Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa. L incertezza

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1 La probabilità Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa L incertezza Nella maggior parte delle situazioni la nostra condizione è caratterizzata dallincertezza Incertezza relativa ad eventi che devono ancora accadere: Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del Superenalotto? Incertezza relativa ad eventi che sono già accaduti Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella stagione ? Incertezza relativa ad eventi che stanno accadendo Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione italiana? Incertezza relativa allesistenza e alla natura di leggi generali Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto allaumentare dei valori di PM 10? 1

2 L incertezza Allincertezza contribuiscono, in misura variabile: La nostra ignoranza, ovvero la limitatezza delle informazioni di cui disponiamo La variabilità dei fenomeni di cui ci occupiamo Mentre in alcuni casi losservazione (misura) ci permette di passare dallincertezza alla certezza (?) Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del Superenalotto? Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella stagione ? in altri casi, per diverse ragioni, la misurazione potrà solo ridurre lincertezza Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione italiana? Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto allaumentare dei valori di PM 10? La probabilità Che cosè la probabilità? A che cosa serve, in generale? A che cosa serve, per un epidemiologo? Interpretazione in termini probabilistici delle misure di occorrenza e di associazione Un fumatore ha una probabilità di ammalarsi di tumore 5 volte superiore a quella di un non fumatore Interpretazione in termini probabilistici delle caratteristiche di validità di un test diagnostico La probabilità che una persona sana risulti positiva al test mammografico è pari allo 0.5% Quantificazione delleffetto dellerrore casuale sulle stime campionarie La probabilità di osservare un rischio relativo 5 in assenza di associazione è pari al 3.2% 2

3 La probabilità La probabilità è ciò che ci aiuta (meglio, che ci dovrebbe aiutare) a ragionare (a fare affermazioni) in maniera corretta (o, quanto meno, coerente) in condizioni di incertezza. Ars conjectandi(jacob Bernoulli) Diversi aspetti: Filosofico: definizioni di probabilità Matematico: assiomi e regole Applicativo: come usare le probabilità EVENTO ALEATORIO Definizione L evento è l elemento di base al quale può essere applicata la probabilità è il risultato di una osservazione o di un esperimento è la descrizione di un potenziale risultato è lo stato preso da un sistema L evento è una proposizione logica suscettibile di essere verificata o no a seconda del risultato dell esperimento 3

4 Eventi aleatori Un fenomeno aleatorio è un fenomeno che può manifestarsi in vari modi e rispetto al quale siamo, pertanto, in condizioni di incertezza. Un fenomeno aleatorio deve essere, almeno teoricamente, verificabile (Lesito deve essere conoscibile). Una variabile aleatoria (numero aleatorio) è una variabile che può assumere diversi valori. A ciascuno di questi valori (esaustivi e mutuamente esclusivi) avrà senso attribuire una probabilità Un evento aleatorio è una variabile aleatoria che può assumere solo due valori (V/F, 0/1) Da una variabile aleatoria si passa ad unevento raggruppando i possibili esiti in due classi Probabilità Teoria classica La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero di esiti favorevoli ad esso e quello di tutti gli esiti possibili, purché questi ultimi siano equiprobabili.??? Si adatta abbastanza bene a quelle situazioni in cui i fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria, in cui nessun particolare esito è favorito rispetto agli altri due facce di una moneta sei facce di un dado estrazione di una carta da un mazzo uscita di un numero alla roulette 4

5 Probabilità Teoria classica Dalla definizione classica deriva che la misura della probabilità di un evento può variare da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo, nel primo caso, che l'evento è impossibile e nel secondo caso che l'evento è certo. In tutti gli altri casi: gli eventi hanno una probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero quanto più è difficile che l'evento accada e tanto più vicina ad 1, quanto più è facile che accada. Un'altra importante proprietà è che: la somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un fenomeno aleatorio deve essere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà per forza verificarsi La nascita della teoria frequentista 5

6 La nascita della teoria frequentista La nascita della teoria frequentista 6

7 La nascita della teoria frequentista La nascita della teoria frequentista 7

8 La nascita della teoria frequentista La nascita della teoria frequentista 8

9 La nascita della teoria frequentista La nascita della teoria frequentista 9

10 La nascita della teoria frequentista La nascita della teoria frequentista (e non solo ) 10

11 Probabilità Teoria frequentista Supponiamo di ripetere un esperimento n volte in condizioni sostanzialmente identiche e di contare il numero m di volte in cui l evento A si verifica all aumentare di n la proporzione m/n si avvicina ad un limite fisso che è la probabilità di A P(A) = lim n (m / n) La probabilità di un evento è dunque definita come la frequenza relativa con cui l evento si verifica in una lunga serie di esperimenti indipendenti condotti in condizioni virtualmente identiche Anche in questo caso: La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1 La somma delle probabilità dei possibili esiti è uguale a 1 Un esercizio per capire Un esercizio per capire la differenza tra FREQUENZA ASSOLUTA e FREQUENZA RELATIVA In Stata, la sequenza clear set obs 100 gen roll=1+int(6*uniform()) tab roll Genera 100 lanci di un dado (simulati ) Proviamo a fare 10 lanci e poi 100, 1000, 10000, Come sono le differenze ASSOLUTE tra le uscite? Come sono le differenze RELATIVE? 11

12 Probabilità Teoria frequentista Esempi: Se un meteorologo ci dice che cè una probabilità del 30% che oggi piova, non fa riferimento ad un modello simmetrico di eventi equiprobabili, ma si basa sulla frequenza osservata di giorni con pioggia con condizioni (di temperatura, umidità, pressione etc.) simili a quelli di oggi Se un medico ci dice che la probabilità di successo di un intervento chirurgico su un dato paziente è dell87%, si basa (dovrebbe basarsi!) sulla frequenza osservata di successi in un numero cospicuo di interventi dello stesso tipo eseguiti su pazienti con caratteristiche (età, genere, condizioni fisiche, patologie concomitanti, etc.) simili a quelle del paziente dato Probabilità Definizioni a confronto Ma possiamo davvero considerare tutti gli eventi ripetibili? Qualche volta e necessario un altro approccio: Definizione Approccio Tempo Eventi Stima Esempi Classica teorico a priori equiprobabili calcolo gioco d' azzardo Frequentista oggettivo a posteriori ripetibili frequenza relativa valutazione individuale da Bayesiana soggettivo a priori irripetibili parte di un soggetto razionale e coerente mortalità e morbosità in popolazioni stima del rischio individuale 12

13 Probabilità Teoria soggettiva Secondo questa teoria, la probabilità è una misura del grado di fiducia soggettiva (di chi parla) che un evento si realizzi (o che una variabile aleatoria assuma un determinato valore) su una scala che va da 0 (completa sfiducia che levento si verifichi) a 1 (certezza che levento si verifichi) Ovviamente, considerazioni di simmetria e di frequenza relativa osservata sono alla base della valutazione soggettiva Probabilità Teoria soggettiva La probabilità assegnata ad un evento corrisponde a quanto sono disposto a pagare per vincere 1 nel caso che levento si verifichi Secondo la teoria soggettiva dire che la probabilità di A è uguale a 0.75 significa dire che sarei disposto a pagare 75c per vincere 1 al verificarsi di A La teoria soggettiva è particolarmente adatta nel caso di eventi che possono verificarsi una sola volta e di eventi già verificatisi ma ignoti 13

14 Probabilità ogni approccio ha i suoi aspetti critici tutti i fenomeni presentano simmetrie che li rendono riconducibili a combinazioni di eventi equiprobabili Il fatto che allaumentare del numero di esperimenti la frequenza relativa tenda ad un limite è unipotesi (legge empirica delle medie) che non può essere dimostrata né matematicamente né empiricamente Per molti eventi non è possibile immaginare, nemmeno teoricamente, la ripetizione dellesperimento Probabilità: ogni approccio ha i suoi aspetti critici Ci piacerebbe che la probabilità fosse una proprietà dellevento, non dello stato mentale di chi la esprime La definizione soggettiva ipotizza una rigidità rispetto al rischio che in genere non cè Tuttavia, l oggettività viene recuperata nel definire le regole da usare per modificare le probabilità a priori alla luce delle osservazioni fatte 14

15 Probabilità Per fortuna, le regole di calcolo delle probabilità che riguardano il modo per quantificare la probabilità di eventi complessi, sono largamente indipendenti dalla teoria sottostante Le proprietà della probabilità 15

16 Eventi e teoria degli insiemi Insieme collezione di elementi aventi una proprietà in comune nel caso degli eventi e della probabilità, si tratta realizzazioni dello stesso evento A Esempi: 1) Che un soggetto sia fumatore 2) Che un soggetto sia affetto da tumore polmonare Eventi e teoria degli insiemi Spazio o universo L insieme che comprende tutti i possibili elementi Viene rappresentato spesso da un rettangolo che rappresenta lo spazio finito dell esperienza a cui si sta facendo riferimento Esempio: La popolazione dei suscettibili ad una specifica patologia (coloro cioè che possono ammalarsi) A U 16

17 Eventi e teoria degli insiemi Sottoinsieme Ogni elemento di A è anche elemento di B L evento A si verifica solo se è verificato anche l evento B A B Esempio: I forti fumatori (A) sono un sottoinsieme dei fumatori (B) A B U Eventi e teoria degli insiemi Insieme Unione l insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B Si esprime come A B = OR (operatore booleano) Esempio: L insieme dei soggetti che fumano (A) sigari, (B) sigarette A B 17

18 Eventi e teoria degli insiemi Insieme Intersezione l insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B Si esprime come A B = AND (operatore booleano) Esempio: L insieme dei soggetti che fumano (B), e sono affetti da tumore pomonare (A) A A B B Eventi e teoria degli insiemi Insieme complementare l insieme che contiene tutti gli elementi dell Universo U che non appartengono ad A comprende tutti gli eventi che escludono A c = NOT (operatore booleano) A A c = φ (l evento nullo) Esempio: L insieme dei soggetti NON affetti da tumore pomonare (A c ) A A c 18

19 Eventi mutuamente esclusivi Due eventi A e B che non possono verificarsi contemporaneamente sono definiti mutuamente esclusivi esempio: A è l evento che il tumore sia di stadio III B è l evento che sia di stadio IV A B = φ P(A B ) = 0 A B A B 19

20 La proprietà additiva Quando due eventi sono mutuamente esclusivi, la proprietà additiva della probabilità afferma che: la probabilità del verificarsi dell uno oppure dell altro evento è pari alla somma della probabilità di ciascuno dei due eventi OR A B P(A B ) = P(A) + P(B) P(A B ) > P(A) P(A B ) > P(B) A B La proprietà additiva Quando due eventi NON sono mutuamente esclusivi, la proprietà additiva della probabilità afferma che: la probabilità del verificarsi dell uno oppure dell altro evento è pari alla somma della probabilità di ciascuno dei due eventi meno la probabilità dell evento intersezione (che altrimenti sarebbe contata due volte) P(A B ) = P(A) + P(B) - P(A B ) A A B B P(A B ) > P(A) P(A B ) > P(B) 20

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22 La proprietà moltiplicativa Prendiamo in esame 1 evento aleatorio esposizione ed 1 effetto: ad esempio esposizione al fumo ed la presenza di BPCO Se i due eventi non sono associati, si combineranno casualmente, seguendo la proprietà moltiplicativa della probabilità 20% 10% 50% x = P(A AND B ) = P(A) x P(B) P(A AND B ) < P(A); P(A AND B ) < P(B) Eventi indipedenti e dipendenti L Epidemiologia costruttiva utilizza le misure di frequenza allo scopo di stimare se i due eventi si associano solo casualmente, o se l esposizione aumenta il RISCHIO di malattia: se l esposizione e la malattia sono tra loro indipendenti (non esiste dunque alcuna associazione) se l esposizione e la malattia sono tra loro dipendenti (l esposizione modifica la probabilità di malattia) La probabilità di essere Fumatore AND Malato è il prodotto delle probabilità elementari La probabilità di essere Fumatore AND Malato è MAGGIORE del prodotto delle probabilità elementari 22

23 La probabilità condizionata L esposizione e la malattia potrebbero essere distribuite nella popolazione come nel seguente schema: 0,2 0,5 Esposti 0,8 0,5 esposti 23

24 Eventi indipendenti se l esposizione e la malattia sono tra loro indipendenti la conoscenza dello stato di malattia non influenza la probabilità che un soggetto sia esposto 0,2 0,5 0,5 Esposti esp. 0,5*0,2= 0,1 0,5*0,2= 0,1 0,8 0,5 0,5 Esposti esp. 0,5*0,8= 0,4 0,5*0,8= 0,4 Eventi dipendenti se l esposizione e la malattia sono tra loro dipendenti la conoscenza dello stato di malattia modifica la stima della probabilità che un soggetto sia esposto 0,2 0,95 0,05 Esposti esp. 0,95*0,2= 0,19 0,05*0,2= 0,01 0,39 Esposti 0,39*0,8= 0,31 0,8 0,61 esp. 0,61*0,8= 0,49 24

25 La probabilità condizionata se l esposizione e la malattia sono tra loro dipendenti la conoscenza dello stato di malattia modifica la stima della probabilità che un soggetto sia esposto Esposti esp. Esposti esp. La conoscenza dello stato assunto da uno dei due eventi condiziona la stima della probabilità che si verifichi l ALTRO evento: PROBABILITA CONDIZIONATA 25

26 Il teorema di Bayes (1) a partire dai prodotti marginali e dalle probabilità nelle singole diramazioni, è possibile rovesciare l albero delle probabilità B B P(B A) P(B A c ) = P(BANDA) OR P(BANDA c ) = P(B) P(A)* P(B A) + P(A c )* P(B A c ) = P(B) (0,95*0,2) + (0,39*0,8 ) = 0,19 + 0,31 = 0,50 B c B c P(B c A) P(B c A c ) = P(B c ANDA) OR P(B c ANDA c ) = P(B c ) P(A)* P(B c A) + P(A c )* P(B c A c ) = P(B c ) (0,05*0,2) + (0,61*0,8) = 0,01 + 0,49 = 0,50 Il teorema di Bayes (2) In questo modo è possibile modificare la stima della probabilità che un soggetto sia malato sulla base della conoscenza dello stato di esposizione 0,19/0,5= 0,38 0,5*0,38= 0,19 0,19+0,31= 0,5 0,01+0,49= 0,5 Esposti esposti 0,31/0,5= 0,62 0,01/0,5= 0,02 0,49/0,5= 0,98 0,5*0,61= 0,31 0,5*0,02= 0,01 0,5*0,98= 0,49 26

27 Il teorema di Bayes ed i test Il teorema di Bayes viene utilizzato spesso nella valutazione di test diagnostici o screening Test Diagnostici: hanno come obiettivo di consentire una diagnosi di malattia Test di Screening: utilizzati su soggetti che non presentano alcuna sintomatologia clinica, permettono di classificare tali individui sulla base della probabilità di essere affetti da una particolare patologia Il teorema di Bayes consente di utilizzare la probabilità per valutare le incertezze associate ai risultati Misure di qualità di un test SENSIBILITA : la percentuale di soggetti che il test classifica come positivi = Veri positivi / (Veri positivi + Falsi negativi) esprime la probabilità che il test sia positivo nei soggetti SPECIFICITA : la percentuale di soggetti sani che il test identifica come negativi = Veri negativi / (Veri negativi + Falsi positivi) esprime la probabilità che il test sia negativo nei soggetti sani 27

28 Qualità del test ed alberi di probabilità Prevalenza Sensibilità P(B A) Test + Veri positivi P(A) Test- Falsi negativi 1- P(A) Test + Falsi positivi Test- Veri negativi Specificità P(B c A c ) Misure di qualità di un test VALORE PREDITTIVO DEL TEST POSITIVO (VPP): la probabilità di essere dei soggetti risultati positivi al test = Veri positivi / (Veri positivi + Falsi positivi) VALORE PREDITTIVO DEL TEST NEGATIVO (VPN): la probabilità di essere sani dei soggetti risultati negativi al test = Veri negativi / (Veri negativi + Falsi negativi) 28

29 Qualità del test ed alberi di probabilità Valore predittivo test + P(A B) Veri positivi P(B) Test + Falsi positivi Test- Falsi negativi Valore predittivo test - P(A c B c ) Veri negativi Qualità del test ed alberi di probabilità P(A)* P(B A) P(A B) = P(A)* P(B A) + P(Ac )* P(B A c ) = Preval. * Sensib. (Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.) Prevalenza Sensibilità Test + Test- Veri positivi Falsi negativi Veri positivi Falsi positivi Valore predittivo del test + Test + Specificità Test + Falsi positivi Veri negativi Falsi negativi Veri negativi P(A c )* P(B c A c ) P(A c B c )= P(A)* P(Bc A) + P(A c )* P(B c A c ) = Test- Test- (1-Preval. )* Specif. Valore predittivo del test - Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif. 29

30 Sistema di Classificazione citologica Classificazione Bethesda Infezione Reazioni ASCUS Lesione Intraepiteliale Squamosa (SIL) Basso Grado (LSIL) Alto Grado (HSIL) riparative Richart Neoplasia Intraepitaeliale della Cervice Condiloma CIN I CIN II CIN III Reagan (OMS) Normale Atipia Displasia lieve Displasia Displasia Carcinoma Carcinoma Moderata grave in situ invasivo Papanicolau I II III IV V da: Nanda K, et al., Ann Intern Med 2000; 132: Il Pap-test Stime di frequenza da: CNR - Basi scientifiche per la definizione di linee guida 10:1000 (p=0.01) 10: :1000 (p=0.003) (p=0.0001) da: Loiudice et al, Eur J Cancer Prev, 1998; 7: :1000 (p=0.08) Sensibilità 0.40 Specificità :1000 (p=0.01) Un esempio: il pap-test Prevalenza P(A)=0.01 Sensibilità P(B A) = =0.25 Test + Test- Veri positivi =0.01*0.75 = Falsi negativi =0.01*0.25 = =0.99 Specificità =0.07 P(B c A c ) =0.93 Test + Test- Falsi positivi =0.99*0.07 = Veri negativi =0.99*0.93 =

31 Qualità del test ed alberi di probabilità Prevalenza P(A)* P(B A) P(A B) = P(A)* P(B A) + P(Ac )* P(B A c ) , Sensibilità Specificità Test + Test Veri positivi Falsi negativi Falsi positivi Veri negativi P(A c )* P(B c A c ) P(A c B c )= P(A)* P(Bc A) + P(A c )* P(B c A c ) = Veri positivi Falsi positivi Veri negativi = Preval. * Sensib. (Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.) Valore predittivo del test Test (1-Preval. )* Specif Valore predittivo del test - Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif. Qualità del test ed alberi di probabilità Valore predittivo test = = Test + Test- Test Falsi negativi Test Test- Valore predittivo test / = / = / = / = Veri positivi = Falsi positivi = Falsi negativi = Veri negativi =

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