d P 1 fig.1 distanza, distanza orizzontale, dislivello

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1 Rlevamento n ambto locale. Ret topografche Una rete topografca è un nseme punt, ett vertc, collegat fra loro a msure topografche. I vertc possono essere punt stazone, oppure semplcemente punt collmat. A esempo, la cma un campanle, o l angolo una fnestra, possono essere vertc una rete topografca, ma non certamente punt stazone. I punt stazone, che sono n generale punt sul terreno, su cu vene posto un treppee che fa a supporto allo strumento, possono a loro volta essere collmat a altr punt stazone, poneno sul treppee a esempo un prsma rflettente, o anche semplcemente una mra. Naturalmente è necessaro msurare l altezza sul terreno el centro ello strumento o ella mra. I vertc una rete sono punt mmers n uno spazo trmensonale; s eseguono msure angol zental, rezon azmutal, stanze (le ret lvellazone, appostamente sttute per la msura slvell, verranno esamnate a parte. In ogn punto stazone s fa rfermento alla rezone ella vertcale nella messa n stazone ello strumento, e, nelle ret local che coprono una pccola porzone terrtoro (poche centnaa metr, s può assumere che la rezone ella vertcale non var sgnfcatvamente. D conseguenza, s può efnre un pano orzzontale rfermento, ortogonale n ogn punto alla rezone ella vertcale. h ζ P P fg. stanza, stanza orzzontale, slvello Se a un punto P s collma un punto P e s msura la stanza e l angolo zentale ζ ella rezone collmazone, l angolo zentale vene utlzzato per etermnare la cosetta stanza orzzontale o snζ, ossa la stanza fra le proezon e ue punt sul pano orzzontale, e eventualmente l slvello h cosζ (fg.. Fatto questo passo, è consuetune separare gl aspett planmetrc a quell altmetrc el rlevo, e conserare non pù la rete trmensonale, ma la sua proezone sul pano orzzontale (rete pana, n cu la stanza vene sosttuta alla stanza orzzontale e l angolo zentale non ha pù alcun ruolo. Nelle conserazon che seguono s farà sempre mplctamente rfermento a ret pane, e per stanza s ntenerà sempre la stanza orzzontale, senza ulteror specfcazon. Il calcolo una rete topografca ha come obettvo la etermnazone elle poszon e suo vertc, a partre alle msure esegute.

2 E qun necessaro, n prmo luogo, che l nseme elle msure sa tale che la conoscenza e valor msurat sa suffcente per fssare rgamente la confgurazone geometrca ella rete. In altre parole, bsogna che le stanze fra punt e gl angol fra lat sano unvocamente etermnat. A esempo, la rete ella fg., anche se vengono msurat tutt gl angol e lat contrassegnat, non è fssata rgamente, poché ue trangol sono lber ruotare uno rspetto all altro ntorno al punto O. O fg. rete non rga In secono luogo, una rete rga non è ancora fssata al terreno, nel senso che può essere spostata e ruotata senza alterare la sua struttura geometrca, e qun la poszone e suo vertc non è ancora unvocamente etermnata. L ntrouzone un sstema rfermento è l operazone che realzza l vncolo una rete al terreno. Il sstema rfermento è realzzato a un sstema coornate. Per esempo, se s fssa nel pano un sstema ass cartesan ortogonal, una rete è vncolata al terreno quano sono fssate le coornate cartesane un punto (l che blocca le traslazon e l angolo un lato uscente a quel punto con uno egl ass (che blocca le rotazon. S not che l fssare un sstema rfermento è un operazone fsca, non puramente matematca. Se, a esempo, s ece che l orgne un sstema ass è un vertce ella rete e che uno egl ass cartesan contene un lato ella rete, l sstema coornate è legato alle msure esegute per etermnare la rete (sstema coornate local; se nvece s vuole nserre la rete n un sstema coornate preesstente, bsogna esegure ulteror msure. In ogn caso, nell ambto un sstema rfermento fscamente etermnato, è possble esegure e cambament sstema coornate efnt con proceure puramente matematche, a esempo una traslazone o una rotazone egl ass, o l passaggo a coornate cartesane a coornate polar.. Equazon osservazone Le equazon osservazone mettono n relazone le msure esegute con le coornate e punt. Le coornate n generale sono ncognte, a meno che non s tratt punt not, che vengono nsert per ntrourre que vncol che efnscono l sstema coornate. E possble che le coornate e punt note sano state etermnate n preceent rlevament, nel qual caso l sstema coornate ntrootto è fssato npenentemente alle msure ella rete. In caso contraro, s ntrouce un sstema coornate local. A esempo, s fssa l orgne n uno e vertc,, e s fa concere l asse con la proezone sul pano orzzontale una rezone P collmata a, a esempo verso. In questo caso le coornate P sono, e P P la coornata P è.

3 . Equazone un angolo rezone (fg.3 fg.3 angol rezone ne vers quarant S efnsce angolo rezone l angolo n verso oraro alla rezone el semasse postvo alla rezone conserata; valor ell angolo rezone sono compres fra e π. Se vene fatta stazone nell orgne, l angolo rezone ella semretta congungente l orgne con l punto (, è espresso all equazone se, > α arctan π se < (. π se, > π 3 Inoltre, se, α se >, α π se <. La stnzone fra vers quarant è ovuta al fatto che, nella efnzone corrente, arctan assume valor fra π / e π /.. Equazone osservazone una rezone azmutale Se s fa stazone n (, e s collma (,, l angolo rezone ella lnea collmazone è se, > α arctan π se < (. π se, > Poché la rezone azmutale è l angolo n verso oraro alla rezone ell orgne el cercho orzzontale alla proezone ella rezone collmazone sul pano orzzontale, la sua equazone osservazone è α β π se α β se α < β (.3

4 ove β è l angolo rezone ell orgne ella grauazone el cercho orzzontale. S not che sa α sa β sono ncognte; tuttava s assume conoscere e valor approssmat, su qual c s basa a pror per ecere l alternatva (.3. fg.4 rezon azmutal e angol azmutal O è la rezone rfermento el cercho orzzontale e β è l suo angolo rezone In lnea prncpo s potrebbe usare come osservabl le fferenze rezon azmutal, che non contengono l ncognta β, la cu etermnazone non è partcolare nteresse. Tuttava è preferble l uso ella (.3, ato che gl error elle rezon azmutal sono ncorrelat; nvece gl error su ue angol aacent, espress come fferenze rezon azmutal, sono correlat, ato che ue angol hanno un lato comune..3 Equazone osservazone una stanza P Come è noto, la stanza (orzzontale fra punt e P è / [( ( ] (.4.4 Sstem equazon osservazone Le msure esegute per la etermnazone una rete topografca vengono nserte n un sstema equazon osservazone n cu termn not sono valor elle msure e le ncognte sono le coornate e vertc non not (oltre, come s è vsto, alle rezon el cercho orzzontale nelle verse stazon. In generale, non s procee alla rcerca una soluzone el sstema equazon non lnear, ma le equazon vengono lnearzzate con la formula Talor arrestata al I orne, utlzzano come punt partenza per la lnearzzazone valor approssmat che s suppongono not: f f ( u f ( u f ( u ( u u f ( u ( u ( u u (.5 u Quello che s calcola sono qun correzon rspetto a valor approssmat. La (.5 può essere applcata alle equazon osservazone angol e stanze n funzone elle coornate:

5 [ / ( ( ] (.6 π β k arctan (.7 ove è l nce corrsponente al punto stazone, l nce corrsponente al punto collmato, β è l azmut ella rezone ell orgne el cercho orzzontale nella stazone, l valore k è etermnato n base a (., (.3. Per applcare la (.5, bsogna calcolare le ervate parzal elle osservabl rspetto alle coornate:, ;,, ; ( (, ( ( La lnearzzazone (.6,(.7 à luogo a [ ] / ( ( (.8 k π arctan (.9 ( k k k k k k, ove smbol soprassegnat stanno a ncare valor numerc approssmat suppost not, e tutte le ervate parzal sono calcolate n corrsponenza quest valor approssmat. Affnché la rete possa essere etermnata, occorre che l sstema equazon osservazone lnearzzate abba una sola soluzone esatta se l numero equazon è uguale al numero elle ncognte, oppure una sola soluzone approssmata etermnable con l metoo e mnm quarat se l numero equazon è ronante, come accae n generale ne cas pratc, ato che s cerca compensare gl error casual msura. Questa conzone è verfcata se l sstema non è sngolare, ossa se la matrce e coeffcent ha caratterstca massma. Questa propretà matematca ha un rscontro pratco nella struttura ella rete e ne vncol che a essa evono essere mpost, ossa nella sua rgtà e nel fatto che essa sa fssata al terreno, con un sstema rfermento ben efnto. Alla trattazone matematca quest sstem equazon sarà ecato un captolo nel seguto.

6 3. Sstem rfermento pan In generale, n una campagna msure topografche per la etermnazone una rete, vene efnto un sstema rfermento locale, a cu sono rferte le coornate e punt rlevat; è po possble nquarare l rlevo n un sstema rfermento esterno preesstente, se n questo sstema sono note le coornate alcun e punt nteressat alle msure esegute. S not che sa la efnzone un sstema rfermento, sa la etermnazone ella trasformazone fra ue sstem, penono alle msure esegute, e sono qun affette a error. Il sstema rfermento non è un puro artfco matematco per ntrourre elle coornate, ma ha una rlevanza fsca. 3. Sstema rfermento locale Per ntrourre un sstema rfermento locale, come s è gà vsto, una pratca corrente consste nell entfcare un punto stazone con l orgne una coppa ass cartesan e una P rezone efnta a una retta passante per P con uno egl ass (a esempo, l asse. Non è nemmeno necessaro che questa rezone sa nvuata come lnea collmazone: essa è mplctamente efnta all orentazone arbtrara ell orgne ella grauazone el cercho orzzontale nel punto stazone P. Passano alle altre stazon, le rezon egl ass el sstema coornate evono essere mantenute costant, mentre l orentazone el cercho orzzontale camba. D conseguenza gl angol rezone elle lnee collmazone a punt stazone vers a P non possono essere lett rettamente e evono qun essere etermnat con l calcolo. fg.5 angol azmutal e angol rezone n una rete topografca

7 A esempo (ve fg.5 se α è l angolo rezone P P e se ϑ è l angolo azmutale fra le rezon collmazone P P e P P, l angolo rezone P P è α α π ϑ. 3. Trasformazon fra sstem coornate pan (fg.6 S supponga che l orgne un sstema ass cartesan abba coornate ( X, Y rspetto a un sstema ass cartesan XY e che la coppa ass sa ruotata un angolo α (postvo se l verso ella rotazone è antoraro rspetto alla coppa ass XY. Allora la relazone fra le coornate un punto P ne ue sstem è cosα snα snα X X cosα Y Y X Y X Y cosα snα snα cosα (3. X Il vettore è un vettore traslazone, le ue matrc che compaono nella (3. sono Y matrc rotazone, l una nversa ell altra, corrsponent la prma a una rotazone antorara un angolo α, la secona a una rotazone orara ello stesso angolo (che comporta un cambamento el segno α, e qun anche sn α, mentre l segno cos α rmane nvarato. La trasformazone nel suo complesso è una roto-traslazone. Essa pene a 3 parametr, X,,α. Y fg.6 roto-traslazone pana NOTE. La secona matrce n (3. non è solo l nversa, ma anche la trasposta ella prma. Infatt, le matrc rotazone sono matrc ortogonal: sa le loro rghe sa le loro colonne sono vettor lunghezza fra loro ortogonal, e qun l prootto una matrce così fatta per la sua trasposta à la matrce enttà.. La composzone ue rotazon angol α e β corrspone al prootto rghe per colonne elle ue matrc rotazone. Ovvamente ne rsulta una rotazone angolo α β, come s può verfcare esegueno l prootto elle matrc, e l orne con cu le ue rotazon vengono esegute è rrlevante.

8 3.3 Inquaramento n un sstema rfermento esterno La proceura vene llustrata con un esempo (fg.7. S supponga che all orgne P un sstema ass locale sa possble collmare ue punt P e P le cu coornate n un sstema ass esterno XY sano note, e msurare le stanze e. Allora è ntersezone ue crconferenze, una con centro n P e raggo, l altra P con centro n P e raggo. Le ntersezon elle crconferenze sono (escluso l caso tangenza, che s verfca quano 3 punt sono allneat, e possono essere etermnate rsolveno un sstema equazon secono grao; fra queste soluzon, quella cercata può essere scelta semplcemente osservano a quale parte el segmento che congunge P con P s trova P. S supponga noltre che a sa collmable un punto Q sull asse el sstema locale. Allora, P msurano a esempo l angolo P P Q s può etermnare la rezone ell asse rspetto alla rezone P P, che è nota rspetto agl ass XY. Le msure necessare per questo procemento sono 3, n corrsponenza con 3 parametr a etermnare. fg.7 nquaramento n un sstema rfermento esterno In generale, note le coornate ue punt rspetto a un sstema ass pano, sono note sa le stanze e ue punt all orgne, sa l nclnazone ella loro congungente rspetto agl ass; è qun possble etermnare sa la poszone ell orgne, sa la rezone egl ass. D altra parte, se sono note le coornate ue punt rspetto a ue vers sstem ass, è possble etermnare la trasformazone fra ue sstem. Anz, n questo caso l nformazone è ronante, ato che, utlzzano l espressone (3., s possono scrvere 4 equazon, e parametr a etermnare sono 3. Peraltro, le coornate note sono soggette a una conzone compatbltà, ato che la stanza fra ue punt è nvarante rspetto alla trasformazone.

9 4. Esemp ret elementar Vengono qu llustrat alcun schem ret topografche partcolarmente semplc. In alcun cas è possble segure semplc mpostazon e calcol, che erano partcolarmente utl quano calcol venvano esegut manualmente o con strument rumental, e che non seguono necessaramente lo schema esamnato n preceenza scrttura un sstema equazon osservazone relatve a cascuna elle msure esegute. Questo non esclue che lo schema generale possa essere usato n ogn caso, n partcolare quano vengono aottate proceure automatzzate, cosa che a temp attual avvene quas sempre. 4. Polgonale (fg.8-9 In una polgonale vertc vengono occupat n sequenza allo strumento; a cascun vertce evono essere collmabl quello preceente e quello successvo. Da cascun vertce s msura la stanza al vertce successvo e l angolo fra le rezon collmazone el vertce preceente e quello successvo, con l eccezone el prmo vertce, a cu s msura, oltre alla stanza al secono, l azmut ella rezone collmazone el secono vertce n un sstema rfermento efnto localmente con la proceura escrtta n 3.. Il metoo llustrato n 3. consente po, per cascuna elle altre stazon, calcolare l azmut ella rezone collmazone el vertce successvo. Con rfermento alla fg.8, le coornate e vertc vengono calcolate con la formula rcorsva snα cosα (4. Le coornate el vertce nzale s suppongono note (e concorrono alla efnzone el sstema rfermento. S può, per esempo, ecere che l prmo punto stazone, P, è l orgne el sstema coornate locale, e qun le sue coornate sono (,. S supponga po che, collmano a P l punto P, la lettura ella rezone azmutale sa α. Se s nsersce questo valore nel calcolo elle coornate, vuol re che s è mplctamente scelto orentare l asse (e conseguenza anche l asse come n fg.8. Se è la stanza orzzontale fra e P, n questo sstema ass le coornate snα cosα P sono P Faceno po stazone n P, s collmano P e l nuovo punto P e s msura l angolo azmutale ϑ fra queste rezon collmazone. Come s è vsto nella sezone 3., l angolo rezone P P (ve sez.. rspetto al sstema ass fssato è α α π ϑ. Qun le coornate P sono snα snα cosα cosα P P ove è la stanza orzzontale msurata fra e. In moo analogo s procee per punt successv. Come s vee, l numero elle msure esegute è uguale al numero elle coornate a etermnare. Non c è qun ronanza, e gl error s accumulano propaganos a un vertce al successvo (fg.: nfatt, come s vee alla formula (4., agl error sulle coornate un vertce contrbuscono sa gl error elle nuove msure esegute, sa gl error sulle coornate el vertce preceente.

10 fg.8 polgonale aperta fg.9 polgonale chusa Per avere ronanza, e qun controllo sull enttà egl error, è opportuno sceglere come ultmo vertce un punto coornate note. Se s lavora n un sstema rfermento locale, solto s scegle chuere la polgonale faceno concere l ultmo vertce con quello partenza (fg.9. In questo caso, la fferenza fra le coornate fssate per l vertce nzale e quelle calcolate per lo stesso punto lungo la polgonale à una msura ell errore complessvo, che naturalmente eve essere rpartto fra var vertc con una proceura compensazone. S osserv noltre che n un polgono pano n lat la somma egl angol ntern è ( n π. Se qun, faceno stazone nell ultmo vertce, s msura anche l angolo fra le rezon collmazone el penultmo e el secono vertce, s ha un ulterore ronanza, che permette valutare l errore complessvo nelle msure egl angol. fg. propagazone egl error n una polgonale aperta Può accaere che la polgonale venga rettamente nserta n un sstema rfermento preesstente. A esempo, opo avere rlevato una polgonale chusa, per cu è stato efnto un sstema rfermento locale, è possble rlevare un ulterore polgonale avente come punt partenza e arrvo vertc P, ella polgonale preceentemente msurata (fg.. In questo caso, oltre alle coornate P l angolo azmutale fra P, P, sono note anche le rezon e lat P P e P P. Msurano P P e l prmo lato ella nuova polgonale, s etermna l angolo

11 rezone el prmo lato; se, opo avere eseguto tutte le msure per la nuova polgonale, s msura anche l angolo azmutale fra l suo ultmo lato e P P, s ha una nuova etermnazone quest ultma rezone, che era gà nota, e s ha qun un ulterore ronanza, che s aggunge a quella ovuta alle coornate note P. P P fg. la polgonale P ha come estrem vertc ella polgonale P. La polgonale vene n generale utlzzata per etermnare n uno stesso sstema rfermento una sequenza vertc n cu è possble fare stazone, e che possono qun essere utlzzat per rlev ettaglo su punt naccessbl o n ogn caso non occupabl a stazone (a esempo, punt sulla faccata un efco, cme campanl, punt vsbl al là un corso acqua nvalcable (fg.. fg. rlevo un efco a vertc una polgonale 4. Intersezone n avant (fg.3-4 Faceno stazone n ue o pù punt not, vene collmato uno stesso punto cu s voglono etermnare le coornate, e vengono esegute soltanto msure angolar.

12 fg.3 ntersezone n avant nel rlevo un efco (nello spazo 3D A esempo, se e P sono ue punt stazone not e P è l punto ncognto collmato (fg.4, s msurano gl angol con vertc n e n el trangolo PP P ; qun, esseno fssata la base semplce. P P P P P, anche la poszone el punto P è unvocamente etermnata (ntersezone Per semplctà calcolo, s supponga che sa nell orgne elle coornate e P sul semasse P α e postvo, a stanza a P ; sano (, le coornate P, P e n P. Allora, alle equazon α gl angol con vertc n tanα ( tanα (4. s ottene tanα tanα tanα tanα tanα tanα tanα (4.3 Se punt stazone a cu s collma P sono pù ue (ntersezone multpla, e s msurano gl angol alla base e vers trangol PP P, s ha ronanza elle msure e s possono esegure compensazon (fg.5.

13 fg.4 ntersezone semplce n avant (pana NOTA In una ntersezone semplce nello spazo 3-mensonale, posto l asse z una terna ass cartesan lungo la rezone ella vertcale, la msura egl angol azmutal consente etermnare la proezone P sul pano. Per etermnarne la quota, ossa la coornata z, è suffcente msurare l angolo zentale a una sola stazone. Se l s msura entramb, s ha ronanza. 4.3 Intersezone nversa (fg.6 Faceno stazone n un punto P ncognto, se sono collmabl almeno 3 punt P coornate note, esegueno solamente msure angolar è possble etermnare le coornate P. A esempo, s supponga collmare punt PP, P PP3 P, P, P3 P, P, P3 P P P P3 α P α. Date le poszon e punt, fssato l angolo e msurare gl angol α, l punto P è vncolato a stare su una etermnata crconferenza passante per e ; fssato l angolo α, l punto P è vncolato a stare su una etermnata crconferenza passante per e. Le ue crconferenze s ncontrano n P e n P, che, conseguenza, è unvocamente etermnato. Se punt collmat sono n numero superore a 3, s ha ronanza. fg.5 schema ntersezone multpla n avant fg.6 ntersezone multpla nversa

14 Questa proceura vene spesso ncata con la frase fare l punto con un gro orzzonte. I punt not sono n generale vertc ret etermnate agl ent geografc uffcal, catalogat e escrtt a monografe, n moo che possano essere faclmente nvuat. L utlzzazone quest punt consente, n una campagna msure topografche, nserre la propra rete n un sstema rfermento esterno. P 3 α C P (, α α P α C P 3 4 Fg.7 esempo ntersezone nversa A ttolo esempo, con rfermento alla fg.7, s supponga fare stazone nel punto P, collmare punt P, P, P3 coornate note e msurare gl angol α,α con vertce n P. Con quest at la poszone P rsulta fssata e le coornate possono essere calcolate. Infatt P è uno e punt ntersezone (l altro è P crconferenze γ e γ, la prma passante per punt, P P, la secona passante per punt P, P P. Entrambe le crconferenze sono unvocamente P,, 3 etermnate. Il centro γ sta sulla perpencolare al segmento P P passante per l punto meo P P ; analogamente l centro γ sta sulla perpencolare al segmento P P 3 passante per l punto meo P P. 3 Il calcolo vene eseguto per un esempo partcolare: P,3, P (,, P (4,. In questo ( 3 C γ è ella forma caso l centro C γ è ella forma (a,3/, l centro (, b, con a e b per l momento ncognt. D conseguenza le equazon elle crconferenze sono: γ : ( a γ : ( ( 3/ ( b a 4 b 9 / 4 ovvero ovvero a 3 4 b

15 a 4 Per fferenza s ottene ( a 4 (3 b, ovvero. Sosttueno nella prma b 3 a 4 a 4 equazone s ottene a 3, che ha soluzon:, b 3 b 3 a 4 a 3 corrsponente al punto P, e b 3 a 4. vene po rcavata a. a 4 b 3 b 3 I valor a e b sono po n relazone semplce con gl angol msurat α,α. Infatt, per un noto teorema geometra euclea (l angolo alla crconferenza è la metà el corrsponente angolo al centro, gl angol α e α con vertc rspettvamente n C e C sono rspettvamente ugual agl 3/ angol α e α con vertce n P. Qun tanα, tanα. A esempo, se a b α 55, α 95, rsulta a.5, b.75 ;.876,. 63. L ntersezone nversa può essere utlzzata n alternatva alla proceura llustrata nella sez.3.3 per l nquaramento una rete locale n un sstema rfermento esterno.