NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del x 1.
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- Giustina Caselli
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1 NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico della funzione y = f, quali sono i grafici di f +, f +, f?
2 3 Trovare parte reale e parte immaginaria di 5 i4 3 i. 4 Calcolare il limite log cos lim 0 log cos3. 5 Consideriamo la funzione f = e 3. a Determinare il dominio massimale di f. b Trovare tutti gli asintoti di f. c Trovare tutti i massimi e minimi locali di f. d Tracciare un grafico qualitativo per f.
3 Soluzioni: : Anzitutto i denominatori non possono anullarsi, cioè. Assumendo ora che, i denominatori sono strettamente positivi, perciò possiamo moltiplicare la nostra disequazione con il loro prodotto +, ottenendo = > + = =, } {{ } = + cioè <. Concludiamo che R soddisfa la diseguaglianza esattamente quando,. : I grafici richiesti sono : + > y y = f + 3
4 y y = f + y y = f 3 : Per calcolare la potenza i 4 ci conviene scrivere i in forma trigonometrica ed usare la formula di De Moivre : i = i cosϕ + i sin ϕ ove il modulo i è uguale a + = e l argomento ϕ soddisfa cos ϕ = i =, sin ϕ = i =. Risulta che possiamo scegliere ϕ = π 4 e così i = cos π + i sin π 4 4, 4
5 i 4 4 = cos 4π + i sin 4π 4 4 = 7 cos 7π + i sin 7π = 7 cos 4π + π + i sin 4π + π = 7 cos π + i sin π = 7 i. Di conseguenza parte reale e parte immaginaria di 5 i4 3 i = 5 7 i 3 i sono 4 rispettivamente. = 40i3 + i 3 i3 + i 4 : Il limite si presenta nella forma indeterminata 0 0 applicare la regola di De L Hospital : log cos lim 0+ log cos3 = lim 0+ = i 3 + = 4 + i log cos log cos3. e quindi possiamo Poiché log cos = cos sin = sin cos e, similmente, log cos3 = cos3 sin3 3 = 3 sin3 cos3, otteniamo log cos sin lim 0+ log cos3 = lim 0+ cos = 4 sin 9 lim 0+ = 4 9. cos3 3 sin3 3 sin3 cos3 cos 5
6 5 : a Il dominio di f consiste da tutti i numeri reali per quali ha senso, cioè = 0. Se 0, allora si trova nel dominio, ma per > 0 dobbiamo avere anche 0. Cosiche il dominio fi f è, 0 ] [, +. b Chiaramente, f non ha asintoto verticale. La prima condizione per l esistenza di un asintoto obliquo per + è l esistenza del limite finito f m + = lim +. Verifichiamo che questo non accade : m + = lim + e3 = lim + e3 } {{ } = + lim + } {{ } = = +. Di conseguenza f non ha asintoto obliquo per + in particolare, non ha asintoto orizzontale per +. D altro canto : esiste f m = lim = lim e3 poi esiste n = lim f m = lim y= = lim y + Di conseguenza y + y e 3y = 0 <0 = lim e3 = 0 ; e 3 0 y = 0 è un asintoto obliquo perfino orizzontale di f per. L asintoto orizzontale y = 0 per è l unico asintoto di f.
7 c Per trovare gli intervalli di monotonia e gli etremi locali di f, dobbiamo prima calcolare la sua derivata : f = 3e 3 + e 3 = e 3 + = e 3 4. I zeri del trinomio 4 sono ± 0, tra i quali il segno del trinomio è, mentre fuori è +. Poiché 0 < + 0 < non si trova nel dominio di f, f si annulla solo nel punto avendo e 0 segno + nei tratti 0, 937,, 0 e, +, 0 segno nel tratto, 0. Nel punto di frontiera 0 del dominio f ha derivata sinistra infinita : f e 3 0 = lim 0 <0 = lim 0 0 e3 = lim 0 e3 } {{ } = lim 0 } {{ } = + =. D altro canto, nel punto di frontiera del dominio f la derivata destra è infinita : f + e 3 = lim 0 >0 = lim + + e3 lim = } {{ } = e 3 } {{ } = +
8 Calcoliamo anche il valore di f nel punto critico 0 : 0 0 f = e 0 0 = + e 0 0, 7. Riportiamo il comportamento di f e di f nella seguente tabella : f f 0 ր 0,7 ց 0 non def. 0 ր + In particolare, 0 è punto di massimo locale per f. d Usando le informazioni di cui sopra, è facile tracciare il grafico di f : y = 0 è asintoto orizzontale di f per. Il grafico di f sale da 0 in fino al punto 0 0, f 0, 9, 0, 7, dove ha tangente orizzontale, poi scende a 0, 0, avendo in questo punto tangente verticale. Tra 0 e la funzione f non è definita. Il grafico ricomincia da, 0 e sale all infinito, avendo in, 0 tangente verticale. Commenti sui punti di flesso di f. Volendo trovare i punti di flesso di f, dobbiamo calcolare la seconda 8
9 derivata di f : f = 3e e 3 4 ove + e = e P, 4 P = 4 4 = Ora i punti di flesso di f sono i zeri di f nei quali f cambia segno, cioè i punti nei quali f cambia il tipo di convessità convessità in concavità o viceversa. Per il calcolo qui sopra, questi punti sono i zeri del polinomio P nei quali P cambia segno. Per le soluzioni di una equazione algebrica di quarto grado non c è una formula ragionevole per dire la verità, esiste una formula, ma è troppo complicata e non è pratica!. Perciò useremo metodi di Analisi per studiare i zeri di P. I zeri del polinomio P = Calcoliamo le prime due derivate di P : P = = 3 +, P = 3 = 3. Chiaramente, i zeri di P sono 0, 3 ed il segno di P è tra questi zeri e + fuori. Concludiamo per P : P P ր ց 8 3 ր + 9
10 ed il teorema dei valori intermedi implica l esistenza di tre zeri b, b, b 3 di P, uno minore di 0, il secondo tra 0 e, ed il terzo 3 maggiore di 3 : < b < 0 < b < 3 < b 3 < +. Dalla tabella precedente deduciamo anche che P ha segno nei tratti, b, b, b 3, e segno + nei tratti b, b, b 3, +. In particolare, poiché P = 3 + > 0 per, dobbiamo avere b 3 < e quindi < b < 0 < b < 3 < b 3 <. Risulta che b è un punto di minimo locale per P, b un punto di massimo locale, e b 3 di nuovo un punto di minimo locale : b 0 b 3 b 3 + P P + ց min ր ma ց min ր + Ora tocca a trovare i segni di Pb, Pb, Pb 3 per vedere se P scende in b sotto 0, sale in b sopra 0 e scende in b 3 di nuovo sotto 0 o no. Ma dalla tabella di cui sopra si legge che è veramente così : Pb < P0 = < 0, Pb P = 5 4 > 0 non importa se b o b, Pb 3 < P = < 0. 0
11 Perciò il teorema dei valori intermedi implica l esistenza di quattro zeri a, a, a 3, a 4 di P soddisfacenti a < b < a < b < a 3 < b 3 < a 4. Per di più, P ha segno + su e segno su, a, a, a 3, a 4, + a, a, a 3, a 4. In particolare P = < 0 implica che < a 4. D altro canto abbiamo a 3 < b 3 <, perciò separa a 3 e a 4. Similmente, P0 = < 0 implica che 0 appartiene o a a, a o a a 3, a 4 e, poiché a 3 > b > 0, risulta che 0 a, a. In altre parole 0 separa a e a. Finalmente, P0, 5 =, 5 > 0 implica che 0, 5 si trova in uno degli intervalli, a, a, a 3, a 4, + e, poiché a < 0 < 0, 5 e 0, 5 < < a 4, risulta che 0, 5 appartiene a a, a 3, cioè separa a e a 3. In conclusione a < 0 < a < 0, 5 < a 3 < < a 4 e così diventa facile decidere la posizione di un numero reale rispetto ai zeri a, a, a 3, a 4 del polinomio P :, a per 0, se P > 0, allora a, a 3 per 0, a 4, + per, { a, a per 0, 5, se P < 0, allora a 3, a 4 per 0, 5. Per esempio, abbiamo P 0, 5 =, 5 > 0, 0, 5 < 0 = 0, 5 < a, P 0, 4 =, 804 < 0, 0, 4 < 0, 5 = 0, 4 > a,
12 P0, = 0, 55 > 0, 0 < 0, < = 0, > a, P0, = 0, 50 > 0, 0 < 0, < = 0, < a 3, P0, 7 = 0, 404 < 0, 0, 7 > 0, 5 = 0, 7 > a 3, P, =, 09 > 0,, > =, > a 4 e quindi valgono le stime Ora, dato che 0, 5 < a < 0, 4, 0 < a < 0,, 0, < a 3 < 0, 7, < a 4 <,. f = e P e 0, a, a 3 è disgiunto al dominio di f, possiamo completare la tabella?? con informazioni anche sulle proprietà di convessità di f : a 0 0 a 4 + f f f 0 ր 0,7 ց 0 non def. 0 ր + Risulta che f è convesso su, a ] e su [, a 4 ], e concavo su [a, 0] e su [a 4, +, avendo così punti di flesso in a = 0, 4... e in a 4 =,.... Il grafico di f :
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