Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

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1 Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1

2 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire e rappresentare graficamente le funzioni: polinomiali razionali irrazionali logaritmiche ed esponenziali goniometriche valore assoluto In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire e rappresentare graficamente: - le funzioni polinomiali; - le funzioni razionali; - le funzioni irrazionali; - le funzioni logaritmiche e esponenziali; - le funzioni goniometriche; - la funzione valore assoluto. 2

3 Le funzioni polinomiali: n=0 e n=1 Una funzione si dice polinomiale se è del tipo f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 + +a 0 con a n 0, n N n rappresenta il grado del polinomio. n = 0 f(x) = k Retta Orizzontale n = 1 In particolare: f(x) = ax + b con a,b R Retta se a > 0 Crescente se a < 0 Decrescente Introduciamo innanzitutto le funzioni polinomiali. Viene detta funzione polinomiale una funzione come quella che visualizzata a video. Il numero n rappresenta il grado del polinomio. Analizziamo quindi i seguenti casi: Se n=0 si ha la funzione f(x)=k che graficamente rappresenta una retta orizzontale. Se n=1 si ottiene la funzione lineare f(x)=ax+b con a,b є R. Solitamente il dominio e il codominio della retta coincidono con l insieme dei numeri reali. Graficamente tale funzione rappresenta una retta. Ricordiamo che se a>0 la retta è crescente, se a<0 la retta è decrescente. 3

4 Le funzioni polinomiali: n=2 b e c appartenenti ad n = 2 f(x) = ax 2 + bx + c con a, b, c R e a 0 Parabola Ricordiamo che il vertice della parabola si determina con le formule: Inoltre: 2 b b + 4ac V ; 2a 4a se a > 0 Concavità verso l alto se a < 0 Concavità verso il basso Quando il grado del polinomio è uguale a 2 si ottiene la funzione quadratica f(x)=ax 2 +bx+c con a,b,c є R e a 0 che graficamente rappresenta una parabola. Il dominio della parabola coincide con tutto R. Per tracciare il grafico della parabola basta conoscere : il vertice, le cui coordinate si ottengono con le formule mostrate a video, e le eventuali intersezioni con l asse delle ascisse, che si determinano risolvendo il sistema tra l equazione della parabola e quella dell asse x. Ricordiamo inoltre che se a>0 la parabola avrà la concavità verso l alto; se a<0 la parabola avrà la concavità verso il basso. 4

5 Le funzioni polinomiali: n>2 n > 2 il grafico cambierà in base al grado n del polinomio. Come esempio consideriamo la funzione Potenza n-esima di x: f(x) = x n Se il grado n è pari Se il grado n è dispari C = R + C = R Se il grado del polinomio è maggiore di 2 il grafico della funzione polinomiale cambierà in base al grado n del polinomio. Come esempio consideriamo la funzione potenza n-esima di x definita come f(x)=x n con n є N se n è un numero pari, il dominio coincide con R e il grafico della funzione è qualitativamente simile a quello della funzione f(x)=x 2 (caso particolare di parabola); il codominio invece è dato dai numeri reali non negativi. se n è un numero dispari, il dominio e il codominio coincidono con R e il grafico della funzione è qualitativamente simile a quello della funzione f(x)=x 3. 5

6 Le funzioni razionali A( x) Una funzione razionale si presenta come il quoziente di due polinomi: f ( x) = B( x) { } Il suo dominio è l insieme R privato dei valori per i quali si annulla il denominatore: D = x R B( x) 0 Per esempio, consideriamo la funzione: Se il grado n è pari f 1 x ( x) = n n ϵ N Se il grado n è dispari \{0} C = R + \{0} C = R\{0} Esaminiamo adesso le caratteristiche delle funzioni razionali. Una funzione razionale si presenta come il quoziente di due polinomi. Indicando con A(x) il polinomio al numeratore e con B(x) il polinomio al denominatore, la funzione razionale è data dal rapporto A(x)/B(x). Il suo dominio è l insieme R dei numeri reali privato dei valori per i quali si annulla il denominatore. Come esempio consideriamo la funzione f(x)=1/x n con n є N Se il grado n è pari la funzione ha come dominio R\{0} e come codominio R +. Dalla figura si può osservare che tale funzione è crescente per x<0 e decrescente per x>0. Se, invece, n è un numero dispari la funzione ha come dominio e codominio R\{0}. Come si può osservare dalla figura la funzione è decrescente negli intervalli (-,0) e (0,+ ). 6

7 Le funzioni irrazionali Una funzione irrazionale è una funzione in cui è presente (una o più volte) l operazione di estrazione di radice. ( x) = n R( x f ) Il dominio di una funzione irrazionale varia a seconda dell indice n della radice: se n è pari il dominio di f(x) è formato da tutti i valori di x per cui esiste il valore R(x) ed è positivo se n è dispari il dominio di f(x) coincide con il dominio di R(x) Come esempio consideriamo la funzione: Se il grado n è pari + C = R + f ( x) = n x C = R n ϵ N e n 2 Se il grado n è dispari Viene definita, invece, funzione irrazionale ogni funzione in cui è presente (una o più volte) l operazione di estrazione di radice. Una funzione irrazionale è quindi come quella mostrata a video. Il suo dominio varia a seconda dell indice n della radice: se n è pari il dominio di f(x) è formato da tutti i valori di x per cui R(x) è definito ed è positivo se n è dispari il dominio di f(x) coincide con il dominio di R(x) Come esempio consideriamo la funzione radice n-esima di x, con n є N e n 2. Se l indice è un numero pari la funzione ha come dominio R + e il grafico della funzione è qualitativamente simile a quello della radice quadrata di x. Come si può osservare dalla figura la funzione è crescente. Se, invece, n è un numero dispari, la funzione ha come dominio e come codominio l insieme dei numeri reali e il grafico della funzione è qualitativamente simile a quello della radice cubica di x. Dalla figura si può osservare che tale funzione è sempre crescente. 7

8 La funzione esponenziale e funzione logaritmica Funzione esponenziale f(x) = a x a > 0 C = R + Funzione logaritmica f(x) = log a x a > 0 Logaritmo naturale: f(x) = log e x = ln(x) dove e è il numero di Nepero, e= 2, C = R Introduciamo adesso la funzione esponenziale e la funzione logaritmo. Viene detta funzione esponenziale la funzione f(x)=a x, con a>0. Se a=1 la funzione esponenziale diventa la funzione costante f(x)=1. Il grafico mostra le due funzioni esponenziali: in rosso quella con base a>1 e in blu quella con base compresa strettamente tra 0 e 1. In entrambi i casi il dominio della funzione esponenziale è R mentre il codominio è R +. La funzione inversa della funzione esponenziale si chiama funzione logaritmo e si indica con f(x)=log a x, con a>0. Ricordiamo che il logaritmo in base e, dove e=2, noto come numero di Nepero, si definisce logaritmo naturale e si indica con f(x)=ln(x). Il grafico in figura mostra le due funzioni logaritmiche: in blu quella con base a>1 e in rosso quella con base compresa strettamente tra 0 e 1. Il dominio della funzione logaritmica è R +, mentre il codominio è R. 8

9 Le funzioni goniometriche Funzione seno Funzione coseno f(x) = sen(x) f(x) = cos(x) C = {x ϵ R -1 x 1} Funzione tangente Funzione cotangente f(x) = tan(x) f(x) = cotan(x) π D = x R x + kπ, k Z 2 C = R D = C = R { x R x kπ, k Z} Analizziamo, infine, le principali funzioni goniometriche. Le funzioni goniometriche sono funzioni periodiche. La figura riporta i grafici delle funzioni seno, in rosso, e coseno, in blu. Entrambe le funzioni sono periodiche con periodo 2π e per entrambe il dominio è R mentre il codominio è l insieme dei numeri reali compresi tra -1 e +1. La figura riporta il grafico della funzione tangente che è periodica con periodo π. Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli per i quali il coseno si annulla, mentre il codominio è R. L ultima figura riporta il grafico della funzione cotangente che è periodica con periodo π. Il dominio dato da tutti i numeri reali tranne quelli per i quali il seno vale zero, mentre il codominio è R. 9

10 i legge f di modulo La funzione valore assoluto La funzione valore assoluto fa corrispondere a ogni numero x il numero stesso, se esso è positivo o nullo, il suo opposto, se è negativo. Il dominio di questa funzione coincide con l insieme R, mentre il codominio è l insieme R + dei numeri reali non negativi. Inoltre osserviamo che f(x) f( x ). f ( x) x = x = x se x 0 se x < 0 Esempio di svolgimento: Definire la f(x) e la f( x ) sapendo che f(x)=x+3. Osserviamo che f(x) 0 se x -3. Allora si ha: f ( x) x + 3 = ( x + 3) se x -3 se x<-3 f ( x ) x + 3 = x + 3 se x 0 se x<0 Introduciamo adesso la funzione valore assoluto o modulo. La funzione valore assoluto fa corrispondere a ogni numero x il numero stesso, se esso è positivo o nullo, il suo opposto, se è negativo. In simboli la funzione è rappresentata come in figura. Il dominio di questa funzione coincide con l insieme R, mentre il codominio è l insieme R + dei numeri reali non negativi. Occorre prestare attenzione al fatto che f(x) f( x ), questo sarà più chiaro osservando il seguente esempio. Data la funzione f(x)=x+3, definire le funzioni f(x) e f( x ). Dato che i valori per cui f(x) è positiva sono x -3, dalla definizione otteniamo la funzione valore assoluto di f, f(x), mostrata a video. Osservando la figura si può notare che il grafico si ottiene rappresentando la funzione f(x) e simmetrizzando rispetto all asse delle x. [4] Nel secondo caso invece dobbiamo distinguere quando x è positiva o negativa (e non più f(x)). Quindi otteniamo la funzione f( x ) mostrata a video. Osservando il grafico si può notare che la simmetria questa volta è rispetto all asse delle y. 10

11 Conclusione Funzioni Reali Esponenziali e logaritmiche Goniometriche Polinomiali Razionali Irrazionali Valore assoluto Lineare Quadratica Potenza n-esima In questa lezione abbiamo rappresentato alcune funzioni elementari. Abbiamo introdotto le funzioni polinomiali definito e rappresentato alcuni casi particolari di queste quali: - le funzioni lineari - le funzioni quadratiche - le potenze n-esime. In seguito abbiamo definito e rappresentato le funzioni razionali, le funzioni irrazionali, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni goniometriche e infine le funzioni valore assoluto. 11

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