PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2010/11

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1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 00/ Prova scritta del /0/0 Esercizio Due variabili aleatorie indipendenti, X e Y, verificano la relazione X Y. ) Si provi che F Y (x) F X (x) per ogni numero reale x. ) Si provi che, per ogni x IR, si ha F Y (x)( F X (x)) = 0. 3) Si deduca che esiste almeno un numero reale x tale che F X (x ) =, e quindi X e quasi certamente limitata superiormente. ) (facoltativo) Si deduca che esiste almeno un punto x 0 IR tale che P ([X x 0 Y ]) =. Esercizio Siano U e V due variabili aleatorie indipendenti, con distribuzione geometrica NB(, p). Si calcoli la probabilita che risulti U = V, e si trovi per quale valore di p tale probabilita e uguale a. Si vuole determinare il parametro T (incognito) di una variabile aleatoria X U(0, T ), utilizzando lo stimatore X di un campione X,..., X n. Supponendo n = 300, e sapendo che T e comunque inferiore a, si determini l intervallo di confidenza per T al livello α = (Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: Φ(.6) 0.9 Φ(.65) 0.95 Φ(.8) 0.96 Φ(.96) Φ(.33) 0.99 Φ(.58) 0.995) Soluzioni compito /0/0 Esercizio ) Si fissi x IR: essendo X Y, l evento [Y x] implica l evento [X x], e quindi P ([Y x]) P ([X x]). ) Fissato x IR, si ha per l indipendenza: 0 = P ([Y x] [X > x]) = P ([Y x])p ([X > x]) = F Y (x)( F X (x)). Questo comporta che F Y (x) = 0 oppure F X (x) =.

2 3) Per quanto visto al punto precedente, se fosse F X (x) < per ogni x, si avrebbe F Y (x) = 0 per ogni x, il che e impossibile. Dunque esiste x IR tale che F X (x ) =, e quindi, poiche X x con probabilita, quasi certamente X e limitata superiormente proprio da x. ) Basta scegliere x 0 = inf{x IR : F X (x) = }. Poiche F X e continua a destra, si ha F X (x 0 ) =. Inoltre, essendo F X (t) < quando t < x 0, si ha anche F Y (t) = 0 per t < x 0. Se ne deduce che P ([Y < x 0 ]) = 0 e P ([Y x 0 ]) =. Pertanto x 0 e il valore cercato. Esercizio Per ogni intero k > 0 si ha avendo posto q := p. Allora P ([U = k]) = P ([V = k]) = pq k, P ([U = V ]) = P ([U = k] [V = k]) = P ([U = k])p ([V = k]) = p q k = k= k= k= + = p (q ) h = h=0 Infine, risolvendo l equazione si trova facilmente la soluzione p = 3. p ( p) = p p p = p p =, p p. Chiaramente, lo stimatore X ha media T e varianza T = T. Pertanto n 3600 T X X T = n = T X. Allora, la condizione X T < ε equivale a T 30 X < 30ε, e risulta P ([ X T < ε]) = P ([ X < 30ε ]) = Φ(30ε T T ), ove Φ e la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard. Allora, se si vuole che tale probabilita sia (almeno) α = 0.95, dovremo avere Φ( 30ε) = T Dalle tabelle, si ottiene 30ε.96 =.96, e quindi ε = T. Sapendo che T comunque non T 30 puo superare, si scegliera senz altro ε = In conclusione, l intervallo 30 di confidenza cercato e [X 0.6, X + 0.6]. Prova scritta del 9/0/0 Esercizio Sono assegnate due variabili aleatorie indipendenti, X e Y, con X U(0, ) e Y U(, ). Si calcoli la probabilita condizionata P ([XY > ] [X + Y > ]).

3 Esercizio Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, X con distribuzione geometrica NB(, p) e Y con distribuzione di Poisson P (λ). Si calcoli la probabilita che risulti X = Y, e, supponendo p =, si trovi per quale valore di λ tale probabilita e uguale a. Una variabile aleatoria bidimensionale (X, Y ) ha densita data da f(x, y, λ) = (x + λ)y, + λ per x, y [0, ], con λ parametro incognito, non negativo. ) Si determini la densita marginale della variabile X e quella della Y. ) Dato un campione aleatorio (X,..., X n ) di v.a. con distribuzione P X, si trovi la stima per λ con il metodo dei momenti. Esercizio Soluzioni compito 9/0/0 Data l indipendenza, e il tipo di distribuzione di entrambe le variabili, la coppia (X, Y ) e uniformemente distribuita nel rettangolo R = [0, ] [, ]. Pertanto, l evento [X + Y > ] ha probabilita proporzionale all area della regione di R compresa fra le rette y = x, y =, x = 0, x = : poiche tale regione ha area 3 e R ha area 3, la probabilita che sia X + Y > e uguale a. Ora, l evento [XY > ] chiaramente implica che Y > > e quindi anche che Y + X >. Dunque X P ([XY > ] [X + Y > ] = P ([X + Y > ] [XY > ]) = P ([XY > ]). Per calcolare la probabilita che risulti XY > basta dividere per 3 l area della regione T contenuta in R, ove risulta y >. Tale regione e delimitata dalla curva x y = e dalle rette x =, y =, e si ha x ( ) A(T ) = x dy dx = ( x )dx = ln() + ln = ln. Dunque, P ([XY > ]) = ( ln ) e infine P ([XY > ] [X +Y > ]) = ( ln ) Esercizio Poniamo al solito q = p. Essendo P ([X = k]) = pq k per k e λ λh P ([Y = h]) = e per h 0, e evidente che puo essere X = Y se e solo se esiste h! h tale che X = h = Y, per cui P ([X = Y ]) = h= P ([X = h])p ([Y = h]) = p + q h λ h q e λ = p h! q e λ (e λq ). 3 h=

4 Quando p = q =, tale quantita risulta uguale a e λ e λ : ponendo e λ = t, la condizione da imporre e t t =, che ha come unica soluzione t =. Il valore cercato di λ e allora λ = ln. Essendo ) Per trovare la densita marginale f X, basta integrare la f rispetto a y, e similmente per trovare f Y : f X (x; λ) = + λ f Y (y; λ) = + λ 0 0 (x + λ)ydy = (x + λ)ydx = (x + λ) + λ, y( + λ + λ. ) Per applicare il metodo dei momenti, basta valutare E(X; λ) e imporre x = E(X; λ). Essendo E(X) = 0 x(x + λ) + 3λ dx = + λ 6 + 3λ, risolvendo l equazione E(X; λ) = x si ottiene λ = 6x : tale risultato puo essere 3 3x accettato solo se λ risulta non-negativo, e facilmente si vede che cio accade quando x [ 3, [. Prova scritta del 3/07/0 Esito della prova: Voto massimo /30, voto minimo 0/30, Nessun Ammesso Esercizio Sia X una v.a. esponenziale con valor medio, ossia X Γ(, ), e si denoti con Y la variabile aleatoria Y = max{, X}. ) Si descriva la funzione di ripartizione di Y e, se esiste, la sua densita. ) Si calcoli E(Y ). Esercizio In un recipiente sono contenute inizialmente una palla nera e due rosse. Si effettuano estrazioni a caso di una palla dal recipiente, secondo questa regola: se esce palla rossa, la si rimette nell urna e si procede ad un altra estrazione; se invece

5 esce palla nera, la si rimette dentro assieme ad un altra dello stesso colore e poi si fa un altra estrazione. Dopo n estrazioni, si calcoli la probabilita p n che sia sempre uscita palla nera. Si calcoli infine il limite di tale probabilita per n che diverge. Un industria alimentare di latte dichiara che il contenuto nominale di ogni confezione é 500 ml. In realtá, il contenuto di una generica confezione é descritto da una variabile casuale con distribuzione di probabilitá normale di media µ incognita e varianza σ = 6. Si scelgono casualmente 0 scatole di latte, il cui contenuto totale osservato é 0 i= x i = 980. (a) Sulla base di tale campione calcolare l intervallo di confidenza per µ al 95%. (b) Quale deve essere l ampiezza minima del campione affinché l intervallo di confidenza al 98% abbia ampiezza strettamente minore di? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( ) Φ(, 33) = 0, 99, Φ(, 65) = 0, 95 Φ(, 055) = 0, 98 Φ(.96) = 0, 975 Soluzioni compito 3/07/0 Esercizio La distribuzione di Y non puo essere di tipo continuo, in quanto si ha P ([Y = ]) = P ([X ]) = 0 e x dx = e 0. Dunque Y non ammette densita. Essendo il minimo valore che Y puo assumere si ha inoltre F Y (x) = 0 per ogni x e F Y () =. Invece, per ogni x > si ha e che Y x se e solo se X x, e quindi F Y (x) = F X (x) = x 0 e t dt = e x. Quanto al valor medio, esso puo essere calcolato come segue: E(Y ) = E(Y X < )P (X < )+E(Y X > )P (X > ) = P (X < )+E(X X > )P (X > ) = = + e + xe x dx = + e. 5

6 Esercizio Sia p n la probabilita che, nelle prime n estrazioni, sia sempre uscita palla nera. Senz altro avremo p = 3, p = 3, poiche = e la probabilita che la seconda estratta sia nera, dato che lo e la n prima. Proseguendo cosi, per ogni n avremo p n+ = p n, e quindi +n p n = n n + = n(n + ). E evidente ora che le probabilita p n tendono a zero per n che diverge. Denotando con X i il contenuto della generica scatola di latte, lo stimatore che useremo per µ é X, che nel caso in esame risulta uguale a 980 = 9. Nelle ipotesi 0 dette, la variabile aleatoria X ha distribuzione N(µ, 6 ), e quindi dobbiamo trovare 0 δ in modo tale che ossia P ([ X µ > δ]) < 0.05, P ([ X > 5δ] ) < Dalle tavole deduciamo allora che dev essere 5δ =.96, da cui δ =.753. Pertanto, l intervallo di confidenza al 95% é [9.753, ]. Volendo invece ottenere un intervallo di ampiezza strettamente minore di al livello del 98%, bisogna scegliere n in modo tale che P ([ X > n ]) < 0.0 (essendo in tal caso δ = ). Quindi si deve avere, dalle tavole, n =.33, cioe n = 9.3, per cui n dovra essere almeno uguale al quadrato di 9.3, dunque n 87. Prova scritta del 07/09/0 Esercizio Una slot machine é costituita da tre cilindri verticali: il primo contiene monete da centesimo, il secondo monete da 0 centesimi, il terzo monete da 0 centesimi. Ad ogni giocata, la macchina sceglie a caso un cilindro, e da questo fa uscire una moneta per il giocatore. Supponendo che per ogni giocata si devono pagare centesimi, si calcoli la probabilita che, dopo 0 giocate, la vincita netta sia esattamente di centesimi. Si calcoli anche la vincita media netta dopo 0 giocate. 6

7 Esercizio Siano X e Y due variabili aleatorie continue, entrambe di tipo U(, ). Nell ipotesi che esse siano indipendenti, si trovi la distribuzione di X Y. Da un indagine condotta su n = 00 studenti diplomati con maturita classica, risulta che uno studente su 5 si é iscritto a una Facolta di Ingegneria. a) Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione p degli studenti che si sono iscritti a Ingegneria. b) Quale dev essere il valore minimo di n affinché, con gli stessi dati, l intervallo di confidenza abbia meta ampiezza? (Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: Φ(.6) 0.9 Φ(.65) 0.95 Φ(.8) 0.96 Φ(.96) Φ(.33) 0.99 Φ(.58) 0.995) Esercizio Soluzioni compito 07/09/0 Dopo 0 giocate, la spesa e stata di 0 centesimi, dunque l evento che ci interessa corrisponde ad una vincita lorda di 6 centesimi. Perché cio sia possibile, nelle 0 giocate devono essere uscite almeno 7 monete da 0 centesimi, e al massimo 8. Tuttavia, se le monete da 0 centesimi uscite fossero 7, in almeno due delle restanti giocate dev essere uscita la moneta da 0 centesimi, e questo porterebbe ad un totale di 60 centesimi in 9 giocate: impossibile allora raggiungere esattamente 6 centesimi con la decima. Dunque le monete da 0 debbono essere esattamente 8, e le altre due debbono essere da un centesimo. Allora, dette X, X 0, X 0 rispettivamente le v.a. che denotano il numero di monete da, 0, 0 centesimi uscite, l evento che ci riguarda e [X =, X 0 = 0, X 0 = 8], e la sua probabilita é di tipo binomiale: ( ) 0 P ([X =, X 0 = 0, X 0 = 8]) = 3 0. La vincita media netta si ottiene facendo E(X + X 0 + X 0 ) 0. Poiche tutte le variabili sono di tipo binomiale con p =, si ha 3 E(X ) = 0 3, E(X 0) = 00 3, E(X 0) = 00 3, per cui la media cercata é =

8 Esercizio Chiaramente, la variabile aleatoria Y ha la stessa distribuzione di Y, ed e ancora indipendente da X. Dunque la distribuzione di X Y sara la stessa di X + Y. Se poi poniamo X = X +, Y = Y +, le variabili X e Y sono ancora indipendenti e hanno distribuzione uniforme U(0, ). Essendo X = X, Y = Y, avremo X + Y = (X + Y ). Poiche X + Y ha valori in [0, ], e evidente che X + Y ha valori in [, ]. Detta f la densita (ben nota) di X + Y, e detta g quella cercata, cioe quella di X + Y, si ha, per note formule di trasformazione: g(u) = f(u + ), per ogni u [, ]. In conclusione, poiché { v, v [0, ] f(v) = v, v [, ], otteniamo g(u) = { u+, u [, 0] u+, u [0, ], Detta X la variabile aleatoria degli iscritti a Ingegneria tra gli intervistati, X segue una distribuzione binomiale con probabilita di successo p. Sfruttando l approssimazione normale, gli estremi dell intervallo di confidenza cercato sono ˆp( ˆp) ˆp ± z a, dove ˆp = 0., n = 00 e, dalla tabella, z a.58. Pertanto n l intervallo di confidenza e [ ] , [0.70, 0.98] L ampiezza dipende da n in ragione quadratica inversa: per dimezzare tale ampiezza bastera moltiplicare n per : dunque, occorre un campione di almeno 800 persone, con la stessa media di iscritti a Ingegneria. Prova scritta del 0//0 8

9 Esercizio Sono assegnate due variabili aleatorie indipendenti, X e Y, entrambe con distribuzione continua, U(0, ). Si calcoli la densita di Y e quella di Y + X. Esercizio Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, X con distribuzione geometrica NB(, ) e Y con distribuzione di Poisson P (λ). Si calcoli la probabilita che risulti X = Y, e si trovi per quale valore di λ tale probabilita e uguale a e λ. Uno strumento per misurare la velocita di un automobile (autovelox) presenta errori che si possono considerare distribuiti secondo una legge normale, con media nulla e deviazione standard (σ) pari a km/h. Quante misure occorre effettuare con tale strumento, affinché l errore medio delle varie misure non superi i km/h (in eccesso o in difetto), con probabilita del 90% almeno? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(, 8) = 0, 9, Φ(, 65) = 0, 95 Φ(, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 ) Soluzioni compito 0//0 Esercizio Calcoliamo la funzione di ripartizione di Y : F Y (y) = P ([Y y]) = y; dunque la densita f Y e data da f Y (y) = y, ovviamente per y ]0, ], altrimenti nulla. Ora, applicando la formula di convoluzione, e tenendo presente che Y +X puo assumere valori tra 0 e, abbiamo, per 0 < u < : f Y +X(u) = 0 f Y (u x) [0,] (u x)dx = = u (u ) 0 { u, 0 u u, u. u x dx = [ u x ] (u ) 0 u = 9

10 Esercizio Chiaramente, l evento X = Y si avvera se e solo se la coppia (X, Y ) assume uno dei i valori (, ), (, ), (6, 3),..., che naturalmente sono a due a due incompatibili. Avremo quindi, grazie all indipendenza: P ([X = Y ]) = n= P ([Y = n])p ([X = n]) = a causa della somma della serie esponenziale. n= Infine, per l ultima richiesta occorre risolvere l equazione e λ (e λ/ ) = e λ, λ λn e n! = (λ/) n n e λ n! n= = e λ (e λ/ ), cioe (e λ/ ) =, e la soluzione e elementare: λ = ln 5. Denotando con X,..., X n i valori dei vari errori nelle n misure, (effettuate in condizioni di indipendenza), la media X n ha distribuzione N(0, σ ), con n σ = 6. Posto U n = n X σ n, risulta approssimativamente U n N(0, ), e si ha n n n P ([ X n < ]) = P ([ U n < σ ]) = P ([ U n < ]) = Φ( ). Imponendo che tale probabilita debba essere 0.9, si ha n Φ( ) = 0.95 da cui, per le tabelle, e quindi n =.65 n (3.9) 0.8, dunque n. Prova scritta del 08/0/0 Esercizio Siano X e Y due v.a. con distribuzione continua Γ(, ). Si trovino le densita di Z = min{x, Y } e di T = max{x, Y }, e si calcoli la covarianza di Z e T. Esercizio In un recipiente sono contenute n palle nere, n palle bianche e n palle rosse, e si effettuano estrazioni senza reimbussolamento. Si calcoli la probabilita che, nelle prime tre estrazioni, siano uscite tre palle di colori diversi. Si calcoli poi il valore limite di tale probabilita, quando n cresce indefinitamente. 0

11 Una fabbrica produce bulloni aventi diametro di lunghezza X (misurata in millimetri). Si supponga che X N(µ, σ = 0.0). Posto di aver misurato un campione casuale di n = 0 bulloni e di aver trovato che x = 5 si calcoli l intervallo di confidenza per la media al livello del 5%. Supponendo che il valore di x rimanga invariato determinare il valore minimo di n affinché l ampiezza dell intervallo di confidenza si riduca a 00. Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(, 8) = 0, 9, Φ(, 65) = 0, 95 Φ(, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 ) Soluzioni compito 08/0/0 Esercizio A causa della particolare distribuzione di X e Y, per ogni x > 0 si ha P ([X > x]) = P ([Y > x]) = e x. Allora avremo P ([Z > x]) = P ([X > x] [Y > x]) = e x, per l indipendenza. Allora F Z (x) = e x e la densita di Z e f Z (x) = e x, ovviamente per x > 0. Dunque Z Γ(, ). Per calcolare la funzione di ripartizione di T si puo procedere direttamente, usando la relazione F X (x) = F Y (x) = e x, per x > 0. Si ha dunque F T (x) = P ([X x] [Y x]) = ( e x ) = + e x e x, e quindi f T (x) = e x e x = e x ( e x ). Semplici calcoli forniscono E(Z) =, E(T ) = 3. Si ha poi E(ZT ) = E(XY [X Y ] ) + E(Y X [Y <X] ) = E(XY ) = E(X)E(Y ) =. Pertanto cov(z, T ) = 3 =. Esercizio L evento considerato si puo realizzare come disgiunzione di 6 alternative incompatibili: (B, N, R), (B, R, N), (R, B, N), (R, N, B), (N, B, R), (N, R, B). Le probabilita di questi sono tutte uguali, in quanto P (B, N, R) = n 3n n 3n n 3n = n 3(3n )(3n ).

12 e lo stesso calcolo si presenta per gli altri eventi possibili. Dunque la probabilita n cercata vale, e facilmente si vede che, al crescere di n, tale probabilita (3n )(3n ) tende al valore. 9 Poiché la popolazione di partenza é normale sappiamo che: P ( z α X µ n z α σ ) = α Quindi con i dati che noi abbiamo si ha che α = 0, 05 da cui α/ = 0, 05. Possiamo quindi determinare il valore di z α essere: che dalla tabella sulla funzione normale vediamo z α =, 96. Da cio ricaviamo che l intervallo fiduciario per µ é dato da: e sostituendo con i numeri si ha (5, 96 (X z α σ/ n; X + z α σ/ n) ; 5 +, 96 ) = (5, 96 0, 036; 5 +, 96 0, 036) 0 0 = ( ) = (.956; 5.0). Sappiamo che l ampiezza di un intervallo fiduciario é data da: A = z α σ n Andiamo quindi a determinare il valore minimo di n affinché tale ampiezza sia minore di, e sempre con ( α) = 0, 95: da cio ricaviamo il valore minimo di n >, n n > (00, 96 0.) = e in conclusione il valore minimo di n é 537.