Serie di funzioni: esercizi svolti

Transcript

1 Serie di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. seguenti serie di funzioni: Studiare la convergenza normale, uniforme, assoluta e puntuale delle a b c d e f *g h n n, [, ] [converge normalmente] n ( + n, R [converge normalmente] + n, a > 0 [converge normalmente in (, a] [a, + ] n, 0 [converge normalmente] + n ( n (n + n + (n, R converge puntualmente a { 0 se = 0, f( = se 0, converge assolutamente a f( ( n n, [, ] [converge assolutamente in (, ] log ( + n n n, a > [converge normalmente in [a, + ] ( arctan (n arctan [(n ], R converge puntualmente a π se < 0, f( = 0 se = 0, π se > 0 e assolutamente a f(

2 Serie di funzioni: esercizi svolti i l cos n, R [converge normalmente] n(n + ( n n (sin n, n + [ π 6, π ] 6 [converge normalmente] Svolgimento a La serie n n è una serie di funzioni continue su [, ]. Per ogni n poniamo f n ( = n n. f n = sup f n ( = ma f n( = ma (n n = [,] [,] [,] n. Quindi la serie f n = è convergente. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e n puntualmente in [, ]. b La serie n ( + n è una serie di funzioni continue su R. Per ogni n poniamo f n ( = n (+n. ( f n = sup f n ( = sup R R n ( + n = n. Quindi la serie f n = è convergente. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e n puntualmente in R. c La serie + n è una serie di funzioni continue su (, a] [a, +. Per ogni n 0 poniamo f n ( =. +n

3 Serie di funzioni: esercizi svolti 3 ( f n = sup f n ( = sup a a + n = + n a. Quindi la serie f n = + n è convergente. Ne segue che la serie a data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in (, a] [a, +. d La serie n è una serie di funzioni continue su [0, +. Per ogni + n n poniamo f n ( = n +n. f n = sup 0 ( f n ( = sup 0 n + n = n. Quindi la serie f n = è convergente. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e n puntualmente in [0, +. e La serie ( n (n + n + (n è una serie di funzioni continue su R. Per ogni n poniamo f n ( = n (n. +n +(n Osserviamo che la serie data è telescopica. Consideriamo inizialmente la convergenza puntuale. La somma parziale n-esima della serie è S n ( = f k ( = k= k= ( k (k + k + (k = = n (n + n + (n = = n + n. Quindi la somma della serie è S( = lim n S n ( = lim n n + n = { 0 se = 0, se 0.

4 4 Serie di funzioni: esercizi svolti Quindi la serie converge puntualmente in R alla funzione S. Essendo f n continua su R, anche S n è continua su R, mentre S non è continua in 0. Quindi la successione (S n non converge uniformemente a S in R e di conseguenza la serie data non converge uniformemente e normalmente in R. Infine consideriamo la convergenza assoluta. Osserviamo che f n ( = n (n + n + (n = ( + n [ + (n ]. Quindi f n ( 0 se e solo se 0. Inoltre f n è dispari. Ne segue che se 0, allora la serie f n ( converge a S(; se < 0, allora la serie f n ( = in R a f n ( converge a S( =. Quindi la serie data converge assolutamente T ( = { 0 se = 0, se 0. Osservazione Si ha che T ( = S(. In generale non è detto che se una serie converge puntualmente ad una funzione S, allora converge assolutamente a S. f La serie ( n n è una serie di funzioni continue su [, ]. Per ogni n 0 poniamo f n ( = ( n n = ( n. Quindi la serie data è una serie geometrica con ragione. Pertanto converge puntualmente se e solo se <, cioè per (, ed in tal caso la somma della serie è S( = +. Osserviamo inoltre che per (, la serie ( n n = n converge a T ( =. Quindi la serie data converge assolutamente in (, a T ( =. Consideriamo ora la convergenza normale, ossia la convergenza della serie numerica f n. Si ha che f n = sup f n ( = sup n =. (, (, Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, la serie f n diverge. Ne segue che la serie data non converge normalmente in (,.

5 Serie di funzioni: esercizi svolti 5 Infine consideriamo la convergenza uniforme. Poichè la somma della serie S non è limitata su (,, allora la serie data non converge uniformemente in (,. Osservazione Si ha che T ( S(. Infatti, non è detto che se una serie converge puntualmente ad una funzione S, allora converge assolutamente a S. *g La serie n poniamo f n ( = log ( + n n n è una serie di funzioni continue su [a, +. Per ogni log (+n n n. log ( + n f n = sup f n ( = sup a a n n. Determiniamo quindi sup f n (. Si ha che a f n( = +n log ( + n n+. Dobbiamo studiare il segno del numeratore di f n. Osserviamo che se e n (. n log ( + n. + n Infatti, se si considera la funzione g(t = t +t log ( + t, si ha che g è derivabile su [, + con g (t = t < 0. Ne segue che g è decrescente su [, +. (+t Quindi per ogni t si ha g(t g( = t log < 0, da cui Pertanto si ha che Ne segue che in particolare n log ( + n. + n + n n log ( + n, + n log ( + n 0 + n +t log ( + t. da cui segue che f n( 0 per ogni a. Quindi f n è decrescente su [a, + e di conseguenza log ( + na sup f n ( = f n (a = a na n.

6 6 Serie di funzioni: esercizi svolti log ( + na Quindi la serie da studiare è f n = na n. Osserviamo che per ogni t 0 si ha che log ( + t t. Infatti, se si considera la funzione h(t = log ( + t t, si ha che h è derivabile su [0, + con h (t = t +t 0. Ne segue che h è decrescente su [0, +. Quindi per ogni t 0 si ha h(t h(0 = 0, da cui log ( + t t. Pertanto si ha che log ( + na na = log ( + na na n a n. Essendo a > la serie geometrica a n converge. Quindi per il criterio del log ( + na confronto anche la serie f n = na n converge. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in [a, +. ( h La serie arctan (n arctan [(n ] è una serie di funzioni continue su R. Per ogni n poniamo f n ( = arctan (n arctan [(n ]. Osserviamo che la serie data è telescopica. Consideriamo inizialmente la convergenza puntuale. La somma parziale n-esima della serie è S n ( = f k ( = k= k= ( arctan (k arctan [(k ] = = arctan + arctan arctan arctan (n arctan [(n ] = = arctan (n. Quindi la somma della serie è π se < 0, S( = lim S n ( = lim arctan (n = 0 se = 0, n n π se > 0. Quindi la serie converge puntualmente in R alla funzione S. Essendo f n continua su R, anche S n è continua su R, mentre S non è continua in 0. Quindi la successione (S n non converge uniformemente a S in R e di conseguenza la serie data non converge uniformemente e normalmente in R. Infine consideriamo la convergenza assoluta. Osserviamo che f n ( 0 se e solo se 0. Inoltre f n è dispari. Ne segue che se 0, allora la serie f n (

7 Serie di funzioni: esercizi svolti 7 converge a S(; se < 0, allora la serie f n ( = f n ( converge a S( = π. Quindi la serie data converge assolutamente in R a { 0 se = 0, T ( = π se 0. cos n i La serie è una serie di funzioni continue su R. Per ogni n poniamo n(n + f n ( = cos n n(n+. numerica f n. Poichè cos n, si ha che per ogni R e quindi f n ( = cos n n(n + n f n = sup f n ( R n. Poichè la serie n è convergente, per il criterio del confronto anche la serie f n converge. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in R. l La serie ( n n (sin n è una serie di funzioni continue su [ π n + 6, π ] 6. Per ogni n poniamo f n ( = ( n n (sin n n+ = ( n ( sin n n+. Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie numerica f n. Poichè per ogni [ π 6, π ] 6 si ha sin, si ha che f n ( = ( (n sin n n + n e quindi f n = sup f n ( [ π 6, π 6 ] n. Poichè la serie è convergente, per il criterio del confronto anche la serie n f n converge. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in [ π 6, π ] 6.