Lezione 2 - Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità. -Intro ad excel OPERAZIONI SUGLI EVENTI ALETORI ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ

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1 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 1 OERZIONI SUGLI EVENTI LETORI SSIOMI DELL ROILITÀ GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

2 GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel possibili casi favorevoli casi N m CSO 2: la probabilità classica -a priori φ φ φ Ω icompatibili soo eveti gli I I, dove # casi favorevoli di e # casi favorevoli i + # casi favorevoli i

3 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 3 Le tre proprietà della probabilità ssiomi della robabilità 0 1 Ω 1 +, I φ derivao cosiderado ua qualsiasi delle precedeti defiizioi di probabilità. Cosideradole come SSIOMI, seza specificare la defiizioe, si può costruire ua teoria del calcolo delle probabilità. Ci ritoreremo. GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

4 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Eveti 4 SZIO DEGLI EVENTI W. W è l eveto certo. E 1 E 2 E 1, E 2 W E 1 E 2 èl EVENTO UNIONE E 1 E 2 si verifica se almeo uo dei due si verifica E 1 E 2 E 1 E 2 èl EVENTO INTERSEZIONE E 1 E 2 E 1 E 2 si verifica se etrambi gli eveti siverificao GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

5 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 5 ESEMI: Lacio di ua moeta: W {T,C} TC1/2 T C W T C 1 T C Ø T C0 estrazioe da 15 umeri: W {1,2,3,4,5,,15} a1/15 Esce u umero > 7 esce u umero pari {2,4,6,8,9,10,11,12,13,14,15} 11/15 0,7 {8,10,12,14} 4/15 0,27 T W C GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

6 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 6 Eveti E 1, E 2 W E 1 E 2 Ø E 1, E 2 INCOMTIILI o DISGIUNTI E 1 E2 E W E c E EVENTO COMLEMENTRE W E c E GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

7 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 7 robabilità dell'eveto opposto o complemetare Dato u eveto, defiiamo c si legga o o complemetare l'eveto opposto o cotrario o egazioe di. L'eveto c si verifica tutte le volte i cui o si verifica l'eveto. I pratica, o si verifica l'eveto oppure si verifica l'eveto c, cioè c 1 d esempio, se è"domai pioverà", allora ~è"domai o pioverà". uò sembrare ua baalità, ma capita a talui di commettere qualche errore. d esempio, se si chiede il cotrario di "Vicere sempre", si può avere come risposta "No vicere mai.", metre la riposta corretta è"perdere almeo ua volta". Il cotrario di "ver detto sempre la verità" o è "ver sempre metito", ma "ver detto almeo ua bugia". I ogi caso, poiché e c soo disgiuti + c 1 c 1 GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

8 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 8 robabilità dell'eveto complemetare Esercizio 2.1 I ua famiglia ci soo due figli. Trova la probabilità che almeo uo sia maschio. Tal eveto èl'opposto di quello i cui si hao due figlie femmie. Quest'ultimo eveto, trascurado la piccola differeza riscotrata ei dati statistici, sui ati maschi e femmie, ha probabilità 1/4 vedi l'esempio delle due moete ell'esercizio 1.1. Duque la probabilità di avere almeo u figlio maschio sarà 1-1/4 3/4. Esercizio 2.2 Lacia ua coppia di dadi. Trova la probabilità che il 6 o compaia su essuo dei due dadi. che quest'eveto può cosiderarsi l'opposto di quello dell'esercizio 1.4 i cui abbiamo trovato che la probabilità di avere almeo u sei era 11/36. L'eveto opposto o avere essu sei ha duque probabilità1-11/36 25/36. Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

9 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 9 robabilità dell'eveto complemetare Esercizio 2.3 Lacia ua coppia di dadi. Trova la probabilità che le due facce presetio umeri diversi tra loro. Questo caso si può cosiderare come opposto dell'eveto "Due facce uguali" che si preseta 6 volte sui 36 casi possibili si osservi lo spazio campioe descritto ella figura dell'esercizio 1.4, co probabilità 1/6. L'eveto opposto avrà duque probabilità 1-1/6 5/6. Esercizio 2.4 toio e ruo decidoo che il coto del ar sarà pagato da colui che pesca la carta più bassa. er evitare la parità, decidoo di usare solo le 13 carte di uo stesso seme. toio pesca u 5. Che probabilitàha ora ruo di o pagare il coto? Le carte iferiori al 5 soo 4 delle 12 rimaste. ruo ha 1/3 di probabilità di pagare il coto. La probabilità di o pagare sarà: 1-1/3 2/3. Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

10 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 10 robabilità dell'eveto icompatili o disgiuti Due eveti si dicoo compatibili quado il verificarsi dell'uo o esclude il verificarsi ache dell'altro. d esempio l'eveto "rosso" è compatibile co l'eveto "pari" alla roulette, poiché fra i umeri rossi ce e soo di pari e di dispari e quidi rosso e pari èu eveto possibile. Soo icompatibili ivece gli eveti i cui il verificarsi di uo dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio el lacio di due dadi cosiderare l'eveto "escoo due facce uguali" e l'eveto "la somma èdispari". Gli eveti icompatibili o vao cofusi co quelli opposti. I questo caso deve verificarsi ecessariamete l'uo o l'altro dei due eveti, metre per gli eveti icompatibili può darsi che o si verifichi é l'uo é l'altro, come ad esempio "ero e dispari" oppure "pari, co due facce diverse" ei due esempi precedeti., eveti icompatibili +, eveti compatibili + Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

11 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 11 robabilità dell'eveto itersezioe èecessario defiire la probabilità dell'eveto composto " ", cioè la probabilità che si verifichio cotemporaeamete gli eveti e. ESEMIO: Immagiiamo di avere due scatole e di aver messo i etrambe 5pallie, 3 biache e 2 ere. Estraiamo ora ua biglia a caso da ciascua scatola. Lo spazio campioe può essere rappresetato da ua tabella, le cui righe rappresetao la biglia estratta ella prima scatola e le coloe quella estratta ella secoda. Le probabilità di estrarre ua sigola biglia biaca o ua era soo rispettivamete 3/5 e 2/5 i etrambe le ure. Si hao i segueti quattro eveti: E' facile verificare che: : 9 casi p9/25 N : 6 casi p6/25 N : 6 casi p6/25 NN : 4 casi p4/25 3/5 3/5 9/25; N 3/5 2/5 6/25; N 2/5 3/5 6/25; NN 2/5 2/5 4/25 Come si vede, le probabilità delle varie coppie di eveti, i tutti e quattro gli esempi, si possoo calcolare moltiplicado quelle dei rispettivi sigoli eveti. Si verifica solo se i due eveti e soo fra loro idipedeti, cioè se il verificarsi o meo del primo eveto o modifica i alcu modo la probabilità che si verifichi o meo il secodo. GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS Vittorio De etris

12 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 12 robabilità dell'eveto itersezioe: idipedeza quado due o più eveti soo tali che la probabilità che si verifichio tutti isieme è data dal prodotto delle rispettive probabilità, gli eveti si defiiscoo fra loro idipedeti. Due eveti si dicoo idipedeti se la probabilità della itersezioe si fattorizza el prodotto delle probabilità GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

13 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 13 Eveti dipedeti ed idipedeti. L'idipedeza può essere logica o ituitiva quado tra gli eveti o c'èesso plausibile. Immagiiamo due eveti: : "Il primo estratto sulla ruota di Geova èil 65." : " L'quila la temperatura ottura èscesa sotto lo zero." E' del tutto evidete che la temperatura ottura a L'quila èassolutamete idipedete dal umero estratto sulla ruota di Geova e viceversa. I due eveti soo quidi idipedeti fra loro. No sempre le cose soo così chiare. Soo molti i feomei privi di collegameti logici, che si rivelao coessi i qualche misura. Ne soo esempio molte statistiche mediche che mettoo i relazioe alcui tipi di alimeti co il rischio d'ifarto o il fumo di sigarette co il rischio di tumore ai polmoi. Le compagie di assicurazioe hao evidetemete stabilito u esso tra la resideza dell'automobilista e il rischio di provocare icideti o di... dichiararli, se hao fissato premi più costosi per i cittadii di alcue zoe rispetto a quelli di altre. Viceversa, si possoo avere casi i cui due eveti sembrao dipedere l'uo dall'altro, ma il calcolo delle probabilità permette di verificare che soo idipedeti. Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

14 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 14 Esempio. Eveti dipedeti ed idipedeti. Gettiamo due dadi uo rosso ed uo biaco e cosideriamo i segueti due eveti: il dado rosso preseta la faccia 6 1/6 i due dadi presetao facce uguali 6/36 1/6 Nel lacio di due dadi, lo spazio campioe ècostituito da 36 coppie di dadi Tuttavia il verificarsi dell'eveto, riduce lo spazio campioe ai soli sei casi i cui il dado rosso preseta la faccia 6. c'è u solo caso co due facce uguali: 6, 6; quidi la probabilità di, sapedo che si èverificato, è 1/6. Nel caso i cui o si sa se si èverificato l'eveto la probabilità o cambia, poiché lo spazio campioe si riduce a 36 casi e fra essi soo quelli co due facce uguali, quidi 6/36 1/6. Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

15 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 15 Esempio. Eveti dipedeti ed idipedeti. Gettiamo due dadi uo rosso ed uo biaco e cosideriamo i segueti due eveti: il dado rosso preseta la faccia 6 1/6 i due dadi presetao facce uguali 6/36 1/6 Nel lacio di due dadi, lo spazio campioe ècostituito da 36 coppie di dadi E' altrettato facile verificare che o viee modificata la probabilità di suppoedo che si sia verificato oppure o l'eveto. I due eveti soo quidi da cosiderare fra loro idipedeti. U uovo simbolo, che si legge "probabilità dell'eveto oto che sia l'eveto ", cioè la probabilità che assume l'eveto, sapedo o suppoedo che si sia verificato. robabilità codizioata GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

16 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 16 robabilità codizioata U uovo simbolo, che si legge "probabilità dell'eveto oto che sia l'eveto ", cioè la probabilità che assume l'eveto, sapedo o suppoedo che si sia verificato. I geere si calcola tale probabilità attraverso u restrigimeto dello spazio campioe, idicato dal rettagolo verde, al solo isieme dei casi favorevoli all'eveto isieme biaco ed adado a trovare il rapporto rispetto ad esso della parte di acora favorevole a area aracioe. Nel caso di eveti idipedeti Nel caso di eveti icompatibili si ha Nel caso di eveti dipedeti si ha 0 Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

17 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel robabilità codizioata: itersezioe di eveti Esercizio 2.5 redi ua moeta da 1 euro la cifra èscritta da ua sola parte e u dado. Lacia etrambi e calcola la probabilitàdi avere 1 sia sulla moeta che sul dado. 17 bbiamo i segueti due eveti. sulla moeta appare il valore 1 1/2 sul dado appare il valore 1 1/6 I due sigoli eveti soo idipedeti. 1/2 1/6 1/12 Esercizio 2.6 Si predao due carte da u mazzo da poker. Calcola la probabilità di avere ua coppia di assi. L'eveto si compoe dei due eveti sigoli: C la prima carta èu asso C 4/32 1/8 ci soo 4 assi elle 32 carte da poker D la secoda carta èasso I due eveti o soo idipedeti, poiché l'estrazioe della prima carta modifica lo spazio campioe, i cui resta ua carta i meo. D C 3/31 restao solo 3 assi elle 31 carte rimaste. D C D C C 3/31 1/8 3/248 GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS Vittorio De etris

18 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel robabilità codizioata: idipedeza 18 Esercizio 2.6 Cosidera lo spazio campioe rappresetato dall'itero rettagolo di area a bdella figura a lato. Fissa due eveti: : "U puto preso a caso ello spazio campioe appartiee alla superficie tratteggiata i blu : "U puto preso a caso ello spazio campioe appartiee alla superficie tratteggiata i verde". I due eveti soo idipedeti? Calcoliamo le probabilità dei due eveti, i base al rapporto tra l'area cosiderata e quella dello spazio campioe: a d/a b d/b c b/a b c/a d/b c/a c d/b a Calcoliamo la probabilità dell'eveto idicato dall'area tratteggiata sia i verde che i blu: c d/b a Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

19 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel robabilità codizioata: idipedeza 19 Esercizio 2.6 Cosidera lo spazio campioe rappresetato dall'itero esagoo della figura qui a lato e la cui area misura 168 caselle. Fissa due eveti: : "U puto preso a caso ello spazio campioe appartiee alla superficie tratteggiata i blu : "U puto preso a caso ello spazio campioe appartiee alla superficie tratteggiata i verde". I due eveti soo idipedeti? La superficie blu ha u'area di 42 caselle e quella verde di 55 caselle. Duque 42/168 e p55/168, da cui 42/168 55/168 55/672 0,08. La superficie tratteggiata sia i verde che i blu ha u'area di circa 12,14. Duque 12,14/168 0,07., quidi i due eveti o soo idipedeti. Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

20 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 20 robabilità codizioata Esercizio 2.9 Cosidera i due eveti dell'esercizio 2.8 e calcola le probabilità di e di, cofrotadole co le rispettive probabilità degli eveti e. / 12,14/168/55/168 12,14/55 0,22 < 0,25 / 12,14/168/42/168 12,14/42 0,29 < 0,327 Vittorio De etris GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

21 GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Teoria assiomatica della probabilit Teoria assiomatica della probabilità KOLMOGOROV 1, compatibili soo eveti gli icompatibili soo eveti gli c Ω φ φ φ φ I I I +

22 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 22 STRUMENTO DI LVORO: EXCEL Excel èu applicazioe di foglio elettroico che permette di raccogliere ed elaborare i dati iseriti dall utete. I dati vegoo raccolti i tabelle. Tabella Isieme di celle disposte secodo righe e coloe che costituiscoo i fogli di lavoro Cartelle di lavoro Isieme di fogli di lavoro raccolti isieme come ua rubrica telefoica e idetificati da ua etichetta Riferimeti: Statistica co Excel : apputi D. Morale "Laboratorio di Statistica co Excel" di.m. agaoi e L. otiggia GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

23 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 23 Selezioare le celle Ua cella : cliccare U itervallo di celle cotigue: cliccaree trasciare iu celle o cotigue: cliccaresulla prima, premere CTRL, cliccare sulle altre Ua riga ua coloa: cliccaresulla itestazioe della riga coloa Tutto il foglio di lavoro: cliccareil pulsate SELEZION TUTTO all icrocio delle itestazioi di riga e coloa GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

24 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Iserimeto dati 24 Cliccaresu ua cella ed iserire co la tastiera. Se i dati immessi soo umeri magari co la virgola allora vegoo iterpretati come dati umerici, altrimeti soo iterpretati comtesto. Il dato immesso compare sia ella cella sia ella barra della formula. Si da coferma sia co INVIO sia co V. Si cacella sia premedo NNULL dal meu MODIFIC, sia co X. Trovare u dato Dal meù MODIFIC cliccaresu TROV. Salvaggio Dal meù FILE cliccare SLV o SLV CON NOME GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

25 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Iserimeto fuzioi Cliccaresulla cella ed iserire u. questo puto si puo scrivere ua formula oppure si puo utilizzare ua formula predefiita, cliccadosu INSERISCI e poi FUNZIONE oppure cliccaresu F x dalla barra degli strumeti. Vi è ua luga serie di fuzioi statistiche. 25 Dr. Daiela Morale Sitassi delle fuzioi OERTORI RITMETICI: + DDIZIONE / DIVISIONE - SOTTRZIONE % ERCENTULE * MOLTILICZIONE ^ ELEVMENTO OTENZ OERTORI DI CONFRONTO: UGULE > MGGIORE DI < MINORE DI > MGGIORE 0 UGULE DI < MINORE O UGULE DI <> DIVERSO D GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

26 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Utilizzo dei riferimeti di cella 26 I riferimeti di celle iseriti i ua formula possoo essere espressi i tre distiti modalita : RIFERIMENTO RELTIVO: idica al programma ua cella e verra modificato automaticamete quado la formula viee copiata i ua posizioe diversa da quella di creazioe RIFERIMENTO SSOLUTO: idica al programma di utilizzare sempre la stessa cella a prescidere da dove verrà spostata la formula, si idetifica la cella di riferimeto assoluto co la seguete scrittura $$1 per idicare la cella di coloa riga 1 RIFERIMENTO MISTO: idica al programma u riferimeto assolto solo per riga o solo per coloa co la seguete scrittura $1 oppure $1. GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

27 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Esercizio.1: FUNZIONI MEDI E VRINZ 27 Iserire 10 valori umerici elle caselle comprese tra G11 e G20, far comparire la media di questi valori ella casella 8, e la loro variaza ella casella 9 usado le corrispodeti fuzioi del foglio elettroico. Iserire gli stessi dati elle celle 13 e 14 rispettivamete usado solo le operazioi algebriche come elle defiizioi di media e variaza Valor medio dei dati Variaza dei dati Valor medio dei dati Variaza dei dati GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

28 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 28 Media x 1/ Σ x i Variaza σ 2 1/ Σ i x i - x 2 I EXCEL FUNZIONI fx Fuzioistatistiche: MEDIum1, um2, restituiscela media aritmetica degliargometi umeri, riferimeti coteeti umeri VRum1, um2, restituiscela variaza degliargometi umeri, riferimeti coteeti umeri GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

29 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel Esercizio.2 iserimeto, copia, ordiameto, calcolo di fuzioi 29 Iserire 10 valori umerici elle caselle comprese tra 11 e 20, e poi copiarli ordiadoli el verso decrescete elle caselle dalla C11 alla C20 Nella casella F11 far comparire il massimo tra i valori iseriti e alla casella G11 il miimo Dati Dati ordiati Massimo Miimo ttezioe, ua volta ordiati i valori, è facile "copiare" il massimo e il miimo i ua uova casella. Esistoo però delle fuzioi che idividuao il massimo e il miimo. rovare a utilizzarle! GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

30 Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 30 Ordiameto di dati I EXCEL Tasto ordiameto Fuzioi MXum1, MINum1, um2, um2, GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

Probabilità e Statistica I

Probabilità e Statistica I Probabilità e Statistica I Elvira Di Nardo (Dipartimeto di Matematica) Uiversità degli Studi della Basilicata e-mail:diardo@uibas.it http://www.uibas.it/uteti/diardo/home.html Tel:097/05890 Prerequisiti:

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