I I. è un affinità, avente la matrice della trasformazione uguale a: A 1 x A2. Proprietà invarianti
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- Michelina Pandolfi
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1 TRAFORMAZON Una trasformazione (geometrica) è una funzione iunivoca fra i punti del piano. Un punto si dice unito rispetto ad una data trasformazione se il suo corrispondente è se stesso. Una retta si dice unita rispetto ad una data trasformazione se la sua corrispondente è se stessa. Una figura si dice unita rispetto ad una data trasformazione se la sua corrispondente è se stessa. La trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P stesso si chiama trasformazione identica o identità. i dice che una certa proprietà è un invariante di una trasformazione se, per ogni figura che gode di quella proprietà, anche la sua corrispondente gode della stessa proprietà. Poiché una trasformazione è una funzione iunivoca, esiste la sua inversa, che è ancora una trasformazione. Una trasformazione si dice involutoria se, applicata due volte, coincide la trasformazione identica. AFFNTA Un affinità è una corrispondenza iunivoca tra due piani o tra punti dello stesso piano che trasforma rette in rette servando il parallelismo. affinità che trasforma il x ax + y + p a punto P (x;y) nel punto P (x ;y ) sono: e det ( A) y cx + dy + q c d Proprietà e det ( A) > si ha un affinità diretta (serva il verso di percorrenza). e det ( A) < si ha un affinità indiretta (inverte il verso di percorrenza). det ( A) rapporto della affinità. x x Un punto U si dice unito per l affinità T se è trasformato in se stesso, cioè: y y e T 1 e T sono due affinità, la trasformazione composta T1 o T è un affinità, avente la matrice della trasformazione uguale a: A 1 x A. Proprietà invarianti Punti allineati (rette) si trasforma in Punti allineati (rette) Tre punti non allineati (triangoli) Tre punti non allineati (triangoli) Rette parallele (quadrati) Rette parallele (parallelogrammi) l punto medio M del segmento AB punto medio M del segmento A B Due segmenti gruenti appartenenti a due rette due segmenti gruenti appartenenti a due rette parallele parallele Coniche Coniche Cirferenze Ellissi Rette r ed s incidenti in P ( x; y ) rette r ed P x ; y Retta t tangente alla ica C retta s incidenti in ( ) t tangente alla ica C affinità inversa che trasforma il punto P (x ;y ) nel punto P (x;y) sono: d d x x + y + p + q c a c a y x + y + p + q d A c a Matematica 1
2 OMETRE Un isometria è una trasformazione dei punti del piano che serva le distanze. Un isometria trasforma: Tre punti allineati in tre punti allineati un segmento in un segmento ad esso gruente rette in rette rette parallele in rette parallele rette incidenti in rette incidenti un angolo in un angolo ad esso gruente x ax y + p a - Le equazioni dell isometria diretta : y x + ay + q a x ax + y + p a isometria indiretta : y x ay + q -a L identità, la traslazione, la rotazione e la simmetria centrale sono isometrie dirette A det ( A) a + 1 A e det ( A) a 1 La simmetria assiale è una isometria indiretta (l orientamento dei vertici di un poligono viene invertito). L identità è un isometria che trasforma la figura T in se stessa. Essa ha tutti i punti uniti. x x 1 Le equazioni dell identità sono : y y 1 ROTAZONE Una rotazione di centro O e angolo orientato è un isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P tale che soddisfa le seguenti dizioni: l angolo, orientato in modo che OP sia il primo lato, ha la stessa ampiezza e lo stesso orientamento di e l angolo è positivo la rotazione avviene in senso antiorario. e l angolo è negativo la rotazione avviene in senso orario. Le proprietà invarianti di una traslazione sono quelle definite nell isometria. Le Rotazioni servano inoltre: l orientamento delle figure. Le Rotazioni non servano le direzioni (una retta non viene trasformata in una retta parallela) L unico punto unito di una rotazione (diversa dalla identità) è il centro di rotazione. Non esiste nessuna retta è unita rispetto ad una rotazione (a meno che non si tratti dell identità). rotazione di centro l origine sono: x xcosα ysenα y xsenα + ycosα cosα senα det det 1 sen cos α α rotazione inversa di centro l origine sono: x x cosα + y senα y senα + y cosα cosα senα det det 1 sen cos α α rotazione di centro O(p;q) sono: x (x p) cosα (y q) sinα + p y (x p) sinα + (y q) cosα + q Matematica
3 TRALAZONE Una traslazione di vettore è un isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P tale che. Le proprietà invarianti di una traslazione sono quelle definite nell isometria. Le traslazioni servano inoltre: le direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) l orientamento delle figure. Nessun punto del piano risulta un punto unito rispetto ad una traslazione (diversa dalla trasformazione identica). Tutte le rette che hanno la direzione del vettore v sono rette unite. Però tali rette non sono formate da punti uniti. La traslazione non ha punti uniti. traslazione sono : x x + p y y + q 1 1 MMETRA AALE Una simmetria assiale rispetto ad una retta r è un isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P, simmetrico di P rispetto alla retta r. Le proprietà invarianti di una simmetria assiali sono quelle definite nell isometria. Le simmetrie assiali non servano invece le direzioni e l orientamento delle figure. Tutti e soli i punti appartenenti all asse di simmetria sono uniti. L asse di simmetria è una retta unita. Tutte le rette perpendicolari all asse di simmetria sono unite. suoi punti non sono punti uniti. simmetria rispetto alla retta y mx + q sono: 1m m mq x' x + y 1+ m m 1m q y' x y + 1+ m 1m m 1+ m 1 m 1m 1+ m MMETRE AAL NOTEVOL immetria rispetto all asse x x retta y q x + q immetria rispetto all asse y y retta x p + p y isettrice y x y x immetria rispetto al punto C (p;q) + p + q isettrice y immetria rispetto all origine O (;) Matematica 3
4 MMETRA CENTRALE Una simmetria centrale di centro O è un isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P, simmetrico di P rispetto al punto O. Le proprietà invarianti di una simmetria centrale sono quelle definite nell isometria. Le simmetrie centrali servano inoltre: le direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) l orientamento delle figure. L unico punto unito è il centro di simmetria. Tutte le rette passanti per il centro di simmetria sono unite. Pero tali rette non sono formate da punti uniti. Osservazioni simmetria centrale : e nell equazione f (x,y) : x + xc y + yc 1 1 A e det ( A) 1 la variaile x compare solo grado pari, la curva è simmetrica rispetto all asse y. x y + 1 la variaile y compare solo grado pari, la curva è simmetrica rispetto all asse x. x y + 1 Tutti i termini sono di grado pari, la curva è simmetrica rispetto all origine. x 4y 4 Tutti termini sono di grado dispari e manca il termine noto, la curva è simmetrica rispetto all origine. x 3 y OMOTETE Un omotetia di centro C e rapporto k ( ) è una trasformazione dei punti del piano che (lascia fisso il punto C) trasforma un punto P nel punto P in modo che C, P e P sono allineati e. se > se < appartiene alla semiretta opposta a OP Le equazioni dell omotetia sono: + + a det ( A) a a É una affinità diretta... É una similitudine.. L inversa di una omotetia di centro C e rapporto k, è una omotetia di centro C e rapporto k 1. k Ogni omotetia è una similitudine diretta. e k > i punti P e P sono dalla stessa parte rispetto a C. C P P e k < i punti P e P sono da parte opposta rispetto a C. P C e k > 1 Dilatazione e k < 1 Contrazione e k 1 L unico punto unito è il centro C. Ogni retta passante per C è una retta unita. e k 1 dentità. Tutti i punti del piano sono uniti. e k 1 immetria centrale di centro C. P Matematica 4
5 Proprietà Una omotetia trasforma un segmento AB nel segmento A opposto se k < ) e tale che B K AB A B ad esso parallelo (equiverso se k >, di verso una retta in un altra a essa parallela un angolo in un angolo a esso gruente La composizione di una omotetia una isometria è una similitudine. La composizione di due omotetie aventi lo stesso centro C e rapporti k 1 e k, è una omotetia avente centro in C e rapporto k k 1 k (tale composizione è commutativa). det ( A) p k p k rapporto di affinità ( e superfici delle figure omotetiche). rapporto di omotetia (p e Le invarianti di un omotetia sono: le direzioni l allineamento dei punti l ampiezza degli angoli il rapporto tra i segmenti MLTUDNE p perimetri delle figure omotetiche). Una similitudine è una affinità tra i punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, A' B' C' D' cioè tale che: k, dove k a + è detto rapporto di similitudine. AB CD x ax y + p a similitudine diretta : e det ( A) a + > y x + ay + q a similitudine indiretta : x y ax + y + p x ay + q a a A e det ( A) a < Una similitudine è la composizione di una omotetia e di un isometria (o viceversa). Una similitudine, oltre alle proprietà delle affinità, trasforma: rette perpendicolari in rette perpendicolari cirferenze in cirferenze triangoli in triangoli simili poligoni in poligoni simili det ( A) k rapporto di affinità ( e superfici delle figure omotetiche) p k p rapporto di similitudine (p e p perimetri delle figure omotetiche). MLTUDN OMOTETE DENTTA OMETRE Matematica 5
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