Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11

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1 Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11

2 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log a x con a > 0 e a 1. 2 / 11

3 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log a x con a > 0 e a 1. In particolare si ha che y = log a x a y = x 2 / 11

4 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log a x con a > 0 e a 1. In particolare si ha che y = log a x a y = x per cui la funzione logaritmo é la funzione inversa dell esponenziale. 2 / 11

5 Logaritmi 3 / 11 Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali: log a a x = x, x R

6 Logaritmi 3 / 11 Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali: log a a x = x, x R a log ax = x, x R,x > 0

7 Grafico di funzione inversa 4 / 11 Siano A,B R e sia f : A B una funzione invertibile. Allora il grafico di f 1 e il grafico di f risultano uno il simmetrico dell altro rispetto alla bisettrice y = x.ossia: Γf 1 = {(x,f (x)) R 2 : x B} = {(f (x),f 1 (f (x))) R 2 : x A} = {(f (x),x) R 2 : x A}

8 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha

9 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1

10 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1 log a 1 = 0

11 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1 log a 1 = 0 log a (x) k = klog a x k R

12 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1 log a 1 = 0 log a (x) k = klog a x k R log a (x 1 ) + log a (x 2 ) = log a (x 1 x 2 )

13 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1 log a 1 = 0 log a (x) k = klog a x k R log a (x 1 ) + log a (x 2 ) = log a (x 1 x 2 ) ( ) log a (x 1 ) log a (x 2 ) = log x1 a x 2

14 Proprietá 5 / 11 Per a,b,x,y R +, con a,b 1 si ha log a a = 1 log a 1 = 0 log a (x) k = klog a x k R log a (x 1 ) + log a (x 2 ) = log a (x 1 x 2 ) ( ) log a (x 1 ) log a (x 2 ) = log x1 a x 2 log b x = log ax log a b

15 Logaritmi 6 / 11 y y a > 1 x 0 < a < 1 x

16 Numero di nepero 7 / 11 Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero e 2,71828

17 Numero di nepero 7 / 11 Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero e 2,71828 Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.

18 Numero di nepero 7 / 11 Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero e 2,71828 Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi. Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, e indicato solitamente come lnx o impropriamente con logx.

19 Numero di nepero 7 / 11 Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero e 2,71828 Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi. Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, e indicato solitamente come lnx o impropriamente con logx. La funzione esponenziale con base e, e x, viene semplicemente detta funzione esponenziale.

20 Esempi 8 / 11 log 2 8 = 3 perché 2 3 =8

21 Esempi 8 / 11 log 2 8 = 3 perché 2 3 =8 log 1 3 ( 19 ) = 2 perché ( 13 ) 2 = 1 9

22 Esempi 8 / 11 log 2 8 = 3 perché 2 3 =8 log 1 3 ( 19 ) = 2 perché ( 13 ) 2 = 1 9 log 1 2 x = 3 = x = ( 1 2 ) 3 = 8

23 Esempi 8 / 11 log 2 8 = 3 perché 2 3 =8 log 1 3 ( 19 ) = 2 perché ( 13 ) 2 = 1 9 log 1 2 x = 3 = x = ( 1 2 ) 3 = 8 log x 16 = 2 = x 2 = 16 = x = 4

24 Esempi 8 / 11 log 2 8 = 3 perché 2 3 =8 ( log 19 ) ( 1 = 2 perché 13 ) 2 = log 1 x = 3 = x = ( ) = 8 log x 16 = 2 = x 2 = 16 = x = 4 3 log35 = 5

25 Esercizi 9 / 11 Determinare il dominio delle seguenti funzioni: y = log(x + 2), y = log x + 1, y = log 2 (8 x 2 ) log(x 2 + 4x) + x

26 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2.

27 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = e x :

28 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = e x : interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

29 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = e x : interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

30 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = e x : interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

31 Esercizi 10 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = e x : interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3. Per quali valori di x, la funzione assume valori maggiori di 5?

32 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0.

33 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = log 3 (x):

34 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = log 3 (x): interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

35 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = log 3 (x): interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

36 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = log 3 (x): interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

37 Esercizi 11 / 11 Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f (x) = log 3 (x) e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f (x) = log 3 (x): interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3. Per quali valori di x, la funzione assume valori maggiori di 2?

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