(come ragionare quantitativamente in condizioni di incertezza)

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1 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" Prof. A. Scubba ELEMETI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ (coe ragonare quanttatvaente n condzon d ncertezza) LO SPAZIO DEGLI EVETI Pra d ntrodurre l concetto d probabltà analzzao la defnzone d evento: consderao tutte le possbl odaltà con cu s può presentare un qualsas fenoeno, per esepo 37 rsultat possbl nel goco della roulette: ognuno d ess può essere consderato un eleento d uno spazo S che l contenga tutt (dagra d Venn). I sottonse d S (p.es. tutt nuer par; tutt nuer verd; tutt nuer superor a 4) sono event copost deternat dal concorso d uno o pù event eleentar (consstent cascuno n un solo eleento dello spazo S); p.es. nel goco della roulette l'evento "dspar" è rappresentato dagl event eleentar corrspondent all'uscta de nuer, 3, 5,..., 35. Event copost possono avere eleent n coune (l nuero 8 è par e è "superore a 4" e "non verde"); n caso contraro s dcono ncopatbl o utuaente esclusv. Analogaente, gl event eleentar possono appartenere a pù event copost. Se un nsee d event contene tutt gl event eleentar, tale nsee s dce copleto. Lo spazo S può contenere anche un nuero nfnto d event eleentar coe nel caso n cu quest rappresentno tutt possbl rsultat d una sura; p.es. d una lunghezza, d una assa, d un tepo. D tutt possbl event defnbl nello spazo S, n quest cenn eleentar d teora delle probabltà, sao nteressat solo alla categora de sottonse dsgunt che defnscono gl event ncopatbl o utuaente esclusv (p.es. "par" e "dspar" sono event utuaente esclusv: non hanno nessun eleento n coune; nvece "rosso" e "dspar" hanno event eleentar n coune ). PROBABILITÀ

2 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Qualora gl event non sano ncopatbl è possble, aleno n lnea d prncpo, rcondurl ad event ncopatbl. Per charre l concetto consderao la fgura: Gl event A e B non sono ncopatbl perché hanno degl event eleentar n coune: tutt gl event appartenent all'ntersezone C A B. Per rportarl ad event ncopatbl consderao tre event: A' A - C A - (A B) B' B - C A - (A B) C A B. el caso d event non ncopatbl può avere portanza la doanda: qual è la probabltà che s verfch l'evento A subordnata al fatto che s è verfcato l'evento B? Questo tpo d calcolo è leggerente pù coplesso (probabltà condzonate) e dventa ndspensable per una trattazone avanzata dell'anals de dat sperental che non affrontereo n questo corso eleentare. EVETI MUTUAMETE ESCLUSIVI, IDIPEDETI, O... Va prestata olta attenzone alla defnzone d event ncopatbl e ndpendent: - possbl rsultat d un lanco d un dado sono event ncopatbl: o esce l' o l o...l 6; - l rsultato d un lanco e l successvo sono ndpendent; - nel lanco d un dado l'uscta d un nuero par e del nuero 3 sono event ncopatbl; - l'uscta d un nuero par e del nuero non sono né event ndpendent (anz, se esce l scuraente l rsultato è par) né event esclusv (se esce par può uscre l nuero ); la trattazone d questo tpo d event rchede l'ntroduzone del concetto d probabltà condzonata. PROBABILITÀ pag.

3 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 PROBABILITÀ Defnzone soggettvstca d probabltà (de Fnett) Grado d fduca che s ha nel verfcars d un evento Quanto credo nel rsultato che ho ottenuto? La rsposta è solo apparenteente soggettva: la sta del degree of belef è soggettva a se equa (quanto s punterebbe n una scoessa n un cu nessuno de partecpant vuole perdere?) dventa oggettva e qund utlzzable per ragonare quanttatvaente anche n condzon d ncertezza. Ch, nfatt, n tutta onestà, gudcherebbe dversa dal 50% la probabltà d ottenere testa nel lanco d una oneta non truccata? A partre dal concetto d scoessa equa s può costrure un nsee d regole n grado d calcolare la probabltà d ogn tpo d evento, eventualente subordnato a qualsas condzone. Un eleento centrale della teora rane però l soggetto che, a partre dalle conoscenze acquste precedenteente, deve valutare la probabltà che un partcolare evento s possa verfcare. Per charre l concetto s rfletta sul fatto che anche nell esperenza quotdana l ragonaento col quale s valuta la possbltà che s verfch un qualche evento parte dalle conoscenze che gà s hanno (qual è la probabltà che pova se vedo che l celo è nuvoloso?) a deve essere contnuaente aggornato an ano che s acqusscono altr eleent relatv al problea (se sento tuonare la probabltà che pova auenta! Se po sento bagnato ). Allo stesso odo la probabltà che la assa d un corpo sa negatva deve essere nulla anche n presenza d una sura che, a causa degl error sura, rsult negatva: la conoscenza, n questo caso d legg fsche, deve odfcare l calcolo ottenuto (probabltà condzonata d Bayes). S possono dare altre defnzon d probabltà che corrspondono a dfferent scuole d pensero e che per applcazon eleentar sono sostanzalente equvalent a quella data a pù seplce utlzzo. Analzzao quelle che possono seplfcarc alcune scheatzzazon utl nel seguto. Defnzone classca d probabltà (Laplace) el caso d event eleentar equprobabl la probabltà d un evento è par al rapporto fra l nuero d cas favorevol al verfcars dell'evento e l nuero totale d cas possbl: P n. cas favorevol n. cas possbl PROBABILITÀ pag.3

4 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Sorvolao per l oento sul fatto che questa defnzone d probabltà s fond sul concetto d equprobabltà e analzzao coe esepo l lanco d un dado a 6 facce. Se l dado non è truccato nessun nuero verrà preferto all'altro (equprobabltà). In queste condzon possao applcare la defnzone e calcolare, per esepo, la probabltà che esca un nuero par ( ). I cas favorevol (nuero par) sono rappresentat da, 4, 6 e cas total da,, 3, 4, 5, 6; abbao 3 cas favorevol su 6 possbl: qund la probabltà d ottenere un nuero par è % coe potevao aspettarc ntutvaente n base alla nostra esperenza. Dalla defnzone s può notare coe la probabltà sa un nuero copreso fra 0 (nessun caso favorevole) e (tutt gl event possbl sono favorevol): 0 p. Anche se è possble defnre la probabltà nel caso d event eleentar non equprobabl (per esepo un dado truccato) la defnzone classca è spesso olto utle. Possao per esepo calcolare faclente la probabltà d un evento eleentare: nel caso del dado a 6 facce l'uscta d un partcolare nuero corrsponde ad un evento eleentare entre abbao 6 cas possbl; la probabltà che esca un nuero partcolare è 6. Qund: P() P() P(3) P(4) P(5) P(6) 6. Coe altro esepo consderao l lanco d 3 onete e chedaoc quale sa la probabltà d ottenere e solo facce ugual. Indchao con T testa e C croce. Tutt possbl rsultat sono costtut da: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC. Abbao qund 6 cas favorevol su 8 possbl e la probabltà del nostro evento è par a 8 6 (bsogna prestare olta attenzone nel contare cas favorevol e quell possbl; per esepo TTC, TCT e CTT sono 3 event dvers anche se contengono lo stesso nuero d T e C). In generale, utlzzando la defnzone classca d probabltà è edato calcolare la probabltà d verfcars d event copost: esanao nuovaente la fgura e calcolao la probabltà che s verfch l'evento A o l'evento B (unone). I possbl rsultat del lanco {,, 3, 4, 5, 6} sono event eleentar (non sono scoponbl n event pù seplc); un rsultato par è nvece un evento non eleentare perché è rappresentato da pù event eleentar {}, {4}, {6}. PROBABILITÀ pag.4

5 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Supponao che l'evento A sa costtuto da na event eleentar, l'evento B da nb event eleentar, che l'ntersezone d A e B contenga nc event eleentar e che lo spazo S sa costtuto da nt event eleentar. P(AoB) P(A B) n AnB-nC nt n A nt n B nt - n C nt P(A) P(B) - P(A B). el caso qund d event ncopatbl, coè quando P(A B)0, la probabltà d A o B è seplceente P(A B) P(A) P(B). Anche se è possble defnre la probabltà nel caso d event eleentar non equprobabl (per esepo un dado truccato) la defnzone classca è spesso olto utle: la tecnca s rduce a un opportuno conteggo d event; per questo otvo sarà spesso utle rcorrere al calcolo cobnatorale ( ). Defnzone frequentstca d probabltà (Venn) Eseguao pù volte lo stesso esperento e, per seplfcare l anals del fenoeno, dopo ogn sura rportao l sstea nelle condzon nzal. In queste condzon ogn rsultato è ndpendente da tutt gl altr. Analzzao ora la frazone d volte n cu s presenta un partcolare rsultato. Coe esepo consderao l lanco d una oneta ( 3 ) e rportao n un grafco n ascssa l nuero d lanc e n ordnata l rapporto fra l nuero d volte (frequenza) n cu esce testa e l nuero d lanc effettuat (frequenza relatva): n(t) n(t)n(c) n(t)n(c) Coe s può notare, ne prss lanc la frequenza relatva vara notevolente perché per dvers lanc d seguto può uscre sepre testa o sepre croce (chaereo questa varazone fluttuazone statstca). Dopo crca una cnquantna d lanc, tuttava, s'nza a vedere una tendenza verso l valore 50% entre l'apezza delle fluttuazon dnusce (possao faclente agnare che una lunga sequenza d sole teste o sole croc accada olto raraente). Per alcun rcha al calcolo cobnatorale vedere l'appendce 3 Gl esep d questo paragrafo sono stat ottenut da una sulazone al calcolatore. PROBABILITÀ pag.5

6 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Intutvaente possao rtenere che la frequenza relatva del 50% corrsponda alla probabltà che esca testa. Rpetao l'esperenza altre volte e grafchao nuovaente rsultat: n(t) n(t)n(c) n(t)n(c) s può notare che l'andaento che avevao osservato è rproducble: al crescere del nuero d lanc la frazone d teste dffersce sepre eno dal valore 50% e l'apezza delle fluttuazon dnusce. Da qu s può nture coe al crescere verso nfnto del nuero d lanc la frazone d teste tenderà asntotcaente al 50%; nella defnzone frequentstca questo lte vene chaato probabltà. Questo lte non va però nteso n senso ateatco stretto perché la natura casuale del fenoeno non pedsce che da un certo lanco n po s ottenga una sequenza d olte teste o olte croc: ndpendenteente dalla stora del fenoeno ad ogn lanco la probabltà d testa è la stessa (l caso non ha eora). Foralzzao quanto abbao notato fnora enuncando la: legge eprca del caso (o legge debole de grand nuer): consderao un sstea fsco suscettble d sura; quando l nuero delle prove è olto grande la frequenza relatva ''pratcaente" concde con la probabltà. Pù rgorosaente l teorea d Bernoull (legge forte de grand nuer) enunca: - se un evento E ha probabltà p d verfcars - se s eseguono prove ndpendent e s ottengono success - scelto un ε >0 pccolo a pacere; allora: lp p < ε Il teorea affera, pù correttaente, che al crescere d la frequenza relatva non tende alla probabltà p a che cò dventa probablstcaente sepre pù certo. PROBABILITÀ pag.6

7 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 La defnzone frequentstca d probabltà consente d rsolvere l problea d event non equprobabl (dado truccato) a obblga ad esegure, qualora sa possble, un nuero elevato d sure (etodo a posteror). Coe eserczo s prov a lancare aleno una ventna d volte due onete e s osserv l'andaento della frequenza relatva con la quale s osserva testa n aleno una delle due onete. S confront po l rsultato ottenuto con quanto è prevedble n base alla defnzone classca della probabltà. Defnzone assoatca d probabltà (ologorov) Seguendo la recente teora assoatca la probabltà vene defnta sulla base de seguent asso e propretà: ) al verfcars d ogn evento E vene assocato un nuero non negatvo 0 p(e) che vene defnto probabltà ) se p(e) l'evento E è certo 3) se due event E e E rspettvaente con probabltà p(e ) e p(e ) d realzzars sono utuaente esclusv (o ncopatbl: se s verfca uno non s verfca l'altro ( 4 ) ) la probabltà che s verfch l'evento E o E è: p(e o E ) p(e ) p(e ) (probabltà seplce o evento OR) 4) se due event E e E rspettvaente con probabltà p(e ) e p(e ) d realzzars sono ndpendent statstcaente (l'accadere o eno d E non altera la probabltà d verfcars d E ) la probabltà che s verfchno sa E sa E è: p(e e E ) p(e ) p(e ) (probabltà coposta o evento AD) L'assoa 3) e la propretà 4) consentono d calcolare la probabltà n olt cas. In generale: se le p(e ) sono ugual (event equprobabl), l calcolo concde con quello della defnzone classca. Coe esepo s calcol la probabltà che nel lanco d un dado s ottenga un partcolare rsultato E. Poché tale evento è ncopatble con gl altr 5 cas (event E E 3 E 4 E 5 E 6 ), per l terzo assoa rsulta: p(e o E o E 3 o E 4 o E 5 o E 6 ) p(e ) p(e ) p(e 3 ) p(e 4 ) p(e 5 ) p(e 6 ) Per l secondo assoa s ha che: p(e o E o E 3 o E 4 o E 5 o E 6 ) ( 5 ). ell'potes che le p(e ) sano ugual (equprobabltà): 6 p(e ) da cu s ottene p(e ) 6. 4 Cò sgnfca che gl event E e E o sono event eleentar o sono event copost che non hanno event eleentar n coune. 5 E, E, E 3, E 4, E 5 e E 6, rappresentando tutt gl event eleentar dello spazo de rsultat del lanco d un dado, costtuscono un nsee copleto d event; è certo che s verfch uno d tal rsultat. PROBABILITÀ pag.7

8 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 VARIABILI ALEATORIE Consderao nuovaente lo spazo S degl event; n base a quanto vsto fnora sao n grado d assocare ad ogn evento, eleentare o non, una probabltà. Parallelaente può essere possble assocare ad ogn evento dello spazo S un nuero: se gl event rappresentano delle sure, nuer da assocare possono essere rsultat nuerc d tal sure; se gl event eleentar d S rappresentano le 6 facce d un dado è naturale assocare ad ogn facca l nuero d punt che v sono rportat - a potreo assocarv anche l quadrato d tale nuero o la superfce totale de punt che sono rportat su ogn facca; nel caso delle lottere a certe cobnazon d nuer s assocano de valor n denaro; ). Se è possble ettere n corrspondenza tutt gl event relatv ad un partcolare fenoeno con de nuer n odo tale che agl event E, E,..., E corrspondano nuer,,..., allora: s defnsce varable aleatora (v.a.) la varable {,,..., }. È qund ovvo l sgnfcato d varable aleatora: s tratta d una varable che assue partcolar valor non n base a legg deternstche a al caso. Se la corrspondenza è tra gl eleent d S e una parte o tutt nuer natural s parla d varable aleatora dscreta. Se nvece è necessaro un nsee contnuo d nuer real la varable aleatora è detta contnua (coe spesso accade qualora S rappresent lo spazo de rsultat d sure). Poché ad ogn eleento d S s può assocare una probabltà, data la corrspondenza fra gl event E d S e valor assunt da, s può parlare tanto d probabltà assocata dell'evento E quanto d probabltà assocata alla possbltà che assua l valore : P(E ) P( ). PROBABILITÀ pag.8

9 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 VARIABILI ALEATORIE DISCRETE In base alle defnzon precedent, avendo assocato all'evento E l valore assunto dalla v.a., s ha: P(E ) P( ). La funzone P() defnta per valor {,,..., } vene detta dstrbuzone d probabltà (dstrbuzone) della varable aleatora dscreta. Essa è una probabltà e coe tale rspetta, ad esepo, le condzon della teora assoatca. Anz, n questa teora una qualsas funzone P() con {,,..., } è una dstrbuzone d probabltà se: - per ogn rsulta P( ) 0 e se - rsulta P( ) P( )... P( ) P( ) (propretà d chusura), Infatt, poché gl event E assocat a valor {,,..., } costtuscono un nsee copleto d event ncopatbl, la probabltà che s verfch aleno un evento (e qund che s ottenga aleno un valore tra quell possbl:{,,..., }) corrsponde alla certezza (P); noltre, poché gl event cu sono assocat valor assunt da sono ncopatbl, la probabltà che s verfch o o... è par a P( ) P( )...P( ) P( ) VARIABILI ALEATORIE COTIUE Se gl event eleentar sono nfnt è ancora possble assocare ad ess una varable aleatora che rsulterà contnua. In questo caso non ha pù senso cheders quale sa la probabltà che assua uno de suo nfnt valor. Sarà nvece utle defnre la probabltà nfntesa che assua un valore copreso fra e d: dp() f() d ( 6 ). S defnsce la f() coe denstà d probabltà o funzone d dstrbuzone (dstrbuzone), Grafcaente la probabltà che assua un partcolare valore all'nterno d un ntervallo altr non è che l'area racchusa al d sotto della denstà d probabltà n quell'ntervallo. Se la f() è una funzone d dstrbuzone allora, consderando la propretà d chusura, s ha: f() d qualora l'ntegrale venga calcolato su tutto l'nsee d defnzone della varable aleatora. Infatt f() d P( un qualsas valore ) P(evento certo). Coe esepo consderao una varable aleatora unforeente dstrbuta fra valor a e b. Dato che la probabltà è unfore, la denstà d probabltà f() sarà nulla al d fuor dell'ntervallo [a; b] e costante all'nterno. Detto l valore d tale costante, dalla propretà d chusura s ottene: f () d la dstrbuzone d probabltà vale f() b a d (b a). Pertanto nell'ntervallo [a; b] b a. 6 Essendo una probabltà, dp() è una quanttà adensonale; pertanto f() ha le denson dell'nverso d. PROBABILITÀ pag.9

10 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 FUZIOE CUMULATIVA Può tornare utle defnre, sa nel caso dscreto sa n quello contnuo, una funzone cuulatva della varable aleatora che rappresenta la probabltà che la v.a. sa nore o uguale ad un partcolare valore : - v.a. dscreta F() P ( ) P( ). - varable aleatora contnua F() - f(') d' P( ). Per esepo, nel caso della dstrbuzone unfore d una varable aleatora dscreta la F() e' una funzone a gradn (d altezza uguale, par a P) che vale 0 per ogn nore del pù pccolo valore possble della varable aleatora e vale per ogn aggore o uguale al pù grande valore possble. Per esepo nel caso della dstrbuzone unfore d una varable aleatora contnua defnta fra a e b, la F() è una funzone trangolare che vale 0 per ogn valore d nore d a, cresce lnearente fra a e b con pendenza e vale per b. b a Dalle defnzon della funzone cuulatva s ha che: F(- ) 0 (la probabltà che la non assua nessun valore è nulla); F( ) (la probabltà che la assua un qualsas valore è ). Trate la funzone cuulatva è olto seplce calcolare la probabltà che la varable aleatora sa copresa n un certo ntervallo. el caso contnuo, per esepo, la probabltà che sa copresa fra e vale: P ( ) f(' ) d' ( ' ) d' f - f ( ' ) d' F( ) - F( ); analogaente nel caso d v.a. dscrete: P ( ) P ( ) P ( ) - P ( ) F( ) - F( ). Dall'esepo è chara l'utltà della funzone cuulatva: una volta defnta non è pù necessaro dstnguere fra v.a. dscrete e contnue. PROBABILITÀ pag.0

11 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 RIASSUTI DI UA DISTRIBUZIOE Spesso d una dstrbuzone d probabltà d una varable aleatora dscreta o d una funzone d dstrbuzone d una varable aleatora contnua (n generale dreo d una dstrbuzone) non è tanto portante conoscere la probabltà per ogn valore o ntervallo d valor d quanto alcun valor caratterstc che rassuono tale dstrbuzone: per esepo l valore pù probable, un valore che ndch quanto la dstrbuzone sa setrca rspetto ad un valore centrale, ecc.). VALOR MEDIO Data una varable aleatora dscreta con dstrbuzone d probabltà P() s defnsce valore atteso o speranza ateatca o valore edo o eda (da non confonders con la eda artetca ( 7 ) ) della varable aleatora la soa: ogn P ( ) Analogaente, nel caso d una v.a. contnua con denstà d probabltà f(), s defnsce valore atteso (o eda) l'ntegrale esteso a tutto l capo S d defnzone d : S f ( )d Il sgnfcato d tal espresson è quello d una eda effettuata pesando ogn valore della varable aleatora con la probabltà che essa assua quel valore (analoga con l barcentro n eccanca dove le dstanze vengono pesate con le asse). Sbolcaente l valore atteso della v.a. s ndca con E() (da "Epectaton value", coè valore prevsto) ( 8 ). Avreo n seguto bsogno d calcolare anche l valor edo non della varable a d una sua funzone g(). Tale valor edo E[g()] è par alla soa su tutt valor d della quanttà g( ) P( ): E[g()] g( ) P( ) e nel caso contnuo E[g()] g() f() d ogn S In generale ndchereo con l valore atteso della varable aleatora : E() è un rassunto della dstrbuzone d 7 La eda è un rassunto d una dstrbuzone che è possble calcolare quando sa nota la dstrbuzone d probabltà (calcolo delle probabltà); la eda artetca è l rsultato d un calcolo statstco che s effettua su dat d un capone d rsultat; solo per popolazone nfnta la eda artetca tende (probablstcaente) alla eda. 8 Dal punto d vsta densonale E() è l prodotto d per una probabltà, qund E() ha le denson d. PROBABILITÀ pag.

12 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Ad esepo calcolao l valor edo della dstrbuzone de rsultat nel lanco d un dado: E() P( ) ,5,6 el caso d una dstrbuzone unfore contnua fra a e b s ha nvece: E() f ( ) d a 0 d b a b - a d b b - a 0 d (b - a) a b. Analzzao alcune propretà del valore d aspettazone E() rcordando che è un operazone lneare (soatora o ntegrale); per seplctà non vene esplctato l'ntervallo d soatora o d ntegrazone che è esteso a tutto l capo d defnzone della v.a. ( 9 ) : - E(a ) a P( ) a P( ) a E() [ dscreta] - E(b) b f() d b f() d b b [ contnua] - E(a b) E(a) E(b) a E() b [ qualsas] SCARTO S defnsce scarto (dal valore edo) la varable aleatora - coè la dfferenza tra l valore della varable aleatora e l valore edo della sua dstrbuzone. Vedao se è possble defnre l valore atteso dello scarto (scarto edo) coe un ulterore rassunto d una dstrbuzone: lo scarto edo è una funzone della varable e qund, applcando la defnzone d valore atteso e la sua lneartà s ottene: E( - ) E() - E() E() coè l valore atteso dello scarto dal valore atteso è sepre nullo ndpendenteente dalla dstrbuzone e qund non può essere utlzzato per rassuere la dstrbuzone d. VARIAZA S defnsce varanza della varable aleatora l valore atteso del quadrato ( 0 ) dello scarto dal valore atteso: () E{[ - E()] } pertanto s ha: ( ) { E( ) } P( ) [v.a. dscreta] ( ) { E( ) } f ( )d [v.a. contnua] S analogaente la varanza d una funzone g() è: [g()] E{(g() - E[g()]) } 9 In quest esep a e b sono costant e non varabl aleatora 0 Poché dal punto d vsta densonale () è par al prodotto d per una probabltà, essa ha le denson del quadrato d. PROBABILITÀ pag.

13 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 In generale ndchereo ( ) con la varanza della v.a. : () è un rassunto della dstrbuzone d Spesso sarà utle rcordare che: () E{[ - E()] } E[ - E() E() ] E( - ) E( ) - E() E( ) -. e analogaente [g()] E{[g() - g() E[g()] E[g()] } E[g() ] - E[g()] E[g()] E[g() ] - E[g()]. - coe esepo calcolao la varanza della dstrbuzone d probabltà nel caso del lanco d un dado: E{( ) (,5) (,5) ( 0,5) 0,5,5,5 7,5 } o alternatvaente E( ) ( ) - e nel caso d una dstrbuzone unfore contnua fra a e b: () f ( )d b b - a - d - a 3 3 b - a 3(b - a) - a b ( ) b - a Analzzao alcune propretà della () rcordando che non è un operazone lneare (soatora o ntegrale del quadrato d uno scarto): - (a) E{[a - E(a)] } E[(a - a) ] 0 - (a b) E{[(a b)-e(a b)] }E{[(a b) - (a b)] } a E[( - ) ] a () DEVIAZIOE STADARD o scarto quadratco edo Spesso è pù coodo utlzzare al posto della varanza d una dstrbuzone la sua radce quadrata detta devazone standard o scarto quadratco edo che ha le stesse denson fsche della varable aleatora ( ). on è stata fssata una convenzone per sbol da utlzzare per la eda e la varanza: altr autor utlzzano E() e Var() Coe vedreo n seguto la devazone standard è legata alla larghezza della dstrbuzone ntorno alla eda: pù è grande la devazone standard e aggore è la quanttà d rsultat che dstano dalla eda. Perché una dstrbuzone d probabltà non può avere devazone standard nulla? PROBABILITÀ pag.3

14 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 VARIABILE RIDOTTA S defnsce varable rdotta o standardzzata o scarto standardzzato la varable: Z che ha la caratterstca d essere adensonale, d avere valore atteso nullo: E( e varanza untara: ) (Z) E[(Z-0) ] E(Z )E ( ) 0 E E ( ) E[ ( ) Per esepo nel caso d una v.a. con dstrbuzone unfore fra a e b è: z ] a b b a Coe esepo dell'uso de rassunt d una dstrbuzone consderao nuovaente la dstrbuzone unfore d una varable aleatora contnua copresa fra a e b e chedaoc quale sa la probabltà che assua un valore copreso fra - e. a b b a S tratta d calcolare f ( ) d con e ; poché nell'ntervallo n esae f() vale b a, f ( ) d 57,7 %. b a 3 Questo rsultato è valdo n generale: ndpendenteente da valor assunt da a e b, nel caso d una dstrbuzone unfore, la varable aleatora è copresa nel 57,7 % de cas nell'ntervallo [ - ; ]. Ovvaente lo stesso rsultato s può ottenere utlzzando la varable rdotta:. f()d d dz b - a dz b - a el seguto chaereo ntervallo d confdenza un ntervallo, per esepo [ - ; ], della varable aleatora e lvello d confdenza la probabltà P( - < < ) ad esso assocato. Vedreo che, coe nel caso della dstrbuzone unfore, n un ntervallo d seapezza centrato ntorno al valore edo è copreso pù del 50% della probabltà. PROBABILITÀ pag.4

15 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 PROBABILITÀ pag.5 DISUGUAGLIAZA DI CHEBYCHEV Molto spesso la dstrbuzone d una varable aleatora non è nota a eseguendo una sere d sure se ne possono stare eda e varanza. A partre dalla sola conoscenza d e è possble rcavare olte nforazon: dsuguaglanza d Chebychev: v.a. dscreta ( ) P v.a. contnua ( ) d f Dostrao l'uguaglanza nel caso dscreto: consderao la varanza d una varable aleatora dscreta: () ( - ) P( ); - scoponao la soatora n tre part: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p > < dove è una costante postva; - elnando 0 ) P( ) ( s ha: ) P( ) ( ) P( ) ( ) ( > < - egl ntervall < - e > rsulta ( -), qund: )] P( ) P( [ () > < () - Dalla propretà d chusura: ( ) ( ) ( ) > < P P P e qund ) P( ) P( ) P( > < E, sosttuendo n (), s ha: ] ) P( [ coè: ( ) P da cu segue la dsuguaglanza d Chebychev: ( ) P () Analogaente nel caso d una varable aleatora contnua: () (-) f() d; - scoponao analogaente l'ntegrale n tre part: f ()d ) ( f ()d ) ( f ()d ) ( () - Con lo stesso procedento gà usato rsulta: () ] f ()d [ da cu segue la dsuguaglanza d Chebychev: ( ) d f (3)

16 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Le quanttà () e (3) ( ) P e f ( )d rappresentano la probabltà che la varable aleatora ha d essere copresa nell'ntervallo [ - ; ]. La dsuguaglanza d Chebychev può essere qund letta nel seguente odo: P( ) Dalla dsuguaglanza segue, coè, che pur non conoscendo la dstrbuzone della è possble calcolare de lt nferor per lvell d confdenza: P ( ) 0,5 55,6 % 75,0 %,5 84,0 % 3 88,9 % 4 93,7 % 5 96,0 % Da qu segue l'portanza d conoscere aleno la eda e la varanza d una dstrbuzone: sono suffcent a fornre, anche da sole, notevol nforazon. Qualora fosse nota la dstrbuzone d sarebbe possble calcolare esattaente lvell d confdenza e l rsultato sarebbe superore a valor ottenut da Chebychev (per eserczo s confront la tabella con quanto rcavable da una dstrbuzone unfore e dalla dstrbuzone d Gauss). PROBABILITÀ pag.6

17 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 IL CASO DI PIÙ VARIABILI ALEATORIE ell'elaborazone de dat relatv a rsultat d sure olto spesso s avrà bsogno d consderare funzon d pù varabl aleatore. Estendao qund alcun de concett fnora acqust al caso d pù varabl aleatore. Per seplctà c ltereo al caso n cu queste sono tutte varabl contnue (l'estensone al caso d varabl dscrete e a quello d varabl sa contnue sa dscrete è ovva). Sepre per seplctà consderao solo l caso d due v.a.; l'estensone a pù varabl è edata. S defnsce dstrbuzone d probabltà congunta (evento AD) d due varabl aleatore (e analogaente nel caso d pù v.a.) la probabltà che, conteporaneaente ( 3 ), cascuna v.a. assua un partcolare valore: d P d P(,y) P[( < d), (y Y < y dy)] f(,y) d dy ota la f(,y) è possble calcolare la dstrbuzone argnale della v.a. coè la dstrbuzone d probabltà della v.a. senza nessuna rchesta su valor assunt dalla v.a. Y: f() f (, y) dy ; S Y analogaente la dstrbuzone argnale della Y è f(y) f (, y) d. S Calcolao ora l valore atteso d : E() S S Y f (, y) d dy f (, y) dy d S SY f () d. S Analogaente per la varanza d : () ( ) f (, y) d dy ( ) f (, y) dy d ( ) f () d S S Y S SY S Esanao alcune propretà delle operazon d valore atteso e varanza. Per seplctà consderereo solo l caso d v.a. ( e Y con, rspettvaente, eda e y e varanza e y) essendo ovva l'estensone al caso della cobnazone lneare d pù varabl. - E(abYc) (a b y c) f(,y) d dy a f(,y) d dy b y f(,y) d dy c f(,y) d dy a ( f(,y) dy) d b y ( f(,y) d) dy c f(,y) d dy a f() d b y f(y) dy c a E() b E(Y) c a b Y c () 3 La conteporanetà non va ntesa n senso teporale stretto a col sgnfcato d valor assunt dalle v.a. nello stesso evento. PROBABILITÀ pag.7

18 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao E(Y) y f(,y) d dy; n generale questo calcolo s coplca perché non è possble ntegrare separataente le dverse varabl. Tuttava, se le v.a. sono statstcaente ndpendent ( 4 ), è possble scoporre la f(, y): f(,y) f() f(y). Infatt f(,y) d dy rappresenta la probabltà nfntesa che conteporaneaente < d e y Y < y dy (evento AD). Trattandos d v.a. ndpendent la denstà d probabltà congunta è par al prodotto delle denstà d probabltà. Pertanto, n questo caso partcolare (a frequentsso): y f(, y) d dy y f()f(y)d dy f()d y f(y)dy E() E(Y) A partre da questo rsultato calcolao - (abyc) E{[(a b Y c) - (a b Y c)] } E{[a (- ) b (Y- Y )] } E{[a (- )] a b (- ) (Y- Y ) [b (Y- Y )] } E{[a (- )] } a b E[(- ) (Y- Y )] E{[b (Y- Y )] } a E{[(- )] } a b E[(- )] E[(Y- Y )] ( 5 ) b E{[(Y- Y )] } a () a b 0 0 b (Y) a b Y. () La generalzzazone della propretà () è d notevole portanza: l valor edo d una cobnazone lneare d varabl aleatore è uguale alla cobnazone lneare de valor ed con gl stess coeffcent: E(abYc) a b Y c Altrettanto portante è la generalzzazone della propretà (): la varanza d una cobnazone lneare d v.a. ndpendent è uguale alla cobnazone lneare delle varanze con coeffcent al quadrato: (abyc) a b Y APPLICAZIOI A) una cobnazone lneare notevole: la eda artetca Utlzzao rsultat appena ottenut per valutare valore atteso e varanza della eda artetca. Consderao le deternazon d una v.a. (la grandezza fsca n sura) nel seguente odo: (pra deternazone d ) può essere vsta coe la pra deternazone d una v.a., (seconda deternazone d ) può essere vsta coe pra deternazone della v.a., (-a deternazone d ) può essere vsta coe la pra deternazone d. 4 Coe spesso accade e per questo c ltereo a consderare solo questo caso eleentare nel nostro corso. 5 Se e Y sono v.a. ndpendent E(Y) E() E(Y) e qund E[(-)(Y-y)]E[-]E[Y-y]; verfcare per eserczo PROBABILITÀ pag.8

19 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 PROBABILITÀ pag.9 Se l procedento d sura non ha alterato la grandezza fsca n sura (p.es. errore d nserzone trascurable) le rappresentano v.a. ndpendent con eda e varanza. La eda artetca delle qund altr non è che la cobnazone lneare delle v.a. ndpendent con coeffcent tutt ugual a. Pertanto, applcando rsultat ottenut nel caso d una generca cobnazone lneare, s ottengono le relazon: ( ) ( ) E E E E l valore atteso della eda artetca d valor d concde col valore atteso d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * la varanza della eda artetca è volte pù pccola della varanza d. B) la varanza d una funzone d pù v. a. ndpendent Analzzao una qualsas funzone d pù v.a. ndpendent Y g(,,..., ) e calcolaone la varanza (Y) n funzone delle ( ). Poché utlzzereo l rsultato n odo approssatvo, calcolao lo svluppo n sere d Taylor d Y nell'ntorno de valor ed d Y g(,,..., ) g(,,..., ) ( ), g ( )( )... g j j j j,, dove le dervate sono calcolate nel punto : {,,..., }. Arrestando lo svluppo al pro terne (cosa lecta se la funzone è lnearzzable nell'ntorno del punto ), s ottene: (Y) ( ) ( ), g,...,, g ( 6 ) ( ), g ( ), g Se, nvece, la funzone Y g(,,..., ) è lneare s ottene n odo esatto: (Y) ( ), g. 6 Qu è stato sfruttato l fatto che la varanza d una cobnazone lneare d v.a. ndpendent è uguale alla cobnazone lneare delle varanze con coeffcent al quadrato

20 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 C) la forula d propagazone delle ncertezze (ncertezza standard cobnata) Ogn volta che eseguao sure dervate d grandezze fsche abbao bsogno d stare coe l'ncertezza nella deternazone de valor delle grandezze fsche surate drettaente s rpercuota sull'ndeternazone della sura dervata Y f(,,, ). In generale, per ogn grandezza, avreo calcolato la eda artetca d una sere d sure. Avreo anche stato la devazone standard d calcolando la devazone standard sperentale della eda artetca (ncertezza d tpo A). A volte, nvece, avreo a dsposzone una sola sura e qund la sta dell'ncertezza sarà ltata all'ncertezza d tpo B. Per seplctà d notazone n entrab cas chaao S ( ) la glore sta della loro ncertezza: ± S ( ) Incertezze assolute la glore sta d e Utlzzao per la funzone Y f(,,, ) la relazone rcavata n precedenza (Y) ( ) f, e sosttuao a valor attes e alle varanze delle v.a. le glor ste che possao rcavare sperentalente: Y f (,,, ) ± S ( ), f dove con abbao ndcato l punto {,,..., } Incertezze relatve. propagazone delle ncertezze assolute Supponao, e n laboratoro vedreo che è un caso frequentsso, che la funzone p p p Y f(,,, ) sa espressa sotto fora d un onoo: Y c.... Applchao la forula d propagazone delle ncertezze assolute nzando a calcolare f p p p p Y coeffcent d sensbltà c...p... p. Pertanto s (Y), Y ( ) p ( ) Y p., (Y) Passando alle ncertezze relatve: s ( ) p Y e sosttuendo a valor attes e, alle varanze delle v.a. le glor ste che possao rcavare sperentalente: s (Y) p Y, s ( ) propagazone delle ncertezze relatve (valda solo per ono) PROBABILITÀ pag.0

21 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 DISTRIBUZIOI DI PROBABILITÀ Analzzao alcune delle dstrbuzon che ncontrereo pù frequenteente. DISTRIBUZIOE UIFORME o RETTAGOLARE Consderao l caso del lanco d un dado: la dstrbuzone unfore della varable aleatora dscreta {,, 3, 4, 5, 6} e la funzone cuulatva avranno l'andaento: Invece, coe abbao vsto, una v.a. contnua con dstrbuzone unfore fra a e b è caratterzzata da una denstà d probabltà: f () che ha coe rassunt eda b a a b ( b a) e varanza. Grafcaente: Questa dstrbuzone è spesso utlzzata per la sta d ncertezze d tpo B: s potzza che la sura ottenuta sa la deternazone d una v.a. (con valore vero par al rsultato ottenuto) unforeente dstrbuta all'nterno d un partcolare ntervallo [a;b] par, a seconda de cas, alla dvsone sulla scala d uno struento analogco, ad un certo nuero d dgt n uno struento dgtale, alla larghezza dell ntervallo defnto da una tolleranza o da un valore no e uno asso al d fuor del quale non è ragonevole aspettars de rsultat. b a In quest cas l ncertezza vene stata con la devazone standard B PROBABILITÀ pag.

22 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 DISTRIBUZIOE BIOMIALE o d BEROULLI È la dstrbuzone d probabltà d una varable aleatora dscreta che conta l nuero d success n una sere d tentatv ndpendent, cascuno con probabltà p d successo e probabltà q - p d nsuccesso: P,p ( ) p q Valore edo: p Varanza: p q La dstrbuzone bnoale è copletaente caratterzzata da due paraetr e p. La varable aleatora può assuere tutt valor dscret copres fra 0 (nessun successo nelle prove) e (solo success). DERIVAZIOE DELLA DISTRIBUZIOE ) Consderao uno spazo S contenente solo due event E e E, anche non eleentar a ncopatbl [ 7 ], e supponao d conoscere p P(E ) e q P(E ); poché E e E costtuscono un nsee copleto, dalla propretà d chusura segue p q. ) Eseguao prove ndpendent e supponao che l'evento E s present volte; ovvaente l'evento E s presenterà nelle ranent - volte. Per esepo se 5 e 3, una possble sequenza sarà : E E E E E. - Chedaoc quale sa la probabltà che eseguendo 5 prove ndpendent s ottenga quella partcolare sequenza. Cò equvale alla probabltà che la pra volta s verfch l'evento E la cu probabltà è p; po s verfch l'evento E la cu probabltà è q e così d seguto. Dobbao coè valutare la probabltà congunta d ottenere quegl event (che sono ndpendent). Tale probabltà sarà qund par al prodotto delle probabltà de sngol event: P(E ) P(E ) P(E ) P(E ) P(E ) p q q p p; n generale avreo p q. 3) Poché la sequenza n esae è solo una d tutte le possbl sequenze d event con volte E, non essendo nteressat a quale sa l'ordne con l quale s presentano success, dobbao calcolare quale sa la probabltà d ottenere una sequenza o un'altra o un'altra. Le dverse sequenze sono ncopatbl (l verfcars dell'una esclude l verfcars dell'altra) percò la probabltà cercata sarà la soa su tutte le sequenze della loro probabltà p q -. - Dato che l nuero totale delle possbl sequenze n cu E copare volte è par al nuero d cobnazon d eleent n poszon, coè, ne segue che la dstrbuzone d probabltà d Bernoull [ 8 ] è par alla soa d P,p ( ) p q tern ugual a p q - : 7 Ad esepo l'evento E può essere una partcolare odaltà d presentars d un fenoeno e l'evento E è l'evento copleentare che rappresenta tutt gl altr possbl rsultat. 8 Detta anche bnoale per l'uso del coeffcente bnoale; ved anche l'appendce. PROBABILITÀ pag.

23 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 La quanttà!! ( )! è rappresentata dal sbolo che s legge " su ". Essa è detta coeffcente d ewton o bnoale perché è utlzzata nella forula d espansone della potenza d un bnoo: ( ) a b a b CARATTERISTICHE E RIASSUTI 0, - Verfchao la propretà d chusura: P ( ) Essendo ( ) 0, P,p - Valore edo : p p q 0, ( q),p. p, dal fatto che p q, rsulta P ( ) Lo possao rcavare applcando la defnzone : ( ) P ( ) Con qualche passaggo: E ( ) P ( ) P ( ) 0,,p,p,, ( )! ( )! [( ) ( ) ]! ( )! ( )! [( ) ( ) ] E. 0, p q ( ) ( ) pp q, p, p! q ( ) ( ),p 0, Ponao ora j - e M - (n questo odo, corrsponde a j 0,M): E ( ) p M! j M ( ) j p q p PM,p j 0,M j! M j! j 0, M () j p,p Un etodo pù effcente per calcolare la eda della bernoullana consste nel consderare la v.a. che conta l nuero d success coe soa d varabl, ognuna delle qual vale n caso d successo della prova relatva e 0 n caso contraro. Per esepo se 4 e 3 una partcolare dsposzone sarà: E E E E alla quale corrspondono: e qund Analzzao le v.a. : P( ) P(E ) p e P( 0) P(E ) q; qund ( ) P( ) E 0 P(0) P() 0 q p p; 0,. PROBABILITÀ pag.3

24 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 e poché - Varanza :,, s ha: E( ) E( ) E( ) p p. pq. S potrebbe calcolare applcando drettaente la defnzone d varanza: ( ) ( ) p p q e sfruttando l'uguaglanza: ( ) E( ) [ E( ) ] s 0, potrebbe svluppare l calcolo solo per rcavare E ( ). Da questo s otterrebbe, con qualche ulterore passaggo, pq. Utlzzando nvece la precedente scoposzone s ottene pù rapdaente: ( ) 0, [ - E( e qund: ( ) )] P( ( ) ), (0-p) P(0)(-p) P() p q q p pq(pq) pq [ 9 ] ( ) p q p q. ESEMPI Analzzao ora alcun esep d dstrbuzone bnoale (anche se la v.a. è dscreta, al solo scopo d eglo vsualzzare gl andaent, sono state tratteggate delle lnee congungent dvers punt): Fssao per l oento l'attenzone sul caso p0,5 (sbolo "") che può per esepo rappresentare l caso d un lanco d 5 onete (o 5 lanc d una oneta). La varable può rappresentare l nuero d teste ottenuto che varerà, ovvaente, fra 0 e 5. La P 5;0,5 () è la probabltà d ottenere esattaente 0,,,3,4,5 teste. egl altr cas: - s può notare coe per p 0, e p 0,8 gl andaent sano nvertt: p 0, corrsponde a q 0,8 e vceversa; - p q 0,5 ha un andaento setrco; - l asso concde o è nelle vcnanze della eda p; 9 Tale rsultato è stato ottenuto sfruttando l fatto che le v.a. sono ndpendent. PROBABILITÀ pag.4

25 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Quest altr grafc s rferscono a dvers valor d : Per confrontarl fssao p (per esepo p 0,); al crescere d da a 5 a 0 l valore della assa probabltà dnusce (conseguenza della propretà d chusura e del aggor nuero d possbl valor ) e la dstrbuzone dventa pù setrca ntorno al valor edo. Resanao ora, alla luce della dstrbuzone bnoale, l'esepo del lanco d una oneta utlzzato nel dare la defnzone frequentstca d probabltà. Poché p 0,5 e q 0,5, al varare del nuero d lanc s avrà e. 4 La frequenza relatva d teste f avrà qund un valore edo E ; la (f) sarà nvece:. 4 È qund charo perché c s attende che al crescere d s abba f e l'apezza delle fluttuazon s rduca: ( f ) 0. PROBABILITÀ pag.5

26 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 DISTRIBUZIOE DI POISSO È la dstrbuzone d probabltà d una v.a. dscreta che conta l nuero d volte n cu s verfca un evento raro (coè d pccola probabltà: p 0) quando esso s presenta edaente volte: P ( ) e! Valore edo: Varanza : [ 0 ] La dstrbuzone è caratterzzata dal solo paraetro. La varable aleatora può assuere tutt valor dscret copres fra 0 (nessun successo) e (solo success!). DERIVAZIOE DELLA DISTRIBUZIOE S può dervare questa dstrbuzone da quella bnoale consderando l lte delle prove tendente ad nfnto e la probabltà p d successo tendente a zero. Tal lt vanno però calcolat con la condzone che l valor edo p s antenga costante e fnto: p (con questa poszone plca che p 0 e, vceversa, p 0 plca ). P ( ) l P, p ( ) l! p q,p,p l! ( )! ( ) ( )( )! l! ( )! l l!! passando al lte per l prodotto de pr tern della soatora tende a - entre l lte d vale e ; pertanto s ottene la dstrbuzone d Posson: P ( ) e! 0 A pra vsta l fatto che nella possonana rsult potrebbe far pensare ad un errore d calcolo densonale; n realtà la v.a. della dstrbuzone d Posson è un nuero puro! PROBABILITÀ pag.6

27 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 CARATTERISTICHE E RIASSUTI - Verfchao se la propretà d chusura ( ) 0, La cosa è evdente se s rflette sul fatto che P è soddsfatta. 0, e! e! 0, e e - Valore edo: Lo possao rcavare applcando la defnzone: E ( ) P ( ) e e ;! ( )! 0,,, j e ponendo j s ottene E() e e - e 0, j! on potevao aspettarc un rsultato dverso vsta la defnzone d nella dstrbuzone d Posson ( nuero edo d success ). - Varanza : Applchao la defnzone d varanza rcordando che () E( )- [E()] : E( ) e e e!!! 0, ponao - j ( j ),, e ; ( )! e j 0, j j!, ( ) j j je e E(J). j 0, j! j 0, j! Qund E( ) ; entre [E()] da cu () -. Avreo potuto ottenere e olto pù rapdaente consderando che la dstrbuzone d Posson è dervata dalla bnoale ponendo p e calcolando l lte (o p 0) e qund applcare tal poszon drettaente alla eda e varanza della bnoale: p ; lpq l p p l p p 0 p 0 ( ) ( ) ( ) p o ESEMPI Analzzao alcun esep d dstrbuzone d Posson (anche n questo caso la lnea che congunge punt non ha alcun sgnfcato dato che la funzone è defnta solo per valor nter): PROBABILITÀ pag.7

28 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Dal confronto con grafc per dvers valor d s nota anche coe al crescere d la dstrbuzone dvent setrca rspetto alla eda. Coe esepo calcolao la probabltà che sa copreso n un ntervallo d seapezza ntorno a. Ltaoc a consderare l caso. I valor d (nter) che cadono nell'ntervallo:[ - ; ] [- 0,8; 4,8] sono {0,,, 3, 4} Pertanto, P ( ) e 94,7 % 0!!! 3! 4! È possble rcavare la dstrbuzone degl event rar a partre dalla dstrbuzone bnoale ponendo p e facendo tendere p 0. Quello che segue è l confronto fra una bnoale d paraetr 50 e p 0, con una possonana d valor edo p 5: S può notare quanto sa buona l'approssazone. Essa è tanto glore quanto pù è elevato e quanto pù pccola è la probabltà p. Questo fatto consente d sostture la bnoale con la possonana d pù rapdo calcolo. A questo proposto consderao l seguente problea: se la percentuale d coponent dfettos prodott da un'ndustra è par allo 0, %, qual è la probabltà d trovare coponent guast n una forntura d 000 pezz? In questo caso 000 e p 0,00 qund p : la soluzone è stata grafcata precedenteente col sbolo " ". Anche se l nuero d coponent guast potrebbe essere par a 000 (nel nostro lte par a ) con grande probabltà non s dscosterà olto dal valore edo : nella dstrbuzone d Posson (coe nella bnoale) l asso della probabltà s ha per valor d pross alla eda; nell'esepo precedente avevao vsto che nell'ntervallo 0 4 l lvello d confdenza è par al 94,7 %. PROBABILITÀ pag.8

29 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 DISTRIBUZIOE ESPOEZIALE Spesso nteressa conoscere dopo quanto tepo t s verfca un partcolare evento raro sapendo che la sua frequenza (nuero d event che s anfestano nell'untà d tepo) è ν. In questo caso la v.a. contnua t segue la dstrbuzone esponenzale [ ] Valore edo : ν f ( t ) ν e -ν t Varanza : ν La dstrbuzone esponenzale è qund caratterzzata dal solo paraetro ν [ ]. La varable aleatora t può assuere tutt valor copres fra 0 (nessun evento al tepo nzale) e (nessun evento a!). DERIVAZIOE DELLA DISTRIBUZIOE Quant event d un partcolare tpo s verfcano n un ntervallo teporale t sapendo che la loro frequenza teporale eda ν (nuero d event nell'untà d tepo) ha un valore olto pccolo? In questo caso ν t rappresenta l valor edo d una dstrbuzone d Posson: ν t ( ν t) P( event nell'ntervallo t) e! In partcolare la probabltà che non s verfch nessun evento nell'ntervallo teporale t: ( ν t) ν t P(0 event nell'ntervallo t) e e -ν t (a) 0! Calcolao, nvece, la probabltà d avere aleno un evento nell'ntervallo t. Rcorrendo alla propretà d chusura s ottene che tale probabltà è: P( ) - P( 0) - e -ν t (b) La doanda: "dopo quanto tepo t aspetto che s verfch l'evento raro?" corrsponde a: "qual è la probabltà che non s verfch nessun evento per tutto l tepo t e che se ne realzz aleno uno nell'stante successvo dt?" In questo caso la probabltà nfntesa (dt è nfnteso) vale: dp f (t) dt P(0 nel tepo tt) P( nel tepo tdt) [ 3 ] e -νt ( e -νdt ) [ 4 ] e -νt ν dt e qund: f ( t ) ν e -ν t 0 Quant fenoen fsc conoscete che seguono una legge d tpo esponenzale. Le cu denson sono quelle dell'nverso delle denson d t (che è generalente un tepo) 3 Utlzzando rspettvaente la (a) e la (b) e l fatto che event "0 n t" e "aleno n dt" sono ndpendent 4 Dallo svluppo n sere dell'esponenzale PROBABILITÀ pag.9

30 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 CARATTERISTICHE E RIASSUTI -ν t - La propretà d chusura è verfcata edataente dal calcolo: ν e dt 0 - Valore edo : ν. Lo possao rcavare applcando la defnzone : -ν t -ν t - E(t) tν e dt νt e d(νt) ν e d ν ν ([ 5 ]. - Varanza :. ν Applchao la defnzone d varanza rcordando che () E( ) -[E()] : E( -ν t -ν t - ) ν e dt (νt) e d(νt) ν e d ν ν t 0 Qund () E( ) - [E()] ν 0 - ν ν 0 ESEMPI Analzzao la dstrbuzone esponenzale: Se edaente sono costretto a far rparare la a auto una volta l'anno, qual è la probabltà che essa s guast volte n ann? ν /y; t y; P() e! La dstrbuzone esponenzale rsulta po utle quando s vogla calcolare la probabltà d non aver guast n un certo perodo d tepo, conoscendo la frequenza d tal guast. Per esepo, se n eda s verfca un guasto l'anno n un dspostvo, la probabltà d non avere guast (probabltà d sopravvvenza) s rduce esponenzalente e dopo 5 ann dventa pratcaente nulla P 0,67%. La stessa probabltà s avrebbe dopo 0 ann qualora la frequenza d guast fosse d 0,5 guast/anno 5 ν rappresenta l tepo edaente necessaro perché s verfch un evento. PROBABILITÀ pag.30

31 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 La funzone cuulatva della dstrbuzone esponenzale è: F(t) t f(t)dt t 0 ν e -ν t dt - e -ν t - f(t): Se n eda s verfca un guasto l'anno, la probabltà d avere aleno un guasto nell'ntervallo [-;] [0;] è par a: F() F(0) 86,5%. Talora può essere utle la seguente tabella rcavata dalla dstrbuzone esponenzale: νt f(νt) F(νt) 0 00,0 % 0,0 % 36,8 % 63, % 3,5 % 86,5 % 3 4,98 % 95,0 % 4,83 % 98, % 5 0,67 % 99,3 % PROBABILITÀ pag.3