( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che:

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1 ARITMETICA 1 U importate ramo della matematica è l aritmetica, o teoria dei umeri, qui itesi come umeri iteri. Ci si poe il problema di stabilire se certe relazioi possao essere soddisfatte da umeri iteri, e i quati modi ciò sia possibile. Uo strumeto esseziale per questa materia è il pricipio di iduzioe. Questo fa parte degli Assiomi di Peao per l itroduzioe dei umeri aturali; può essere euciato i varie forme equivaleti. La più adeguata alle applicazioi dimostrative di teoremi sui umeri iteri è la seguete: Sia P ( ) ua proposizioe riguardate il umero itero. Se avviee che: ( ) è vera. ( ) per u determiato si può dedurre la Esiste u umero itero 0 tale che P 0 P( )! P( +1), cioè dalla supposizioe della verità di P verità di P( +1) allora P ( ) è vera per ogi umero itero! 0. Qualche volta è utile ua forma leggermete diversa del pricipio di iduzioe, che appare più debole di quella classica sopra ricordata, ma i effetti è ad essa equivalete. Si tratta di sostituire la secoda richiesta ( ) co ( ( ( ))) # P( +1).!k 0 " k " # P k Rispetto a ( ) la differeza cosiste el fatto che l ipotesi iduttiva appare rafforzata: per dedurre P( +1) o si suppoe più soltato la verità di P( ) ma, di più, si vuole che sia vera P( k) per ogi k compreso tra 0 e. Soo abbastaza rare le occasioi i cui è ecessario ricorrere a questa forma particolare del pricipio di iduzioe, che viee ricordata come iduzioe completa. Vediamo alcui esempi. Problema 1 (la disuguagliaza di Beroulli). Se x è u umero reale! "1, allora per ogi umero aturale! 1 risulta 1+ x ( )! 1+ x. ( ) è l affermazioe «( 1+ x)! 1+ x». Solo ha il ruolo di effettiva variabile, Dimostrazioe. Qui P i quato x viee pesato come u valore fissato. Seguiamo i due passi idicati per la dimostrazioe per iduzioe. 1) P( 1) dice: ( 1+ x) 1! 1+1 x. Questa è vera, perché i due membri soo uguali. 2) Suppoiamo verificata P ( 1+ x) +1! 1+ ( +1) x. Ebbee, si ha perché P Svolgiamo i calcoli all ultimo membro, e otteiamo perché x 2! 0. ( ) per u, e cerchiamo di dedurre che è vera P +1 ( 1+ x) +1 =! ( 1+ x) ( 1+ x)! ( 1+ x) ( 1+ x) ( ), la quale dice: ( ), che stiamo assumedo per ipotesi, dice che ( 1+ x)! 1+ x, e 1+ x! 0 perché x! "1. ( 1+ x) +1! 1+ x + x + x 2 = 1+ ( +1)x + x 2! 1+ ( +1)x Problema 2. Dimostrare che per ogi umero aturale abbastaza grade, è 2 > 100 Soluzioe. È possibile dimostrare l affermazioe applicado la disuguagliaza di Beroulli. La disuguagliaza i oggetto equivale a: = 1+ x co x = !1 > 0. Abbiamo allora ( ) >. Ora osserviamo che > 1; possiamo quidi scrivere

2 2 Allora: ( )!=!( 1+ x)! 1+ x( disuguagliaza di Beroulli)!!> x. 2 > 200 x 200 = ( x 2 ) 100! 100. Per realizzare la disuguagliaza desiderata è sufficiete che sia x 2 > 1, cioè! 1 ( ) 2. x 2 = "1 Il procedimeto esposto si può geeralizzare per dimostrare che, se a è u umero reale! 1 e p u umero aturale qualuque, allora a > p per tutti gli abbastaza gradi; cioè qualuque fuzioe espoeziale co base maggiore di 1 supera, prima o poi, qualuque fuzioe poteza. Il pricipale difetto operativo del pricipio di iduzioe cosiste el fatto che esso dà uo strumeto per dimostrare teoremi, ma o è di alcu aiuto per scoprire questi teoremi: occorre avere già formulato ua cogettura, e per iduzioe si potrà cercare di provarla. Qualche volta è possibile giugere a ua cogettura per tetativi ; poi si dovrà procedere alla dimostrazioe. Per esempio: Problema 3. Determiare per ogi umero aturale! 1 il valore dell espressioe S = " k!! k. Soluzioe. Calcoliamo materialmete i valori di S per alcui valori di, ella speraza di ricooscere qualche regolarità ei risultati, e cercare poi di dimostrare la validità geerale delle regola scoperta. Ecco che cosa si ottiee; la terza riga della tabella cotiee l «iterpretazioe» del risultato, da cui la formula che poi dimostreremo S S = 2! 1 3! 1 4! 1 5! 1 6! 1 7! 1 Per tutti gli compresi tra 1 e 6 risulta duque S = iduzioe che tale formula è valida per ogi!n. Il primo passo ( P 1 vediamo se risulta P Suppoiamo di sapere che S = ( )! P( +1). P( +1) dice: +1 come volevamo dimostrare. +1! k! k = ( +1)!"1. Cerchiamo di dimostrare per S +1 =! k! k = ( + 2)! "1.! k! k = ( +1)! "1; allora avremo S +1 =! k! k =! k! k!" # $# = ( +1)!"1 = ( +1)!"1+ ( +1)! +1 + ( +1)! ( +1) = ( +1)!"1+ ( +1)! ( +1) ( ) = +1 ( )! + 2 ( ) "1 = + 2 ( ) è vera) è già stato svolto; ( )!"1 Naturalmete, o sempre è facile ituire la formula corretta dai tetativi fatti su pochi valori di ; e o sempre la regola che si crede di ituire dai tetativi su alcui valori di è corretta; i questo caso aturalmete la dimostrazioe per iduzioe o potrà avere successo. È piuttosto oto l esempio dei

3 3 cosiddetti umeri primi di Fermat. Fermat era covito che fossero primi tutti i umeri iteri della forma 2 2!1, co itero o egativo. I effetti è così per = 0, 1, 2, 3, 4 ; ivece 2 25!1 o è primo; fu Leohard Euler el 1732 a trovare ua fattorizzazioe di questo umero: 2 32!1 = 641" La tecica mostrata el precedete problema 3 si applica tutte le volte i cui si vuole dimostrare per iduzioe ua formula che esprime i forma chiusa il valore di ua sommatoria. Ecco alcue formule relative a somme di qualche importaza i certe applicazioi; ciascua di esse può facilmete essere provata per iduzioe: ( ) " ( 2k!1) 2 = 43! ;! k = +1 ;! k 2 = ;! k 3 = ( ) 2 Problema 4. Dimostrare che la successioe defiita da: a 1 = 1; a +1 = 2 + a è crescete e superiormete limitata;determiare ifie il suo limite. ( ) è crescete sigifica che, per ogi, a +1! a. Quest ultima disuguagliaza è la ( ) che si vuole dimostrare vera per ogi. ( ) dice: a 2! a 1, cioè 3! 1: vero. ( ) vera per u. P( +1) dice: a +2! a +1. Teedo presete la defiizioe ricorsiva L affermazioe a proposizioe P P 1 Suppoiamo P della successioe, questa disuguagliaza equivale a 2 + a +1! 2 + a, la quale è vera perché stiamo ( ), ossia a +1! a. È così provato che ( a ) è ua successioe crescete. suppoedo vera P Per quato riguarda ua limitazioe superiore, dobbiamo idoviare u valore idoeo M, e poi cercare di dimostrare la maggiorazioe a! M per ogi. Il calcolo diretto dei primi valori di a mostra che tutti soo < 2. Proviamo a dimostrare che a < 2 per ogi. Ciò è vero per = 1; suppoedo a < 2 per u, segue che a +1 = 2 + a < = 2, e quidi è provato per iduzioe che a < 2 per ogi. Ifie, il limite di a è u umero tale che! = soddisfatta da! =!1 oppure! = 2 ; ma poiché a 2 +!, quidi! 2!!! 2 = 0 ; questa relazioe è ( ) è crescete e a 1 = 1, si coclude che! = 2. Divisioe euclidea. Siao a, b umeri iteri, a! 0. Allora esistoo e soo uici due umeri iteri q, r tali che: (1) b = a q + r (2) 0! r < a q e r si chiamao quoziete e resto della divisioe itera di b per a. Divisibilità. Si dice che a è u divisore di b (scriveremo a b ) se vale (1) co r = 0. Ogi umero itero diverso da zero ha qualche divisore: ±1, ±b soo divisori di b. Ce e possoo essere altri, oppure o. Numeri primi. U umero itero p! 2 si dice primo se gli uici divisori positivi di p soo 1 e p. Ci soo ifiiti umeri primi. Questo fatto è già oto a Euclide, che e dà ua elegate dimostrazioe per assurdo. I umeri primi, oltre che el modo su idicato, possoo essere caratterizzati diversamete, mediate ua proprietà che risulta spesso utile elle applicazioi: Se p è u umero primo, e a, b soo umeri iteri diversi da 0, allora (*) p ( a!b)!!"!! p a oppure p b. Questa proprietà caratterizza i umeri primi, ossia vale ache viceversa: se per ogi coppia di umeri iteri a, b diversi da 0 vale (*), allora p è primo..

4 Se p o è primo, (*) o è vera: per esempio 6 ( 15! 4), ma 6 o è divisore di 15 é di 4. 4 Ecco u esempio di u facile problema sulla divisibilità, che può essere risolto applicado il pricipio di iduzioe. Problema 5. Dimostrare che, per ogi umero aturale, il umero 4! 1 è divisibile per 3. Più i geerale: se a è u umero aturale qualuque! 1 ( ) allora a! 1 è divisibile per a! 1. Soluzioe. La risoluzioe più rapida si ottiee applicado le cogrueze modulo m; qui vogliamo esporre ua risoluzioe che o utilizza questo strumeto. Osserviamo che il problema geerale appare, circostaza icosueta, più facile da risolvere del caso particolare che lo precede; ifatti, osservado a come idetermiata il poliomio a! 1 è divisibile per a! 1 per il Teorema di Ruffii, e il poliomio quoziete ha coefficieti iteri; se ora a assume il valore di u umero itero, la fattorizzazioe a! 1 = ( a! 1)" q( a) mostra a! 1 come prodotto di a! 1 per u altro umero itero. Altrimeti possiamo applicare il pricipio di iduzioe. Ci riferiamo al caso a = 4 ; il caso geerale si tratta ella stessa maiera. La proposizioe ( ) :!! 4! 1 è divisibile per 3 P è vera per = 1 perché 4 1! 1 = 3. Suppoiamo vera P P( + 1), cioè 4 +1! 1 è divisibile per 3. Risulta 4 +1! 1 = 4 +1! = 4 4! 1!" # $# + 3 ( ) per u, e mostriamo che allora è vera ( ) multiplo di 3 da cui risulta evidete che l espressioe otteuta rappreseta u multiplo di 3. L iformazioe che abbiamo utilizzato, che 4! 1 sia multiplo di 3, è l ipotesi di iduzioe. Problema 6. Sia x 0 = 2 e, per ogi!n, x +1 = 5 + x 2. Mostrare che essu termie della successioe è u umero primo, ad eccezioe di x 0 = 2. Soluzioe. La formula di ricorreza mostra che i termii della successioe soo umeri iteri alterativamete pari e dispari. Siccome x 0 = 2 è pari, tutti i termii di posto pari soo umeri pari, ed essedo maggiori di 2, o soo primi. Adiamo a vedere come soo i termii di posto dispari. È utile ricavare ua formula di ricorreza che esprima ciascu termie della successioe o i fuzioe del precedete, besì di quello che o precede di due posti. Risulta ( ) 2 = x 2 + x 4 x +2 = 5 + x2 +1 = x2 Ora è facile provare per iduzioe che tutti i termii x co dispari soo multipli di 3 e maggiori di 3, quidi o primi. Itato, direttamete si calcola x 1 = = 9, che soddisfa la proprietà; poi, se suppoiamo che x sia multiplo di 3, dalla formula x +2 = x 2 + x 4 segue che ache x +2 è multiplo di 3, perché tali soo tutti e tre gli addedi che formao il valore di x +2. Fattorizzazioe. Ogi umero itero! 2 si può fattorizzare i uo e u solo modo, a meo dell ordie, i prodotto di poteze di umeri primi: = p 1! 1 " p 2! 2 " " p k! k co p 1,!!,! p k umeri primi distiti e! 1,!,! iteri! 1, gli ui e gli altri uivocamete determiati. Ecco u esempio i cui utilizziamo questi fatti Problema 7. Quate soo le tere di umeri iteri positivi ( x, y, z) che soddisfao la relazioe:

5 (#) 2x +17y + 34z = 2006? 5 Soluzioe. È utile fattorizzare il umero 2006 i prodotto di poteze di umeri primi. La fattorizzazioe si realizza cotrollado la divisibilità di 2006 per i umeri primi, fio al raggiugimeto di 2006, il cui valore è miore di 45; ifatti 45 2 = I fattori primi di 2006, escluso al più uo, soo tutti o superiori a 43. Si trova che 2006 = 2!17!59 cosicché (#) si può scrivere 2x +17y + 34z = 2!17!59. Tre fattori su quattro cotegoo il fattore 17; può essere utile metterlo i evideza, scrivedo quest ultima relazioe ella forma ( ). (##) 2x = 17 2! 59 " y " 2z La (##) dice che 17 ( 2x), e siccome 17 è primo, ciò comporta 17 2 oppure 17 x. Poiché o è vero che 17 2, deve essere 17 x, cioè esiste u umero itero positivo x! tale che x = 17 x!. Sostituiamo x co 17 x! i (##), e semplifichiamo il fattore 17. Otteiamo la relazioe: 2 x! = 2 "59 # y # 2z dalla quale si ricava y =! 2 x " + 2 #59! 2z. Questa maifesta il fatto che y deve essere pari; idichiamo quidi y = 2 y!. I questo modo la relazioe scritta sopra si può esprimere el modo seguete: ( ) x! + y! + z = 59 ella quale x!, y!, z idicao umero iteri positivi. No resta che cotare i quati modi si possoo scegliere x!, y!, z. Se x! = 1 il valore di y! si può scegliere i 57 modi (da 1 a 57); ifie z risulta uivocamete determiato come 59! x "! y " ; se x! = 2 ci soo 56 modi possibili per scegliere y! e z; e così via fio a quado x! = 57, che lascia per y! e z l uica scelta y! = z = 1. Il umero di tere x!, y!, z di umeri iteri positivi, soddisfaceti ( ) è pertato 57! = = Problema 8. Dimostrare che, comuque si predao 18 umeri iteri positivi cosecutivi miori o uguali a 2005, ce è almeo uo divisibile per la somma delle sue cifre. (Ceseatico, 6 maggio 2005). Soluzioe. Il problema o chiede di trovare tutti i umeri miori o uguali a 2005 aveti questa proprietà, ma soltato di mostrare che se e trova almeo uo ogi 18 cosecutivi. Tra 18 umeri iteri cosecutivi ci soo sempre due cosecutivi multipli di 9. La somma delle cifre di ciascuo di essi è a sua volta u multiplo di 9, per il oto criterio di divisibilità. La somma delle cifre di u umero itero! 2005 è al massimo 28 (somma delle cifre di 1999); quidi la somma delle cifre di u multiplo di 9 o superiore a 2005 può essere 9, 18 o 27. Se tra i due multipli di 9 compresi ell itervallo cosiderato ce è uo per il quale la somma delle cifre è 9, questo è divisibile per la somma delle sue cifre, essedo multiplo di 9. Se per etrambi la somma delle cifre è 18, basta osservare che tra due cosecutivi multipli di 9 uo è pari, quidi è divisibile per 18. Se la somma delle cifre è 27, il umero è uo tra 999, 1899, 1989, Ebbee, 999 e 1998 soo divisibili per o è divisibile per 27, ma 1890 è divisibile per = 18 come pure 1908; u itervallo di 18 iteri coteete 1899 cotiee ache uo dei due umeri 1890 e o è divisibile per 27, ma 1980 è divisibile per 18, somma delle sue cifre, e 1998 è divisibile per 27, somma delle sue cifre. Problema 9. Dimostrare che, per ogi umero aturale, la frazioe è irriducibile. Soluzioe. Idichiamo co q u divisore comue di e ; cerchiamo di dimostrare che deve essere q = 1.

6 6 Ogi combiazioe lieare co coefficieti iteri di e è u multiplo di q; iformazioi decisive su q si ottegoo trovado combiazioi lieari che o cotegoo. Ebbee, si osserva che 3( )! 2( ) = 1 quidi q 1, e di cosegueza q = 1, come volevamo dimostrare. L argometo utilizzato per risolvere questo problema ricorda da vicio il Teorema di Bezout sul massimo comue divisore: Teorema di Bezout. Se a, b soo due umeri iteri diversi da zero, e d è il massimo comue divisore tra a e b, allora esistoo (o uici) due umeri iteri m, tali che ( ) d!=!m a + b La determiazioe di m, soddisfaceti ( ) si può realizzare co il metodo delle divisioi euclidee iterate. Questo, oltre a determiare d, permette di risolvere ache il problema della determiazioe di m,. Vediamo u esempio i u caso umerico: a = 44,!b = 34. Scriviamo la relazioe corrispodete alla divisioe euclidea, a = b! q + r, i cui q e r soo il quoziete e il resto della divisioe di a per b: 44!=!34!1+10 Abbiamo sottolieato dividedo, divisore e resto. Adesso calcoliamo uovamete ua divisioe itera, assumedo come dividedo il quoziete otteuto sopra e come divisore il resto: 34!=!10! !=!4! Il procedimeto della determiazioe del massimo comue divisore ha termie quado il quoziete otteuto è multiplo del resto, come accade ell ultima riga che abbiamo scritto. L ultimo resto, qui 2, è il massimo comue divisore tra a e b. Utilizzado opportuamete i calcoli svolti sopra è possibile ricavare m, come desiderati. Da ciascua uguagliaza ricaviamo il resto: 44!=!34!1 + 10!!!"!!!10 = 44 # 34!1 34!=!10! 3 + 4!!!"!!!4 = 34 # 10! 3 10!=!4! 2 + 2!!!"!!!2 = 10 # 4! 2 Adesso prediamo l ultima uguagliaza otteuta; ell ultimo addedo del secodo membro figura il resto della divisioe precedete; lo sostituiamo co la sua espressioe tratta dalla riga superiore, e così via: ( ) " 2 = 10 " 7! 34 " 2 ; ora 10 = 44! 34 "1 e quidi: ( ) " 7! 34 " 2 = 44 " 7! 34 " 9. 2 = 10! 4 " 2 = 10! 34! 10 " 3 = 44! 34 "1 Abbiamo così scritto 2, che è il massimo comue divisore tra 44 e 34, come combiazioe lieare di questi due umeri co coefficieti iteri, come desideravamo. Questa rappresetazioe del M.C.D. di due umeri serve per risolvere problemi abbastaza classici di aritmetica, riguardati misurazioi di pesi o volumi co strumeti che apparetemete o sembrao idoei allo scopo. Ecco u paio di esempi. Problema 10. Dispoedo di due recipieti o graduati, di capacità rispettivamete 44 e 34 litri, e di ua fotaa che forisce tata acqua quata se e vuole, si desidera otteere, i uo dei due recipieti, esattamete 2 litri d acqua. Come si può fare? Soluzioe. Idichiamo co a il recipiete da 44 litri, co b quello da 34. Abbiamo visto sopra che 2 = 44! 7 " 34! 9. Allora procediamo così: riempiamo iteramete a e subito versiamo da a fio a riempire b; quado b è pieo, buttiamo via l acqua che cotiee e poi versiamo i b l acqua che acora resta i a (10 litri), seza buttarla via. Riempiamo acora a, e versiamo da a i b fio a colmare b. Quado b è pieo, lo svuotiamo buttado via il coteuto, poi versiamo i b l acqua che era rimasta i a. Cotiuiamo i questo modo: riempiamo a ogi volta che è vuoto; versiamo i b l acqua di a fio al

7 7 completo riempimeto di b; buttiamo via l acqua di b ogi volta che b è pieo. Quado a sarà stato riempito per la settima volta, co parte dei 44 litri d acqua coteuti colmeremo prima b per la ottava volta, poi, dopo averlo svuotato, riempiremo b per la oa volta. A questo puto i a sarao rimasti due litri d acqua. Problema 11. Avedo a disposizioe soltato ua bilacia a due piatti, due pesi da 8 e 5 Kg e tata faria quata se e desidera, pesare 1 Kg di faria. Soluzioe. Il problema si può risolvere perché M.C.D. 8, 5 ( ) = 1. Serve scrivere 1 come combiazioe lieare di 8 e 5 co coefficieti iteri. Quado i umeri i gioco soo piccoli come el caso attuale, questa si può trovare abbastaza facilmete per tetativi, seza ricorrere al metodo algoritmico descritto sopra. Per esempio, 1 = 8! 2 " 5! 3. Allora possiamo pesare 8 Kg di faria e metterli da parte; altri 8 Kg di faria, e metterli isieme ai precedeti 8, per avere ua misura di 16 Kg di faria. Da questi 16 Kg preleviamo ora per tre volte 5 Kg; la rimaeza sarà di 1 Kg. L espressioe M.C.D a,b ( ) = a + mb, come abbiamo già osservato, o è uica, el seso che o soo uici m e che soddisfao la relazioe. Per esempio, el caso di 8 e 5 risulta ache 1 = 5! 5 " 3! 8 ; questa relazioe suggerisce u altra possibile risoluzioe del problema cosiderato: cique pesate da 5 Kg ciascua, per accumulare 25 Kg di faria, e poi otto pesate da 3 Kg ciascua per togliere 24 Kg; il metodo è meo efficiete di quello descritto sopra perché richiede u maggiore umero di pesate e ua maggiore quatità di faria da movimetare (25 Kg aziché 16). Il umero dei divisori di u umero itero. ( ) il umero dei divisori di (iclusi 1 e ). ( ) = 6 ; ifatti i divisori di 12 soo 1, 2, 3, 4, 6, 12, i tutto sei. Se è u umero itero maggiore di 1, idichiamo co d Per esempio, d 12 Come si calcola d ( )? Vediamo. U umero aturale! 2 è prodotto di poteze di umeri primi: = 2 r 2! 3 r 3! 5 r 5! 7 r 7! dove i effetti figurao soltato i fattori p r p i cui l espoete r p è maggiore di zero; sarà quidi (1) = p 1 r p1! p 2 r p2! p 3 r p3!! p r r p h per certi umeri primi p 1,, p h ed altrettati espoeti positivi r p1,, r ph. U umero m è divisore di se si può fattorizzare m co gli stessi fattori primi di o soltato alcui di essi, ma essu altro, co espoeti miori o uguali di quelli che appaioo ella fattorizzazioe di ; vale a dire che u divisore di è (2) m = p 1 s p1! p 2 s p2! p 3 s p3!! p h s p h i cui, per 0! i! h, s pi è u umero itero tale che 0! s pi! r pi. Per ciascu fattore primo p i ci soo duque r pi +1 modi di scegliere il corrispodete espoete per otteere u divisore di. Segue duque che (3) d ( )!( r p2 +1)!! r ph +1 ( ) = r p1 +1 La (3) maifesta alcue proprietà iteressati di d ( ) : ( ). 1) d( ) o dipede da quali soo i fattori primi di, ma soltato da quati soo, e co quali espoeti figurao ella fattorizzazioe di. 2) d( ) è dispari se e solo se tutti gli espoeti r pi che figurao ella (1) soo pari, cioè se è u quadrato. Ioltre può essere utile osservare che 3) d 2 ( ) = 2 ; d( ) < per ogi! 3.

8 Ifatti i divisori di appartegoo all isieme { 1,2,, }, e i geerale o soo tutti questi umeri; azi, soo tutti solo se = 2, perché se! 3 allora!1 o è divisore di. 4) Per ogi coppia di umeri aturali m,! 2 risulta d( m! ) " d( m)!d se m e soo primi tra loro o coprimi, ossia o hao alcu divisore comue trae 1. Ifatti, cosideriamo i due casi: 8 ( ) ; vale l uguagliaza se e solo I) m e soo primi tra loro. Allora la fattorizzazioe (1) di e l aaloga fattorizzazioe di m soo o hao alcu fattore primo comue; i tal caso la fattorizzazioe di m! cotiee tutti i fattori primi di e tutti i fattori primi di, ciascuo co lo stesso espoete che aveva ella fattorizzazioe di m o di ( ) è dato allora dal prodotto di tutti i fattori r pi +1 ( ); duque d( m!) = d( m)!d( ).. d m! aaloghi che costituiscoo d m ( ) che costituiscoo d ( ) e di tutti i fattori II) m e hao qualche divisore comue maggiore di 1. Allora almeo uo dei fattori primi di è ache fattore di m; sia p questo primo. Nella fattorizzazioe (1) di figura ua poteza p r, i quella di m la ( ) di (3) c è r +1; tra gli aaloghi ( ) c è s +1. Nella fattorizzazioe di m! il fattore primo p appare co ( ) appare il fattore ( r + s +1), il quale ( ), ( s +1) che appaioo ella formazioe di d ( ), d ( m) ( )( s +1) = rs + r + s +1 > r + s +1, e quidi d( )!d( m) > d( m!). poteza p s, co r, s iteri positivi. Tra i fattori costitueti d fattori che producoo d m espoete r + s, cosicché ello sviluppo aalogo a (3) di d m! prede il posto dei fattori r + 1 rispettivamete. Ebbee, r + 1 La fuzioe d( ) può essere oggetto di problemi vari, o può essere strumeto utile per risolvere altri; ecco u paio di esempi. Problema 12. Sia 0 u umero aturale! 4. Poiamo a 1 = d ( 0 ) e per ogi k! 1, a k+1 = d( a k ). Mostrare che la successioe ( a k ) cotiee almeo u quadrato. Soluzioe. Poiché per ogi! 3 è d ( ) <, la successioe ( a k ) è strettamete decrescete fio a quado o raggiuge il valore 2, dopo di che rimae costate. Sia a m il primo termie della successioe che vale 2; allora a m!1 è u umero primo dispari, e quidi è dispari il umero di divisori di a m!2 ; questo, come abbiamo osservato i precedeza, equivale a dire che a m!2 è u quadrato. Problema 13. Stabilire se esistoo, e i caso affermativo, quali soo, il più piccolo e il più grade umero itero positivo aveti esattamete 10 divisori. Soluzioe. Certamete o esiste il massimo dell isieme dei umeri che hao 10 divisori: se p è u umero primo, p 9 ha 10 divisori; poiché i umeri primi soo ifiiti, p si può predere grade a piacere. Il miimo ivece esiste certamete, perché ogi sottoisieme o vuoto di N ha miimo. Cerchiamo di calcolare questo miimo. Sia u umero aturale co esattamete 10 divisori, cioè d( ) = 10. Ciò sigifica che si può scomporre i fattori primi ella forma r = p p1 r 1! p p2 r 2! p p3 r 3!! p p h r e che (*) 10 = d ( ) = ( r p1 +1)! ( r p2 +1)!! r ph +1 Poiché 10 = 2! 5, la (*) si può realizzare i due soli modi: ( ). Co u solo fattore: 10 = ( 9 +1). Ciò sigifica che = p 9 co p umero primo. Il più piccolo valore di esprimibile i questo modo è = 2 9 = 512. Co due fattori: 10 = ( 1+1) ( 4 +1). Ciò sigifica che = p 1! q 4 co p, q umeri primi distiti. Il più piccolo valore di esprimibile i questo modo è = 3 1! 2 4 = 48, il quale è ache la soluzioe del ostro problema.

9 9 Il problema può aturalmete essere proposto co u altro valore k al posto di 10, e la risoluzioe si svolge aalogamete a come abbiamo proceduto sopra. I casi da cosiderare dipedoo o tato da come è grade k, quato da come k si fattorizza. Il pricipio della discesa ifiita. L osservazioe coteuta ella risoluzioe del precedete problema, che ogi sottoisieme o vuoto di N ha miimo, equivale i sostaza al cosiddetto pricipio della discesa ifiita: ( )!N è ua successioe o crescete di umeri aturali allora, da u certo i poi, k è Se k costate. { } ha miimo, sia m il miimo; sia 0 il primo valore di per cui k = m. Ifatti l isieme k ;!N Allora per ogi! 0 deve essere k! m perché m è il miimo valore assuto dalla successioe; ma ache k! k 0 = m perché la successioe è o decrescete; duque k = m! " 0. Questa osservazioe apparetemete baale riesce talvolta utile per provare la falsità di proposizioi riguardati i umeri aturali; ua specie di pricipio di iduzioe i egativo. Precisamete: sia P ( ) ua proposizioe riguardate il umero aturale, di cui si vuole provare la falsità per qualuque valore di. Si può allora supporre per assurdo che esista u valore di per il quale P di dimostrare che se P ( ) sia vera, e cercare ( ) è vera per u, allora esiste 1 < tale che è vera ache P( 1 ). Iterado il ( ) è vera, e ragioameto si cocluderebbe l esisteza di ifiiti umeri aturali j < per i quali P j questo è impossibile perché o ci soo ifiiti umeri aturali miori di. Ecco u semplice esempio: Problema 14. Mostrare che o esistoo quattro umeri aturali x, y, z, w (o tutti uguali a zero) tali che (#) x 2 + y 2 = 3( z 2 + w 2 ). Soluzioe. Suppoiamo, cotrariamete alla tesi, che quattro umeri siffatti esistao. I particolare, risulta che x 2 + y 2 è multiplo di 3. Ora, questa proprietà può valere se e solo se x e y soo etrambi multipli di 3. Ifatti, se k è u umero aturale risulta ( 3k +1) 2 = 9k 2 + 6k +1;!!!!!( 3k + 2) 2 = 9k 2 +12k + 4. Si ota che la somma dei quadrati di due umeri o multipli di 3 dà i ogi caso resto 2, ella divisioe per 3 (questa verifica riesce acora più semplicemete applicado l aritmetica modulo 3, di cui parleremo tra poco). Duque x e y soo multipli di 3; siao x = 3 x!, y = 3 y!. La relazioe (#) si scrive allora 9 x! y! 2 = 3 z 2 + w 2 ( ) ossia z 2 + w 2 = 3 ( x! 2 + y! 2 ). I quattro umeri z, w, x!, y! soddisfao quidi a loro volta la relazioe (#), e z 2 + w 2 < x 2 + y 2. Chiamiamo 1 = x 2 + y 2, 2 = z 2 + w 2. È 2 < 1. Il ragioameto può proseguire ello stesso modo, deducedo che z = 3 z!, w = 3 w!, quidi z 2 + w 2 = 9 ( z! 2 + w! 2 ) ; così x! 2 + y! 2 = 3 ( z! 2 + w! 2 ). Sia 3 = x! 2 + y! 2 ; è 3 < 2. Si geera i questo modo ua successioe strettamete decrescete di umeri aturali; ciò o è possibile, quidi o è possibile trovare x, y, z, w soddisfaceti (#). CONGRUENZE MODULO m. Sia m u umero itero! 2. Si dice che due umeri iteri soo cogrui modulo m se m b! a (1) a! b ( mod m) oppure a! b ( m). ( ) ; si scrive Se m può essere sottiteso scriveremo semplicemete a! b. La cogrueza modulo m di a e b sigifica che a e b dao lo stesso resto ella divisioe itera per m.

10 La relazioe cogrueza modulo m è ua relazioe di equivaleza i Z, cioè essa è riflessiva: per ogi a, è a! a simmetrica: per ogi a, b è a! b " b! a trasitiva: per ogi a, b, c è a! b e b! c 10 ( ) " a! c. Essedo ua relazioe di equivaleza, la cogrueza modulo m ripartisce Z i classi di equivaleza, dette classi di resto modulo m. Le classi soo i umero di m, e ciascua cotiee uo e uo solo dei umeri 0, 1,, m!1, che soo i possibili resti della divisioe per m di u umero itero. Questi umeri soo rappresetati privilegiati per le classi di resto modulo m. Idicheremo la classe di equivaleza che cotiee k co [ k] m, o semplicemete co [ k], se o ci soo dubbi su chi sia m. Oltre alle proprietà ricordate sopra, la cui verifica è semplicissima, la cogrueza modulo m è stabile rispetto a addizioe (e sottrazioe) e moltiplicazioe, cioè per ogi a, b, a!, b! si ha che: ( ). a! a " e b! b " # a + b! a " + b ", a $ b! a " $ b ", a %b! a " % b" Ciò cosete di defiire le operazioi di addizioe e moltiplicazioe tra le classi operado tra i rappresetati, co la certezza che il risultato è idipedete dalla scelta del rappresetate. Per esempio, sia m = 5 ; cosideriamo le classi [ 2] e [ 4] costituite rispettivamete dai umeri cogrui a 2 e a 4, modulo 5, cioè [ 2] = { 2, 7, 12,17,,! 3,! 8,!13, } = { 2 + 5k ; k "Z}; [ 4] = 4, 9,14, 19,,!1,! 6,!11, { } = { 4 + 5k ; k "Z}. Il prodotto modulo 5 delle due classi è per defiizioe la classe coteete il prodotto di due qualuque rappresetati di [ 2] e [ 4]; quidi per esempio [ 2]! [ 4] def =. [ 2! 4] = [ 8] = [ 3]. ( ). Scegliedo altri rappresetati per le classi L ultima uguagliaza dipede dal fatto che 8! 3 mod 5 [ 2] e [ 4] il risultato o sarebbe cambiato; per esempio, 17 è u rappresetate per [ 2], 9 u rappresetate per [ 4]; risulta 17!9 = 153, e 153! 3 mod 5 [ ]![ 4] = [ 3]. ( ), quidi otteiamo acora 2 Qui sotto mostriamo le tavole dell addizioe e della moltiplicazioe modulo 5, utilizzado i rappresetati privilegiati 0, 1, 2, 3, 4, e omettedo le paretesi quadre che deotao le classi, come d uso. Nasce la struttura algebrica costituita dall isieme quoziete Z m = Z! m, muita delle operazioi di addizioe e moltiplicazioe; essa è u aello commutativo co uità; e i certi casi, come vedremo tra poco, è u campo ! Equazioi lieari modulo m. Fissato m, e altri due umeri iteri a, b, co a /! 0 ( mod m), cerchiamo soluzioi dell equazioe (1) a x = b ell aritmetica modulo m. Nell aritmetica di Z la (1) ha soluzioe (uica) se e solo se b è multiplo di a; i Z m le cose vao i modo piuttosto diverso. Risolvere (1) modulo m sigifica trovare umeri iteri x tali che: per u k itero, si abbia (2) a x = b + k m cioè x! a " k! m = b L equazioe (1) i ua sola icogita, variabile i Z m, equivale duque all equazioe (2) i due icogite x, k, variabili i Z. Questa, specialmete ella secoda forma i cui l abbiamo scritta, ricorda

11 11 da vicio il Teorema di Bezout: x e k soo i coefficieti iteri di ua combiazioe lieare di a e m che dà come risultato b. Se b! 0 ua siffatta combiazioe lieare esiste se e solo se b è multiplo del M.C.D. a,m ( ). Nel caso particolare di b = 1, la relazioe (1) può essere iterpretata come ricerca dell iverso moltiplicativo di a i Z m. Per quato visto, l iverso esiste se e solo se M.C.D. ( a,m) = 1, cioè se a è primo co m. Se m è u umero primo, e solo i questo caso, allora tutti gli elemeti o ulli di Z m possiedoo l iverso moltiplicativo, cosicché Z m è u campo. È questo il caso, per esempio, di Z 5 ; ella tavola della moltiplicazioe i Z 5 ifatti ogi riga (e ogi coloa) mostra il valore 1. Ivece, se m o è primo, ci soo i Z m dei divisori dello zero, ossia elemeti o ulli che soddisfao la relazioe ( ). a x = 0 i Z m cioè a x! 0 mod. m Per esempio, sia m = 6, a = 4 ; l equazioe 4 x! 0 ( mod. 6) ha come soluzioe o ulla x = 3, e ogi altro valore di x multiplo di 3. I Z 6 le soluzioi di 4 x = 0 soo due: quella ovvia, x = 0 (che è rappresetate della classe ulla, avete per elemeti i multipli di 6), e l altra, x = 3, che rappreseta la classe dei multipli dispari di 3. Quest ultima è ua soluzioe o ulla (i questo caso uica) di 4 x = 0 i Z 6. I geerale, se m o è primo e a, m o soo coprimi, idicato d = M.C.D. ( a,m), le soluzioi o baali (ossia o cogrue a 0 modulo m) di a x = 0 i Z m soo i multipli positivi di d, miori di m; ivece, se a, m soo coprimi, la relazioe a x! 0 ( mod. m) ha soltato le soluzioi baali, cioè i multipli di m. L algebra modulo m cosete di trattare alcui problemi di aritmetica assai più agevolmete che co l ordiaria algebra degli iteri. Si ricavao facilmete i criteri di divisibilità per 2, 4, 5, 9, 11; vediamo u paio di esempi di altro tipo. Problema 15. Ua pulce si trova sul umero 12 del quadrate di u orologio. Sceglie u umero aturale compreso tra 1 e 12, estremi iclusi, e comicia a fare salti di umeri sul quadrate, i seso orario (se ad esempio = 3, dopo il primo salto è sul 3,dopo il secodo è sul 6 e così via). Dopo 12 salti, per la prima volta si ritrova sul umero 12 del quadrate. I quati modi distiti può aver scelto? (da Giochi di Archimede, ovembre 2009) Soluzioe. L eveto descritto dal testo si può descrivere dicedo che: 12! 0 ( mod.12) e k /! 0 ( mod.12) per 1 " k " 11. La prima relazioe è verificata da qualuque, quidi o serve per risolvere il problema. La secoda dice che l equazioe k! 0 ( mod.12) (ell icogita k) ha soltato le soluzioi baali, cioè i k multipli di 12. Come abbiamo visto, ciò accade se e solo se e 12 soo coprimi. Poiché il testo assega ache il vicolo 1!! 12, le soluzioi soo i umeri 1, 5, 7, 11. Problema 16. Il direttore di u ristorate co capieza di 600 posti o ricorda quate persoe ha servito i occasioe di u prazo collettivo. Egli però ricorda che ha dovuto apparecchiare i tavoli co 7 coperti ciascuo, perché apparecchiado i tavoli per 3, 4, 5 o 6 coperti ciascuo, e occupado completamete ogi tavolo fio ad esaurimeto dei covitati, avrebbe dovuto lasciare da sola ua persoa. Ivece i tavoli da 7 coperti soo stati tutti riempiti. I quati erao a tavola? ( ) per ( ). La prima equivale a N!1 " 0 ( mod. m) per m = 3, 4, 5, 6. Ciò Soluzioe. Sia N il umero dei commesali. Le iformazioi del testo dicoo che N! 1 mod. m m = 3, 4, 5, 6, metre N! 0 mod. 7 sigifica che N!1 è multiplo di 3, 4, 5, 6, e quidi è multiplo del m.c.m. di questi umeri, che è 60. La secoda iformazioe si può scrivere N!1 "!1( mod. 7), oppure ache N!1 " 6 ( mod. 7), perché 1 e 6 soo cogrui modulo 7. Cerchiamo allora N!1 tra i multipli di 60, i modo che sia cogruo a 6 modulo 7. I calcoli soo semplificati se operiamo secodo l aritmetica di Z 7. L equazioe da risolvere è

12 60 k! 6 mod ( ) cioè 60 [ ] 7 "[ k] 7 = [ 6] 7 ([ ] 7 idica la classe modulo 7 di ). Ma [ 60] 7 = [ 4] 7 cosicché la relazioe scritta sopra si può scrivere [ 4] 7![ k] 7 = [ 6] 7 cioè 4 k [ ] 7 = 6 No resta che cercare tra i multipli di 4 u umero che sia cogruo a 6 modulo 7. La seguete tabella idica la classe modulo 7 di 4k per k da 1 a 7 (da lì i avati il ciclo si riproduce idetico). k [ 4k] Si ottiee u risultato di classe 6 quado k = 5 ; ifatti 4! 5 = 20 " 6 ( mod. 7), metre ciò o accade per i valori precedeti di k. Allora N!1 = 60k = 300, e ifie, N = 301. Questo è il umero dei commesali. No ci soo altre soluzioi possibili, perché la relazioe 4 k [ ] 7 ritora ad essere [ ] 7. [ ] 7 = 6 soddisfatta per la secoda volta solo quado k = = 12, che darebbe N = 1+ 60!12 = 721, o accettabile perché superiore a 600. Problema 17. Dimostrare che, se è u umero aturale o multiplo di 3, allora il umero è multiplo di 13. Determiare ioltre il resto della divisioe per 13 di tale umero, se è multiplo di 3. Soluzioe. Dobbiamo stabilire, per ogi, la classe modulo 13 di Il testo del problema aucia che questa è 0 se o è multiplo di 3; adiamo a vedere. Compiliamo ua tabella co i valori delle classi di resto modulo 13 degli addedi che formao il ostro umero. È utile otare che el gruppo moltiplicativo Z 13! { 0} l elemeto (classe) 3 ha periodo 3; ifatti 3 3 = 27! 1( mod.13); quidi la tabella si ripete ciclicamete ad ogi tre passi; basterebbe quidi compilare soltato le prime tre coloe. Ecco i risultati: !3 " # $ !3 " 2 # $ !3 " # $ No serve aggiugere altro: i risultati soo evideti dalla tabella. Il umero è multiplo di 13 quado o è multiplo di 3; quado è multiplo di 3, la divisioe di per 13 dà resto 2. Problema 18. Trovare tutti i umeri aturali di tre cifre ( 100!! 999) che soo uguali al umero formato dalle ultime tre cifre di 2. (Ceseatico, 9 maggio 2003, problema 1) Soluzioe. La proprietà di descritta dal testo equivale a dire che 2! è divisibile per 1000 = 2 3!5 3. D altra parte è ache 2! = (!1). Poiché!1 e soo primi fra loro, uo solo dei due è divisibile per 5; ioltre uo solo dei due è pari, quidi ache il fattore 2 3 appartiee iteramete a uo solo fra e!1. Possiamo allora cosiderare i segueti casi (i tutto quattro) 1) Sia 2 3, sia 5 3 soo fattori di ; 2) Sia 2 3, sia 5 3 soo fattori di!1; ( ) 3) ; 5 3, 2 3!1

13 4). 2 3, 5 3 (!1) 13 I casi 1) e 2) soo da escludere, perché icompatibili co l ipotesi! 999. Cosideriamo il caso 3. Tra i umeri multipli di 125, cerchiamo quelli tali che il loro precedete sia multiplo di 8. Compiliamo duque ua tabella ella quale idichiamo quale sia la classe modulo 8 dei multipli di 125, ossia dei umeri = 125 k, 1! k! 7, perché si vuole 100!! 999. Il calcolo delle classi modulo 8 è facilitato se si ota che 125! 5 ( mod. 8), quidi [ 125] 8 = [ 5] 8. Allora [ 125!2] 8 = [ 5! 2] 8 = [ 2] 8 ; i valori successivi di 125 k risultati. [ ] 8 si ottegoo ciascuo addizioado 5 modulo 8 al risultato precedete. Ecco i k [ 125 k] Il umero aturale che precede = 125 k è multiplo di 8 se e solo se la classe modulo 8 di 125 k è [ 1] 8 ; ciò avviee se k = 5. Duque = 125!5 = 625 soddisfa i requisiti del problema. I effetti si calcola = Passiamo al caso 4). Questa volta cerchiamo u multiplo di 8 il cui precedete sia multiplo di 125. Coviee però cotiuare la ricerca tra i multipli di 125, che soo meo umerosi. Tra essi e cerchiamo uo tale che sia multiplo di 8 il suo successivo, i quato adesso 125 k rappreseta!1. Il successivo di u umero è multiplo di 8 se la sua classe modulo 8 è [ 7] 8. La tabella che abbiamo compilato sopra mostra questo risultato per k = 3 ; duque u altro valore di (l uico altro valore) che soddisfa quato richiesto è quello per cui!1 = 125 " 3 = 375, ossia = 376. I effetti = Il Teorema di Wilso e il Piccolo Teorema di Fermat. Si tratta di due teoremi riguardati le cogrueze modulo p, co p primo. Vi soo versioi più sofisticate di questi teoremi per cogrueze modulo m, co m o primo, di cui o parliamo. ( ). Teorema di Wilso. Se p è u umero primo, allora ( p!1)! "!1 mod. p Dimostrazioe. Se p = 2, la proprietà è baale. Suppoiamo p! 3. Quado p è u umero primo, la struttura moltiplicativa ( Z m! { 0}," ), i cui! idica la moltiplicazioe modulo p, è gruppo, i cui è 1 l elemeto eutro. Ogi elemeto ha iverso moltiplicativo; i particolare 1 è iverso di sé stesso, e ache p!1. Ifatti p!1 "!1( mod. p), quidi ( p!1)"( p!1) # (!1)"(!1) = 1( mod. p). Gli altri umeri compresi tra 2 e p! 2 si possoo accoppiare a due a due i modo che il prodotto di ciascua coppia sia 1 ( mod. p). Così, se sviluppiamo ( p!1)! abbiamo il fattore 1, il fattore p!1 "!1( mod. p), e altri p! 3 fattori il cui prodotto modulo p dà 1. Ne segue che 1! 2!!( p " 2)! ( p "1) # "1( mod. p), come volevamo dimostrare. Per esempio, co = 11 si ha ( 11!1)! = 10! = 1" ( 2 " 6!) " (! 3" 4) " (! 5 " 9) " (! 7 " 8) " 10! #!1( mod.11) #1 #1 #1 #1 #!1 ( mod.11) ( mod.11) ( mod.11) ( mod.11) ( mod.11) Osserviamo che la relazioe ( p! 1)! "!1( mod. p) vale soltato se p è primo; se o è così, tra 2 e p!1 ci soo due umeri il cui prodotto è multiplo di p; quidi se p o è primo, ( p!1)! " 0 ( mod. p). Piccolo Teorema di Fermat. Così detto per distiguerlo dall Ultimo Teorema di Fermat, si può euciare i due forme equivaleti: (1) Se p è u umero primo, a è u umero itero positivo, e i umeri a, p soo primi tra loro, allora a p!1 " 1( mod. p). (2) Se p è u umero primo, e a u itero qualuque, allora a p! a ( mod. p).

14 14 Dimostrazioe. Mostriamo prima di tutto che (1) e (2) soo equivaleti. Suppoiamo dimostrato (1). Se ( ) ; moltiplicado etrambi i membri per a si ottiee ( ). Siao a e p o primi tra loro; poiché p è primo, ciò vuole dire che p a. Allora sia a, a e p soo primi tra loro, per (1) è a p!1 " 1 mod. p a p! a mod. p sia a p soo cogrui a zero modulo p, quidi è acora a p! a ( mod. p). Viceversa: suppoiamo provata (2), e sia a primo co p. Allora la classe [ a] p è ivertibile i Z p, cioè ( ). Moltiplicado per b etrambi i membri della ( ) si ottiee a p!1 " 1( mod. p), come si voleva. esiste u umero itero b tale che a!b " 1 mod. p relazioe a p! a mod. p Adesso dimostriamo il teorema, ella forma (2), per iduzioe su a! 0 (dopo ci occuperemo di a < 0 ). Se a = 0 la relazioe 0 p! 0 mod. p ( ) è ovvia. Suppoiamo che per u itero a! 0 risulti a p! a ( mod. p); cerchiamo di dimostrare che ( a +1) p! a +1( mod. p). La formula dello sviluppo della poteza di u biomio (cosiddetta di Newto ) dà ( ) ( a + 1) p = p! p$ ' " # k% & a k = 1+ a p p! + ' a k! ( k. p ( k)! k=0 I coefficieti biomiali che figurao ell ultima sommatoria soo tutti multipli di p. deomiatore della frazioe p! k! ( p!k)! p(1 Ifatti il è il prodotto di umeri iteri tutti < p, quidi o divisori di p, perché p è primo; il umeratore della frazioe ivece cotiee il fattore p: quidi p! k! ( p!k)! caso è u umero itero), dà u umero multiplo di p, ossia cogruo a 0 modulo p. Perciò p!1 p! " a k! ( k # 0 mod. p p! k)! ( ) e allora da ( ) segue ( a + 1) p! 1 + a p ( mod. p). L ipotesi iduttiva dice che a p! a ( mod. p); perciò la relazioe scritta sopra dà ( a + 1) p! 1 + a ( mod. p) come si voleva dimostrare. Se a < 0, quato appea mostrato dice che (!a) p "!a mod. p (che i ogi ( ). Poiché a è u umero primo, se p! 2 ( ) ( ), cioè a( a +1)! 0 ( mod. 2) che è vera perché il prodotto di due umeri iteri allora p è dispari; i tal caso (!a) p "!a p, e si ha la tesi. Se p = 2 la relazioe (!a) p "!a mod. p diveta a 2! "a mod. 2 cosecutivi è sempre pari Rappresetazioi i base b. Fissato u umero itero b! 2, ogi umero itero positivo N si può scrivere i uo e u solo modo ella forma (1) N = x k!b k i cui x k, per ogi k, idica u umero itero tra 0 e b!1. Soltato u umero fiito di addedi è diverso da zero; se è il più grade k per cui x k! 0, la (1) si scrive (2) N = x x!1 x 2 x 1 x 0 i base b # k"0 ( ).

15 15 Normalmete il cotesto permette di evitare l ambiguità iterpretativa di questa scrittura co il prodotto di x, x!1,. Ache la rappresetazioe di umeri i base b può essere sputo per iteressati problemi; ecco u paio di esempi. Problema 19. Si ritiee che la scelta cosueta della base 10 per rappresetare i umeri sia dovuta al fatto che abbiamo 10 dita. U marziao i visita sulla Terra, dopo avere visto scritta l equazioe di secodo grado x 2!16x + 41 = 0, scrive: la differeza delle soluzioi è 10. Quate dita ha il marziao? (si precisa che le cifre da 0 a 6 hao per il marziao ed per oi lo stesso sigificato). Soluzioe. Il problema chiede i modo pittoresco quale sia la base di umerazioe rispetto alla quale risulta corretta la valutazioe data della differeza delle soluzioi dell equazioe. È ecessario ricordare che, se x 1, x 2 soo le soluzioi di u equazioe di secodo grado, questa si può scrivere: x 2! ( x 1 + x 2 )" x + x 1 " x 2 = 0. Duque, qualuque sia la basa usata, si ha x 1 + x 2 = 16 ;!!!!!x 1! x 2 = 41 il cui sigificato dipede però da quale base si adotta. Se la base è b, allora (*) x 1 + x 2 = b + 6 ;!!!!!x 1! x 2 = 4b +1. La valutazioe della differeza delle soluzioi fatta dal marziao sigifica, se x 2 idica la soluzioe maggiore, che x 2! x 1 = b, cioè x 2 = x 1 + b. Sostituiamo questa espressioe di x 2 i (*), e svolgiamo i calcoli ecessari per determiare b. " $ 2x 1 + b = b + 6 # %$ x 1! x 1 + b ( ) = 4b +1 " x 1 = 3 ;!!!!!# % 9 + 3b = 4b +1 da cui b = 8. I effetti il marziao iterpreta l equazioe x 2!16x + 41 = 0 come quella che, i base 10, verrebbe scritta x 2!14x + 33 = 0 ; le sue soluzioi, i base 10, soo 3 e 11, la cui differeza è 8, che i base 8 si scrive apputo 10. Problema 20. Determiare tutti i umeri iteri positivi N tali che: la rappresetazioe i base 2 di N coicide co la rappresetazioe i base 3 di 2N. (Gara di febbraio 2009). Soluzioe. Sia x x!1 x 2 x 1 x 0 la rappresetazioe di N i base 2, e i virtù dell ipotesi, la rappresetazioe i base 3 di 2N. x 0, x 1,, x possoo valere soltato 0 oppure 1, essedo le cifre di ua rappresetazioe i base 2. La rappresetazioe i base 2 di 2N è: x x!1 x 2 x 1 x 0 0 ; questa striga rappreseta i base 2 lo stesso umero che x x!1 x 2 x 1 x 0 rappreseta i base 3. Si ha quidi " x k!2 k+1 = " x k! 3 k cioè " x k! 2 k+1 # 3 k = 0. k=0 k=0 k=0 Scriviamo esplicitamete i primi addedi: x 0 + x 1! x 2!11x 3! = 0. ( ) I coefficieti 2 k+1! 3 k, egativi per k! 2, aumetao i valore assoluto al crescere di k. Poiché x 0, x 1,, x soo uguali a 0 o 1, se qualche x k co k! 3 è diverso da zero, la somma cosiderata è egativa aziché uguale a zero. Bisoga quidi che sia x k = 0 per k! 3. Rimae così la relazioe x 0 + x 1! x 2 = 0 la quale è soddisfatta ei due casi: x 0 = 1, x 1 = 0, x 3 = 1 e x 0 = 0, x 1 = 1, x 3 = 1. I umeri N soddisfaceti i requisiti del testo soo due; essi si rappresetao i base 2 come segue:

16 16 N = 101;!!!!!!!!!! N! = 110. Passado dalla base 2 alla base 10 si ottiee N = 5 e N! = 6 ; ivece le strighe 101 e 110 rappresetao i base 3 rispettivamete i umeri (scritti i base 10) 9 +1 = 10 e = 12. Il pricipio dei cassetti (o dei piccioi). Se + 1 oggetti [piccioi] soo sistemati i cassetti [gabbie], allora almeo u cassetto [gabbia] cotiee almeo due oggetti [piccioi]. Il teorema afferma ua proprietà ovvia; tuttavia la sua applicazioe cosete a volte di risolvere problemi o altrettato ovvi; ecco u esempio. Problema 21 (Gara azioale 1989, adattato). I u grade tavolo di forma circolare soo uiformemete distribuiti 60 commesali: 30 uomii e le rispettive 30 mogli; essua sigora siede accato al proprio marito. Dimostrare che ci soo almeo due sigore che siedoo alla stessa distaza dai rispettivi mariti. Soluzioe. Le 60 persoe occupao i vertici di u poligoo regolare di 60 lati iscritto ella circofereza; siao A 1,, A 30 i vertici occupati dagli uomii, B 1,, B 30 i vertici occupati dalle mogli, coveiamo che i B k sieda la cosorte di chi si trova i A k. La distaza tra ciascu marito e la propria moglie è la misura della diagoale A k B k del poligoo, che o è mai u lato del poligoo perché moglie e marito o siedoo mai accato. Le diagoali di u poligoo di 60 lati possoo avere soltato 29 diverse misure: fissato u vertice V, la misura massima delle diagoali è VW, dove W è il vertice diametralmete opposto a V; VW è asse di simmetria del poligoo, e ciascua delle due parti i cui VW divide il poligoo cotiee altri 28 vertici, ciascuo a ua diversa distaza da V. Ogi altra diagoale misura quato ua delle 29 usceti da V e situate i ua delle due metà del poligoo. Ora cosideriamo le 30 diagoali A k B k, e raggruppiamole i classi di lughezza. Poiché, come abbiamo visto, ci soo soltato 29 possibili misure delle diagoali, almeo due delle diagoali A k B k debboo essere di uguale lughezza; ciò è quato si doveva dimostrare. La tesi è vera ache se si sopprime l ipotesi che essua sigora siede accato al proprio marito, ma la dimostrazioe è meo diretta: vediamo. Suppoiamo, per assurdo, che ci sia ua disposizioe dei posti tale che le distaze tra ciascua sigora e il rispettivo cosorte siao tutte diverse. Numeriamo i vertici i ordie, da 1 a 60. Ciascua coppia occupa due vertici, che o possoo riguardare essu altra coppia. Avedo supposto che le distaze tra mogli e mariti siao tutte differeti, 15 coppie debboo occupare vertici di opposta parità (u vertice pari e u vertice dispari); altre 15 coppie debboo occupare vertici di uguale parità (pari co pari o dispari co dispari). Ma ciò o è possibile, perché le prime 15 coppie lasciao liberi 15 posti pari e 15 posti dispari e quidi, i qualuque modo si cogiugao a due a due questi vertici, si potrao formare al più 7 coppie (pari-pari) e 7 (dispari-dispari), e poi rimarrao soltato u vertice pari e uo dispari. Problema 22 (Gara di febbraio 2004). Determiare il più piccolo umero aturale tale che: dati umeri iteri distiti, ce e soo sicuramete due tali che la loro somma o la loro differeza è divisibile per 9, ( ) oppure Soluzioe. La richiesta è di trovare fra gli umeri dati due umeri a, b tali che a! b mod. 9 a! "b ( mod. 9). È sufficiete ragioare sui resti modulo 9; raggruppiamo i umeri iteri da 0 a 9 i modo da mettere isieme quelli legati dalla relazioe a! "b ( mod. 9). I cassetti che si formao soo: { 0}, { 1, 8}, { 2, 7}, { 3, 6}, { 4, 5}. Ogi umero itero è cogruo modulo 9 a uo dei umeri su elecati. Poiché i gruppi ( cassetti ) soo 5, dati sei o più umeri ce e sarao almeo due che appartegoo (modulo 9) allo stesso cassetto. Questi due umeri o soo cogrui modulo 9, o è tale la loro somma. 6 è la quatità miima da richiedere per avere la certezza di soddisfare quato richiesto: tra i cique umeri 0, 1, 2, 3, 4 o si forma alcua coppia co le caratteristiche desiderate. Pertato = 6.

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