2.4 Flussi di valore massimo

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1 .4 Flui di valore maimo I modelli di fluo hanno variae applicazioni in eori come elecomunicazioni informaica (muliproceori, proocolli inerne) rapori (aereo, radale, ferroviario, merci) Si raa di diribuire un cero prodoo (e.g. acqua, ga, dai, ) da uno o più puni di produzione ad uno o più puni di uilizzo. E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

2 .4. Definizioni e problema Ree di fluo: rafo orienao =(V, A) conneo con orgene V e deinazione V e con capacià k ij 0 (i, j) A 3 3 δ - ()=δ + ()=Ø capacià k ij dell arco (i, j) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

3 Fluo ammiibile da a : una funzione x: A che 0 x ij k ij (i, j) A ale, 0,3, 0, 0,3, x ih = x + ( i, h) δ ( h) ( h, j) δ ( h hj ) h V \{, } quanià di prodoo che enra = quanià di prodoo che ece (equazioni di conervazione) Valore φ del fluo x = x δ + j ()={ (, j) : (, j) A } + (, j) δ ( ) il fluo x precedene è di valore φ= E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 3

4 Dai una ree di fluo = (V, A) con capacià ugli archi, due nodi, V, e un fluo ammiibile x un arco (i, j) A è auro e x ij = k ij carico x ij = 0 E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 4

5 Problema Sia una ree di fluo = (V, A) con capacià inere ugli archi e, V, deerminare un fluo ammiibile di valore maimo. NB : Se più orgeni/deinazioni con unico ipo di prodoo: * * capacià = + E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 5

6 Modello di programmazione maemaica: lineare max φ.v. x hj x ih + ( h, j) δ ( h) ( i, h) δ ( h) = φ e h = -φ e h = 0 alrimeni quanià nea che ece da 0 x ij k ij (i,j) A x ij, φ (φ indica il valore del fluo ammiibile x) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 6

7 .4. Flui ammiibili e agli Taglio della ree aglio δ(s) di con S V e V \S in una ree con n verici n- agli che eparano da! k( S) Capacià del aglio indoo da S: + S 3 3 capacià k(s) = 7 ( i, j) δ E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 7 = k ij ( S )

8 Dao un fluo ammiibile x e un aglio δ(s) con S e S ϕ( S) = ( i, j) δ + x ij x ( S ) ( i, j) δ ij ( S ) èil valore del fluo ammiibile x aravero il aglio δ(s). φ({}) = valore del fluo Fao Dao x ammiibile, per ogni aglio δ(s) che epara da i ha φ(s)= φ({}). S conervazione del prodoo v V\{, } E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 8

9 r i e à Proprieà Per ogni fluo ammiibile x e ogni aglio δ(s), S V, che epara da, i ha φ(s) k(s) valore del fluo capacià del aglio Dim. Vio che: φ(s) = k ij x ij xij + + ij ( i, j) δ ( S ) ( i, j) δ ( S ) ( i, j) δ ( S ) 0 k = k(s) def. fluo aravero il aglio δ(s) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 9

10 Coneguenza: Se φ(s) = k(s) per un S V con S e S, allora x è di valore maimo e la capacià del aglio δ(s) è minima. La proprieà eprime una relazione di dualià debole fra i due problemi: Dai = (V, A) con capacià inere ugli archi e due nodi, V, deerminare un fluo ammiibile di valore maimo. Dai = (V, A) con capacià inere ugli archi e due nodi, V, deerminare un aglio (che epara da ) di capacià minima. Sudieremo queo ipo di relazione nell ambio generale della programmazione lineare. E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 0

11 .4.3 Algorimo di Ford-Fulkeron Idea: parire da x ammiibile e cercare di aumenare il valore uando ad ogni pao un cammino (non orienao) da a lungo il quale i può inviare una quanià aggiuniva di prodoo., 0,3, 0, 0,3,,3,,3 φ 0 = φ({}) = φ = E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

12 e (i, j) non è auro (x ij < k ij ) i può aumenare x ij e (i, j) non è carico (x ij > 0) i può diminuire x ij ripeando 0 x ij k ij arco in avani,,3 0, arco all indiero i può inviare δ = unià di prodoo in più da a Un cammino P da a è aumenane ripeo ad un fluo ammiibile x e x ij <k ij arco in avani e x ij >0 arco all indiero. E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

13 Sia un fluo ammiibile x per = (V, A) Coruire la ree incremenale = (V, A ) aociaa a x e (i, j) A non auro, (i, j) A con k ij = k ij x ij > 0 fluo ammiibile correne di valore 3,4, capacià,,3, 3 E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 3 capacià reidua e (i, j) A non carico, (j, i) A con k ji = x ij > 0 capacià reidua

14 , +δ,3 +δ,4 - δ,, nuovo fluo ammiibile di valore φ = 3 + δ (δ = ) iene cono di ue le poibili variazioni di fluo ripeo al fluo ammiibile x correne Se un cammino da a in, i può aumenare il fluo cammino aumenane E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 4

15 Eempio Fluo ammiibile iniziale x = 0, φ 0 = cammino aumenane lungo il quale i poono inviare δ = unià aggiunive di prodoo 4 7 NB: per x = 0, = 4 δ = 7 E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 5 4

16 5 6 3,,, 4 δ = 7 fluo ammiibile x di valore φ = x ij = 0 per ui gli archi (i,j) per cui x ij non è indicao 4 cammino aumenane con δ = ripeo al fluo ammiibile correne x δ = E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 6

17 , 5 6,, 3, 4,,4 cammino aumenane con δ = ripeo al fluo ammiibile correne x fluo ammiibile x di valore φ = δ = E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 7

18 ,,, 5 6, 3,, 3,4 7 fluo ammiibile x di valore φ = 5, 4, S * = {, 4} inieme di ui i nodi raggiungibili dal nodo origine (di indice ) δ + ( S * ) = 7 non è raggiungibile da (olo 4 lo è) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 8

19 ,,, 5 6, 3,, 3,4 7 fluo ammiibile x di valore φ = 5,, 4 Taglio δ (S * ) di capacià = 5 e fluo ammiibile x di valore φ = 5! NB: Tui gli archi uceni di δ (S * ) ono auri e ui quelli enrani ono carichi! S * = {, 4} δ + ( S * ) = 7 non è raggiungibile da (olo 4 lo è) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

20 Un fluo ammiibile x è di valore maimo non è raggiungibile da nella ree incremenale aociaa a x ( ) e cammino aumenane x non è oimo ( ) e non è raggiungibile, aglio di.c. + δ ( S * ) = Per definizione di, i ha: δ + ( S * ) ogni (i, j) è auro δ ( S * ) ogni (i, j) è carico S * V E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 0

21 Dunque φ(s * ) = x ij xij = + * * + ( i, j) δ ( S k ij = ) ( i, j) δ ( S 0 = ) ( i, j) δ k ij * ( S ) = k(s * ) ui auri ui carichi S * Dualià debole φ(s) k(s) x ammiibile S V, S, S x è di valore maimo e aglio indoo da S * è di capacià minima E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

22 L algorimo implica: Teorema del fluo maimo/aglio minimo: Valore di un fluo ammiible di valore maimo = capacià di un aglio di capacià minima dualià fore Se ue le capacià ono inere (k ij + ), il fluo di valore maimo x ha ui gli x ij e il valore oimo φ* ineri NB: algorimo di Ford-Fulkeron non è di ipo greedy (x ij poono anche eere diminuii) E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano

23 Algorimo di Ford-Fulkeron = (V, A), capacià k inpu ij > 0 (i, j) A, orgene V, deinazione V oupu Fluo amm. x ij (i, j) A, di valore maimo φ* da a BEIN x:=0; φ:=0; oimo:=fale; /* inizializzazione */ REPEAT coruire ree incremenale =(V,A) aociaa ad x; individuare, e, un cammino P da a in ; IF P non eie THEN oimo := rue; ELSE δ:= min {k ij : (i,j) P}; φ:= φ + δ; FOR EACH (i,j) P DO IF (i,j) è in avani THEN x ij := x ij + δ; ELSE x ji := x ji δ; END-IF END-IF UNTIL oimo = rue; END E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 3

24 Compleià Poiché δ > 0, il valore φ aumena ad ogni ciclo. Se k ij ineri, x e k ij ineri e δ al maimo φ * aumeni # archi Vio che φ * k({}) mk max capacià del aglio con k max = {k ij : (i, j) A} e ogni ciclo richiede O(m), compleià oale O(m k max ). NB: non è polinomiale nella dimenione che è O(m log (k max ))! E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 4

25 In ceri cai algorimo eremamene inefficiene: M M M M +δ +δ +δ δ= +δ -δ +δ M molo grande Nel cao peggiore: M ierazioni! Ma eiono modifiche che lo rendono polinomiale cercare cammini aumenani con # minimo di archi O(n 3 ) (Edmond e Karp) Anche per capacià non inere! E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 5

26 Algorimi polinomiali Baai u cammini aumenani, u preflui (rilaando i vincoli di conervazione nei nodi), ul principio di gradazione delle capacià,... Anche per il problema più generale: Daa una ree di fluo con coi aociai agli archi, deerminare un fluo ammiibile di coo oale minimo. Algorimo di eliminazione dei cicli di coo negaivo... E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 6

27 .4.4 Applicazioni indiree ) Aegnazione di lavori Sia m ingegneri, n lavori e per ogni ingegnere la lia dei lavori che porebbe volgere. Aegnare i lavori agli ingegneri in modo ale che: ogni ingegnere volga al maimo un lavoro ogni lavoro ia aegnao a non più di un ingegnere e il numero di ingegneri occupai (lavori eeguii) ia maimo. Se le compeenze degli ingegneri vengono rappreenae mediane un grafo bipario, coa i cerca in un ale grafo? Come i può ricondurre queo problema a un problema di deerminazione di un fluo ammiibile di valore maimo? E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 7

28 Modello in ermini di grafi: rafo bipario delle qualifiche ingegneri lavori accoppiameno ( maching ) = inieme di lai non adiaceni Problema: Daoungrafo bipario, deerminare un accoppiameno con un numero maimo di lai. E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 8

29 Si può ricondurre ad un problema di fluo di valore maimo: capacià ingegneri lavori capacià k inere corripondenza ra flui ammiibili (da a ) di valore φ e accoppiameni con φ lai capacià inere fluo oimo con x ij inere e valore maimo φ * inero E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 9

30 Se ad ogni lao è aegnao un peo (qualià del lavoro volo), un accoppiameno di peo oale maimo può eere deerminao in empo polinomiale. con flui di valore maimo Sono ai propoi algorimi polinomiali anche per deerminare accoppiameni perfei (che occano ui i nodi) di coo minimo. algorimo di Edmond E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 30

31 ) Calcolo diribuio Aegnare n moduli di un programma a proceori in modo ale da minimizzare il coo oale, ovvero il coo di calcolo + il coo di comunicazione. Si uppone di conocere: α i = coo eecuzione modulo i u proceore i n β i = coo eecuzione modulo i u proceore i n c ij = coo di comunicazione e moduli i e j ono aegnai a procei diveri i, j n Ricondurre queo problema a quello di deerminare un aglio di capacià minima in un grafo orienao. E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 3

32 moduli c ij proceore proceore α i β i 4 aglio che epara da aegnameno dei moduli ai due proceori Un aglio di coo minimo corriponde a un aegnameno dei moduli ai due proceori di coo oale minimo E. Amaldi Fondameni di R.O. Poliecnico di Milano 3