Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

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1 Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

2 Che cos è il caso? Ogni volta che per qualche scopo si fa qualcosa e si ottiene per determinate cause un risultato diverso da quello che ci si era proposto, questo si chiama caso. Si può quindi definire il caso come evento imprevedibile prodotto da cause confluenti in azioni che si compiono per qualche motivo. Il caso è ciò che ammette di essere diversamente. 2

3 Il caso e i dadi 3

4 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità La Teoria della probabilità è l analisi matematica degli eventi casuali, quindi di quegli fenomeni empirici che, sotto certe circostanze, possono essere descritti secondo le seguenti caratteristiche: non possiedono una regolarità deterministica (osservazioni ripetute dei fenomeni non portano alla stesso risultato) ma, al contempo: possiedono una regolarità statistica (descritta in termini di stabilità nel numero di volte che si presentano). 4

5 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Ad esempio, se lanciassimo 100 volte un dado regolare, otterremmo risultati differenti e senza struttura (es. senza periodicità): Se lo lanciassimo altre 100 volte avremmo 100 valori compresi tra 1 e 6 completamente differenti dai precedenti:

6 Numero di Esiti Numero di Esiti Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Tuttavia questi processi puramente casuali hanno una loro intrinseca regolarità: Primo Gruppo Secondo Gruppo Esito Dado Esito Dado 6

7 Numero di Esiti Numero di Esiti Numero di Esiti Numero di Esiti Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Questa regolarità si coglie tanto meglio quante più numerose sono le registrazioni dell evento casuale: 100 lanci 200 lanci Esito Dado Esito Dado 500 lanci lanci Esito Dado Esito Dado

8 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Il concetto di probabilità è quindi connesso col la natura casuale di certi eventi. La probabilità è il grado di fiducia che assegniamo ad un evento di manifestarsi: Definizione classica: Casi favorevoli/casi Possibili Definizione frequentista: Numero di eventi osservati/numero di prove effettuate 8

9 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Definizione classica Definizione frequentista Es. Dado (bilanciato) Es. lancio del dado volte Faccia Probabilità 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Faccia Probabilità / / / / / /

10 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Consideriamo ora un caso più semplice: il lancio di una moneta (bilanciata) che possa dare i due esiti Testa (T) o Croce (C) con eguale probabilità ½. Immaginiamo una scommessa che preveda di raddoppiare l importo della puntata se l esito della moneta è quello corretto. Puntiamo 100 su Testa. Se esce testa vinciamo 200 (100 della puntata + altri 100) Se esce croce non vinciamo nulla (cioè perdiamo i 100 della puntata) La puntata è come l acquisto di un biglietto della lotteria. 10

11 Il gioco d azzardo e il calcolo delle probabilità Quindi, detta V la vincita (200 o 0 ): Vinciamo 200 con probabilità 0,5 -> P(V=200) = 0,5 Vinciamo 0 con probabilità 0,5 -> P(V=0) = 0,5 Notare che P(V=0) + P(V=200) = 1 Se il costo di partecipazione alla scommessa/lotteria è 100 questo viene detto GIOCO EQUO 11

12 Giochi Equi Un gioco è detto equo se la vincita media (vincita attesa) è pari al costo di accesso alla scommessa (A). E(V) = P(V=200)*200 + P(V=0)*0 = 100 In altri termini, se potessi ripetere la scommessa tantissime volte, le volte in cui vinco e le volte in cui non vinco si compensano e nel lungo periodo non ho variazioni patrimoniali: A E(V) = = 0 12

13 Giochi Iniqui Quando un gioco è costruito in maniera tale che il costo di accesso alla scommessa è più alto della vincita media, si parla di giochi iniqui: A > E(V) Esempio: Vinciamo 150 con probabilità 0,5 -> P(V=150) = 0,5 Vinciamo 0 con probabilità 0,5 -> P(V=0) = 0,5 Costo di partecipazione alla scommessa 100 -> A=100 E(V) = 150* *0,5 = 75 < A =

14 Giochi Iniqui In un gioco iniquo una delle due parti (es. il banco) ha un margine di profitto. Mediamente il banco vince 25 per ogni scommessa giocata. Se le scommesse sono tante (es ) il banco avrà guadagnato circa Ovviamente la maggior parte dei giochi d azzardo sono costruiti in modo tale da essere inqui per il giocatore. Se A < E(V) il gioco è detto superequo ma è praticamente impossibile trovare giochi d azzardo del genere a favore del giocatore. 14

15 Giochi Iniqui E possibile dimostrare che: NON ESISTE MODO PER POTER RENDERE UN GIOCO INIQUO QUANTOMENO EQUO. 15

16 Strategie di gioco Tuttavia è anche vero che il giocatore può decidere come giocare o quanto giocare, applicando le c.d. strategie di gioco. Turno di gioco unico Puntata: A = 100 Vincita Probabilità 0 1/ /2 E(V) = 0*0, *0,5 =

17 Strategie di gioco Turno di gioco doppio Lo scommettitore divide l importo della propria puntata in due parti da giocarsi in due turni successivi. Sono possibili 4 situazioni: Esito Prima Scommessa Esito Seconda Scommessa Vincita Probabilità VINCE VINCE /4 VINCE PERDE /4 PERDE VINCE /4 PERDE PERDE /4 17

18 Strategie di gioco Turno di gioco doppio Da cui: Vincita Probabilità 0 1/ / /4 Il gioco rimane equo ma la probabilità di vincere o di perdere si modificano. E(V) = 0*0, *0, *0,25 =

19 Perché il banco vince sempre? Arrivando al titolo della presentazione, il banco vince sempre perché i giochi d azzardo sono tutti iniqui per il giocatore. Il giocatore perderà sempre nel lungo periodo. Può vincere occasionalmente. (Teorema della Rovina del Giocatore) Ma al banco interessa il comportamento di tanti giocatori e non del giocatore singolo. La domanda che ci si può porre è se esistano giochi meno iniqui di altri. 19

20 Roulette Plein, singoli numeri in cui, in caso di vittoria, si vince 35 volte la somma puntata Cheval, cavalli, o coppie di numeri in cui, in caso di vittoria, si vince 17 volte la somma puntata Transversale Pleine, terzine in cui, in caso di vittoria, si vince 11 volte la somma puntata Carrè, quartine in cui, in caso di vittoria, si vince 8 volte la somma puntata Transversale Simple, sestine in cui, in caso di vittoria, si vince 5 volte la somma puntata Douzaine, dozzine (prima, seconda o terza) in cui, in caso di vittoria, si vince 2 volte la somma puntata Colone, colonne (prima, seconda o terza colonna del tavolo) in cui, in caso di vittoria, si vince 2 volte la somma puntata 20

21 Roulette Puntata 1 Vincita Probabilità RTP = E(V) 1 Plein 36 (35 +1) 1/37 = 2,7% Cheval 18 (17 +1) 2/37 = 5,4% Transversale Pleine 12 (11 +1) 3/37 = 8,1% Carrè 9 (8+1) 4/37 = 10,81% Transversale Simple 6 (5+1) 6/37 = 16,21% Douzaine 3 (2+1) 12/37 = 32,43% 0,649 Colone 3 (2+1) 12/37 = 32,43% 0,649 RTP = Return to player 21

22 LOTTO 22