Lezione 11: Solidi, superfici e proiezioni. Le proiezioni. Le proiezioni. Le proiezioni. Le proiezioni. Le proiezioni

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Orsola Castelli
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1 Le proiezioni Lezione 11: Solidi, superfici e proiezioni Lo schermo del calcolatore e' in grado di visualizzare immagini bidimensionali. In grafica 3D si modellano oggetti in tre dimensioni. Le proiezioni sono un meccanismo con cui costruire una vista bidimensionale di un mondo tridimensionale. Le proiezioni Ogni proiezione e' caratterizzata da un insieme di raggi di proiezione e da un piano di proiezione. La visione 2D del mondo 3D corrisponde all'intersezione dei raggi di proiezione con il piano di proiezione. Le proiezioni Esistono due classi principali di proiezioni: Proiezioni parallele Proiezioni prospettiche Le proiezioni Le proiezioni Nelle proiezioni parallele i raggi di proiezione sono tutti paralleli tra di loro. Nelle proiezioni prospettiche i raggi di proiezione non sono paralleli, ma passano tutti per uno o piu' punti.

Le proiezioni Le proiezioni Le proiezioni parallele si dividono a loro volta in due sottoclassi: Ortografiche Oblique Nelle proiezioni ortografiche i raggi di proiezione sono perpendicolari al piano

2 Le proiezioni Le proiezioni Le proiezioni parallele si dividono a loro volta in due sottoclassi: Ortografiche Oblique Nelle proiezioni ortografiche i raggi di proiezione sono perpendicolari al piano di proiezione. Le proiezioni Le proiezioni ortografiche Le proiezioni ortografiche piu' importanti sono le proiezioni ortogonali. Nelle proiezioni oblique i raggi di proiezione sono inclinati rispetto al piano di proiezione. In questo caso i raggi di proiezione sono perpendicolari alle superfici pricipali dell'oggetto. Le proiezioni ortografiche Le proiezioni ortografiche Esistono 6 tipi diversi di proiezione ortogonale, ma normalmente ne vengono utilizzati solamente 3: Prospetto Profilo Pianta Il prospetto mostra l'oggetto visto "da sinistra".

3 Le proiezioni ortografiche Le proiezioni ortografiche La pianta visualizza invece una visione "dall'alto" dell'oggetto stesso. Il profilo corrisponde ad una visione "frontale" dell'oggetto. Le proiezioni ortografiche Le proiezioni ortografiche L'assonometria isometrica e' una proiezione ortografica in cui i raggi non sono perpendicolari alle direzioni principali dell'oggetto raffigurato. Normalmente le tre proiezioni ortogonali vengono rappresentatte contemporaneamente in modo da dare una visione globale dell'oggetto. Questo tipo di rappresentazione e' in grado di visualizzare tutte le facce di un oggetto contemporaneamente. Le proiezioni ortografiche Le proiezioni oblique In assonometria isometrica i tre assi formano un angolo di 120 gradi l'uno con l'altro. La proiezione obliqua piu' importante e' detta assonometria cavaliera.

4 Le proiezioni oblique Le proiezioni oblique In questo caso gli assi x e y vengono rappresentati come nella proiezione ortogonale frontale. L'asse z viene raffigurato lungo una retta a 45 gradi. Le lunghezze lungo l'asse z vengono dimezzate. Le proiezioni prospettiche Le proiezioni prospettiche Le proiezioni prospettiche sono caratterizzate dal numero di punti da cui partono i raggi di proiezione: Frontale Accidentale Razionale Nelle visioni frontali esiste un solo centro di proiezione. Le proiezioni prospettiche Le proiezioni prospettiche Le visioni accidentali hanno due centri di proiezione. Tre centri di proiezione contraddistinguono le proiezioni razionali.

I programmi permettono di inserire numerosi oggetti con cui costruire le scene.

Questi oggetti si basano su astrazioni matematiche di forme reali che chiameremo solidi.

sono classificabili come 2-manifold le figure in cui, attorno ad un punto, giacciano

5 I programmi permettono di inserire numerosi oggetti con cui costruire le scene. La classe piu' semplice di oggetti solidi che considereremo e' quella dei 2-manifolds. Questi oggetti si basano su astrazioni matematiche di forme reali che chiameremo solidi. In un 2-manifold, ogni piccolo cerchio attorno ad un qualsiasi punto giace su un unico piano. In un 2-manifold tutto cio' che sta introno ad ogni suo punto giace su un solo piano. Non sono classificabili come 2-manifold le figure in cui, attorno ad un punto, giacciano piu' piani. Un poliedro semplice e' un 2-manifold in cui non vi siano "buchi" o "sporgenze". Una faccia di un poliedro e' una porzione di piano che ne delimita la superfice.

6 Un spigolo corrisponde all'intersezione di due facce distinte. Un vertice e' situato nell'intersezione di tre facce distinte. Ogni spigolo e' delimitato da esattamente due vertici. Ogni faccia e' delimitata da 3 o piu' spigoli. Esiste una relazione in un poliedro semplice tra il numero di vertici, gli spigoli e le facce, detta formula di Eulero. Chiamati V il numero di vertici, E il numero di spigoli ed F il numero di facce... V + F = E + 2. V = 8 F = 6 E= 12 La formula puo' essere anche estesa a poliedri con buchi, sporgenze e parti separate. Chiamati H il numero di buchi nelle facce, G il numero di "gallerie" che attraversano il solido e C il numero di componenti separate...

V = 24 F = 15 E= 36 C =1 H = 3 G = 1 Ogni solido inserito in un programma di grafica 3D viene memorizzato come un insieme di triangoli. Un insieme di triangoli adiacenti prende il nome di Mesh.

7 V = 24 F = 15 E= 36 C =1 H = 3 G = 1 Ogni solido inserito in un programma di grafica 3D viene memorizzato come un insieme di triangoli. Un insieme di triangoli adiacenti prende il nome di Mesh. V + F = E + H + 2(C - G). In geometria e' noto che per tre punti non allineati passa un solo piano. Tre punti non allineati delimitano un triangolo. Qualsiasi poligono formato da un numero superiore di punti, potrebbe non giacere su un unico piano. Ogni poligono viene suddiviso e memorizzato come un insieme di triangoli, in quanto questi ultimi garantiscono la planarita' della figura da essi rappresentata.

Il processo di suddivisione di un poligono in triangoli viene chiamato triangolazione. Ogni solido viene memorizzato attraverso i poligoni che delimitano le sue facce.

Per creare ed inserire in un programma di grafica nuovi oggetti soliti, occorre definirli attraverso mesh.

8 Il processo di suddivisione di un poligono in triangoli viene chiamato triangolazione. Ogni solido viene memorizzato attraverso i poligoni che delimitano le sue facce e quindi in ultima analisi come un insieme di triangoli adiacenti. Per creare ed inserire in un programma di grafica nuovi oggetti soliti, occorre definirli attraverso mesh. Le superfici Le superfici Cio' che viene effettivamente rappresentato sullo schermo da un programma di grafica e' la superficie di un oggetto. Tutta la "materia" contenuta "all'interno" dell'oggetto puo' essere ignorata in quanto mascherata dalla superifce stessa. Una superficie piana e' una superificie i cui punti appaertengono tutti ad uno stesso piano.

9 Le superfici Le superfici Una superficie curva e' invece una superificie che presenta delle concavita' e delle convessita'. Per ogni punto di una superficie curva esiste un unico piano tangente. Le superfici Le superfici Il piano tangente viene generalmente identificato con un segmento perpendicolare al piano stesso. Questo segmento viene rappresentato da un vettore chiamato normale alla superfice. Le superfici Le superfici In ogni punto di una qualsiasi superficie (piana o curva che sia) e' definito un vettore normale che identifica "la direzione" del piano tangente alla superficie in quel punto. Questa informazione viene utilizzata per determinare il colore che assumono i vari punti di una superficie in funzione delle sorgenti di luce presenti.

I programmi di grafica 3D mettono a disposizione un

sulla scena e configurati in termini di dimensioni e

Il solido piu' semplice e' il parallelepipedo.

"faccie quadrate"...... e quella a "faccie triangolari".

10 I programmi di grafica 3D mettono a disposizione un gran numero di solidi da cui partire per creare i modelli. Questi oggetti possono essere inseriti direttamente sulla scena e configurati in termini di dimensioni e parametri vari. Il solido piu' semplice e' il parallelepipedo. La sfera e' disponibile in due formati: quella a "faccie quadrate" e quella a "faccie triangolari". Il cilindro e' l'equivalente del parallelepipedo a base circolare. Il cono a base circolare. In molti programmi lo stesso strumento consente anche di inserire tronchi di cono.

Il toro invece corrisponde all'incirca al

Privitive 3D estese Privitive 3D estese La

11 La piramide a base rettangolare. Il tubo corrisponde ad un cilindro bucato. Il toro invece corrisponde all'incirca al disegno di una ciambella. La teiera e' invece inserita per motivi storici, in quanto e' stata da sempre utilizzata per testare il rendering dei programmi. Privitive 3D estese Privitive 3D estese La primitiva poliedri permette di inserire poliedri complessi quali l'ottaedro e l'isocaedro. Il cilindro ed il parallelepidedo rifilato inseriscono le rispettive figure con gli spigoli smussati.

Privitive 3D estese Privitive 3D estese Il nodo toroidale inserisce una

Il fuso, il serbatoio e la capsula corrispondono a cilindri con

Privitive 3D estese Privitive 3D estese Il poligono Gen ed il prisma,

L'estrusione ad L e l'estrusione a C creano giunti a forma di L e di C.

primitive per disegnare segmenti curvi, in grafica 3D sono presenti

12 Privitive 3D estese Privitive 3D estese Il nodo toroidale inserisce una figura annodata, utile per studiare illuminazioni complesse. Il fuso, il serbatoio e la capsula corrispondono a cilindri con differenti tipi di estremita'. Privitive 3D estese Privitive 3D estese Il poligono Gen ed il prisma, corrispondono a prismi con differenti tipi di base. L'estrusione ad L e l'estrusione a C creano giunti a forma di L e di C. Privitive 3D estese Superfici curve Cosi' come in grafica 2D esistono primitive per disegnare segmenti curvi, in grafica 3D sono presenti primitive per modellare superfici curve. Queste superfici sono l'estensione delle curve di Bezier ed Hermite al caso 3D. Il tubo flessibile costruisce un soffietto a fisarmonica.

Superfici curve Superfici curve Le superfici di Hermite uniscono 4 punti nello spazio...... per ogni punto viene specificata la normale alla superficie in quel punto.

Esistono due modi distinti di utilzzare questi punti: come punti interpolati o come punti di controllo.

13 Superfici curve Superfici curve Le superfici di Hermite uniscono 4 punti nello spazio per ogni punto viene specificata la normale alla superficie in quel punto... Superfici curve Superfici curve Piu' utilizzate sono le NURBS (Non Uniform Rational B-Spline). Esse vengono definite mediante 16 punti.... ed un fattore di torsione. Esistono due modi distinti di utilzzare questi punti: come punti interpolati o come punti di controllo. Superfici curve Superfici curve Nel caso di punti interpolati, la superficie definita passa per tutti i 16 punti inseriti. Una NURBS con punti di controllo e' invece l'analogo di una curva di Bezier in tre dimensioni: la superficie non tocca i punti ma giace nel guscio convesso da essi determinato.

14 Superfici curve I programmi di grafica hanno numerosi strumenti per definire e modificare NURBS e superfici di Hermite.

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