LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE. L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di

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1 LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di individuare la migliore tra tutte le alternative a sua disposizione. Problemi di ottimizzazione = problemi relativi alla scelta dell'alternativa migliore tra quelle disponibili.

2 2 I problemi di ottimizzazione prevedono tre elementi: 1 ) Le variabili decisionali Queste sono le variabili di cui dobbiamo determinare il valore ottimo

3 2) La funzione obiettivo 3 indica la relazione funzionale tra le variabili decisionali e certe variabili il cui valore debba essere massimizzato o minimizzato. Se la funzione obiettivo è y = f(x) sviluppare una procedura per trovare il valore di x che renderà massimo o minimo il valore di y.

4 3) L'insieme ammissibile 4 è l'insieme delle alternative disponibili per il decisore. QUINDI un problema di ottimizzazione (vincolata) è costituito da variabili decisionali, una funzione obiettivo e un insieme ammissibile. Il problema consiste nello scegliere l'alternativa preferita all'interno dell'insieme ammissibile.

5 SOLUZIONE 5 - alcune definizioni: La soluzione di un problema di ottimizzazione vettore di valori delle variabili decisionali x che appartiene all'insieme ammissibile e che dà luogo al valore massimo o minimo della funzione obiettivo. SE: f(x) = f(x 1, x 2,... x n ) funzione obiettivo; x è il vettore composto dagli n elementi delle variabili decisionali; S insieme ammissibile dei vettori x

6 Se immaginiamo di massimizzare la funzione obiettivo, una 6 soluzione x* deve avere la proprietà: f(x*) f(x) x S, x* S In questo caso abbiamo una soluzione globale La funzione obiettivo assume in quel punto un valore che non è inferiore ad alcun altro punto all'interno dell'insieme ammissibile.

7 7 Per una soluzione locale x**, vale che: f(x**) f(x) x N** S dove N** è un insieme di punti in un intorno di x** I metodi di cui disponiamo ci permettono solo di individuare dei massimi locali.

8 Proprietà della funzione obiettivo 8 Continuità per una funzione y = f(x) non vi sono salti o interruzioni nel suo grafico.

9 9 Concavità (o convessità) Si definiscono funzioni concave se f (x) f altezza dell'arco altezza della corda dove x = α x 0 + (1-α ) x 1 f = α f(x 0 )+ (1-α ) f(x 1 )

10 e per α (0,1). 10 Se vale la disuguaglianza stretta la funzione è detta strettamente concava. Per le funzioni convesse vale f (x) f Definiamo curva di livello o contorno di una funzione l' insieme dei valori del vettore x che hanno la proprietà: f (x 1, x 2 ) = c

11 11 Si puo dimostrare che la continuita di una funzione implica la continuita della curva di livello. Supponendo che la funzione sia differenziabile, calcoliamo il differenziale totale df= f 1 dx 1 +f 2 dx 2 = 0

12 12 da cui dx dx 2 1 = f f 1 2 la pendenza della curva di livello in un punto puo essere calcolata direttamente attraverso i valori delle derivate parziali della funzione in quel punto.

13 La nozione di curva di livello ci è utile per analizzare la quasi - 13 concavità di una funzione. Consideriamo due vettori x' e x'' che si trovano sulla stessa curva di livello, cioe tali che f(x') = f(x'') = c. Sia x una combinazione convessa di questi due punti.

14 14 E detta quasi concava una funzione le cui curve di livello soddisfino questa proprieta : f( x ) f(x') = f(x'') = c Se vale la disuguaglianza stretta, allora la funzione e strettamente quasi concava.

15 Proprietà dell' insieme ammissibile insieme non vuoto (contiene almeno un elemento). 2. insieme chiuso. Tutti i punti della frontiera appartengono all insieme stesso (Es.: 0 x 1) 3. insieme limitato: Deve essere sempre possibile includerlo in una sfera di dimensioni sufficientemente ampie. L'insieme 0<x<1 è limitato ma non è chiuso. L'insieme x 0 è non limitato e chiuso.

16 16 DEF: Un insieme non vuoto che sia anche chiuso e limitato e detto COMPATTO. 4. insieme convesso. Un insieme di punti A R n è convesso se - x A, y A t x +(1-t) y A per tutti i tali che 0 t 1 ogni coppia di punti appartenenti all insieme può essere congiunta da una linea retta che anch essa appartiene all'insieme stesso (strettamente convesso: giace all interno dell insieme).

17 Ottimo : Esistenza 17 Teorema dell' Esistenza (Weierstrass) Un problema di ottimizzazione possiede sempre una soluzione se : 1. la funzione obiettivo è continua e l'insieme ammissibile è COMPATTO, ossia 2. non-vuoto 3. chiuso 4. limitato Si noti che 1., 3., 4., sono condizioni sufficienti ma non necessarie. La 2. è invece una condizione necessaria.

18 Ottimo Locale o Globale 18 Consideriamo un problema di massimizzazione vincolata: max f (x 1, x 2 ) f 1, f 2 >0 tale che x1, x2 S

19 Ci interessa determinare in quali circostanze un massimo 19 relativo è anche un massimo assoluto. Teorema Un massimo relativo è anche un massimo assoluto se : 1. la funzione obiettivo è quasi concava e 2. l'insieme ammissibile è convesso

20 Unicità della soluzione 20 Teorema dell'unicità Dato un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo è quasi concava e l'insieme ammissibile è convesso una soluzione è unica se: 1. la funzione obiettivo è strettamente quasi concava oppure 2. l'insieme ammissibile è strettamente convesso oppure 3. l'insieme ammissibile è strettamente convesso e la funzione obiettivo è strettamente quasi concava

21 Ottimi Interni o di Frontiera 21 Consideriamo l insieme ammissibile. Possiamo suddividere idealmente, dato che l'insieme è chiuso, i suoi punti in due insiemi : 1. insieme dei punti interni. 2. insieme dei punti di frontiera Punto interno possiamo trovare un intorno del punto che contenga solo punti dell'insieme.

22 22 Punto di frontiera tutti gli intorni contengono punti che appartengono all'insieme e punti che non appartengono all'insieme.

23 OTTIMO: COME SI INDIVIDUA LA SOLUZIONE 23 Consideriamo il caso in cui x i * > 0, i (i vincoli di non negatività non sono attivi) IL PROBLEMA E : Trovare il massimo di una funzione obiettivo y = f(x 1, x 2 ) dato il vincolo: g(x 1,x 2 ) = b

24 L'insieme ammissibile è l'insieme dei punti che soddisfano 24 il vincolo g(x 1, x 2 ) b. I punti sulla frontiera soddisfano g(x 1,x 2 ) = b. Se f1, f2 > 0 l'ottimo si troverà sulla curva di livello più elevata raggiungibile dato l'insieme ammissibile.

25 La pendenza della curva di livello di f (.) è: dx dx 2 1 = f f la pendenza del contorno di g(.) è: dx dx 2 1 g = g 1 2 La soluzione ottimale x* soddisfa quindi le condizioni necessarie : (i) f f 1 2 = g g 1 2 (ii) g(x1,x2) = b

26 Dalla (i): 26 f g 1 1 f g 2 = = λ 2 > 0 da cui : f1 = λ* g1 f2 = λ* g2 quindi le condizioni necessarie per un ottimo sono f1 - λ* g1 = 0 f2 - λ* g2 = 0 g(x1*,x2*) = b

27 Possiamo risolvere questo problema di massimizzazione 27 vincolata trasformandolo in un problema di massimizzazione non vincolata di una funzione ausiliaria detta funzione di Lagrange o Lagrangiana: L (x1,x2, λ) = f(x1,x2) + λ[ b - g(x1,x2)]

28 [ b - g(x, x ) ] max f(x1, x 2 ) + λ 1 2 x1, x2, λ 28 Otteniamo esattamente le condizioni necessarie viste prima. L1 = f1(x*) - λ g1(x*) = 0 L2 = f2(x*) - λ g2(x*) = 0 Lλ = g(x1*,x2*) - b = 0

29 29 Le condizioni necessarie che derivano dall'applicazione della procedura di Lagrange sono valide solamente nel caso particolare in cui tutti i vincoli risultano essere attivi nel punto di ottimo e i vincoli di non negatività non vengono considerati.

30 IL SIGNIFICATO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 30 I moltiplicatori di Lagrange hanno una interpretazione di rilievo per le applicazioni economiche. Date le condizioni necessarie derivanti dal problema di massimizzazione vincolata: f 1 (x*) - λ g 1 (x*) = 0 f2(x*) - λ g2(x*) = 0 g(x1*,x2*) - b = 0

31 Possiamo considerarle come 3 equazioni in 3 incognite, 31 mentre b e un parametro, ovvero possiamo scrivere: x 1 * = h1(b) x 2 * = h2(b) λ * = ( b) h λ Definiamo con v* il valore che la funzione obiettivo assume nel punto di ottimo: v*= f(x 1 *, x 2 *) = f (h 1 (b), h 2 (b)) = v*(b)

32 Adesso ricaviamo: 32 dv * dx dx f f * 1 * 2 = db db db Poiche f1= λ* g1, f2= λ* g2 Inoltre dalla: dv * dx dx = g + g * 1 * 2 λ * 1 2 db db db g(x1*,x2*) - b = 0

33 calcolando il differenziale totale, si avra : 33 dg = db g 1 dx dx g * 1 * =1 db db da cui: dv*/db = λ *

34 Questa uguaglianza sta a significare che λ * costituisce la 34 variazione marginale nel valore ottimizzato della funzione obiettivo ad una variazione infinitesima nel vincolo. Ad es. se f(x) = utilita del consumatore e b= reddito, λ * rappresenta l utilita marginale del reddito.