CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE: MOTO DEL PROIETTILE, MOTO CURVILINEO E MOTI RELATIVI PROF. FRANCESCO DE PALMA

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1 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE: MOTO DEL PROIETTILE, MOTO CURVILINEO E MOTI RELATIVI PROF. FRANCESCO DE PALMA

2 Sommario INTRODUZIONE... 3 MOTO DEL PROIETTILE... 3 MOTO CIRCOLARE UNIFORME... 5 MODULO DELL ACCELERAZIONE IN UN MOTO CIRCOLARE UNIFORME... 6 DIREZIONE DELL ACCELERAZIONE IN UN MOTO CIRCOLARE UNIFORME... 8 MOTO CURVILINEO NON UNIFORME... 9 MOTI RELATIVI ESEMPI DI MOTI RELATIVI BIBLIOGRAFIA di 14

3 Introduzione Nella prima parte di questa lezione vedremo alcuni moti nel piano con alcune caratteristiche peculiari, ciascuno dei quali verrà studiato alla luce delle leggi della cinematica. Nella seconda parte della lezione vedremo alcuni moti relativi ed un esempio. Moto del proiettile Il moto di un punto materiale in un piano verticale (x-y) con una velocità iniziale e posizione iniziale nell origine, con un accelerazione di gravità g verso la parte negativa dell asse delle y è detto modo del proiettile. La particella che lo compie è chiamata proiettile. Il moto è rappresentato in Figura 1. In tutta questa trattazione stiamo considerando la resistenza dell aria completamente trascurabile, in un esperimento reale, dove la resistenza dell aria non è trascurabile, potremmo avere risultati differenti. Figura 1: Moto di un proiettile, lanciato con velocità iniziale con un angolo rispetto all asse x. Possiamo esprimere la velocità iniziale utilizzando i versori dell asse x e dell asse y, rispettivamente : risultano: Se la velocità forma un angolo rispetto all asse x, le componenti della velocità 3 di 14

4 Lungo l asse x l accelerazione è nulla ( equazioni orarie risultano: ) pertanto il moto è uniforme, quindi le Lungo l asse y l accelerazione è pari a quella di gravità ( uniformemente accelerato, le equazioni orarie risultano quindi: ) pertanto il moto è Dove per entrambi i sistemi abbiamo sostituito i valori delle posizioni iniziali (nell origine), delle velocità lungo gli assi e le accelerazioni. Grazie alle equazioni orarie lungo i due assi ora conosciamo entrambe le componenti di e lungo x e y. L equazione della traiettoria possiamo esprimerla eliminando t nelle equazioni x(t) e y(t). Dallo spostamento lungo x valutiamo il valore di t: Lo sostituiamo nello spostamento lungo y ed otteniamo la funzione y(x): Come si vede la traiettoria è una parabola passante per l origine con concavità verso il basso e con parametri che dipendono dall angolo formato dalla velocità iniziale, dal modulo della velocità iniziale e dall accelerazione di gravità. La traiettoria è rappresentata in Figura 1. La gittata R è la distanza raggiunta dal proiettile lungo l asse x fino a che esso non raggiunga la quota di partenza, come indicato in Figura 1. Per valutare il valore della gittata consideriamo il tempo impiegato dal corpo per tornare ad una altezza nulla: Una volta valutato il tempo impiegato dal corpo per giungere nuovamente al suolo possiamo valutare lo spostamento compiuto lungo x nel medesimo tempo, ed esso risulta pari a: L equazione precedente ci permette di valutare la gittata di un proiettile a partire dal modulo della velocità iniziale e dal suo angolo di lancio, ovviamente è interessante valutare, data la velocità 4 di 14

5 iniziale, quale sia la sua gittata massima. La gittata massima si ha quando ed in tal caso risulta: Un altro parametro rilevante del moto del proiettile è la massima altezza h m raggiunta dal corpo lungo la sua traiettoria, si veda Figura 1. L altezza massima è raggiunta quando la componente della velocità lungo l asse y diviene nulla. Pertanto possiamo valutare il tempo dall equazione che descrive la velocità lungo y: Possiamo ottenere l altezza massima raggiunta dal corpo sostituendo il valore di nell equazione che descrive il moto lungo y, ed avremo: dipende sia dal modulo della velocità che dall angolo di lancio, il valore massimo dell altezza si ha quando il corpo è lanciato perpendicolarmente al piano, pertanto quando risulta La distanza percorsa lungo l asse x quando il corpo raggiunge sostituendo il valore di nell equazione che descrive il valore dello spostamento lungo x:, si può valutare Essa risulta esattamente pari a metà della gittata totale. Moto circolare uniforme Il moto lungo una circonferenza di un corpo con una velocità costante in modulo, ovvero, è detto moto circolare uniforme, ad esempio si veda Figura 2. Poiché la direzione del vettore velocità varia, avremo comunque un accelerazione non nulla, pari a: 5 di 14

6 Figura 2: Rappresentazione grafica del moto circolare uniforme. Modulo dell accelerazione in un moto circolare uniforme Per calcolare il valore del modulo e della direzione dell accelerazione istantanea consideriamo i due triangoli (evidenziati in Figura 3) formati dai raggi e dalle velocità di due punti successivi lungo la traiettoria circolare. Ricordiamo che le velocità sono tangenti alla traiettoria e pertanto poiché stiamo considerando i raggi che partono dal centro della circonferenza, i raggi e le velocità sono sempre perpendicolari tra loro. Per verificare che i due angoli in verde nella Figura 3 siano uguali, si guardi la Figura 4. In quest ultima figura si vede che, l angolo in azzurro chiaro è pari a, poiché la somma totale degli angoli di un triangolo è pari a. L angolo opposto al vertice, sempre in azzurro chiaro in Figura 4, è congruente. Pertanto si ha che l angolo in marrone risulta pari a. Da cui si ha che gli angoli in verde in Figura 3 sono pari a. Figura 3: Rappresentazione delle velocità del moto circolare uniforme. I due triangoli evidenziati sono triangoli isosceli ( e ) ed hanno l angolo al vertice congruente e quindi sono simili. Pertanto abbiamo: 6 di 14

7 Equazione 1 Figura 4: Rappresentazione degli angoli dei triangoli isosceli formati delle velocità e dei raggi. Usando la definizione di accelerazione media, possiamo valutare il modulo dell accelerazione che risulta pari a: Equazione 2 Dove nella seconda uguaglianza si è sostituito il valore di trovato nella Equazione 1. Per intervalli di tempo molto piccoli (quindi per ) possiamo approssimare con la parte di traiettoria circolare (si veda Figura 3) tra i due raggi, pari al modulo della velocità per la lunghezza dell intervallo temporale, ovvero : In tal modo l Equazione 2 risulta: Possiamo valutare l accelerazione istantanea, passando al limite per dell accelerazione media appena trovata. L accelerazione risulta: In tal caso non abbiamo una approssimazione ma un uguaglianza tra i due termini. Si noti che l espressione precedente del modulo dell accelerazione è dimensionalmente una accelerazione, infatti: 7 di 14

8 Direzione dell accelerazione in un moto circolare uniforme Per valutare la direzione dell accelerazione in un moto circolare uniforme faremo alcune considerazioni. In un intervallo infinitesimo abbiamo: Equazione 3 Le prime relazioni sono già note, infatti, eccetto la prima che è nota dalle precedenti lezioni, sono dovute alle definizioni di accelerazione e velocità (siamo nel limite per ). La relazione può essere spiegata tramite la Figura 5. Per un intervallo di tempo non infinitesimo, gli angoli alla base del triangolo isoscele (i moduli delle velocità sono sempre uguali) risultano pari a, dove è l angolo compreso tra le due velocità. Per si ha che e l angolo formato tra la velocità e tende a 90. Pertanto abbiamo che Figura 5: Rappresentazione grafica utile per valutare la direzione dell'accelerazione. Dato il secondo sistema nella Equazione 3, si ha chiaramente che l accelerazione e il raggio dal centro della circonferenza al punto sulla circonferenza sono paralleli, ovvero: Pertanto si ha che l accelerazione in un moto circolare uniforme ha in ogni punto della circonferenza una direzione radiale ed è direzionata verso l interno della circonferenza. In conclusione, in un moto circolare uniforme l accelerazione ha: Modulo pari a ; 8 di 14

9 Direzione radiale ed è orientata verso il centro della circonferenza. Tale accelerazione viene chiamata accelerazione centripeta. Moto curvilineo non uniforme Se durante il moto non è costante né il modulo né la direzione della velocità, non avremo più un moto circolare uniforme, ma un generico moto curvilineo non uniforme. Dovremo pertanto generalizzare le relazioni precedenti. In ogni istante del moto possiamo scomporre l accelerazione in due componenti, una tangenziale e l altra normale alla traiettoria, ovvero: Figura 6: Analisi dell'accelerazione per un moto curvilineo vario. In giallo è indicata la circonferenza tangente alla curva nel punto dove è valutata l'accelerazione. La componente tangenziale dell accelerazione è responsabile della variazione del modulo della velocità ed ha modulo pari a. Tale componente nel moto circolare uniforme è nulla poiché si ha che La componente normale dell accelerazione è responsabile della variazione della direzione della velocità. Essa è inversamente proporzionale al raggio di curvatura locale della curva R (pari al raggio della circonferenza tangente che è unica per ciascun punto, in generale R può variare da punto a punto della traiettoria). Tale componente non è nulla nel moto circolare uniforme in quanto la direzione della velocità cambia durante il moto ed ovviamente il raggio R coincide con il raggio della circonferenza. Per quanto detto in precedenza, con versore normale alla traiettoria e versore tangente potremo scrivere l accelerazione di un corpo in moto curvilineo vario: 9 di 14

10 Moti relativi Se consideriamo due sistemi di riferimento S ed S, un punto generico P in S viene individuato da un raggio vettore, mentre rispetto a S da un vettore, come indicato in Figura 7. Noto il vettore che individua il centro del sistema di riferimento S rispetto ad S, possiamo scrivere: Equazione 4 Figura 7: Due diversi sistemi di riferimento individuano il medesimo punto P. Nel caso particolare in cui il sistema S si muova con una velocità costante di trascinamento,, ed i due sistemi coincidano per, dopo un tempo avremo: In generale, possiamo fare la derivata rispetto al tempo dell Equazione 4 ed otteniamo: Che può essere riscritta come: Equazione 5 Per riscrivere in tal modo la velocità stiamo assumendo che gli assi dei due sistemi di riferimento stiano solo traslando tra loro e non ci sia una rotazione, il caso più generico verrà discusso in seguito. L Equazione 5 è detta legge di composizione delle velocità galileana ed è valida se le velocità in gioco sono molto inferiori a quella della luce, pari 10 di 14

11 allora: Se il moto di un sistema di riferimento è rettilineo uniforme e quindi, avremo pertanto la derivata rispetto al tempo dell Equazione 5 si riduce a: In tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme, anche se la posizione e la velocità dipenderanno dal sistema di riferimento, misureremmo sempre la stessa accelerazione, questo sarà molto importante per lo studio dei sistemi di riferimento inerziali. Esempi di moti relativi Per chiarire le nozioni espresse nel paragrafo precedente, consideriamo una barca che deve attraversare un corso d acqua, largo d. Il fiume si muove con velocità di trascinamento costante, parallela alla riva, come rappresentato in Figura 8. La barca può muoversi rispetto alla terra ferma con una velocità e parte dal punto A su una riva. Il sistema solidale con le rive sarà il sistema fermo S, invece, il sistema solidale con l acqua sarà il sistema mobile S che si muove con velocità uniforme rispetto a S. Gli assi dei due sistemi di riferimento rimangono paralleli tra loro durante il moto, pertanto i versori dei due sistemi di riferimento coincidono, ovvero e. 11 di 14

12 Figura 8: Immagine per l'esempio dei moti relativi La barca parte con velocità rispetto al sistema in movimento S parallela all asse y :. La velocità relativa osservata alla sponda (sistema S) sarà: La barca non toccherà terra nel punto B come farebbe in assenza della corrente, ovvero con, ma nel punto C a destra del punto B. Il tempo impiegato per arrivare sull altra sponda sarà pari a: La posizione lungo l asse x a cui la barca approda sulla seconda sponda risulta: se consideriamo Se volessimo far giungere la barca in B la sua velocità,, dovrebbe avere una componente lungo x che annulli la componente della velocità di trascinamento, come nell esempio mostrato in Figura 9. Con una velocità che forma un angolo con il semiasse positivo delle y possiamo scrivere il valore della velocità della barca osservato da riva: Affinché il corpo giunga esattamente in B dobbiamo avere un moto in quiete lungo l asse x, pertanto imponiamo: 12 di 14

13 In tal modo avremo: Il tempo per giungere sull altra sponda in B risulta: Si può notare che lasciando invariato riva è minimo per. il tempo necessario per giungere sulla seconda Figura 9: Immagine per l'esempio dei moti relativi, con angolo non nullo della velocità di partenza con l'asse y 13 di 14

14 Bibliografia P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA 14 di 14

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