Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

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1 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione individuale e i relativi svolgimenti rientrano nel programma d esame.. Si intende costituire un gruppo di lavoro di cui facciano parte uno studente di laurea triennale, uno studente di laurea magistrale, uno studente di dottorato e un docente. Gli studenti di laurea triennale tra cui scegliere sono 400, quelli di laurea magistrale 200, quelli di dottorato 20 e i docenti 80. In quanti modi è possibile costituire il gruppo di lavoro? 2. Un codice alfanumerico è costituito da tre lettere seguite da tre cifre. Lettere e numeri possono ripetersi. Le lettere sono scelte dall alfabeto inglese (che ne contiene 26; le cifre sono numeri interi compresi tra 0 e 9. Quanti codici diversi si possono generare? 3. Supporre ora che non siano ammesse ripetizioni né di lettere né di cifre. Quanti sono i codici diversi che si possono generare? 4. Quanti numeri telefonici costituiti da 7 cifre si possono generare, se è ammesso che lo 0 sia la prima cifra? Quanti tra questi sono pari? (Considerare lo 0 un numero pari. Quanti numeri di telefono si possono comporre se la prima cifra non può essere 0? E se le cifre non possono ripetersi (ma lo 0 è ammesso come prima cifra? 5. In un gioco a premi, vengono estratti tre diversi numeri interi compresi tra 0 e 9. Può vincere il premio chi ha un numero di telefono che ha come primi tre elementi le tre cifre estratte (non è necessario che le tre cifre compaiano nello stesso ordine di estrazione, ma è necessario che compaiano ai primi tre posti del numero di telefono. Il numero di telefono è costituito da 7 cifre (sono ammesse ripetizioni; è ammesso lo 0 come prima cifra. Quanti sono i potenziali vincitori? (Il gioco prevede che ci sia un solo vincitore: la persona che, avendo un numero di telefono con i requisiti richiesti, chiama per prima il gestore del gioco, subito dopo l annuncio delle tre cifre. In quanti modi diversi il gestore del gioco può estrarre i tre numeri? 6. Ad una gara podistica partecipano 0 atleti. Escludendo ex-aequo, quante sono le possibili classifiche (cioè in quanti diversi ordini di arrivo i 0 atleti possono tagliare il traguardo? Supporre ora che alla gara partecipino 3 atleti professionisti e 7 atleti dilettanti; la gara si svolge contemporaneamente per professionisti e dilettanti, ma saranno stilate graduatorie distinte per le due categorie di atleti. Quante sono ora le possibili classifiche? (La classifica ora è l unione delle due graduatorie. 7. Si devono sistemare 0 libri su uno scaffale; 3 libri sono di narrativa, 5 di marketing e 2 sono fumetti. Si vuole che i libri dello stesso genere siano vicini tra di loro. In quanti modi si possono sistemare i libri? 8. Quanti sono gli anagrammi della parola TRADE? E della parola NUTELLA? E della parola COCACOLA? (Ignorando lo spazio che dovrebbe stare tra COCA e COLA.

2 9. In un torneo di scacchi vi sono 0 concorrenti: 4 russi, 3 statunitensi, 3 italiani. La classifica finale indica solo la nazionalità dei giocatori (e non i loro nomi; una classifica possibile è dunque: RRSSISRRII, dove R sta per russo, S per statunitense e I per italiano. Quanti sono gli esiti possibili? 0. In quanti modi diversi si possono estrarre 5 carte da un mazzo che ne contiene 52? Le carte sono estratte in successione, senza reimmissione, ma non viene considerato l ordine di estrazione (conta solo quali carte sono estratte.. In un gruppo di 20 persone, quante sono le strette di mano se ciascuno dà la mano a tutti gli altri? 2. Si intende costituire un gruppo di lavoro di cui facciano parte cinque studenti e due docenti. Gli studenti disposti a far parte del gruppo di lavoro sono 200, i docenti 2. In quanti modi è possibile costituire il gruppo di lavoro? 3. Quanti comitati composti da 3 donne e 3 uomini si possono formare da un gruppo di 6 donne e 7 uomini? Quanti sono i comitati se 2 uomini che hanno litigato non intendono far parte dello stesso comitato? (Suggerimento: considerare tre gruppi di persone: le donne, gli uomini che non hanno litigato e gli uomini che hanno litigato. Si tratta di scegliere 3 donne tra le 6, uno o nessun uomo tra quelli che hanno litigato, i rimanenti uomini tra quelli che non hanno litigato. 4. L esito di un esperimento è l ordine di arrivo in una corsa di 3 cavalli (A,B,C. Descrivere lo spazio degli stati, Ω (dire, innanzitutto, quante sono le possibili determinazioni; la descrizione di Ω può poi essere fatta elencando tutte le possibili determinazioni oppure descrivendone, in modo compatto, la caratteristica. Considerare ora l evento: E = A è il primo classificato ; descriverlo in termini di sottoinsieme di Ω (bisogna cioè indicare, in modo esteso o in modo compatto, quali tra le possibili determinazioni realizzano E. 5. L esito di un esperimento è dato dalle facce che possono uscire nel lancio di due dadi; un dado è rosso e un dado è blu. Descrivere lo spazio degli stati Ω (possibilmente in modo compatto e comunque calcolando, prima di descriverle, il numero di possibili determinazioni. Descrivere gli eventi: E = la somma delle facce è 9, E 2 = per il dado rosso esce faccia pari, per quello blu dispari. Descrivere quindi la loro unione e la loro intersezione. 6. Si lanciano due dadi. Considerare i due eventi E = la somma delle facce è 9, E 2 = escono una faccia pari e una dispari. Descrivere i due eventi, la loro unione e la loro intersezione. Perché risulta E E 2 = E 2 e E E 2 = E? 7. Il menù di un bar contiene due possibili scelte per il primo piatto (pasta o riso, tre per il secondo (pollo, pesce o insalata, quattro per il dessert (gelato, macedonia, torta di mele, panna cotta. Il barista applica un prezzo speciale a chi sceglierà un menù completo, cioè un piatto per portata. Per il barista, la scelta dei piatti che sarà fatta da un avventore che accetta l offerta è aleatoria. Lo spazio degli stati Ω è dato dall insieme delle possibili scelte, cioè dalle possibili terne costituite dal primo piatto, dal secondo piatto e dal dessert. Da quanti elementi è costituito lo spazio degli stati Ω? Si considerino i seguenti eventi (tutti definiti come sottoinsiemi dello spazio degli stati Ω: A il dessert selezionato è il gelato ; B il primo piatto selezionato è il riso ; C il secondo piatto selezionato è il pollo. Da quanti elementi è costituito ciascuno di questi eventi? Da quanti la loro intersezione? E la loro unione? 2

3 Il barista esprime queste valutazioni: P[A] = 0.30, P[B] = 0.40, P[C] = 0.20, P[A B C] = 0.80, P[A B C] = 0.0. Ha espresso le probabilità in modo coerente? 8. Si ritiene che un dado non sia equilibrato (quindi non si ritiene che, nel lancio del dado, le sei facce possano uscire con la stessa probabilità. Si valuta nel seguente modo la probabilità di alcuni possibili esiti del lancio del dado: P[E ] = 2, con E = {,3,5}; P[E 2 ] = 3, con E 2 = {,6}; P[E 3 ] = 5, con E 3 = {2,4}; P[E 4 ] = 3, con E 4 = {}; P[E 5 ] = 4 5, con E 5 = {,3,5,6}. Dopo aver notato che E 4 = E E 2, E 5 = E 3 e E 5 = E E 2, verificare se le probabilità sono state assegnate in modo coerente (cioè se rispettano le varie proprietà richieste. 9. Due amiche, Ada e Bice, siedono ad un tavolino all aperto di un bar. Vedono passare un uomo i cui abiti sono logori e sporchi di macchie di vernice. Tra Ada e Bice si svolge la seguente conversazione. Ada: E il CEO di un impresa multinazionale. Bice: Sembra poco probabile. Ada: E il CEO di un impresa multinazionale e oggi si è occupato di lavori di ristrutturazione del proprio ufficio. Bice: Ah, ora è più probabile. Ada: Meno probabile, vorrai dire. Ha ragione Ada; perché? (Ovviamente, la giustificazione deve essere data con ragionamento probabilistico. Chiamare A l evento E il CEO di un impresa multinazionale e B l evento E il CEO di un impresa multinazionale e oggi si è occupato di lavori di ristrutturazione del proprio ufficio. Che relazione c è tra i due eventi? E quindi quale relazione deve esserci tra le loro probabilità? 20. Si lanciano tre dadi. Qual è la probabilità che la somma delle facce sia 4? (Assumere che tutte le possibili determinazioni siano equiprobabili. 2. Un urna contiene 6 palline bianche e 5 nere. Se ne estraggono contemporaneamente 3. Qual è la probabilità che una sia bianca e le altre due nere? 22. Una commissione di concorso deve essere formata da cinque persone. Vengono estratti a caso cinque nominativi da un gruppo composto da 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che la commissione sia costituita da 3 uomini e 2 donne? Qual è la probabilità che la commissione sia costituita da 2 uomini e 3 donne? 23. Da un mazzo di carte, preleviamo le 3 carte di cuori. Le 3 carte sono ordinate in modo casuale. Le scopriamo una alla volta. Qual è la probabilità che l asso sia la quarta carta scoperta? 24. Le 52 carte di un mazzo sono ordinate in modo casuale. Le carte vengono scoperte una alla volta. Qual è la probabilità che la quarta carta scoperta sia un asso? E qual è la probabilità che la quarta carta scoperta sia il primo asso scoperto? 25. Si estraggono 5 palline a caso, contemporaneamente, da un urna che ne contiene 90 numerate da a 90 (non conta l ordine di estrazione. E più probabile estrarre la cinquina {,2,3,4,5} oppure la cinquina {0,25,39,73,89}? Se le palline fossero estratte in successione, senza reimmissione, e contasse anche l ordine di estrazione, quale sarebbe la più probabile tra le due sequenze (, 2, 3, 4, 5 e (0, 25, 39, 73, 89? 26. Si estraggono 5 palline a caso, contemporaneamente, da un urna che ne contiene 90 numerate da a 90 (non conta l ordine di estrazione. Un giocatore sceglie 5 numeri. Valutare la probabilità che faccia cinquina (cioè che indovini tutti e 5 i numeri estratti, ambo (cioè che ne indovini solo 2, terno (cioè che ne indovini solo 3, almeno ambo (cioè che ne indovini 2 o 3 o 4 o 5. 3

4 27. Si costituisce un gruppo di lavoro formato da quattro persone scelte a caso tra 400 studenti di laurea triennale, 200 studenti di laurea magistrale, 20 studenti di dottorato e 80 docenti. Qual è la probabilità che sia selezionato un rappresentante di ogni categoria (cioè uno studente di triennale, uno di magistrale, uno di dottorato e un docente? Qual è la probabilità che siano selezionati 2 studenti di laurea triennale e 2 di magistrale? Qual è la probabilità che non sia selezionato alcun docente? 28. L urna A contiene 3 palline rosse e 3 nere, l urna B ne contiene 4 rosse e 6 nere. Si estrae a caso una pallina da ciascuna delle due urne. Qual è la probabilità che abbiano lo stesso colore? Qual è la probabilità che almeno una sia rossa? 29. Scegliamo a caso una lettera della parola OTTANTA e una a caso della parola SCO- PERTA. Qual è la probabilità che le due lettere coincidano? 30. Ad una festa di compleanno partecipano 20 persone (oltre al festeggiato. Qual è la probabilità che almeno uno dei partecipanti abbia il compleanno nello stesso giorno del festeggiato? E qual è la probabilità che almeno uno abbia il compleanno il giorno dopo? Qual è la probabilità che solo uno dei partecipanti abbia data di compleanno uguale a quella del festeggiato? Qual è la probabilità che nessuno dei partecipanti abbia il compleanno in comune? (In tutte le valutazioni, fare riferimento solo ai 20 partecipanti, escludendo sempre il festeggiato. Per l ultima probabilità, è sufficiente indicare l espressione, senza eseguirne il calcolo. 3. Si lancia una moneta due volte. Si considerino i seguenti eventi: E esce testa entrambe le volte, A nel secondo lancio esce testa, B esce testa almeno una volta. Valutare: P[E], P[E A], P[E B]. 32. Un urna contiene 8 palline rosse e 4 palline bianche. Si estraggono, in sequenza e senza reimmissione, due palline. Qual è la probabilità che sia entrambe rosse? 33. Si estraggono, in successione e senza reimmissione, 3 palline da un urna che ne contiene 8 rosse e 4 bianche. Sapendo che sono state estratte 2 palline rosse, qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa? 34. Un assicuratore suddivide gli assicurati RCAuto in due classi: quelli che sono più propensi a realizzare incidenti e quelli che lo sono meno. La propensione a realizzare incidenti è valutata in base al numero di incidenti che ciascun assicurato ha denunciato in passato. Si stima che la probabilità di realizzare incidenti in un anno da un assicurato nella prima classe (quelli più propensi a realizzare incidenti sia 0.40, mentre sia solo 0.20 per gli altri. Il 30% degli assicurati è nella prima classe, e il rimanente 70% nella seconda classe. Qual è la probabilità che un nuovo assicurato realizzi incidenti nel primo anno di contratto? (NB: supporre che per questo assicurato l assicuratore non abbia nessuna informazione circa eventuali incidenti realizzati prima di stipulare il contratto in corso. 35. Due giocatori, A e B, dispongono entrambi di 2 euro. Lanciano una moneta; se esce testa (con probabilità 2 B deve dare euro a A; se esce croce, A deve dare euro a B. Il gioco va avanti finché un giocatore non si trova senza soldi. Qual è la probabilità che A vinca il gioco (cioè che si ritrovi con 4 euro? 36. Considerare il gioco precedente, ma supporre che B disponga solo di euro. Qual è la probabilità che A vinca il gioco? 4

5 37. Si dispone di tre carte identiche per forma, ma di diverso colore. Una carta ha entrambe le facce rosse, una le ha entrambe nere, una infine ne ha una rossa e una nera. Confrontando le varie facce delle carte, le facce dello stesso colore sono tra loro identiche. Una persona estrae una carta e la pone su un piano. Qual è la probabilità che la faccia visibile sia rossa? (Suggerimento: chiamare RR l evento entrambe le facce sono rosse, NN l evento entrambe le facce sono nere, RN l evento una faccia è rossa e l altra nera e R l evento la faccia visibile della carta scelta è rossa. Occorre valutare P[R]. 38. La probabilità che una nuova batteria d auto funzioni per più di km è 0.8, la probabilità che funzioni per più di km è 0.4 e la probabilità che funzioni per più di km è 0.. Una nuova batteria d auto funziona ancora dopo km. Qual è la probabilità che funzioni in totale per più di km? E che funzioni ancora per più di km (cioè in totale per più di km? 39. Un amico sceglie a caso due carte da un mazzo di 52. Valutare la probabilità che abbia estratto due assi. Valutare poi la probabilità che abbia estratto due assi, tenendo conto delle seguenti informazioni (una alternativa all altra. L amico ci dice che una delle due carte è l asso di picche. L amico ci dice che come prima carta ha estratto un asso. L amico ci dice che come seconda carta ha estratto un asso. L amico ci dice che almeno una delle due carte è un asso. (NB: lo schema di estrazione delle due carte può essere visto, alternativamente, come uno schema di estrazioni successive delle due carte, senza reimmissione, oppure come un estrazione contemporanea delle due carte. E più semplice pensare ad uno schema di estrazioni successive senza reimmissione. 40. Un tale ha inventato un sistema per vincere alla roulette. Decide di puntare sul rosso quando la roulette è andata sul nero nei 0 giri precedenti. Ritiene di avere buone probabilità di vincere, in quanto la probabilità che il nero esca volte è molto bassa. Cosa pensate di questo sistema? 4. In una colonia di batteri, in un dato intervallo ogni cellula può decedere, mantenersi immutata o dividersi in due, rispettivamente con probabilità /3, /3 e /3. Supporre che la colonia sia costituita inizialmente da una cellula. Qual è la probabilità che la popolazione originata dalla cellula si estingua prima o poi? 42. In una colonia di batteri, in un dato intervallo ogni cellula può decedere o dividersi in due, rispettivamente con probabilità /2 e /2. Supporre che la colonia sia costituita inizialmente da una cellula. Qual è la probabilità che la popolazione originata dalla cellula continui a riprodursi indefinitamente (cioè non si estingua mai? 43. In un gioco, il giocatore deve scegliere una carta tra tre. Una carta è di cuori e due sono di picche. Se il giocatore trova la carta di cuori, vince il premio in palio. Il giocatore sceglie una carta, ma la carta non viene scoperta. Il banco (che sa dove si trova la carta di cuori scopre una delle altre due carte e mostra una carta di picche. Il giocatore può decidere di cambiare carta. Qual è probabilità di vincere se decide di non cambiare carta? Dunque, gli conviene cambiare oppure no? 44. Partecipiamo ad una lotteria in cui vinciamo sicuramente un oggetto tra 0; gli oggetti hanno diverso valore commerciale. Gli oggetti ci verranno mostrati in sequenza, uno 5

6 alla volta. Le regole del gioco stabiliscono che: siamo obbligati a scegliere uno ed un solo oggetto; una volta che abbiamo visto n oggetti (n 0, non possiamo scegliere un oggetto precedente, ma solo quello corrente o uno dei successivi. Abbiamo come obiettivo quello di scegliere l oggetto di valore commerciale più elevato. Adottiamo la seguente strategia: lasciamo scorrere i primi tre oggetti, senza selezionarne nessuno; prendiamo nota dell oggetto, tra i primi tre, di valore commerciale più elevato e ipotizziamo che, ordinando i dieci oggetti in ordine decrescente di valore, sia il secondo. Tra i rimanenti sette oggetti, sceglieremo il primo che abbia valore commerciale più elevato rispetto a questo. Qual è la probabilità che scegliamo l oggetto di valore commerciale più elevato tra i dieci? 45. Un esperimento aleatorio ha spazio degli stati Ω = {ω,ω 2,ω 3 }. Si definiscano gli eventi: E = {ω,ω 2 }, E 2 = {ω 2,ω 3 }. L insieme B = {E,E 2 } è un algebra? Rispondere, verificando se sono rispettate tutte le proprietà richieste ad un algebra. Nel caso non si tratti di un algebra, completare l insieme B per ottenere un algebra. 46. Si consideri l esercizio 4. Costruire un algebra che contenga l evento E. 47. Un urna contiene 8 palline rosse e 4 palline bianche. Si estraggono, in sequenza e senza reimmissione, tre palline. Qual è la probabilità che la prima sia rossa? Qual è la probabilità che la seconda e la terza siano rosse, sapendo che la prima è rossa? Qual è la probabilità che la prima sia rossa, sapendo che la seconda e la terza sono rosse? 48. Si dispone di tre carte identiche per forma, ma di diverso colore. Una carta ha entrambe le facce rosse, una le ha entrambe nere, una infine ne ha una rossa e una nera. Confrontando le varie facce delle carte, le facce dello stesso colore sono tra loro identiche. Le tre carte, mescolate a caso, vengono appoggiate su un piano, una di fianco all altra. Se ne scelga una la cui faccia visibile sia rossa. Qual è la probabilità che l altra faccia sia nera? (Suggerimento: chiamare RR l evento entrambe le facce sono rosse, N N l evento entrambe le facce sono nere, RN l evento una faccia è rossa e l altra nera e R l evento la faccia visibile della carta scelta è rossa. Occorre valutare P[RN R]. 49. Supporre che il nuovo assicurato dell esercizio 34 denunci un incidente nell anno di contratto. Qual è la probabilità che si tratti di una persona propensa agli incidenti, e quindi che per il futuro debba essere collocata nella classe? (NB: l assicuratore adotta una regola per collocare gli assicurati nella prima o nella seconda classe, che nell esercizio non è descritta. Non è detto che sia sufficiente realizzare un incidente per essere collocati nella prima classe. 50. In un test a risposte multiple (per ciascuna domanda sono indicate m risposte alternative, uno studente può conoscere la risposta o rispondere a caso. Per una data domanda, sia p la probabilità che lo studente conosca la risposta. La probabilità di rispondere correttamente se si dà la risposta a caso è m. Lo studente risponde correttamente alla domanda; qual è la probabilità che conoscesse la risposta? 5. Per individuare una malattia che ha un livello di diffusione dello 0.5% nella popolazione, ci si sottopone ad un analisi del sangue che dà una risposta accurata con probabilità 90% (cioè, se la malattia è presente, con probabilità 90% il test dà una risposta positiva, mentre se la malattia non è presente con probabilità 90% il test dà una risposta negativa. Qual è la probabilità che una persona per cui il test è risultato negativo effettivamente non abbia la malattia? 6

7 52. A un certo stadio di una inchiesta investigativa, l ispettore è convinto al 60% della colpevolezza di un indagato. Acquisisce una nuova informazione, che indica che il colpevole ha una certa caratteristica fisica. L indagato ha questa caratteristica, ma ce l ha anche il 20% della popolazione. L ispettore come modifica la valutazione sulla colpevolezza dell indagato? Come avrebbe invece modificato la propria valutazione se la caratteristica fosse presente nel 90% della popolazione? 53. Un aereo è scomparso e si ritiene che, con uguale probabilità, possa trovarsi in una di tre zone possibili. La probabilità di non rintracciare l aereo se si trova nella zona i è b i, i =,2,3 (b i dipende dalle condizioni geografiche ed ambientali della zona. E stata fatta una ricognizione nella zona e l aereo non è stato rintracciato. Qual è la probabilità che l aereo si trovi però in tale zona? E qual è la probabilità che si trovi nella zona 2? E nella zona 3? 54. Una scatola contiene lampadine di tre tipi diversi. La probabilità che una lampadina duri più di 000 ore è pari a 0.7 per le lampadine di tipo, 0.4 per le lampadine di tipo 2 e 0.3 per le lampadine di tipo 3. Il 20% delle lampadine nella scatola è di tipo, il 30% di tipo 2 e il 50% di tipo 3. Si sceglie a caso una lampadina. Qual è la probabilità che duri più di 000 ore? Sapendo che la lampadina scelta è durata più di 000 ore, qual è la probabilità condizionata che si trattasse di una lampadina di tipo? E di tipo 2? E di tipo 3? 55. Due fabbriche locali producono radio. Ogni radio prodotta dalla fabbrica A è difettosa con probabilità 0.05, mentre ogni radio prodotta dalla fabbrica B è difettosa con probabilità 0.0; per ogni fabbrica, il fatto che una radio sia difettosa è indipendente dal fatto che altre lo siano. Acquistiamo una radio, ma non sappiamo da quale fabbrica sia stata prodotta. Attribuiamo uguale probabilità ( 2 al fatto che la radio sia stata prodotta dalla fabbrica A o dalla fabbrica B. Qual è la probabilità che la radio sia difettosa? 56. Con riferimento al problema precedente, scopriamo che la radio non è difettosa e decidiamo di acquistarne un altra; per questa seconda radio, sappiamo solo che è stata prodotta dalla stessa fabbrica che ha prodotto la prima. Qual è la probabilità condizionata che questa seconda radio sia difettosa? (Seguire la seguente traccia di svolgimento: chiamare ND l evento la prima radio non è difettosa, D l evento la prima radio è difettosa e D 2 l evento la seconda radio è difettosa. Nel problema precedente, si è valutato P[D ] ed è dunque semplice valutare P[ND ]. Ora bisogna valutare P[D 2 ND ] = P[D 2 ND ] P[ND ]. Per quanto riguarda la probabilità dell intersezione, per valutarla occorre sapere qual è la fabbrica di provenienza, che però è un informazione non disponibile. Bisogna allora calcolare la probabilità totale. Vale allora la relazione: P[D 2 ND ] = P[D 2 ND A] P[A]+P[D 2 ND B] P[B]. 57. Con riferimento ai problemi 34 e 49, supponiamo che l assicurato decida di rinnovare il contratto al termine del primo anno. L assicurato ha denunciato un incidente nel primo anno, ma l assicuratore non è ancora riuscito a stabilire a quale classe appartenga l assicurato. Qual è la probabilità condizionata che l assicurato denunci un incidente anche nel secondo anno? (Traccia di svolgimento. Sia I 2 l evento incidente nel secondo anno e I l evento incidente nel primo anno. Occorre valutare P[I 2 I ]. Gli eventi I e I 2 di per sé non sono dipendenti in effetti non viene detto nulla a tale riguardo; ragionevolmente, possiamo ritenere che un incidente in un anno sia indipendente da un incidente in un altro anno. Tuttavia, non conosciamo la classe a cui appartiene l assicurato, e I fornisce informazioni in tal senso. La valutazione iniziale circa l appartenenza a una data classe, 7

8 P[C ] = 0.30 e P[C 2 ] = 0.70, è stata aggiornata in seguito all informazione data dal fatto che l assicurato ha denunciato un incidente nel primo anno, P[C I ] = e P[C 2 I ] = P[C I ] = cfr. problema 49. Ha allora senso valutare la probabilità P[I 2 I ], in quanto I fornisce informazioni circa la classe di appartenenza. La probabilità P[I 2 I ] può essere valutata via probabilità totali, come è stato fatto per P[I ] nel problema 34, tenendo però conto delle probabilità aggiornate circa la classe di appartenenza. 58. Si ripetono n prove indipendenti. Ogni prova ha due esiti possibili: successo, con probabilità p, e insuccesso, con probabilità p. Qual è la probabilità che vi sia almeno un successo? E che vi siano k successi? E che tutte le prove abbiano successo? 59. Un urna contiene palline bianche e palline rosse. Le palline bianche sono in numero doppio rispetto a quelle rosse. Si estraggono, una alla volta e con reimmissione, 0 palline. Valutare la probabilità che tra le 0 palline estratte: non ce ne sia neanche una bianca; 2 ce ne siano 5 bianche; 3 ce ne siano 2 bianche oppure 3 rosse. 60. Le viti prodotte da una certa fabbrica possono essere difettose, in modo indipendente una dall altra, con probabilità 0.0. La fabbrica vende le viti in confezioni da 0 e sostituisce i pacchetti che contengono più di vite difettosa. Qual è la probabilità che un pacchetto debba essere sostituito? Se vengono venduti 000 pacchetti, per quanti se ne prevede la sostituzione? 6. Il numero di errori tipografici in una pagina di un volume ha una distribuzione di Poisson, con parametro λ = 2. Calcolare la probabilità che in una data pagina non ci siano errori tipografici. Calcolare poi la probabilità che ce ne sia almeno uno. 62. A un torneo partecipano due squadre, A e B. Il torneo prevede più partite, ciascuna delle quali deve concludersi con la vittoria di una delle due squadre. Vince il torneo la squadra che per prima accumula 3 vittorie. Qual è il numero minimo e il numero massimo di partite da giocare? La probabilità che la squadra A vinca una singola partita, indipendentemente dall esito delle altre partite, è 0.6. Qual è la probabilità che A vinca il torneo? 63. Un esame a risposta multipla propone 5 domande, ciascuna con tre possibili risposte. L esame è superato se si risponde correttamente ad almeno 4 domande. Uno studente impreparato risponde a caso. Qual è la probabilità che superi l esame? 64. I CD prodotti da una data azienda sono difettosi, in maniera indipendente uno dall altro, con probabilità pari a 0.0. L azienda vende i dischetti in scatole da 0. L azienda intende promuovere una campagna 3 2, predisponendo confezioni da tre scatole (che saranno vendute al prezzo di due. L azienda, a difesa della propria immagine, vuole però evitare che troppo frequentemente tra le tre scatole ve ne sia una con CD difettosi. Qual è la probabilità che tra le tre scatole ve ne sia una che contiene almeno un CD difettoso? E qual è invece la probabilità che almeno una delle tre scatole contenga CD difettosi? (Suggerimento: valutare innanzitutto la probabilità che in una scatola ci sia almeno un CD difettoso. Valutare, poi, la probabilità che, tra tre scatole di CD, una o almeno una contenga CD difettosi. 65. Il numero di clienti che si presentano a uno sportello di una data azienda di servizi in una data fascia oraria ha distribuzione di Poisson con parametro λ = 2.5. Valutare la probabilità che, nella fascia oraria di riferimento, non si presentino clienti e la probabilità 8

9 che se ne presentino almeno due. L addetto allo sportello deve decidere se può fare la pausa caffé in quella fascia oraria. Cosa si può suggerire? 66. Un urna contiene tre palline numerate da a 3. Si estraggono contemporaneamente due palline. Sia X la somma dei valori delle palline estratte. Descrivere la distribuzione di probabilità di X e rappresentarla graficamente. Scrivere la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente. Calcolarne il valore atteso e la varianza. Perché il valore atteso corrisponde alla media aritmetica semplice tra la più piccola e la più grande determinazione di X? Si può dare un interpretazione frequentista del valore atteso di X? Quale? 67. Un urna contiene tra palline numerate da a 3. Si estraggono due palline, in successione e con reimmissione. Sia Y la somma dei valori delle palline estratte. Descrivere la distribuzione di probabilità di Y e rappresentarla graficamente. Scrivere la funzione di ripartizione di Y e rappresentarla graficamente. Calcolarne il valore atteso e la varianza. Perché il valore atteso corrisponde alla media aritmetica semplice tra la più piccola e la più grande determinazione di Y? Confrontare Y con la variabile aleatoria X del problema precedente. Quale ha distribuzione più dispersa? In che termini lo si può descrivere? 68. Sia X il numero di teste ottenute in tre lanci di una moneta. Qual è la distribuzione di probabilità di X? Calcolarne valore atteso e varianza. Sia poi Y la variabile aleatoria definita come differenza tra il numero di teste e il numero di croci ottenuto in tre lanci di una moneta. Qual è la distribuzione di probabilità di Y? Calcolarne valore atteso e varianza. Ha senso confrontare le varianze delle due variabili aleatorie per stabilire quale tra le due ha distribuzione di probabilità più concentrata? 69. Si lancia quattro volte una moneta equilibrata. Sia X il numero totale di teste ottenute. Calcolarne valore atteso e varianza. Definire ora Y = X 2. Calcolarne valore atteso e varianza. Definire infine Z = 2X. Calcolarne valore atteso e varianza. (NB: si possono utilizzare alcuni tra i risultati del problema precedente cfr. commenti riportati nello svolgimento, oppure costruire per ogni variabile aleatoria la distribuzione di probabilità. 70. Un impresa propone un nuovo prodotto a 5 clienti, ad un prezzo promozionale di 00 euro. Supporre che ciascun cliente possa acquistare al più una unità del prodotto, e che la probabilità che lo acquisti (indipendentemente dalle scelte fatte dagli altri clienti sia Qual è il ricavo atteso dell impresa? Come si potrebbe misurare l incertezza del ricavo? 7. Una roulette ha 38 numeri; ciascun numero esce con la stessa probabilità (la roulette è cioè equilibrata. Si punta su un numero; se esce il numero, si vince 36 volte la puntata, altrimenti non si vince nulla. Un giocatore punta euro. Qual è il suo guadagno atteso? Il gioco è equo o è favorevole al banco? (NB: il gioco è equo quando il guadagno atteso è 0. Qual è l importo della vincita che rende equo il gioco? 72. In una data copertura assicurativa, l assicuratore pagherà 000 euro se si verifica un dato evento (ad esempio, un incidente. L assicuratore ritiene che l evento possa verificarsi con probabilità 0.0. Il premio del contratto (cioè il prezzo corrisposto dall assicurato è il valore atteso del pagamento dell assicuratore. Qual è il guadagno atteso dell assicuratore? Se l assicuratore volesse ottenere un guadagno atteso del 0% del premio incassato, a quanto dovrebbe ammontare il premio? 9

10 73. Si investono euro in un titolo il cui valore in un anno può aumentare del 0% con probabilità 0.25 o diminuire del 2% con probabilità Qual è il valore atteso dell investimento dopo un anno? Supporre che, in modo indipendente da quanto avvenuto nel primo anno, anche nel secondo anno il valore del titolo possa aumentare del 0% con probabilità 0.25 o diminuire del 2% con probabilità Qual è il valore atteso dell investimento dopo 2 anni supponendo che nel primo anno il rendimento sia stato del 0%? E se invece non si fa nessuna ipotesi sul rendimento del primo anno, qual è il valore atteso dell investimento dopo 2 anni? E il valore modale (cioè più probabile? 74. Una scatola contiene 20 articoli, di cui 4 difettosi. Si costruisce un campione di articoli, selezionandone 3 a caso dalla scatola. Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero di articoli difettosi presenti nel campione. Calcolare il numero atteso di articoli difettosi presenti nel campione. 75. Il 0% delle scatole di merendine distribuite da una data azienda contiene un gadget particolare. In media, quante scatole deve acquistare un consumatore per trovare il gadget? (Interpretare il numero di scatole come un tempo d attesa del gadget una scatola corrisponde ad un intervallo di attesa del gadget. 0

11 Svolgimento (Consiglio vivamente di consultare lo svolgimento suggerito solo dopo aver elaborato in modo autonomo una risposta ai vari problemi.. Ci sono 400 modi per scegliere uno studente di laurea triennale; scelto uno studente di laurea triennale, ci sono 200 modi per scegliere uno studente di laurea magistrale; e via dicendo. Quindi, il numero di modi per costituire il gruppo di lavoro è: = Per ogni posizione assegnata alle lettere, si hanno 26 scelte disponibili. Per ciascuna posizione con valore numerico, ci sono invece 0 scelte possibili. Dunque i codici che si possono generare sono in numero: = Il primo elemento del codice può essere scelto tra 26 lettere, il secondo tra 25 (visto che una lettera è già stata scelta e il terzo tra 24. Il quarto elemento può essere scelto tra 0 numeri, il quinto tra 9 e il sesto tra 8. Dunque il numero di codici scende a: = Per ciascun elemento del numero telefonico, ci sono 0 scelte possibili (numeri da 0 a 9, e dunque si possono generare 0 7 = numeri di telefono. Quelli pari devono avere come ultima cifra una tra {0,2,4,6,8} (dunque ci sono 5 modi possibili per scegliere l ultima cifra. Per ciascuna delle posizioni precedenti ci sono comunque 0 scelte possibili. Dunque si possono comporre = numeri telefonici pari (d altra parte, dei di numeri considerati precedentemente, la metà è pari. Se la prima cifra non può essere 0, per la prima posizione si hanno solo 9 scelte possibili; per ciascuna delle rimanenti, invece, si hanno 0 scelte possibili. Dunque i numeri telefonici che non iniziano per 0 sono = Se le cifre non possono ripetersi, ci sono 0 possibili scelte per la prima posizione, 9 per la seconda, e così via. Dunque si possono generare = numeri telefonici. 5. Le prime tre cifre sono obbligate; supponiamo che compaiano nell ordine di estrazione. Per ciascuna delle rimanenti quattro posizioni, si hanno a disposizione 0 scelte. Dunque i numeri di telefono che hanno le tre cifre selezionate nelle prime tre posizioni (nell ordine di estrazione sono: 0 4 = Tuttavia, non conta l ordine in cui le cifre sono presenti nel numero telefonico. I possibili ordinamenti delle prime tre cifre (che sono tutte diverse, per ipotesi sono in numero 3! = 6. Dunque i potenziali vincitori sono in numero: 3! 0 4 = Per quanto riguarda i modi diversi di ottenere i tre numeri, visto che si tratta di numeri diversi, ci sono 0 possibili scelte per il primo, 9 per il secondo e 8 per il terzo. Dunque il numero di modi di estrarre i primi tre numeri è: = Se la graduatoria è indistinta (non tiene cioè conto del fatto che alcuni sono atleti professionisti e altri no, il numero possibile di classifiche è: 0! = (si tratta infatti di riordinare 0 oggetti diversi. Se le graduatorie sono distinte, se ne possono avere 3! = 6 per i professionisti e 7! = 5040 per i dilettanti. Per ogni graduatoria dei professionisti, sono possibili 5040 graduatorie per i dilettanti (o, viceversa, per ogni graduatoria dei dilettanti, sono possibili 6 graduatorie per i professionisti. Dunque il numero complessivo di classifiche è: 3! 7! = Supponendo di sistemare prima i libri di narrativa, poi quelli di marketing e quindi i fumetti, ci sono 3! 5! 2! = 440 riordinamenti possibili. Ci sono poi diverse scelte possibili circa l ordine dei generi dei libri: i libri di narrativa potrebbero essere seguiti

12 dai fumetti e quindi dai libri di marketing; oppure si potrebbero collocare per primi i libri di marketing, poi i libri di narrativa, poi i fumetti; oppure...complessivamente, ci sono 3! = 6 modi possibili per scegliere l ordine dei generi dei libri (visto che i generi sono 3. Quindi, in totale, i modi possibili per sistemare i libri sono: 3! 3! 5! 2! = La parola TRADE è costituita da 5 lettere diverse. Pertanto sono possibili 5! = 20 anagrammi, cioè riordinamenti delle lettere che la compongono. La parola NUTELLA è costituita da 7 lettere, di cui una (L ripetuta 2 volte. Se le 7 lettere fossero tutte diverse, i riordinamenti possibili sarebbero 7!. Ma, in questo modo, per la lettera L si considerano 2! volte i riordinamenti effettivi. Pertanto gli anagrammi sono in numero: 7! 2! = La parola COCACOLA è costituita da 8 lettere, di cui una (C ripetuta 3 volte e due (A,O ripetute due volte ciascuna. Quindi gli anagrammi possibili sono in numero: 8! 3! 2! 2! = E un problema simile a quello degli anagrammi. Si tratta di ordinare queste lettere: RRRRSSSIII. Sono 0 oggetti, di cui 4,3,3 uguali tra di loro. Pertanto il numero di possibili esiti è: 0! 4! 3! 3! = Siccome non conta l ordine di estrazione, i modi possibili per estrarre 5 carte da un mazzo di 52 sono in numero: ( 52 5 = Bisogna considerare quante coppie si possono formare tra 20 persone; ovviamente non conta l ordine (ma solo chi sono le due persone che si stringono la mano. Pertanto il numero di strette di mano è: ( 20 2 = Per i due docenti, c è una sola scelta possibile. Per gli studenti, bisogna sceglierne 5 tra i 200 disponibili. Non conta l ordine, ma solo quali sono gli studenti selezionati. Dunque, il numero di modi per costituire il gruppo di lavoro è: ( = Conta solo chi fa parte del comitato (mentre non conta in quale ordine sono stati individuati i vari componenti. Il modo di scegliere 3 donne tra 6 è: ( 6 3 = 20, mentre il modo di scegliere 3 uomini tra 7 è: ( 7 3 = 35. Scelte le donne che fanno parte del comitato, ci sono 35 scelte possibili per gli uomini (o, viceversa, una volta scelti gli uomini che fanno parte del comitato, ci sono 20 ( scelte possibili per le donne; pertanto il numero di modi per costituire il comitato è: 6 ( = 700. Teniamo ora conto del vincolo dato dai due uomini che hanno litigato. Si può considerare il gruppo degli uomini come se fosse costituito da due sottogruppi: i 2 uomini che hanno litigato e gli altri 5. Se il comitato contenesse i due uomini che hanno litigato, il terzo uomo dovrebbe essere scelto tra gli altri 5, e ci sono ( 5 = 5 per farlo. Queste soluzioni devono essere scartate dalle 35 ( precedentemente considerate. Dunque i modi possibili per costituire il comitato sono: 6 (( 3 7 ( 3 5 = 600. Un ragionamento alternativo per calcolare in quanti modi si possono scegliere gli uomini in presenza dei due litiganti è il seguente. Le scelte ammissibili sono quelle in cui non c è nessuno dei due litiganti oppure ce ne è solo uno. Ci sono ( ( = 0 modi per scegliere 3 uomini tra i 5 che non hanno litigato e nessuno tra quelli che hanno litigato, e ( ( = 20 modi di sceglierne tra quelli che hanno litigato e 2 tra gli altri. Quindi, in totale i modi per scegliere 3 uomini evitando che siano presenti entrambi gli uomini che hanno litigato è: ( ( ( ( 5 2 = Le possibili determinazioni sono i possibili ordini di arrivo. Essendoci 3 partecipanti, i possibili ordini di arrivo sono 3! = 6. In modo esteso, lo spazio degli stati può essere descritto nel seguente modo: Ω = {ω = {A,B,C},ω 2 = {A,C,B},ω 3 = {B,A,C}, ω 4 = {B,C,A},ω 5 = {C,A,B},ω 6 = {C,B,A}} (non ha importanza il modo in cui si 2

13 numerano le sequenze; è però necessario che in totale siano 6. In modo compatto, la descrizione di Ω può essere fatta nel seguente modo: Ω = {3! = 6 permutazioni degli oggetti A,B,C}, oppure nel seguente modo: Ω = {ω,ω 2,...,ω 6 } dove ciascun ω i è una diversa permutazione degli oggetti A,B,C. L evento E può essere descritto per esteso nel seguente modo: E = {ω = {A,B,C},ω 2 = {A,C,B}}. In modo compatto, può essere descritto nel seguente modo: E = {2! = 2 permutazioni degli oggetti A,B,C, collocando al primo posto l oggetto A}. Oppure ancora nel seguente modo: E = {ω i Ω tali che l oggetto A è collocato al primo posto}. 5. Le determinazioni possibili sono 6 2 = 36, in quanto ognuna delle 6 facce del primo dado si può combinare con ognuna delle 6 facce del secondo dado. Spazio degli stati: Ω = {(i,j;i,j =,2,...,6}; si tratta cioè delle coppie di numeri (i,j dove sia i sia j sono numeri interi compresi tra e 6. Evento E : E = {(3,6,(6,3,(4,5,(5, 4}; E 2 = {(2,,(2,3,(2,5,(4,, (4,3,(4,5, (6,,(6,3,(6, 5} oppure in modo più compatto E 2 = {(i,j;i = 2,4,6;j =,3,5} (convenzionalmente, è stato indicato per primo il dado rosso e per secondo il dado blu; ovviamente si sarebbe anche potuto indicare per primo il dado blu e per secondo il dado rosso. Unione: E E 2 = {(2,,(2,3,(2,5, (3, 6,(4,,(4, 3, (4,5,(5,4, (6,,(6,3, (6, 5}. Intersezione: E E 2 = {(4,5,(6,3}. 6. Evento E : E = {(3,6,(6,3,(4,5,(5,4}. Evento E 2 : E 2 = {(,2,(,4,(, 6, (2,, (2,3,(2,5,(3,2,(3,4, (3, 6,(4,,(4, 3, (4,5,(5,2, (5, 4,(5,6, (6,,(6,3,(6, 5}; si noti che le determinazioni che realizzano E 2 sono 8: per il primo dado, ci sono 6 risultati accettabili (i numeri da a 6, per il secondo dado ne restano 3 (una volta che è stata fissata la faccia del primo dado, e quindi il numero di determinazioni favorevoli a E 2 è 6 3 = 8. Unione E E 2 = {(,2,(,4,(,6,(2,, (2, 3,(2,5,(3, 2, (3,4,(3, 6, (4,, (4,3,(4,5,(5,2,(5,4, (5, 6,(6,,(6, 3, (6,5} = E 2. Intersezione: E E 2 = {(3,6, (6,3,(4,5,(5,4} = E. Si può notare che se si realizza l evento E, necessariamente si realizza anche E 2 ; infatti, siccome 9 è un numero dispari, i termini che ne costituiscono la somma devono essere uno pari e l altro dispari. Pertanto E è incluso in E 2 : E E 2. L insieme di determinazioni favorevoli a E 2 è più ampio di quello delle determinazioni favorevoli a E perché per il primo evento deve essere soddisfatto un vincolo in più (una faccia deve essere pari e l altra dispari ed inoltre devono sommare a 9. Siccome E E 2, risulta E E 2 = E 2 e E E 2 = E. 7. L insieme delle possibili determinazioni, cioè lo spazio degli stati Ω, è costituito da = 24 elementi, tanti quanti sono i modi di combinare le varie alternative disponibili per ogni portata. L evento A è costituito da 2 3 = 6 elementi, in quanto l unica scelta obbligata è quella relativa al dessert; l evento B è costituito da 3 4 = 2 elementi; l evento C da 2 4 = 8 elementi. L evento intersezione A B C è costituito da un solo elemento, visto che affinché siano realizzati contemporaneamente A, B, C per ogni portata la scelta è obbligata. L unione A B C, invece, coincide con lo spazio degli stati Ω, visto che qualunque scelta soddisfa almeno uno tra A, B, C. Le probabilità assegnate ai vari eventi sono tutte positive (e inferiori a. Dal modo in cui sono state assegnate le probabilità agli eventi A, B, C, si vede che il barista non ritiene che tutte le determinazioni sono equiprobabili (altrimenti, ad esempio, A avrebbe dovuto avere probabilità E rispettata la condizione tra la probabilità di A B C e quella dei singoli eventi A, B, C (siccome A B C è incluso in ciascuno di A, B, C, deve risultare P[A B C] min{p[a], P[B], P[C]}. Dovrebbe risultare P[A B C] =, visto che A B C = Ω. Le probabilità non sono dunque assegnate in modo coerente. 3

14 8. Tutte le probabilità sono positive, e inferiori a. Siccome E 4 = E E 2, risulta E 4 E e E 4 E 2 e quindi la probabilità di E 4 deve essere non superiore né alla probabilità di E, né a quella di E 2, e questo è verificato. Siccome E 5 = E 3, deve risultare P[E 5 ] = P[E 3 ], e questo è verificato. Infine, siccome E 5 = E E 2, deve risultare P[E 5 ] = P[E ] + P[E 2 ] P[E E 2 ] = = 50%, e questo non è verificato, visto che all evento E 5 è assegnata probabilità 4 5 = 80%. Le probabilità non sono dunque coerenti tra di loro. 9. L evento B è incluso nell evento A; infatti affinché sia verificato l evento B devono sussistere due circostanze (l uomo deve essere il CEO di un impresa multinazionale e oggi deve essersi occupato dei lavori di ristrutturazione, mentre ne serve solo una per realizzare l evento A (l uomo deve essere il CEO di un impresa multinazionale. Pertanto: B A e quindi P[B] P[A]. Data la tenuta dell uomo, forse è più realistico ritenere che, se è il CEO di una multinazionale, oggi l uomo si sia occupato di lavori di ristrutturazione. Tuttavia Bice utilizza in modo inappropriato un linguaggio probabilistico, e pertanto fa un affermazione sbagliata. 20. Le possibili determinazioni sono in numero: 6 3 (visto che per ogni dado, in modo indipendente dagli altri, può uscire una faccia da a 6. Per ottenere somma 4, devono uscire due e un 2. La faccia 2 può uscire in uno qualunque dei tre dadi (mentre per i rimanenti due deve uscire la faccia ; dunque ci sono 3 possibili modi per ottenere due e un 2. Si potrebbe anche ragionare nel seguente modo; ci sono ( 3 = 3 modi possibili per assegnare una posizione al numero 2. Quindi, la probabilità che la somma delle facce sia 4 è: P[E] = (3 6 3 = 72. ( 2. Le determinazioni possibili sono in numero: 3 (visto che le palline sono estratte contemporaneamente, non conta l ordine. Ci sono ( 6 modi possibili per estrarre una pallina bianca e, per ciascuno di questi, ( 5 2 di estrarne due nere. Dunque la probabilità cercata è: P[E] = (6 ( 5 2 = ( I modi possibili per estrarre i cinque nominativi sono:. I modi per estrarre tre uomini sono: ( 6 ( 3. Per ciascuno, ci sono 4 2 modi per estrarre due donne. Dunque la probabilità di avere una commissione costituita da tre uomini e due donne è: P[E] = ( 6 3 ( 4 2 = 35.76%. La probabilità che la commissione sia costituita da 2 uomini e 3 ( 30 5 donne è invece: P[E ] = ( 6 2 ( 4 3 = 30.65%. Risulta P[E ( 30 5 ] < P[E] perché si sceglie in un gruppo in cui le donne sono in numero inferiore agli uomini (e dunque la composizione 2 uomini 3 donne è meno probabile di quella 3 uomini 2 donne. 23. I modi in cui si possono presentare le carte sono 3!. I casi favorevoli all evento sono quelli in cui l asso è alla quarta posizione, mentre le rimanenti 2 carte sono ordinate in un modo qualunque (e occupano le rimanenti 2 posizioni. Dunque i casi favorevoli all evento sono in numero 2!. La probabilità cercata è dunque: P[E] = 2! 3! = 3. In generale, la probabilità che una carta tra le 3 occupi una fissata posizione è La risposta alla prima domanda è simile a quella dell esercizio precedente. Le 52 carte possono assumere uno qualunque tra i 52! ordinamenti possibili. Quelli favorevoli ad avere un asso nella quarta posizione sono 5! 4 (5! sono gli ordinamenti possibili delle carte che non occupano la quarta posizione; l asso in quarta posizione può essere uno qualunque tra i 4 presenti nel mazzo. Dunque la probabilità cercata è: P[E] = 4 5! 52! = (

15 4 52. In generale, la probabilità che una carta di un dato valore compaia in una fissata posizione è Per il secondo evento, si deve ragionare come segue. Gli ordinamenti possibili delle 52 carte sono sempre 52!. Nelle prime tre posizioni non deve comparire un asso (che per la prima volta deve essere scoperto nella quarta posizione. Scartati i quattro assi, per le prime tre posizioni ci sono dunque scelte possibili. Alla quarta posizione, si deve trovare un asso, e ci sono 4 diverse possibilità. Infine, nelle rimanenti 48 posizioni le rimanenti carte (48 possono assumere un ordinamento qualunque, e dunque ci sono 48! possibilità. Dunque la probabilità cercata è: P[E ] = ! 52!. Semplificando i due fattoriali a numeratore e denominatore, si può anche calcolare la probabilità come segue: P[E ] = , in cui ci si limita a considerare cosa può succedere nelle prime 4 posizioni. Ci sono infatti 48 casi favorevoli su 52 per la prima carta, 47 su 5 per la seconda (visto che la prima carta è stata scelta, 46 su 50 per la terza e infine 4 (gli assi su 49 per la quarta. 25. Se non conta l ordine di estrazione, ci sono ( 90 5 casi possibili. Per entrambe le cinquine, c è solo un caso favorevole. Dunque la probabilità delle due cinquine è la medesima, ed è pari a: ( 90 5 = Se conta l ordine di estrazione, ci sono casi possibili. Di nuovo, per entrambe le sequenze c è solo un caso favorevole. Dunque la probabilità delle due sequenze è la medesima, ed è ora pari a: = La probabilità di fare cinquina è: P[cinquina] = ( (cfr. esercizio precedente Per fare ambo, il giocatore deve avere scelto 2 numeri tra i 5 estratti e 3 numeri tra i rimanenti 85. Non contando l ordine, la probabilità cercata è: P[ambo] = (5 2 ( ( 90 5 Per fare terno, il giocatore deve avere scelto 3 numeri tra i 5 estratti e 2 numeri tra i rimanenti 85. La probabilità cercata è dunque: P[terno] = ( 5 3 ( ( 90 5 La probabilità di fare almeno ambo può essere calcolata come complemento a dell evento non si è indovinato nessun numero o se ne è indovinato solo. Si noti che tale evento è l unione di due eventi incompatibili. Seguendo ( un ragionamento simile a quelli precedenti, si ottiene: P[almeno ambo] = ( 85 5 ( ( 5 ( ( Siccome si estrae a caso, i casi possibili sono in numero di: ( 700 4, essendo 700 il numero totale di persone tra cui scegliere. Sia E l evento è selezionato un rappresentante per categoria. Ci sono 400 modi per scegliere uno studente di laurea triennale, per ognuno di questi 200 modi per scegliere uno studente di laurea magistrale, ecc. Dunque: P[E ] = =.29%. Sia E ( l evento sono selezionati due studenti di laurea triennale e due di laurea magistrale. Ci sono ( modi possibili per selezionare 2 studenti di laurea triennale (si ricordi che l ordine non conta, ma conta solo chi è selezionato e, per ciascuno di questi, ( modi per selezionare due studenti di laurea magistrale. Dunque: P[E 2 ] = ( ( = 6.0%. Sia E 3 l evento non è selezionato alcun ( docente, che equivale a sono selezionati solo studenti. In totale ci sono 620 studenti, tra cui sceglierne 4. Pertanto: P[E 4 ] = ( ( = 6.47%. 28. Consideriamo il primo evento: E palline dello stesso colore. Questo evento è realizzato se entrambe le palline sono rosse (evento E 2 o entrambe nere (evento E 3. Gli 5

16 eventi E 2 e E 3 sono incompatibili, dunque: P[E ] = P[E 2 E 3 ] = P[E 2 ]+P[E 3 ]. Il risultato dell estrazione dall urna A può essere considerato indipendente da quello dell urna B. Pertanto: P[E] = = 2. Conviene valutare la probabilità dell evento E 4 almeno una pallina è rossa come P[E 4 ] = P[E 4 ], dove E 4 è l evento nessuna pallina è rossa. La probabilità di non avere nessuna pallina rossa è: P[E 4 ] = = 3. E dunque la probabilità di averne almeno una rossa è: P[E 4 ] = 3 0 = 7 0. Ovviamente, si sarebbe potuto valutare P[E 4 ] anche direttamente. Le determinazioni che realizzano l evento sono: {R,R}, {R,N}, {N,R} (in ciascuna sequenza, è indicata per prima la pallina estratta dall urna A; le determinazioni sono, ovviamente, incompatibili. Si trova pertanto: P[E 4 ] = = Le lettere in comune sono A O T. La scelta delle lettere nelle due parole può essere ritenuta indipendente. OTTANTA è formata da 7 lettere, di cui 2 A, O e 3 T; SCOPERTA è formata da 8 lettere, di cui nessuna ripetuta. Pertanto, la probabilità cercata è: P[E] = P[lettere AA lettere OO lettere TT] = = 3 28 (si noti che gli eventi in entrambe le parole è estratta la lettera A, in entrambe le parole è estratta la lettera O, in entrambe le parole è estratta la lettera T sono eventi incompatibili e dunque la probabilità della loro unione è la somma delle probabilità dei singoli eventi. 30. Sia E = almeno un partecipante ha il compleanno in comune con il festeggiato. Conviene calcolare innanzitutto la probabilità di E, cioè che nessuno dei 20 partecipanti abbia compleanno nel giorno del festeggiato. Escludendo la data di compleanno del festeggiato, restano 364 giorni per ciascun partecipante (sui 365 dell anno; le date di compleanno dei partecipanti possono, con buona approssimazione, essere considerate indipendenti. Dunque la probabilità di E è: P[E ] = ( , 365 e quindi la probabilità di E : P[E ] = ( = 5.34%. Sia E 2 = almeno un partecipante ha il compleanno nel giorno successivo a quello del festeggiato. Il problema è simile a quello precedente. Conviene valutare innanzitutto E 2, escludendo per ciascun partecipante un giorno tra i 365 dell anno (l unica differenza è che ora il giorno è quello successivo a quello di compleanno del festeggiato, ma si tratta sempre di giorno su 365; successivamente si ottiene P[E 2 ] = P[E 2 ]. Per quanto detto, si trova: P[E 2 ] = P[E ]. Sia E 3 = solo un partecipante ha il compleanno nel giorno del festeggiato. Dei 20 partecipanti, solo uno deve avere compleanno nel giorno del festeggiato e tutti gli altri in uno qualunque dei rimanenti 364. Ci sono 20 modi per scegliere la persona che deve avere il compleanno in comune con il festeggiato. Pertanto la probabilità di E 3 è: P[E 3 ] = ( = 5.20%. Sia E 4 = nessuno dei partecipanti ha il compleanno in comune. Immaginiamo di mettere in ordine i partecipanti. Il primo può avere compleanno in un giorno qualunque; il secondo in uno dei 364 rimanenti (cioè escluso il compleanno del primo; il terzo in uno dei 363 rimanenti (cioè esclusi i compleanni dei primi due; e così via. Dunque si ha: P[E 4 ] = = 58.86%. 3. Le possibili determinazioni sono in numero: 2 2 = 4. Per esteso, l insieme degli stati è: Ω = {(T,T,(T,C,(C,T,(C,C}. C è una sola determinazione favorevole a E e dunque: P[E] = 4. Ci sono due determinazioni favorevoli a A: il risultato del secondo lancio è obbligato, ma nel primo lancio si può ottenere qualunque esito; dunque: P[A] = 2 4 = 2. La probabilità di B può essere valutata come complemento a dell evento contrario: B non esce nessuna testa. C è un unica determinazione favorevole a B 0 6

17 (dovendo uscire croce in entrambi i lanci, e dunque: P[B] = P[B] = 4 = 3 4. Infine: P[E A] = P[E A] P[A] = P[E] P[A] = /4 /2 = 2 (siccome E A, risulta E A = E; P[E B] = P[E B] P[B] = P[E] P[B] = /4 3/4 = 3 (anche in questo caso, E B = E, in quanto E B. Essendo lo spazio degli stati molto semplice, tutte le probabilità possono anche essere valutate considerando direttamente i casi favorevoli e i casi possibili in ciascuno stato di informazione. 32. Sia R i l evento l i-esima pallina estratta è rossa. Dobbiamo valutare P[R R 2 ]. Conviene ragionare come segue. La probabilità che la prima pallina estratta sia rossa è: P[R ] = 8 2. La probabilità condizionata che anche la seconda sia rossa è: P[R 2 R ] = 7. Infine: P[R R 2 ] = P[R ] P[R 2 R ] = = In alternativa si può procedere come segue, misurando direttamente la probabilità di R R 2. Lo schema di estrazioni successive senza reimmissione è equivalente ad uno schema di estrazione contemporanea di un certo numero di oggetti. Nel problema, sono estratte due palline. Dunque gli esiti possibili sono: ( 2 2 (vengono estratte 2 palline tra 2. Favorevoli all evento, sono ( 8 2 casi (le due palline devono essere estratte tra le 8 rosse. Si trova pertanto: P[R R 2 ] = ( 8 2 ( 2 2 = Consiglio di seguire la prima impostazione, più semplice. 33. Sia R l evento la prima pallina è rossa e R (2 in totale, sono state estratte 2 palline rosse. Dobbiamo valutare P[R R (2 ]. Possiamo ragionare direttamente sull informazione data da R (2. Sappiamo che di 3 palline estratte, 2 sono rosse. Dunque ci sono 2 su 3 possibilità che la prima estratta fosse rossa (infatti, si possono essere realizzate le sequenze: (RRB, (RBR, (BRR. Pertanto: P[R R (2 ] = Si definiscano i seguenti eventi: C l assicurato appartiene alla prima classe, C 2 l assicurato appartiene alla seconda classe, I l assicurato realizza incidenti nell anno in corso. Dobbiamo valutare P[I] e disponiamo delle seguenti informazioni: P[I C ] = 0.40, P[I C 2 ] = 0.20, P[C ] = 0.30, P[C 2 ] = Possiamo pertanto valutare la probabilità cercata come segue: P[I] = P[I C ] P[C ]+P[I C 2 ] P[C 2 ] = = Si può notare che P[I] è intermedia tra P[I C 2 ] e P[I C ], esprimendone una media. 35. Dopo un lancio della moneta, A si può ritrovare con 3 euro o con euro. Il gioco dunque può procedere. Dopo un ulteriore lancio, il giocatore A può ritrovarsi con 4 euro (il gioco si ferma ed A ha vinto, con 2 euro (il gioco è nello stato iniziale o con 0 euro (il gioco si ferma ed A ha perso. Conviene aiutarsi con una rappresentazione grafica (schema ad albero; in ogni nodo è rappresentata la situazione patrimoniale di A; ogni arco rappresenta il possibile esito del lancio della moneta: testa verso l alto, croce verso il basso. 3 euro 4 euro: A vince 2 euro 2 euro: il gioco è come all inizio euro 0 euro: A perde 7

18 Ogni arco del grafo ha probabilità 2 (cioè è 2 la probabilità di spostarsi da un nodo ad un altro, seguendo gli archi tracciati. Sia p la probabilità che A vinca il gioco quando ha 2 euro; la probabilità che vinca quando ha 4 euro è, mentre è 0 la probabilità che vinca quando ha 0 euro. Inoltre, è 2 2 = 4 la probabilità che A si ritrovi con 4 euro dopo due lanci (cioè che esca due volte testa, 2 2 = 4 la probabilità che A dopo due lanci si ritrovi con 0 euro (cioè che esca due volte croce, = 2 la probabilità che A si ritrovi dopo due lanci con 2 euro (cioè che escano una volta testa e una volta croce. Possiamo allora scrivere la seguente relazione: P[A vinca il gioco] = P[esca due volte testa]+p[esca una volta testa e una croce] P[A vinca il gioco]. Sostituendo: p = p, da cui: p = 2. I due giocatori hanno pertanto la stessa probabilità di vincere il gioco (il che è ragionevole, visto che hanno lo stesso patrimonio iniziale e in ciascun lancio hanno la stessa probabilità di vincere euro. 36. Si consideri la seguente rappresentazione grafica: 3 euro: A vince 2 euro 2 euro: il gioco è come all inizio euro 0 euro: A perde Ragionando come nel precedente esercizio, possiamo scrivere la seguente relazione: p = p, da cui: p = 2 3. Il giocatore A ha dunque una probabilità di vincere doppia rispetto a quella di B. 37. Dobbiamo calcolare P[R]. Se sapessimo quale carta è stata estratta, sarebbe semplice dire qual è la probabilità che la faccia visibile sia rossa. Infatti: P[R RR] =, P[R NN] = 0 e P[R RN] = 2. D altra parte, ciascuna carta ha probabilità 3 di essere estratta. Ragionando in termini di probabilità totali si trova: P[R] = P[R RR] P[RR]+P[R RN] P[RN] + P[R NN] P[NN] = = 2. Il risultato è facilmente interpretabile: su 6 facce possibili, 3 sono rosse. Pertanto la probabilità che la faccia visibile sia rossa è 3 6 = 2. (La risposta può anche essere data direttamente in questi termini. 38. Chiamiamo D 20 l evento la batteria funziona per più di km, D 40 l evento la batteria funziona per più di km e D 60 l evento la batteria funziona per più di km. La prima probabilità richiesta è: P[D 40 D 20 ] = P[D 40 D 20 ] 2 P[D 20 ] = P[D 40] P[D 20 ] = = (se la batteria funziona per più di km, necessariamente funziona anche per più di km; dunque D 40 D 20 e P[D 20 D 40 ] = P[D 40 ]. La seconda probabilità richiesta è: P[D 60 D 20 ] = P[D 60 D 20 ] P[D 20 ] = P[D 60] P[D 20 ] = = Chiamiamo AA l evento sono stati estratti due assi, A l evento la prima carta estratta è un asso, A 2 l evento la seconda carta estratta è un asso, Ap una delle due carte estratte è l asso di picche, A una delle due carte estratte è un asso. Si ottengono le seguenti valutazioni. Valutiamo P[AA] non tenendo conto di alcuna informazione. Facendo riferimento ad uno schema di estrazioni successive senza reimmissione, si trova: P[AA] = Se si facesse riferimento ad uno schema di estrazioni contemporanee, non conterebbe l ordine di estrazione, ma solo quali carte sono state estratte; pertanto la probabilità sarebbe valutata nel seguente modo: P[AA] = (4 2 ( 52 2 = = 7. 8

19 Valutiamo ora P[AA Ap], tenendo cioè conto che è stato estratto l asso di picche. Troviamo: P[AA Ap] = P[AA Ap] P[Ap un altro asso (non di picche] = 3 5 P[Ap] = P[Ap una carta qualsiasi delle rimanenti] = D altra parte, delle due carte estratte, una è nota (è l asso di picche; si tratta dunque di valutare solo la probabilità che l altra carta sia un asso, e restano 3 possibilità su 5. Valutiamo ora P[AA A ] = P[AA A ] P[A ] = P[AA] P[A ] = = 3 5 = 7. Di nuovo, se supponiamo di avere estratto un asso come prima carta, restano 3/5 possibilità che anche la seconda carta sia un asso. Dobbiamo ora valutare P[AA A 2 ] = P[AA A 2] P[A 2 ] = P[AA] P[A 2 ]. La probabilità di ottenere un asso come seconda carta, P[A 2 ], dipende da qual è la prima carta (un asso oppure no. Pertanto abbiamo: P[AA A 2 ] = 3 5 = P[AA] = P[A 2 A ] P[A ]+P[A 2 A ] P[A ] Che P[AA A ] = P[AA A 2 ] non deve sorprendere. Infatti, come detto, lo schema di estrazione può essere visto come schema di estrazioni contemporanee; pertanto, l ordine non conta. Considerare una carta come prima o seconda è una convenzione; la carta considerata come prima può sempre essere scambiata con quella considerata come seconda. Delle due carte estratte, una è nota (è un asso. Si tratta di valutare la probabilità che anche l altra sia un asso, e restano 3 possibilità su 5 (così come accade quando si sa che una delle due carte è un asso particolare. Dobbiamo ora valutare P[AA almeno una carta è un asso] = P[AA almeno una carta è un asso] P[almeno una carta è un asso] = P[AA] P[nessuna carta è un asso] = = E vero che la probabilità di ottenere volte di seguito nero è bassa. Supponendo che la metà dei numeri abbia colore nero, tale probabilità è: P[ volte nero] = ( 2 = Tuttavia, ogni esito della roulette è indipendente dal precedente, dunque: P[nero all -esima volta è uscito nero nelle 0 volte precedenti] = P[nero in un giro] = 2. La strategia del giocatore è inefficace, in quanto non migliora la sua probabilità di vincere. 4. La possibile evoluzione della popolazione inizialmente costituita da una cellula nel corso di un intervallo è descritta dal grafo seguente: = 0 cellule: la popolazione si estingue cellula cellula: una popolazione come quella iniziale 2 cellule: due popolazioni come quella iniziale Definiamo i seguenti eventi: E la popolazione inizialmente costituita da una cellula si estingue prima o poi, D la cellula decede nell intervallo, I nell intervallo, la cellula si mantiene immutata, R nell intervallo, la cellula si duplica. I tre eventi D, I, R sono incompatibili e complementari; sulla base dei dati, P[D] = P[I] = P[R] = 3. Inoltre, P[E D] =. Sia p = P[E]; possiamo affermare: P[E I] = p, in quanto se la cellula si mantiene immutata, la situazione è uguale a quella iniziale. Possiamo inoltre affermare: P[E R] = p 2, in quanto le due cellule hanno vite indipendenti e ciascuna dà origine 9

20 a una popolazione che ha le stesse caratteristiche di quella iniziale. Ricorrendo alle probabilità totali, si ha: P[E] = P[E D] P[D] + P[E I] P[I] + P[E R] P[R]. Sostituendo: p = 3 + p 3 + p2 3, verificata per p =. E dunque certo che la popolazione si estinguerà prima o poi. 42. Se al tempo 0 la popolazione è costituita da cellula, al tempo con probabilità /2 sarà costituita da 0 cellule (se la cellula decede e con probabilità /2 da 2 cellule (se la cellula si duplica: cellula 0 cellule: la popolazione si estingue 2 cellule: due popolazioni come quella iniziale Definiamo i seguenti eventi: E la popolazione si riproduce indefinitamente, R la cellula si duplica nel corso dell intervallo, D la cellula decede nel corso dell intervallo. Dobbiamo valutare P[E] e si può applicare il teorema delle probabilità totali: P[E] = P[E D] P[D] + P[E R] P[R]. Poniamo p = P[E]. Sulla base dei dati, P[D] = P[R] = 2. Inoltre, P[E D] = 0, visto che in caso di decesso della cellula nell intervallo, la popolazione cessa di esistere. Per quanto riguarda P[E R] possiamo ragionare come segue. Le due cellule danno origine a due popolazioni, ciascuna inizialmente costituita da cellula, e dunque ciascuna con la stessa struttura di quella considerata all epoca 0. Le due popolazioni avranno storie indipendenti. Dunque per ciascuna è pari a p la probabilità di riprodursi indefinitamente. Nel complesso, la popolazione si riproduce indefinitamente se almeno una delle due sottopopolazioni si riproduce indefinitamente; dunque: P[E R] = ( p 2 = 2p p 2. Sostituendo, si trova: p = 0 2 +(2p p2 2, verificata per p = 0. Un altro modo per risolvere il problema, è quello di valutare la probabilità di estinzione prima o poi della popolazione, la probabilità di riprodursi indefinitamente essendone il complemento a. Definiamo Ē l evento la popolazione costituita inizialmente da una cellula si estingue prima o poi. Si ha: P[Ē] = P[Ē D] 2 + P[Ē R] 2. Indicando con p il valore (incognito di P[Ē], si ha P[Ē R] = (p 2, in quanto se al tempo la popolazione è costituita da due cellule, l estinzione (prima o poi della popolazione nel suo complesso è verificata se ciascuna delle due popolazioni originate dalle cellule si estinguono prima o poi. Sostituendo i dati disponibili nella precedente equazione, si trova: p = 2 + (p 2 2, verificata per p =. Infine: p = p = 0. Si veda anche l esercizio 30 tra quelli svolti in aula. 43. La risposta deve essere data tenendo conto che il banco mostra sempre una carta che è picche. Si indichi con C i l evento la i-esima carta scelta è di cuori e P i l evento la i-esima carta scelta è di picche. Prima di scegliere la prima carta, il giocatore ha probabilità 3 di scegliere la carta di cuori: P[C ] = 3. Siccome il banco sa dov è la carta di cuori, P[C 2 ] = 0, mentre P[P 2 ] =. Pertanto: P[C 3 ] = P[C 3 C ] P[C ] + P[C 3 P ] P[P ] (l informazione data da P 2 è irrilevante, visto che il banco non fa una scelta casuale. Si ha: P[C 3 C ] = 0, in quanto è impossibile trovare cuori nella terza carta, se è stata scelta come prima carta; P[C 3 P ] =, in quanto la seconda carta 20

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