmete i virtù del teorema del limite cetrale si potrà acora applicare l itervallo di cofideza basato sulla distribuzioe ormale stadardizzata per i gradi campioi, co procedimeto aalogo al primo caso. 4 CASO: POPOLAZIONE NON DISTRIBUITA NORMALMENTE PICCOLI CAMPIONI Per i piccoli campioi occorrerà cooscere la distribuzioe campioaria dello stimatore utilizzato ( el caso la media del campioe ) e procedere co questa distribuzioe. Qualora si coosca soltato lo scarto quadratico medio di tale distribuzioe ( caso o pratico ), si potrà utilizzare il teorema di Bieaymè Chebyshev. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 11 di 16

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13 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA P E R C E N T U A L E D I U N A P O P O L A Z I O N E Cosideriamo ua popolazioe di N uità delle quali la frazioe π possiede u certo attributo e la frazioe complemetare ( 1-π ) o la possiede. Estraedo u campioe di elemeti, k elemeti presetao l attributo cosiderato, pertato co k p = idichiamo la frequeza relativa delle uità del campioe che presetao l attributo cosiderato ( percetuale ). La frequeza relativa p è lo stimatore del parametro icogito π. Per determiare gli itervalli di cofideza della percetuale della popolazioe ( π ) si utilizza lo stimatore p Teedo coto che la v.c. x =, percetuale del campioe. Popolazioe distribuita ormalmete e gradi campioi, >30 k p =, percetuale campioaria, è ormale co media uguale a quella della popolazioe u e variaza uguale a, si cosidera la v.c. Z = ( p π ) π (1 π ) che sarà ormale stadardizzata; l itervallo di cofideza, dopo pochi passaggi, risulterà: p (1 p) p (1 p) P π p z < < p + z = 1 α dove z si trova sulle tavole della ormale stadardizzata a livello di fiducia 1-α. Esempi: 1) α =0,05, P=0,95, f(z)=0,5-1 α =0,5-0,05=0,475, scorredo la secoda coloa delle tavole si trova z=1,96; ) α =0,01 P=0,99, f(z)=0,5-1 α =0,5-0,005=0,495, scorredo la secoda coloa delle tavole si trova z=,57. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 13 di 16

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15 Aree di probabilità sotto la curva ormale stadardizzata F(z)= P(0<Z<z) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) valori di z valori di F( z ) 0,01 0,0040 0,51 0,1950 1,01 0,3438 1,51 0,4345,01 0,4778,51 0,4940 3,01 0,4987 3,51 0,4998 0,0 0,0080 0,5 0,1985 1,0 0,3461 1,5 0,4357,0 0,4783,5 0,4941 3,0 0,4987 3,5 0,4998 0,03 0,010 0,53 0,019 1,03 0,3485 1,53 0,4370,03 0,4788,53 0,4943 3,03 0,4988 3,53 0,4998 0,04 0,0160 0,54 0,054 1,04 0,3508 1,54 0,438,04 0,4793,54 0,4945 3,04 0,4988 3,54 0,4998 0,05 0,0199 0,55 0,088 1,05 0,3531 1,55 0,4394,05 0,4798,55 0,4946 3,05 0,4989 3,55 0,4998 0,06 0,039 0,56 0,13 1,06 0,3554 1,56 0,4406,06 0,4803,56 0,4948 3,06 0,4989 3,56 0,4998 0,07 0,079 0,57 0,157 1,07 0,3577 1,57 0,4418,07 0,4808,57 0,4949 3,07 0,4989 3,57 0,4998 0,08 0,0319 0,58 0,190 1,08 0,3599 1,58 0,449,08 0,481,58 0,4951 3,08 0,4990 3,58 0,4998 0,09 0,0359 0,59 0,4 1,09 0,361 1,59 0,4441,09 0,4817,59 0,495 3,09 0,4990 3,59 0,4998 0,1 0,0398 0,6 0,57 1,1 0,3643 1,6 0,445,1 0,481,6 0,4953 3,1 0,4990 3,6 0,4998 0,11 0,0438 0,61 0,91 1,11 0,3665 1,61 0,4463,11 0,486,61 0,4955 3,11 0,4991 3,61 0,4998 0,1 0,0478 0,6 0,34 1,1 0,3686 1,6 0,4474,1 0,4830,6 0,4956 3,1 0,4991 3,6 0,4999 0,13 0,0517 0,63 0,357 1,13 0,3708 1,63 0,4484,13 0,4834,63 0,4957 3,13 0,4991 3,63 0,4999 0,14 0,0557 0,64 0,389 1,14 0,379 1,64 0,4495,14 0,4838,64 0,4959 3,14 0,499 3,64 0,4999 0,15 0,0596 0,65 0,4 1,15 0,3749 1,65 0,4505,15 0,484,65 0,4960 3,15 0,499 3,65 0,4999 0,16 0,0636 0,66 0,454 1,16 0,3770 1,66 0,4515,16 0,4846,66 0,4961 3,16 0,499 3,66 0,4999 0,17 0,0675 0,67 0,486 1,17 0,3790 1,67 0,455,17 0,4850,67 0,496 3,17 0,499 3,67 0,4999 0,18 0,0714 0,68 0,517 1,18 0,3810 1,68 0,4535,18 0,4854,68 0,4963 3,18 0,4993 3,68 0,4999 0,19 0,0753 0,69 0,549 1,19 0,3830 1,69 0,4545,19 0,4857,69 0,4964 3,19 0,4993 3,69 0,4999 0, 0,0793 0,7 0,580 1, 0,3849 1,7 0,4554, 0,4861,7 0,4965 3, 0,4993 3,7 0,4999 0,1 0,083 0,71 0,611 1,1 0,3869 1,71 0,4564,1 0,4864,71 0,4966 3,1 0,4993 3,71 0,4999 0, 0,0871 0,7 0,64 1, 0,3888 1,7 0,4573, 0,4868,7 0,4967 3, 0,4994 3,7 0,4999 0,3 0,0910 0,73 0,673 1,3 0,3907 1,73 0,458,3 0,4871,73 0,4968 3,3 0,4994 3,73 0,4999 0,4 0,0948 0,74 0,704 1,4 0,395 1,74 0,4591,4 0,4875,74 0,4969 3,4 0,4994 3,74 0,4999 0,5 0,0987 0,75 0,734 1,5 0,3944 1,75 0,4599,5 0,4878,75 0,4970 3,5 0,4994 3,75 0,4999 0,6 0,106 0,76 0,764 1,6 0,396 1,76 0,4608,6 0,4881,76 0,4971 3,6 0,4994 3,76 0,4999 0,7 0,1064 0,77 0,794 1,7 0,3980 1,77 0,4616,7 0,4884,77 0,497 3,7 0,4995 3,77 0,4999 0,8 0,1103 0,78 0,83 1,8 0,3997 1,78 0,465,8 0,4887,78 0,4973 3,8 0,4995 3,78 0,4999 0,9 0,1141 0,79 0,85 1,9 0,4015 1,79 0,4633,9 0,4890,79 0,4974 3,9 0,4995 3,79 0,4999 0,3 0,1179 0,8 0,881 1,3 0,403 1,8 0,4641,3 0,4893,8 0,4974 3,3 0,4995 3,8 0,4999 0,31 0,117 0,81 0,910 1,31 0,4049 1,81 0,4649,31 0,4896,81 0,4975 3,31 0,4995 3,81 0,4999 0,3 0,155 0,8 0,939 1,3 0,4066 1,8 0,4656,3 0,4898,8 0,4976 3,3 0,4995 3,8 0,4999 0,33 0,193 0,83 0,967 1,33 0,408 1,83 0,4664,33 0,4901,83 0,4977 3,33 0,4996 3,83 0,4999 0,34 0,1331 0,84 0,995 1,34 0,4099 1,84 0,4671,34 0,4904,84 0,4977 3,34 0,4996 3,84 0,4999 0,35 0,1368 0,85 0,303 1,35 0,4115 1,85 0,4678,35 0,4906,85 0,4978 3,35 0,4996 3,85 0,4999 0,36 0,1406 0,86 0,3051 1,36 0,4131 1,86 0,4686,36 0,4909,86 0,4979 3,36 0,4996 3,86 0,4999 0,37 0,1443 0,87 0,3078 1,37 0,4147 1,87 0,4693,37 0,4911,87 0,4979 3,37 0,4996 3,87 0,4999 0,38 0,1480 0,88 0,3106 1,38 0,416 1,88 0,4699,38 0,4913,88 0,4980 3,38 0,4996 3,88 0,4999 0,39 0,1517 0,89 0,3133 1,39 0,4177 1,89 0,4706,39 0,4916,89 0,4981 3,39 0,4997 3,89 0,4999 0,4 0,1554 0,9 0,3159 1,4 0,419 1,9 0,4713,4 0,4918,9 0,4981 3,4 0,4997 3,9 0,5000 0,41 0,1591 0,91 0,3186 1,41 0,407 1,91 0,4719,41 0,490,91 0,498 3,41 0,4997 3,91 0,5000 0,4 0,168 0,9 0,31 1,4 0,4 1,9 0,476,4 0,49,9 0,498 3,4 0,4997 3,9 0,5000 0,43 0,1664 0,93 0,338 1,43 0,436 1,93 0,473,43 0,495,93 0,4983 3,43 0,4997 3,93 0,5000 0,44 0,1700 0,94 0,364 1,44 0,451 1,94 0,4738,44 0,497,94 0,4984 3,44 0,4997 3,94 0,5000 0,45 0,1736 0,95 0,389 1,45 0,465 1,95 0,4744,45 0,499,95 0,4984 3,45 0,4997 3,95 0,5000 0,46 0,177 0,96 0,3315 1,46 0,479 1,96 0,4750,46 0,4931,96 0,4985 3,46 0,4997 3,96 0,5000 0,47 0,1808 0,97 0,3340 1,47 0,49 1,97 0,4756,47 0,493,97 0,4985 3,47 0,4997 3,97 0,5000 0,48 0,1844 0,98 0,3365 1,48 0,4306 1,98 0,4761,48 0,4934,98 0,4986 3,48 0,4997 3,98 0,5000 0,49 0,1879 0,99 0,3389 1,49 0,4319 1,99 0,4767,49 0,4936,99 0,4986 3,49 0,4998 3,99 0,5000 0,50 0, ,3413 1,50 0,433 0,477,50 0, ,4987 3,50 0, ,5000 FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 15 di 16

16 gradi di libertà Area di probabilità T di Studet valori di a 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 0, ,000 1,376 1,963 3,078 6,314 1,706 31,81 63, ,578 0,816 1,061 1,386 1,886,90 4,303 6,965 9,95 31, ,765 0,978 1,50 1,638,353 3,18 4,541 5,841 1,94 4 0,741 0,941 1,190 1,533,13,776 3,747 4,604 8, ,77 0,90 1,156 1,476,015,571 3,365 4,03 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943,447 3,143 3,707 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895,365,998 3,499 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860,306,896 3,355 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833,6,81 3,50 4, ,700 0,879 1,093 1,37 1,81,8,764 3,169 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796,01,718 3,106 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,78,179,681 3,055 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771,160,650 3,01 4,1 14 0,69 0,868 1,076 1,345 1,761,145,64,977 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753,131,60,947 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746,10,583,91 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740,110,567,898 3, ,688 0,86 1,067 1,330 1,734,101,55,878 3,9 19 0,688 0,861 1,066 1,38 1,79,093,539,861 3, ,687 0,860 1,064 1,35 1,75,086,58,845 3, ,686 0,859 1,063 1,33 1,71,080,518,831 3,819 0,686 0,858 1,061 1,31 1,717,074,508,819 3,79 3 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714,069,500,807 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711,064,49,797 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708,060,485,787 3,75 6 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706,056,479,779 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703,05,473,771 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701,048,467,763 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699,045,46,756 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697,04,457,750 3, ,68 0,853 1,054 1,309 1,696,040,453,744 3, ,68 0,853 1,054 1,309 1,694,037,449,738 3,6 33 0,68 0,853 1,053 1,308 1,69,035,445,733 3, ,68 0,85 1,05 1,307 1,691,03,441,78 3, ,68 0,85 1,05 1,306 1,690,030,438,74 3, ,681 0,85 1,05 1,306 1,688,08,434,719 3, ,681 0,851 1,051 1,305 1,687,06,431,715 3, ,681 0,851 1,051 1,304 1,686,04,49,71 3, ,681 0,851 1,050 1,304 1,685,03,46,708 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684,01,43,704 3, ,679 0,849 1,047 1,99 1,676,009,403,678 3, ,677 0,845 1,04 1,90 1,660 1,984,364,66 3, ,676 0,843 1,039 1,86 1,653 1,97,345,601 3, ,675 0,84 1,037 1,8 1,646 1,96,330,581 3,300 B i b l i o g r a f i a: lezioi ed esercizi hao trovato sputo ( o ripresi ) dai segueti testi: 1. A. IZZI, Ifereza Statistica, Utet;. G. Marbach, Marketig; 3. Gambotto Mazoe Cosolii, matematica co applicazioi iformatiche, Tramotaa ; 4. Trovato Mafredi, calcolo delle probabilità e statistica ifereziale, Ghisetti e Corvi editori. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Trieale i ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Ao Accademico Prof. Aibale ROCCO VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagia 16 di 16