Lavoro di Gruppo - I

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1 Lavoro di Gruppo - I Fulvio Bisi 1 Anna Torre 1 1 Dipartimento di Matematica - Università di Pavia Stage Orientamento 14 giugno 2016 Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

2 Outline 1 Insiemi numerici e operazioni 2 Traslazioni nel piano 3 Relazioni e classi di equivalenza 4 Aritmetica Modulare Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

3 NUMERI Insiemi numerici e operazioni Quali sono gli insiemi numerici che conoscete? Quali sono le operazioni che conoscete? Quali proprietà hanno? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

4 TRASLAZIONI Traslazioni nel piano Consideriamo il piano euclideo e l insieme delle traslazioni del piano; Cosa vuol dire comporre due traslazioni? Cosa si ottiene come risultato della composizione di due traslazioni? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

5 TRASLAZIONI Traslazioni nel piano Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

6 TRASLAZIONI Traslazioni nel piano Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni: { x = x+h y = y+k dove h e k sono due numeri reali fissati. Quale è la traslazione che si ottiene componendo questa con: { x = x+h y = y+k Definiamo (h, k)+(h, k ) = (h+h, k+k ) Di quali proprietà gode questa somma? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

7 Traslazioni nel piano TRASLAZIONI ORIZZONTALI Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

8 Traslazioni nel piano TRASLAZIONI ORIZZONTALI Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni: { x = x+h y = y+0 Quale è la traslazione che si ottiene componendo questa con: { x = x+h y = y+0 C è una relazione tra la somma nell insieme delle traslazioni orizzontali e qualche insieme numerico? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

9 Relazioni e classi di equivalenza RELAZIONI DI EQUIVALENZA Dato un insieme A e una relazione binaria R( ) tale relazione si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA se soddisfa le seguenti proprietà: a a per ogni a A (RIFLESSIVA) Se a b allora b a per ogni a, b A (SIMMETRICA) Se a b e b c allora a c per ogni a, b, c A (TRANSITIVA) Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

10 Relazioni e classi di equivalenza CLASSI DI EQUIVALENZA Dato un insieme A ed una relazione di equivalenza R( ) in esso, scelto un elemento a A, chiamiamo classe di equivalenza [a] dell elemento a modulo R l insieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad esso: [a] := {x A x a}. 1 ogni classe [a] è non vuota: contiene almeno a, poiché a a; 2 dati a, b A le due classi [a] e [b] hanno intersezione non vuota se e solo se a b e questo avviene se e solo se [a] = [b]; 3 l unione di tutte le classi di equivalenza dà A: a A ([a]) = A. Le classi di equivalenza formano una partizione di A. Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

11 Relazioni e classi di equivalenza ARITMETICA DELL OROLOGIO Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci dobbiamo incontrare? Quanto fa 9+7? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

12 Relazioni e classi di equivalenza ARITMETICA DELL OROLOGIO Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci dobbiamo incontrare? Quanto fa 9+7? Quanto fa 6+8? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

13 Relazioni e classi di equivalenza ARITMETICA DELL OROLOGIO Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci dobbiamo incontrare? Quanto fa 9+7? Quanto fa 6+8? Quanto fa 3+4? Quanto fa a+b con a e b compresi tra 0 e 12? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

14 Relazioni e classi di equivalenza Dormiamo 7h a partire dalla mezzanotte (0h); ci svegliamo alle...: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

15 Relazioni e classi di equivalenza A partire dalle 9h, lavoriamo 7h prima dell appuntamento con il nostro amico; ci vediamo alle... Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

16 CLASSI DI RESTO Aritmetica Modulare Insieme dei numeri interi Z e la relazione di equivalenza R = ha lo stesso resto nella divisione per 12 di. Per es., 7 31 (mod 12), perché dividendo sia 7 che 31 per 12 si ottiene come resto 7 ( 7 è equivalente a 31 modulo 12 ). Quali numeri sono nella classe di equivalenza di 0? Tutti i multipli di 12, che danno 0, appunto, come resto della divisione per 12: [0] = {0,±12,±24,±36,±48,±60,...}; E nella classe di equivalenza di 1? Nella classe di equivalenza di 1 stanno tutti i numeri immediatamente successivi ai multipli di 12: [1] = { 35, 23, 11, 1, 13, 25, 37, 49, 61,...}; Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

17 Aritmetica Modulare LE ALTRE CLASSI DI EQUIVALENZA e così via con le classi di equivalenza di 2, 3, 4,...: [2] = { 34, 22, 10, 2, 14, 26, 38, 50, 62,...}; [3] = { 33, 21, 9, 3, 15, 27, 39, 51, 63,...}; [4] = { 32, 20, 8, 4, 16, 28, 40, 52, 64,...}; Finiremo con la classe [11] poiché 0 12 la classe [12] coincide con [0], la classe [13] coincide con [1], ecc. Osserviamo che ogni classe è disgiunta dalle altre, e che riunendo le classi riotteniamo Z: abbiamo partizionato Z in 12 sottoinsiemi. Naturalmente, mediante altre relazioni di equivalenza, avremmo potuto partizionare l insieme diversamente (sia per numero di sottoinsiemi, che per gli elementi che si trovano in ciascun sottoinsieme). Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

18 Aritmetica Modulare OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di addizione e moltiplicazione : [a]+[b] = [a+b] e [a] [b] = [a b] Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a [a] e b [b], allora a+b a + b e a b a b. Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

19 Aritmetica Modulare OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di addizione e moltiplicazione : [a]+[b] = [a+b] e [a] [b] = [a b] Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a [a] e b [b], allora a+b a + b e a b a b. Sappiamo che esistono h, k, h, k Z per i quali a = 12 h+r e a = 12 h + r b = 12 k+r e b = 12 k + r Dunque: a+b = 12 (h+k)+r+ r e a + b = 12 (h + k )+r+ r. Quindi a+b e a + b sono equivalenti entrambi a r+r, e stanno nella stessa classe di equivalenza. Analoga la dimostrazione per a b e a b Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

20 Aritmetica Modulare ADDIZIONE TRA CLASSI DI RESTI Consideriamo l addizione; quindi: [2] +[10] = [12] = [0], infatti, per esempio, = 36, che è multiplo di 12. l addizione così definita è un operazione interna; è associativa (verificare!); [0] è chiaramente l elemento neutro; ogni elemento ha il suo opposto : nell esempio di prima, l opposto di [2] risulta essere [10]. L opposto di [n] è [ 12 n ]. Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

21 Aritmetica Modulare ABBIAMO IMPARATO QUALCOSA? In questo momento sono le 5. Che ora sarà tra 2715 ore? e tra 10 6 ore? Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

22 Aritmetica Modulare PERCHÉ PROPRIO 12 Perché ci piaceva riferirci all orologio. Ma non c è alcun motivo per non scegliere altri numeri naturali: 2, 3, 4...n... Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

23 n = 2 Aritmetica Modulare I possibili resti della divisione per 2 sono 0 e 1 quindi abbiamo solo due classi di resti : la classe dei numeri pari e quella dei numeri dispari. Sommando due numeri pari o due numeri dispari si ottiene un numero pari, mentre sommando un numero pari con uno dispari si ottiene un numero dispari La tabella della nostra operazione di addizione diventa dunque: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

24 n = 3 Aritmetica Modulare Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

25 n = 3 Aritmetica Modulare I possibili resti della divisione per 3 sono 0, 1 e 2 quindi abbiamo tre classi di resti. Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b possono essere uguali a 0, 1 o 2) si ottiene un numero che ha un resto che corrisponde alla seguente tabella: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

26 n = 4 Aritmetica Modulare Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20

27 n = 4 Aritmetica Modulare I possibili resti della divisione per 4 sono 0, 1, 2 e 3 quindi abbiamo quattro classi di resti. Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b possono essere uguali a 0, 1, 2 o 3) si ottiene un numero che ha un resto che corrisponde alla seguente tabella: Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu / 20