TRIGONOMETRIA formule goniometriche, parte 2

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Anna Maria Cuomo
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1 TRIGONOMETRIA formule goniometriche, parte SAPER FARE:. Conoscendo le funzioni dell'angolo x, trovare il valore delle funzioni goniometriche dell'angolo somma/differenza tra x ed un qualsiasi angolo y, dell'angolo doppio x e dell'angolo x/. semplificare espressioni contenenti formule goniometriche. Verificare identità contenenti formule goniometriche Siano dati due angoli x e y. Valgono le seguenti formule: FORMULE DI ADDIZIONE: a) sin(x + y) sin x cos y + sin y b) cos(x + y) cos y sin x sin y c) tan(x + y) tan x + tan y tan x tan y FORMULE DI SOTTRAZIONE: a) sin(x y) sin x cos y sin y b) cos(x y) cos y + sin x sin y c) tan(x y) tan x tan y + tan x tan y Sia dato un angolo x. Valgono le seguenti formule: FORMULE DI DUPLICAZIONE: a) sin x sin x b) cos x sin x cos x sin x c) tan x tan x tan x FORMULE DI BISEZIONE: a) sin x/ ± + b) / ± c) tan x/ sin x + Il segno ± dipende, come al solito, dai quadranti di appartenenza. Calcolo di funzioni ES. Dati due angoli x e y del primo quadrante di cui si conosce e sin y, calcolare il valore di cos(x + y) e di sin(x + y) Per risolvere questi esercizi, è sempre necessario determinare le altre funzioni degli angoli, cioè, nel nostro caso, sin x e cos y. Si ha: sin x + 4 /, cos y + 4/9

2 A questo punto possiamo applicare le due formule di addizione: cos(x + y) cos y sin x sin y 4 4 sin(x + y) sin x cos y sin y 4 4 Es. Usando le formule goniometriche, sapendo che sin α /, con α nel primo quadrante, calcola:. cos α. sin(α + 0). tan(4 α) 4. sin α/ Preventivamente, ci procuriamo il valore di cos α e di tan α: cos α sin α 4/9 /, tan α / / /. cos α cos α sin α /9 4/9 9. sin(α + 0) sin α cos 0 + cos α sin 0 sin α tan 4 tan α. tan(4 α) + tan 4 tan α tan α + tan α... cos α 4. sin α/ cos α / / + / / + 6 ES.Usando le formule goniometriche, sapendo che cos α /, con α nel secondo quadrante, calcola:. sin α. sin(α 60). tan(4 + α) 4. cos α/ Preventivamente, ci procuriamo il valore di sin α e di tan α: sin α cos α /9 8/, tan α / / ( ). sin α sin α cos α ( /).... sin(α 60) sin α cos 60 cos α sin 60 sin α cos α / / / ( /) + 6 tan 4 + tan α. tan(4 + α) tan 4 tan α + tan α tan α... + cos α 4. sin α/ +...

3 Espressioni ES. Semplica il più possibile le seguenti espressioni:. sin (x + 0) cos (x 60) sin x cos 0+ sin 0 ( cos 60+sin x sin 60) ( sin x+ ) + sin x sin x + sin x sin x. sin(40 x) + cos(x 0) sin 40 cos 40 sin x+ cos 0+sin x sin 0 ( ) sin x + sin x 0. sin x + tan x sin x + cos sin x sin x cos sin x Si noti che per la duplicazione del coseno è stata usata la formula cos x per la presenza dell'addendo +, così da semplicarlo. La nostra uguaglianza continua con: sin x cos sin x sin x sin x 0 4. tan(x/) cos (x/) csc x sin x + + sin x. sin(7/4π + x) + cos(/4π x) sin(7/4π) + cos(7/4π) sin x + cos(/4π) + sin(/4π) sin x sin(π π/4) + cos(π π/4) sin x + cos(π π/4) + sin(π π/4) sin x sin(π/4) +cos(π/4) sin x cos(π/4) +sin(π/4) sin x + sin x + sin x 6. sin (x + π/6) + cos(x 4/π) sin x (sin x ) (sin x cos π/6 + sin π/6) + [cos(4/π) + sin x sin(4/π)] sin x ( ) sin x + + (cos(π + π/) + sin x sin(π + π/)) sin x 7. 4 sin x sin x + ( cos(π/) sin x sin(π/)) sin x 4 sin x+ 4 + sin x sin x sin x 4 sin x 4 4 cos(x + π/4) sin(x π/4) + cos (π/ x) cos π/4 sin x sin π/4 sin x cos π/4 sin π/4 +sin x sin x sin x sin x + sin x ( sin x) cos x ( ) sin x sin x +sin x

4 8. ( + sin x) sin x + cos x + sin x + sin x sin x + cos x + cos x cos x 9. cos(x + π/) sin(x + π/6) 0. cot x sin x cos π/ sin x sin π/ (sin x cos π/6 + sin π/6) sin x sin x sin x sin x cos x sin x tan x tan x sin x cos x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x Identità goniometriche sin x sin x sin x tan x Un'identità goniometrica è una uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di un certo angolo α, vericata per ogni qualsiasi valore attribuito all'angolo. Ad esempio: sin α cos α + 4 sin α perchè, se cos α sin α allora sin α ( sin α) + sin α + sin α + 4 sin α Per vericare un'identità, si possono adottare le seguenti tecniche, tenendo ben presenti le identità fondamentali e le formule goniometriche: si lavora per esempio solo sul primo membro, no a trasformarlo nel secondo o viceversa; si lavora in parallelo sui due membri no a renderli uguali; si porta tutto a primo membro, dimostrando che l'intera espressione è uguale a zero, usando le proprietà delle equazioni L'esperienza e l'attenzione possono indirizzare verso la strada giusta! Vericare le seguenti identità goniometriche:. sin(x y) + sin(x + y) tan x cot y sin y sin x cos y sin y + sin x cos y + sin y sin x cos y sin y sin y. cot(x π/4)(sin x ) + cos(π x) sin x sin x cos y sin x cos y + tan x tan π/4 (sin x ) sin x tan x tan π/4 + tan x (sin x ) sin x tan x + sin x (sin x ) sin x sin x + sin x (sin x ) sin x sin x + sin x sin x sin x sin x

5 . tan x + cot x csc x 4. sin x + sin x sin x sin x + sin x sin x sin x + cos x sin x sin x sin x sin x sin(x + x) + sin x sin x sin x + sin x + sin x 4 sin x cos x sin x cos x + ( cos x ) sin x + sin x 4 sin x sin x cos x + sin x cos x sin x + sin x 4 sin x 4 sin x cos x 4 sin x cos x. sin x sin x cos(π/ + x) 6. sec x + tan x tan(x + π/4) sin x( cos x ) sin x cos x sin x sin x cos s sin x sin x cos sin x sin x sin x + tan x tan x + tan π/4 tan x tan x tan π/4 sin x cos x sin x + cos x sin cos x sin x + + sin x ( + sin x) cos x sin x + sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x + sin x tan x + tan x sin x + sin x + sin x sin x + ( sin x)( + sin x) sin x sin x ( + sin x + sin x ) cos x sin x + sin x sin x 0 0

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