Meccanica. 4. Cinematica del Punto Materiale. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

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1 Meccanica 4. Cinematica del Punto Materiale Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017

2 Traccia 1. Definizioni 2. Tempo e Spazio 3. La Legge Vettoriale del Moto 4. La Velocità 5. L accelerazione 2

3 Cinematica La meccanica studia i moti dei corpi e le leggi che li governano. Cinematica: approccio descrittivo. Studio delle grandezze fisiche e dei metodi che servono per descrivere i possibili movimenti di un oggetto, senza curarsi delle cause che li determinano. Punto materiale: è l oggetto mobile più semplice. Ha dimensioni trascurabili nel contesto considerato. P. es.: nel sistema solare la Terra può essere considerata un punto materiale, in quanto ha dimensioni piccole rispetto alle orbite dei pianeti e i suoi moti di rotazione, precessione, ecc. possono essere tralasciati nella descrizione del moto di rivoluzione. Oggetti estesi: possono essere suddivisi in tante parti, sufficientemente piccole per il dettaglio richiesto, e considerati come sistemi di punti materiali vincolati tra loro. 3

4 Sistemi di Riferimento Il moto è relativo: si può descrivere il moto soltanto quando si è stabilito rispetto a che cosa il movimento è valutato. Sistema di Riferimento (SdR): sistema di corpi, in quiete gli uni rispetto agli altri (distanza reciproca immutata nel tempo), rispetto al quale si descrive il moto. Terna ortogonale di riferimento: terna ortogonale, fissa rispetto al SdR, utilizzata per descrivere quantitativamente il moto. Principio di Relatività: Non esiste un SdR privilegiato. Le leggi della Fisica sono uguali in tutti i SdR. La diatriba tra punto di vista tolemaico (geocentrico) e copernicano (eliocentrico) è superata nella fisica moderna: I due punti di vista non sono in antitesi (è altrettanto corretto dire che la Terra si muove rispetto al Sole o che il Sole si muove rispetto alla Terra). La descrizione copernicana è più semplice ma non più vera : con opportuni strumenti di calcolo si può pure descrivere il moto dei pianeti nel SdR terrestre. 4

5 Tempo Per decidere se un punto si muove occorre controllare se la sua posizione cambia col passare del tempo. Se si vuole considerare il tempo come grandezza fisica occorre darne una definizione operativa, ovvero bisogna stabilire qual è il procedimento con cui si misurano gli intervalli di tempo. Gli strumenti per la misura del tempo (orologi, cronometri) si basano su di un fenomeno periodico (che si ripete continuamente, come il moto di un pendolo). Gli intervalli di tempo tra due successive ripetizioni sono supposti uguali e uno qualunque di questi intervalli è assunto come unità di misura. Es.: passaggio del Sole o di una stella dal meridiano locale (giorno solare e giorno sidereo). Es.: oscillazioni di un pendolo o di un bilanciere collegato a una molla a spirale. Oscillazioni di un quarzo piezoelettrico. Oscillazioni della radiazione elettromagnetica emessa in determinate transizioni atomiche. 5

6 Giorno Solare e Giorno Sidereo Giorno solare: intervallo di tempo tra due successivi passaggi del Sole dal meridiano locale: Avvengono negli istanti in cui il Sole è più alto sull orizzonte. Giorno sidereo: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una stella fissa dal meridiano locale: Avvengono negli istanti in cui la stella è più alta sull orizzonte. meridiano locale Zenit equinozio S solstizio d estate volta celeste stelle circumpolari Zenit stella polare O S O solstizio d inverno asse polare orizzonte orizzonte Nadir Nadir 6

7 Giorno Solare e Giorno Sidereo (II) La differenza tra giorno solare e giorno sidereo è dovuta al fatto che anche la stella più vicina è molto lontana: Proxima Centauri è distante 4.25 anni-luce dal Sole: L angolo di parallasse è α = : 1 di quanto disegnato in figura La direzione apparente delle stelle non si modifica sensibilmente durante il moto di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole. Il Sole è invece più vicino alla Terra e quest ultima gli gira attorno, per cui la direzione apparente del Sole si modifica continuamente nel corso dell anno. 7

8 Giorno Solare e Giorno Sidereo (III) In un anno la Terra compie una rivoluzione completa attorno al Sole: In un anno un giorno solare in meno dei giorni siderei; Anno Solare pari a giorni solari, quindi a giorni siderei; Un giorno solare dura: τ sol = 24 h = s per cui un giorno sidereo dura: τ sid = s = s = 23 h 56 min 4.1 s La differenza è: τ sol τ sid = s = 3 min 55.9 s pianeta con 4 giorni siderei in un anno solare Sole 8

9 Giorno Solare e Giorno Sidereo (IV) I giorni siderei hanno durata costante, i giorni solari no: A causa dell eccentricità dell orbita e dell inclinazione dell asse di rotazione: 26 marzo: 24 h 18.1 s; 19 giugno: 24 h s; 16 settembre: 24 h 21.3 s; 22 dicembre: 24 h s. Niente a che vedere con la diversa durata del giorno illuminato e della notte. 19 giugno 22 dicembre Tuttavia, poiché la vita quotidiana è basata sul Sole, si preferì riferire l unità di tempo al giorno solare medio. 26 marzo 16 settembre 9

10 Breve Storia dell Unità di Tempo 1 Il secondo fu definito nel 1832 come la frazione (cioè ) del giorno solare medio (media calcolata in un anno). Con l avvento della tecnica degli orologi atomici (nata nel 1949) si osservarono tuttavia discrepanze rispetto alla periodicità terrestre: Il giorno sidereo, misurato da un orologio atomico, aumenta di 2 ms (millisecondi) in un secolo. Ci sono 2 possibili spiegazioni per giustificare la discrepanza: L orologio atomico accelera: Improbabile data la stabilità del fenomeno periodico su cui si basa tale orologio. La rotazione terrestre rallenta: Possibile. Infatti la rotazione della Terra rispetto alla Luna (e al Sole) determina il moto delle maree, nel quale una parte piccola ma non del tutto trascurabile dell energia di rotazione della Terra è trasferita alla massa di acqua in movimento e quindi dissipata in calore. In tal modo il moto di rotazione della Terra rallenta un poco nel tempo. 10

11 Breve Storia dell Unità di Tempo (II) Il secondo fu perciò ridefinito (1960) come una frazione ) di un anno particolare (l anno 1900). ( Nel 1967 il secondo fu nuovamente ridefinito, come multiplo del periodo di oscillazione ( oscillazioni) della radiazione elettromagnetica emessa dagli atomi di 133 Cs (Cesio 133) in una particolare transizione: Transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di 133 Cs. La precisione di un orologio atomico è circa una parte su : Ovvero esso sbaglia al massimo 1 secondo ogni anni. 11

12 Breve Storia dell Unità di Tempo (III) bilanciere compensato per variazioni di temperatura scappamento di un orologio da polso orologio a pendolo primo orologio atomico Definizioni Tempo e Spazio Moto 133 Cs orologio atomico 133 Cs Velocità Accelerazione 12

13 Breve Storia dell Unità di Tempo (IV) Oggi è possibile avere in casa o al polso un orologio sincronizzato con un orologio atomico: Un orologio atomico, presso il Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) a Braunschweig, (Berlino-Charlottenburg, Germania) è collegato a un antenna radio situata a Mainflingen, a 24 km da Francoforte; L antenna trasmette il segnale orario DCF77 sulla frequenza di 77.5 khz con una potenza di 50 kw fino a una distanza di km. L orologio ricevitore è in grado di sincronizzarsi con l orologio atomico con uno scarto di circa 2 ms (millisecondi). Definizioni Tempo e Spazio Moto Velocità Accelerazione 13

14 Breve Storia dell Unità di Tempo (V) È anche possibile sincronizzare gli orologi dei computer via Internet con un orologio atomico: Lo scarto tipico di è di alcune decine di millisecondi; L operazione è consentita dal protocollo NTP (Network Time Protocol) che si appoggia su TCP/IP (lo stack di protocolli utilizzati da Internet): Client NTP sono disponibili in tutte le distribuzioni Linux in MacOS e in Windows. Una lista dei time-server pubblici si può trovare all URL Server Client θ = (t 1 t 0 ) + (t 2 t 3 ) 2 δ = (t 3 t 0 ) (t 2 t 1 ) 14

15 Breve Storia dell Unità di Lunghezza Il metro fu definito, nel 1795 dall Accademia delle Scienze Francese, come la 1 frazione del quarto del meridiano terrestre (tra il Polo Nord e l Equatore) che passa per Parigi. Nel 1799 fu costruito un prototipo utilizzando un regolo di platino di sezione rettangolare 25 mm 4 mm nel quale il metro era la distanza tra le due estremità alla temperatura d fusione del ghiaccio, denominato Mètre des Archives. Si scoprì poco tempo dopo che tale campione era più corto di circa 0.2 mm della definizione basata sul meridiano: A causa di una errata valutazione dello schiacciamento della Terra ai poli. Si decise di non riferire più il metro al meridiano terrestre: Nel 1889 fu costruito un nuovo campione, costituito da una sbarra con sezione a X di platino-iridio (lega 90%-10%) con due tacche alla distanza di 1 m a 0 C, con la precisione di 0.2 µm. Ne vennero costruite 30 copie, poi diffuse per il mondo. 15

16 Breve Storia dell Unità di Lunghezza (II) Nel 1960 il metro è stato ridefinito pari a volte la lunghezza d onda nel vuoto della luce rosso-arancione emessa dal 86 Kr (Cripton 86), nella transizione tra i livelli 2p 10 e 5d 5 (errore 0.01 µm). Nel 1983 si è infine deciso di definire il metro come la distanza 1 percorsa dalla luce nel vuoto in di secondo: In questo modo si riducono le misure di lunghezza a misure di tempo. Inoltre si fissa per convenzione (per legge giuridica, non fisica) la velocità della luce nel vuoto al valore c = m/s. 16

17 Il Moto di un Punto Materiale: La Legge Vettoriale del Moto Il moto di un punto materiale P consiste in una variazione, nel tempo, della sua posizione rispetto al SdR prescelto: La posizione di un punto materiale rispetto a un SdR può essere descritta per mezzo del vettore posizionale r. Il tempo t è descritto da uno scalare. Segue che il moto di un punto materiale è descritto da una corrispondenza che a ogni istante di tempo t associa un certo vettore posizionale r: Ovvero da una funzione vettoriale, detta legge vettoriale del moto: r = r (t) 17

18 Legge Vettoriale del Moto nella Base Cartesiana Nella base di versori cartesiana il vettore posizionale si scrive: r = x î + y ĵ + z ˆk Poiché la base di versori cartesiana {î, ĵ, ˆk} è globale, essa è indipendente dalla posizione del punto P. La dipendenza temporale interessa soltanto le 3 componenti cartesiane: r (t) = x (t) î + y (t) ĵ + z (t) ˆk non i 3 versori della base cartesiana. 18

19 Legge Vettoriale del Moto nella Base Cilindrica Nella base di versori cilindrica il vettore posizionale si scrive: r = r î r (ϕ) + z ˆk Poiché la base di versori cilindrica {î r (ϕ), î ϕ (ϕ), ˆk} è locale, essa dipende dalla posizione del punto P (eccetto il versore ˆk). La dipendenza temporale interessa pertanto sia le componenti cilindriche, sia i versori della base cilindrica. Si ha quindi: r (t) = r (t) î r Ä ϕ (t) ä + z (t) ˆk 19

20 Legge Vettoriale del Moto nella Base Sferica Nella base di versori sferica il vettore posizionale si scrive: r = ρ î ρ (θ, ϕ) Poiché la base di versori sferica {î ρ (θ, ϕ), î θ (θ, ϕ), î ϕ (ϕ)} è locale, essa dipende dalla posizione del punto P. La dipendenza temporale interessa pertanto sia le componenti sferiche, sia i versori della base sferica. Si ha quindi: r (t) = ρ (t) î ρ Ä θ (t), ϕ (t) ä 20

21 Legge Vettoriale del Moto nella Base Intrinseca Nella base di versori intrinseca il vettore posizionale si scrive in funzione della coordinata intrinseca s = ΩP, mediante l equazione parametrica della traiettoria in lunghezza d arco: r = r (s) Nota l equazione della traiettoria, la descrizione del moto di un punto materiale si riduce a una funzione scalare che a ogni istante di tempo t associa un certo valore numerico della coordinata intrinseca s, detta equazione oraria o legge oraria: s = s (t) Ω 21

22 Legge Vettoriale del Moto nella Base Intrinseca (II) L insieme costituito dall equazione della traiettoria: r = r (s) e dall equazione oraria: s = s (t) realizza la rappresentazione intrinseca della legge vettoriale del moto: r = r Ä s (t) ä che consente di scrivere il vettore posizionale in funzione del tempo. Ω 22

23 La Velocità Vettoriale Media del Moto Scelto un SdR, la posizione del punto materiale può non variare affatto (stato di quiete), può variare lentamente oppure può variare rapidamente. Vogliamo costruire una grandezza fisica che descriva la rapidità con cui varia la posizione. Consideriamo la variazione del vettore posizionale: r = r (t + t) r (t) subita in un certo intervallo di tempo t. Per rapportare tale variazione all intervallo di tempo t considerato, possiamo poi costruire il vettore: v m (t, t) = r t = r (t + t) r (t) t detto velocità vettoriale media. = 1 t [ r (t + t) r (t)] 23

24 La Velocità Vettoriale Media del Moto (II) La velocità vettoriale media dipende da 2 parametri: L istante iniziale t; L ampiezza t dell intervallo di tempo: v m (t, t) = r r (t + t) r (t) = t t Vogliamo modificare la definizione in modo che: La velocità vettoriale possa essere associata al singolo istante temporale; La velocità vettoriale non dipenda dall ampiezza t dell intervallo di tempo. A questo fine consideriamo la velocità media nel limite t 0. 24

25 La Velocità Vettoriale Istantanea del Moto Definiamo velocità vettoriale istantanea il limite: r v (t) = lim t 0 t = lim r (t + t) r (t) = d r t 0 t dt = r (t) Il vettore velocità istantanea del punto materiale ha la direzione e il verso dello spostamento elementare d r, ovvero del versore tangente ˆt alla traiettoria nel verso del moto, condotta nella posizione occupata dal punto materiale nell istante di tempo considerato. 25

26 La Velocità Vettoriale Istantanea del Moto (II) r v (t) = lim t 0 t = lim r (t + t) r (t) = d r t 0 t dt = r (t) Il modulo della velocità ha le dimensioni L T (dove L sta per lunghezza e T sta per tempo): [v] = LT 1 per cui, nel Sistema Internazionale, la velocità si misura in m/s. 26

27 Notazione della Derivata Si presti attenzione al fatto che i puntini sovrastanti una variabile (notazione di Newton) denotano sempre una derivata rispetto al tempo: f = df dt Per indicare in forma compatta una derivata rispetto a una coordinata spaziale si utilizza invece l apice (notazione di Lagrange): f = df dx P. es.: l equazione delle onde in una dimensione si può scrivere: f (x, t) = c 2 f (x, t) oppure 2 f(x,t) t 2 = c 2 2 f(x,t) x 2 In caso di possibile equivoco è comunque sempre consigliabile l utilizzo della notazione estesa di Leibniz df dt. 27

28 Velocità Vettoriale nella Base Cartesiana Nella base cartesiana, la legge vettoriale del moto si scrive: r (t) = x (t) î + y (t) ĵ + z (t) ˆk Derivando rispetto al tempo si ottiene: v = d r dt = d î x(t) î + y(t) ĵ + z(t) ˆkó = dt = dx dt î + x dî dt }{{} 0 + dy dt ĵ + y dĵ dt }{{} 0 + dz dt ˆk + z dˆk = }{{} dt 0 = dx dt î dy dt ĵ dz dt ˆk + 0 = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk quindi l espressione della velocità nella base cartesiana si scrive: v = ẋ î + ẏ ĵ + ż ˆk 28

29 Velocità Vettoriale nella Base Cilindrica Nella base cilindrica, la legge vettoriale del moto si scrive: r (t) = r (t) î r Ä ϕ (t) ä + z (t) ˆk Derivando rispetto al tempo otteniamo: v = d r dt = d î r îr (ϕ) + z dt ˆk ó = = dr dt îr + r dî r dt + dz dt ˆk + z dˆk = }{{} dt 0 = ṙ î r (ϕ) + r dî r(ϕ) + ż dt ˆk = = ṙ î r (ϕ) + r î r(ϕ) ϕ = ṙ î r (ϕ) + r î r(ϕ) ϕ dϕ(t) dt ϕ + ż ˆk + ż ˆk = 29

30 Velocità Vettoriale nella Base Cilindrica (II) Sostituendo in questa relazione l espressione della derivata del versore cilindrico î r : î r (ϕ) ϕ = î ϕ troviamo infine l espressione della velocità nella base cilindrica: v = ṙ î r + r ϕ î ϕ + ż ˆk 30

31 Velocità Vettoriale nella Base Intrinseca Nella base intrinseca, la legge vettoriale del moto si scrive: r (t) = r Ä s(t) ä Derivando rispetto al tempo otteniamo: v = d rä s(t) ä = d r(s) ds(t) = ṡ d r(s) dt ds dt ds Sostituendo in questa relazione l espressione del versore tangente ˆt: d r(s) ds = ˆt(s) troviamo l espressione della velocità nella base intrinseca: v(t) = ṡ ˆt 31

32 Velocità Vettoriale nella Base Intrinseca (II) L espressione della velocità vettoriale nella base intrinseca: v(t) = ṡ ˆt è la più significativa: Poiché, a differenza delle altre basi, riferisce le proprietà del vettore velocità ai versori della base intrinseca: Dunque alla traiettoria del punto materiale. Nella base intrinseca la velocità vettoriale ha una sola componente: v t = ṡ, v n = 0, v b = 0 3 componenti, in generale, nella base cartesiana, cilindrica o sferica. 32

33 Velocità Vettoriale nella Base Intrinseca (III) L espressione della velocità vettoriale nella base intrinseca: v(t) = ṡ ˆt chiarisce che la velocità vettoriale istantanea v del punto materiale ha: La direzione: ˆv = vers ( v ) = ±ˆt della tangente alla traiettoria γ nella posizione del punto materiale P al tempo t considerato; Il verso concorde con quello dello spostamento elementare d r; Il modulo: v = ṡ 33

34 Velocità Intrinseca Istantanea L espressione scalare: s u (t) = lim t 0 t = lim s (t + t) s (t) = ds t 0 t dt = ṡ (t) misura la rapidità con cui il punto materiale scorre lungo traiettoria γ. È chiamata velocità intrinseca istantanea o velocità scalare istantanea. È la velocità indicata dal tachimetro dell automobile e dall autovelox: u (t) = ± v (t) Segno ± a seconda che il verso del moto sia concorde o discorde con l orientamento della traiettoria. 34

35 Velocità Intrinseca Istantanea e Velocità Vettoriale Istantanea Velocità vettoriale: r v (t) = lim t 0 t = lim r (t + t) r (t) = d r t 0 t dt = r (t) Il numeratore è una differenza vettoriale; Il modulo del numeratore è la distanza in linea d aria. Velocità intrinseca: s u (t) = lim t 0 t = lim s (t + t) s (t) = ds t 0 t dt = ṡ (t) Il numeratore è una differenza scalare; Il valore assoluto del numeratore è la distanza curvilinea lungo la traiettoria. 35

36 Velocità Intrinseca Media e Velocità Vettoriale Media Naturalmente si può definire la velocità intrinseca media: u m (t, t) = s t = s (t + t) s (t) t Si tratta della velocità misurata in autostrada dal sistema SICVE (Sistema Informativo per il Controllo della Velocità), detto anche Safety Tutor; Si noti tuttavia che si ha: u (t) = v (t) u m (t, t) v m (t, t) 36

37 Velocità Intrinseca e Velocità Vettoriale Infatti, essendo t > 0: s(t + t) s(t) r(t + t) r(t) }{{}}{{} lunghezza arco lunghezza corda s(t + t) s(t) t u m (t, t) v m (t, t) r(t + t) r(t) t Tuttavia, nel limite t 0: s(t + t) s(t) r(t + t) r(t), t 0 }{{}}{{} lunghezza arco lunghezza corda s(t + t) s(t) t r(t + t) r(t) t, t 0 u (t) = v (t) 37

38 La Misura della Velocità Istantanea Volendo misurare sperimentalmente la velocità istantanea di un punto materiale utilizzando la formula: s u (t) = lim t 0 t = lim s (t + t) s (t) = ds t 0 t dt = ṡ (t) occorre precisare operativamente il procedimento di misura, considerando la sensibilità, sempre limitata, degli strumenti di misura. L intervallo di tempo t non può essere scelto piccolo ad arbitrio: Se t è più piccolo della sensibilità del cronometro utilizzato per la misura, la misura di t dà risultato nullo. Se t è molto piccolo, può anche accadere che lo spostamento s sia inferiore alla sensibilità dello strumento di misura della lunghezza. Di conseguenza la misura di s dà risultato nullo. 38

39 La Misura della Velocità Istantanea (II) Per misurare la velocità istantanea di un punto materiale utilizzando la formula: s u (t) = lim t 0 t = lim s (t + t) s (t) = ds t 0 t dt = ṡ (t) occorre scegliere gli intervalli t e s in modo che: Tali intervalli siano sufficientemente piccoli che lo stato di moto in essi non subisca variazioni apprezzabili nel contesto che stiamo considerando (cioè data la precisione di cui abbiamo bisogno). Tali intervalli siano sufficientemente grandi da potere essere misurati con gli strumenti di misura di cui disponiamo. 39

40 La Velocità Istantanea e la Traiettoria nella Fisica Microscopica La limitazione del concetto di velocità istantanea non è dovuta soltanto nella limitazione della sensibilità degli strumenti di misura. I concetti di velocità istantanea (derivata dello spostamento rispetto al tempo) e di traiettoria (linea geometrica costituita da tutte le posizioni assunte dal punto durante il suo moto) di un punto materiale hanno senso soltanto se un punto materiale ha una posizione ben definita in ogni istante di tempo. Lo studio sperimentale del moto delle particelle atomiche e sub-atomiche mostra che esse non hanno in generale una ben definita posizione in un certo istante di tempo: I concetti di traiettoria e di velocità istantanea perdono significato nel caso delle particelle atomiche e sub-atomiche. 40

41 La Velocità Istantanea di un Elettrone Libero In particolare, risolvendo le equazioni del moto della meccanica quantistica (equazioni di Heisemberg) si trova che la misura di una componente della velocità istantanea di un elettrone libero può dare come risultato soltanto ±c (dove c è la velocità della luce nel vuoto). La velocità osservata degli elettroni, che è sempre una velocità media, è invece sempre minore di c. Segue che la velocità istantanea di un elettrone libero non è affatto costante, ma oscilla rapidamente (con velocità che può avere soltanto i valori ±c) attorno a un valore medio che è il valore osservato ( zitterbewegung, comportamento erratico). 41

42 Velocità Areolare Si definisce velocità areolare istantanea di un punto materiale P rispetto a un centro di riduzione O l area spazzata dal vettore posizionale r OP nell unità di tempo, calcolata sulla base di un intervallo di tempo infinitesimo: S A = lim t 0 t P (t + t) γ [P (t), P (t + t)] 42

43 Espressione Vettoriale della Velocità Areolare Nel limite t 0, la corda P (t) P (t + t) diviene indistinguibile dall arco γ [P (t), P (t + t)]: Il triangolo P (t) OP Á (t + t), avente un lato curvilineo, può essere trattato come un triangolo ordinario: S 1 2 r OP (t) r HP (t+ t) = 1 }{{}}{{} 2 r OP (t) r P (t)p (t+ t) sin α = }{{}}{{} base altezza base altezza = 1 2 r OP (t) r OP (t + t) r OP (t) sin α }{{}}{{} base altezza P (t + t) 43

44 Espressione Vettoriale della Velocità Areolare (II) Nel limite t 0 il vettore r P (t)p (t+ t) assume la direzione del vettore v P. Pertanto, nel limite t 0 l angolo α diviene il supplementare dell angolo β, formato dal segmento orientato r OP (t) con il vettore v P (t) (posti con l origine coincidente), per cui si ha: lim α = π β t 0 lim t 0 sin α = sin (π β) = sin β P (t + t) 44

45 Espressione Vettoriale della Velocità Areolare (III) Dall equivalenza asintotica: S 1 2 r OP (t) r OP (t + t) r OP (t) sin α, t 0 }{{}}{{} base altezza otteniamo quindi: ñ S 1 A = lim t 0 t = lim t 0 2 r r OP (t + t) r OP (t) ô OP (t) t sin α = = 1 2 r OP (t) lim r OP (t + t) r OP (t) sin (π β) = t 0 t = 1 2 r P (t + t) OP v P sin β = = 1 2 r OP v P 45

46 Espressione Vettoriale della Velocità Areolare (IV) Possiamo quindi pensare che la velocità areolare sia il modulo di una velocità areolare vettoriale avente: Direzione perpendicolare al piano Π definito dal vettore posizionale r OP dalla velocità istantanea v P ; Verso stabilito dalla regola della mano destra. Tale vettore si può scrivere nella forma: A = 1 2 r OP v P La velocità areolare è pari alla metà del momento della velocità rispetto al centro di riduzione O. P (t + t) γ [P (t), P (t + t)] 46

47 Espressione della Velocità Areolare nella Base Cilindrica Scegliamo una terna ortogonale di riferimento Oxyz avente l asse z perpendicolare al piano Π e gli assi x e y giacenti sul piano Π. Scegliamo quindi il sistema di coordinate cilindrico e una base di versori cilindrica {î r, î ϕ, ˆk}. Il vettore posizionale r OP si scrive (essendo z 0): r OP = r î r La velocità vettoriale v P si scrive (essendo ż 0): v P = ṙ î r + r ϕ î ϕ 47

48 Espressione della Velocità Areolare nella Base Cilindrica (II) Sostituendo, ricordando la proprietà distributiva, la proprietà omogenea e le relazioni di ortogonalità, otteniamo: A = 1 2 r OP v P = 1 2 (r î r) (ṙ î r + r ϕ î ϕ ) = = 1 î r ṙ (îr î r ) + r 2 ϕ (î r î ϕ ) ó = 1 î r ṙ 0 + r 2 ϕ 2 2 ˆk ó Otteniamo l espressione della velocità areolare nella base cilindrica: A = 1 2 r2 ϕ ˆk 48

49 L Accelerazione Media del Moto Scelto un SdR, la velocità del punto materiale può non variare affatto (moto rettilineo uniforme), può variare lentamente oppure può variare rapidamente, sia in modulo sia in direzione e verso. Vogliamo costruire una grandezza fisica che descriva la rapidità con cui varia la velocità. Consideriamo la variazione del vettore velocità: v = v (t + t) v (t) subita in un certo intervallo di tempo t. Per rapportare tale variazione all intervallo di tempo t considerato, possiamo poi costruire il vettore: a m (t, t) = v t = v (t + t) v (t) t detto accelerazione vettoriale media. = 1 t [ v (t + t) v (t)] 49

50 L Accelerazione Media del Moto (II) L accelerazione vettoriale media dipende da 2 parametri: L istante iniziale t; L ampiezza t dell intervallo di tempo. a m (t, t) = v v (t + t) v (t) = t t Vogliamo modificare la definizione in modo che: L accelerazione possa essere associata al singolo istante temporale; L accelerazione non dipenda dall ampiezza t dell intervallo di tempo. A questo fine consideriamo l accelerazione media nel limite t 0. 50

51 L Accelerazione Istantanea del Moto Definiamo accelerazione vettoriale istantanea il limite: v a (t) = lim t 0 t = lim v (t + t) v (t) = d v t 0 t dt = v (t) = d2 r dt 2 = r (t) La direzione del vettore accelerazione, in generale, non è né tangente né normale alla traiettoria, ma giace sul piano osculatore alla traiettoria nella posizione P occupata dal punto materiale all istante di tempo t considerato. 51

52 L Accelerazione Istantanea del Moto (II) v a (t) = lim t 0 t = lim v (t + t) v (t) = d v t 0 t dt = v (t) = d2 r dt 2 = r (t) Il modulo dell accelerazione ha le dimensioni L (dove L sta per lunghezza e T 2 T sta per tempo): [a] = LT 2 per cui, nel Sistema Internazionale, l accelerazione si misura in m/s 2. 52

53 Accelerazione nella Base Cartesiana Nella base cartesiana, il vettore velocità si scrive: v (t) = ẋ (t) î + ẏ (t) ĵ + ż (t) ˆk Derivando rispetto al tempo otteniamo: a = d v dt = d îẋ(t) î + ẏ(t) ĵ + ż(t) ˆkó = dt = dẋ dt î + ẋ dî dt }{{} 0 + dẏ dt ĵ + ẏ dĵ dt }{{} 0 + dż dt ˆk + ż dˆk = }{{} dt 0 = dẋ dt î dẏ dt ĵ dż dt ˆk + 0 = dẋ dt î + dẏ dt ĵ + dż dt ˆk quindi l espressione dell accelerazione nella base cartesiana si scrive: a = ẍ î + ÿ ĵ + z ˆk 53

54 Accelerazione nella Base Cilindrica Nella base cilindrica, il vettore velocità si scrive: v (t) = ṙ (t) î r Ä ϕ (t) ä + r (t) ϕ (t) îϕ Ä ϕ (t) ä + ż (t) ˆk Derivando rispetto al tempo otteniamo: a = d v dt = d îṙ îr (ϕ) + r ϕ î ϕ (ϕ) + ż dt ˆk ó = ñ dṙ = dt îr(ϕ) + ṙ dî ô ñ r(ϕ) dr + dt dt ϕ î ϕ(ϕ) + r d ϕ dt îϕ(ϕ) + r ϕ dî ô ϕ(ϕ) + [ dt dż + dt ˆk + ż dˆk ] = dt = r î r (ϕ) + ṙ dî r(ϕ) dt + ṙ ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ dî ϕ(ϕ) dt + z ˆk 54

55 Accelerazione nella Base Cilindrica (II) Ricordando le derivate dei versori cilindrici rispetto a ϕ: î r (ϕ) ϕ = î î ϕ (ϕ) ϕ, ϕ = î r si ottiene: dî r (ϕ) = î r(ϕ) dϕ dt ϕ dt = ϕ î ϕ dî ϕ (ϕ) = î ϕ(ϕ) dϕ dt ϕ dt = ϕ î r da cui: a = r î r (ϕ) + ṙ dî r(ϕ) + ṙ ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ dî ϕ(ϕ) + z dt dt ˆk = = r î r (ϕ) + ṙ [ ϕ î ϕ ] + ṙ ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ [ ϕ î r ] + z ˆk 55

56 Accelerazione nella Base Cilindrica (III) da cui: a = r î r (ϕ) + ṙ [ ϕ î ϕ ] + ṙ ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ î ϕ (ϕ) + r ϕ [ ϕ î r ] + z ˆk quindi l espressione dell accelerazione nella base cilindrica si scrive: a = Ä r r ϕ 2ä î r + (2ṙ ϕ + r ϕ) î ϕ + z ˆk 56

57 Accelerazione nella Base Intrinseca Nella base intrinseca, il vettore velocità si scrive: v (t) = ṡ (t) ˆt (t) Derivando rispetto al tempo otteniamo: a = d v dt = d îṡ ˆt ó = dṡ dt dt ˆt + ṡ dˆt dt = = s ˆt + ṡ dˆt ds ds dt = s ˆt + ṡ 2 dˆt ds dove si presti attenzione il simbolo t rappresenta il tempo, mentre il simbolo ˆt è rappresenta il versore intrinseco tangente alla traiettoria. 57

58 Accelerazione nella Base Intrinseca (II) Ricordando la derivata parziale del versore ˆt rispetto a s: dˆt(s) ds = κ ˆn = 1 ρ ˆn Dall espressione: a = s ˆt + ṡ 2 dˆt ds otteniamo l espressione dell accelerazione nella base intrinseca: a = s ˆt + ṡ2 ρ ˆn 58

59 Accelerazione nella Base Intrinseca (III) La componente binormale a b dell accelerazione, ovvero la componente nella direzione del versore ˆb = ˆt ˆn, è sempre nulla: a b 0 per cui l accelerazione possiede soltanto la componente tangente (o tangenziale) a t e la componente normale (o centripeta) a n : a = a t + a n = a t ˆt + a n ˆn = s ˆt + ṡ2 ρ ˆn = u ˆt + u2 ρ ˆn Mentre la velocità è sempre tangente alla traiettoria, l accelerazione possiede una componente tangenziale e una normale (giace sul piano osculatore): Se il moto è rettilineo (ρ ) la componente normale si annulla e rimane soltanto la componente tangenziale. Se il moto è uniforme (ṡ cost.) la componente tangenziale si annulla e rimane soltanto la componente normale. 59

60 Accelerazione nella Base Intrinseca (IV) a = a t + a n = a t ˆt + a n ˆn = s ˆt + ṡ2 ρ ˆn = u ˆt + u2 ρ ˆn L espressione della velocità vettoriale nella base intrinseca è la più significativa: Poiché, a differenza delle altre basi, riferisce le proprietà del vettore velocità ai versori della base intrinseca: Dunque alla traiettoria del punto materiale. Nella base intrinseca l accelerazione vettoriale ha 2 sole componenti: 3 componenti, in generale, nelle basi cartesiana, cilindrica o sferica. 60

61 Modulo dell Accelerazione Si noti che dalla relazione: a = a t + a n = a t ˆt + a n ˆn = s ˆt + ṡ2 ρ ˆn = u ˆt + u2 ρ ˆn segue che il modulo dell accelerazione vale: a = a = Osserviamo che: ṡ 4 Çṡ2 å 2 ρ 2 = 0 ρ» a 2 t + a2 n = s 2 + ṡ4 ρ 2 Il segno di uguaglianza vale se u = ṡ = 0, cioè nel caso di quiete, ma vale anche, asintoticamente, quando ρ : ṡ 4 ρ 2 = Çṡ2 ρ å 2 0, per ρ 61

62 Modulo dell Accelerazione (II) Risulta pertanto: a = a =» a 2 t + a2 n = s 2 + ṡ4 ρ 2 s 2 = s dove il segno di uguaglianza vale soltanto: In caso di quiete (ṡ = 0); In caso di moto rettilineo (ρ ). 62

63 Modulo dell Accelerazione (III) Ricordando inoltre che: v (t) = v (t) = u (t) possiamo scrivere: v (t) = v (t) = u (t) sgn Ä u (t) ä Derivando rispetto al tempo, ricordando che d du sgn(u) è sempre nulla, eccetto nel caso singolare u = 0, si ha: dv dt = du dt sgn Ä u(t) ä + u(t) d dt sgn Ä u(t) ä = = du dt sgn Ä u(t) ä dv dt = du dt sgn (x) = { 1 se x < 0 0 se x = 0 +1 se x > 0 63

64 Modulo dell Accelerazione (IV) Otteniamo quindi la disuguaglianza:» a = a = a 2 t + a2 n = s 2 + ṡ4 ρ 2 s 2 = s = u = du dt = dv dt dv dt In conclusione, considerando i moduli della velocità e dell accelerazione, risulta: a dv dt dove il segno di uguaglianza vale soltanto: In caso di quiete (ṡ = 0); In caso di moto rettilineo (ρ ) con accelerazione concorde con la velocità. 64

65 Nota Bene Si osservi che, per le grandezze cinematiche vettoriali, valgono le relazioni di uguaglianza: v = d r dt a = d v dt = d2 r dt 2 mentre, per le grandezze cinematiche scalari, non valgono analoghe relazioni: u = ds dt, v = ds dt a du dt = d 2 s dt 2, a dv dt 65

66 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it