IPOTESI SULLA VERITA DELLE CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI NULLI. (Legendre, Goldbach, Riemann )

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1 IPOTESI SULLA VERITA DELLE CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann ) Michele Nardelli,Francesco Di Noto, Abstract In this paper we show as some conjectures about prime numbers, with comet graphs and counterexample = 0, are all true. (Legendre s conjecture, Goldbach s conjecture, Riemann equivalent Hypothesis RH1 ) Riassunto In questo lavoro mostreremo come le congetture sui numeri primi che hanno grafici numerici di tipo comet e con contro - esempi uguali o minori di zero, sono in genere vere. Posseggono tali interessanti requisiti la congettura di Legendre (Rif.1), la congettura di Goldbach (Rif.2) e una delle ipotesi RH equivalenti ( e precisamente la RH1) (Rif.3) Vediamole ora singolarmente: Congettura di Legendre (Rif 1)

2 Breve definizione, dalla omonima voce diwikipedia: Congettura di Legendre Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. La congettura di Legendre, da Adrien-Marie Legendre, afferma che esiste sempre un numero primo compreso fra n 2 ed (n + 1) 2. Questa congettura fa parte dei problemi di Landau e, fino ad oggi, non è stata dimostrata. Nel 1965 Chen Jingrun dimostrò che esiste sempre un numero compreso fra n 2 ed (n + 1) 2 che sia un primo o un semiprimo, ossia il prodotto di due primi. Inoltre, è noto che esiste sempre un numero primo fra n n θ ed n, con θ = 23 / 42 = 0, (dimostrato da J. Iwaniec e H. Pintz nel 1984) [1]. La sequenza dei più piccoli primi compresi fra n 2 ed (n + 1) 2 è 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401,... (Sequenza A dell'oeis). La sequenza del numero di primi compresi fra n 2 ed (n + 1) 2 è 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9,... (Sequenza A dell'oeis). Grafico dalla sequenza OESIS A014085: A as a graph:

3 Come si nota, il secondo grafico e di tipo comet, sebbene più sottile rispetto a quelli di Goldbach e della RH1, ma questo non influisce sulla nostra presente congettura (grafici comet e contro esempi nulli = congetture vere). La voce di Wikipedia dice che la

4 congettura non è stata ancora dimostrata. Noi proponiamo la nostra dimostrazione, in Rif. 1) Congettura di Goldbach (Rif 2) Breve definizione da Wikipedia, comprensiva del relativo grafico di tipo comet: Congettura di Goldbach Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (lo stesso numero primo può essere usato due volte). Il numero di modi con cui un numero n si può scrivere come somma di due primi per n Per esempio, 4 = = = = = = = = 7 + 7

5 TNP, Teorema dei numeri primi Definizione parziale, da Wikipedia: Teorema dei numeri primi Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione approssimata, asintotica dei numeri primi. Per ogni numero reale positivo x, definiamo la funzione: Il teorema dei numeri primi afferma che: dove ln(x) è il logaritmo naturale di x. Questa notazione vuole significare solo che il limite del quoziente delle due funzioni π(x) e x/ln(x) per x che tende ad infinito è 1 (vedi stima asintotica); ciò non significa che il limite della differenza delle due funzioni, per x che tende ad infinito, è 0. Un'approssimazione ancora migliore, e una stima per il termine di errore, sono date dalla formula: (vedi notazione O grande). Qui Li(x) denota la funzione logaritmo integrale. Grafico :

6 Anche il TNP, già dimostrato, e che è connesso alla RH, potrebbe avere un grafico di tipo comet (leggero ampliamento del grafico di cui sopra, se si considerano tutti i valori di π(x) per valori di N molto grandi, dove π(x) è infinite volte maggiore o minore di Li(x) Congettura possibile con contro esempio = 0: I numeri primi, a partire da un numero x, sono finiti, o più brevemente, da un certo numero x in poi non ci sono più numeri primi : Ciò significherebbe che dopo x, il grafico precipiterebbe immediatamente a π(x) = 0. Poiché i grafici di tipo comet, e anche questo grafico sul TNP non precipitano mai a zero, ne immediatamente e nemmeno gradualmente, la congettura sui numeri primi finiti è falsa, poiché i numeri primi sono infiniti, cosa dimostrata in molti modi, da Euclide in poi. Di conseguenza, anche l ipotesi dei numeri primi infiniti è vera anche sotto questo aspetto (grafici comet con contro esempi = 0 mostrano chiaramente la verità delle rispettive congetture)

7 Funzione σ(n). Cominciamo dalla RH1: BLOG MATEMATICO di Umberto Cerruti ( La congettura di Rieman e le sue gemelle Nel seguito denoteremo la congettura di Riemeann con l'abbreviazione usuale RH, che sta per Riemann Hypothesis. Nella figura sottostante vediamo segnate le differenze L(n) = (H n + e H n log(h n )) - σ(n) per n che varia da 2 a 300 Figura 1 Come si vede, alcuni individui si staccano dalla massa e giungono pericolosamente vicino a 0. Tra 50 e 300 si raggiungono i valori più bassi di L(n) per n=60 e n=120 L(60) = L(120) =

8 RH1 è equivalente a RH, una di esse è vera se e solo se è vera l'altra. Chiunque riuscisse a provare che L(n) è maggiore di 0 per ogni n, cioè che i puntini in figura non vanno mai sotto l'asse delle ascisse, per quanto si estenda il grafico, guadagnerebbe fama imperitura e un milione di dollari! Si rimane stupiti dall'assenza in RH1 di qualsiasi riferimento esplicito ai numeri complessi o ai numeri primi. Ovviamente il legame esiste, ma è molto nascosto. Circa i nostri lavori sulla RH1, vedi riferimenti ( Articoli su Riemann sul nostro sito dove mostriamo, anche tramite la somiglianza tra i due grafici (Goldbach e funzione L(n), che non esiste contro esempio L(n) < 0; e quindi la RH1 è vera, e di conseguenza anche la RH (come pure, analogamente, per lo stesso motivo, le diverse congetture incluse in questo lavoro riepilogativo). Inserire grafico L(n) da noi corretto (con inferiore tratteggiata, i cui valori sono sempre L(n) > 0, per cui tale controesempio ( L(n) < 0 non può mai esistere, il chè conferma la nostra presente congettura Fig 2

9 Tabella dei valori di L(n) TAVOLA comparativa con i primi multipli di 6 e i nostri risultati approssimativi ( per difetto) sui relativi valori di L(n): h(n) = Hn + e^hn log Hn; Hn = log n + 0,57721 (costante di Eulero Mascheroni) k n = 6k h(n) σ(n) L(n) = h(n) σ(n) 1 6 = 3! 12, ,41 irregolare , , , , = 4! 60, , , , , , , , , , , , , ,40 valore reale 2, =5! 364, ,39 valore reale 6.06 Qui un'altra tabella dei valori di L(n) per i fattoriali e il relativo grafico, elaborato dal nostro collaboratore esterno Eugenio Amitrano Tabella dei valori di L(n) relativi ai soli fattoriali, per apposito grafico (per Eugenio Amitrano) Fattoriali L(n) (approssimati per difetto) L(n) (valori reali)

10 2! = 2 0, 31? > 0 3! = 6 0,67 4!= 24 0,28 5! = 120 4,39 6,06 6!= ,87 7! ,70 8! ! Fonte: L equivalenza di Lagarias RH1 = RH esaminata con i soli numeri fattoriali n = k! Francesco Di Noto e Michele Nardelli, sul sito Secondo una tabella di questo lavoro, per 3! otteniamo un valore approssimativo per difetto di -0,41 (Valore reale > 0, e quindi positivo), mentre per 4! un valore di 0,31, (solo per 5! un valore uguale di 4,39) non molto distanti dai valori approssimativi della suddetta tabella, sarà utilizzata per il seguente grafico).

11 Per i multipli di 6, essendo i rispettivi valori di σ(n) più alti, la differenza L(n) = h(n) σ(n) è ovviamente più bassa, e quindi più pericolosa per la RH1, rispetto ai non multipli di 6; tuttavia non raggiunge mai il valore zero, e la RH1 = RH è quindi vera: la nostra congettura iniziale viene pertanto confermata. Passiamo ora alla funzione φ di Eulero. Ritorneremo sulla funzione σ(n) alla fine di questo lavoro, in merito alla fattorizzazione) Funzione φ di Eulero Grafico comet della Funzione φ di Eulero (da Wikipedia)

12 I primi mille valori di Alcuni valori della funzione[modifica] I primi 100 valori di La funzione φ di Eulero, pur non essendo legata ad una congettura nota, è connessa all ipotesi di Riemann RH, ma ha ugualmente un grafico di tipo comet: il contro esempio sarebbe un valore di φ(n) = 0, impossibile secondo il grafico comet di cui sopra; una congettura appropriata potrebbe essere che la funzione φ(n) cresce all infinito, come il numero dei numeri primi (vedi TNP e relativo grafico, vedi sopra), le coppie di numeri primi gemelli, le coppie di Goldbach al crescere di N; funzioni e relativi valori che sono spesso legati alle forme 6k + 1, con valori compresi tra un

13 massimo e un minimo, anche questo crescente (curva inferiore di ogni grafico comet) e quindi si allontana sempre più dal contro esempio uguale a zero (Goldbach, Rif.2) o minore di zero (RH1), (Rif. 3) La congettura non vera circa la funzione φ(n) ora potrebbe essere questa: a partire da un certo numero n, la funzione φ(n) si annulla, cioè φ(n) = 0 Poiché il grafico di cui sopra esclude una tale possibilità, tale congettura è falsa, ed è invece vera il suo contrario: la funzione φ(n) assume valori minimi (curva inferiore) e massimi) curva superiore) sempre crescenti al crescere di n, e quindi tentenni all infinito ; tali valori sono connessi alle forme 6k + 1 dei numeri primi ( La funzione φ di Eulero, (Rif. 3) Un ultima funzione numerica, anch essa connessa ad un grafico di tipo comet, e indirettamente collegata alla RH, è la funzione divisori d(n)), sul numero dei divisori propri (e fattori primi) dei numeri n da 1 in poi) Tale numero di fattori cresce al crescere di n, ma rimane sempre 2 per tutti i numeri primi p ( 1 e p ), e assume il valore 1 solo per il numero 1, poichè 1 ha un solo fattore, se stesso poiche 1/1 = 1, ma per convenzione non viene considerato numero primo; un altro possibile fattore, ma improprio e quindi irrilevante, è n^0 = 1. Qui la congettura non vera potrebbe essere questa esiste un numero n per il quale la funzione divisori si annulla Poiché il grafico comet della funzione gamma mostra che tale possibilità non esiste, la congettura è falsa e quindi è vera la congettura opposta tutti i numeri n > 2 hanno almeno due divisori propri (2 solo per i numeri primi). Iniziamo da TAVOLA DEI DIVISORI parzialmente da Wikipedia (fino a n = 100, per rendere l idea):

14 Divisori Tavola dei divisori Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. La tavola seguente lista tutti i divisori dei numeri da 1 a Un divisore di un n intero è un numero intero m espressa, per questo, con n/m che è di nuovo un numero intero (il quale è necessariamente anche un divisore di n). Per esempio, 3 è un divisore di 21, poiché 21/3 = 7 (e 7 è anche un divisore di 21). Se m è un divisore di n così allora lo è m. La tavola seguente lista solo i divisori positivi. Legenda della tavola[modifica] d(n) è il numero dei divisori positivi di n, compreso 1 e n stesso σ(n) è la somma di tutti i divisori positivi di n, compreso 1 e n stesso s(n) è la somma dei divisori propri di s(n) = n; gli unici numeri perfetti tra 1 e 1000 sono 6, 28 e 496 I numeri amicabili e i numeri sociable sono numeri dove la somma dei loro divisori propri formano un ciclo; gli unici esempi sotto il 1000 sono 220 e 284 un numero difettivo è più grande della somma dei suoi divisori propri; cioè, s(n) < n un numero abbondante è più piccolo della somma dei suoi divisori propri; cioè, s(n) > n un numero primo ha come divisore solo 1 e sé stesso; cioè, d(n) = 2. I numeri primi sono sempre difettvi. Divisori dei numeri da 1 a 100[modifica] n Divisori d(n) σ(n) s(n) Note difettivo 2 1, difettivo, primo 3 1, difettivo, primo 4 1, 2, difettivo 5 1, difettivo, primo 6 1, 2, 3, perfetto 7 1, difettivo, primo 8 1, 2, 4, difettivo 9 1, 3, difettivo 10 1, 2, 5, difettivo 11 1, difettivo, primo 12 1, 2, 3, 4, 6, abbondante

15 13 1, difettivo, primo 14 1, 2, 7, difettivo 15 1, 3, 5, difettivo 16 1, 2, 4, 8, difettivo 17 1, difettivo, primo 18 1, 2, 3, 6, 9, abbondante 19 1, difettivo, primo 20 1, 2, 4, 5, 10, abbondante n Divisori d(n) σ(n) s(n) Note 21 1, 3, 7, difettivo 22 1, 2, 11, difettivo 23 1, difettivo, primo 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, abbondante 25 1, 5, difettivo 26 1, 2, 13, difettivo 27 1, 3, 9, difettivo 28 1, 2, 4, 7, 14, perfetto 29 1, difettivo, primo 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, abbondante 31 1, difettivo, primo 32 1, 2, 4, 8, 16, difettivo 33 1, 3, 11, difettivo 34 1, 2, 17, difettivo 35 1, 5, 7, difettivo 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, abbondante 37 1, difettivo, primo 38 1, 2, 19, difettivo 39 1, 3, 13, difettivo 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, abbondante n Divisori d(n) σ(n) s(n) Note 41 1, difettivo, primo 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, abbondante 43 1, difettivo, primo 44 1, 2, 4, 11, 22, difettivo 45 1, 3, 5, 9, 15, difettivo 46 1, 2, 23, difettivo

16 47 1, difettivo, primo 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, abbondante 49 1, 7, difettivo 50 1, 2, 5, 10, 25, difettivo 51 1, 3, 17, difettivo 52 1, 2, 4, 13, 26, difettivo 53 1, difettivo, primo 54 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, abbondante 55 1, 5, 11, difettivo 56 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, abbondante 57 1, 3, 19, difettivo 58 1, 2, 29, difettivo 59 1, difettivo, primo 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, abbondante n Divisori d(n) σ(n) s(n) Note 61 1, difettivo, primo 62 1, 2, 31, difettivo 63 1, 3, 7, 9, 21, difettivo 64 1, 2, 4, 8, 16, 32, difettivo 65 1, 5, 13, difettivo 66 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, abbondante 67 1, difettivo, primo 68 1, 2, 4, 17, 34, difettivo 69 1, 3, 23, difettivo 70 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, abbondante 71 1, difettivo, primo 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, abbondante 73 1, difettivo, primo 74 1, 2, 37, difettivo 75 1, 3, 5, 15, 25, difettivo 76 1, 2, 4, 19, 38, difettivo 77 1, 7, 11, difettivo 78 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, abbondante 79 1, difettivo, primo 80 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, abbondante n Divisori d(n) σ(n) s(n) Note

17 81 1, 3, 9, 27, difettivo 82 1, 2, 41, difettivo 83 1, difettivo, primo 84 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, abbondante 85 1, 5, 17, difettivo 86 1, 2, 43, difettivo 87 1, 3, 29, difettivo 88 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, abbondante 89 1, difettivo, primo 90 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, abbondante 91 1, 7, 13, difettivo 92 1, 2, 4, 23, 46, difettivo 93 1, 3, 31, difettivo 94 1, 2, 47, difettivo 95 1, 5, 19, difettivo 96 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, abbondante 97 1, difettivo, primo 98 1, 2, 7, 14, 49, difettivo 99 1, 3, 9, 11, 33, difettivo 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, abbondante Come si vede, solo 1 ha un solo divisore, tutti gli altri ne hanno almeno due, i numeri primi sempre due. Con un grafico di tipo comet, la curva inferiore è appiattita sul valore 2 (per i numeri primi, di forma 6k + 1) e la curva superiore è sempre crescente al crescere dei numeri x non primi, e assume i valori più alti per i multipli di 6, e quindi di forma 6k (comprendenti anche primordiali e fattoriali), nell interno del grafico invece i valori intermedi, anche di forma 6k +1 ma composti ma con pochissimi divisori propri (esclusi il 2 e il 3), per esempio 35= 6*6-1 = 5*7 La congettura errata è per almeno un numero x > 2, il suo numero di divisori propri è zero, oppure 1. Poiché il relativo grafico comet lo esclude, tale congettura è falsa, ed è vera il suo contrario: per qualsiasi x > 2, i suoi divisori sono almeno due,

18 essendo impossibili i valori 0 e 1 (quest ultimo riservato solo al numero 1) Tabella d(n) e σ(n) per possibili grafici di tipo comet, fino a n = 24, relative congetture e relazioni con la RH N d(n) σ(n)

19 In rosso i numeri primi, di forma 6k +1 con i valori più bassi di s(n) e σ(n) (curva inferiore) In blu i multipli di 6, di forma 6k, con i valori più alti (curva superiore) Grafico comet basato su questa tabella (realizzato dal nostro collaboratore esterno Eugenio Amitrano, che ringraziamo vivamente)

20 Relazione con la RH: poichè i divisori sono anche numeri primi, e i numeri primi hanno a che fare con la fattorizzazione, se la RH è vera la fattorizzazione veloce (polinomiale, P) stà in P (problemi polinomiali) Poichè la RH è vera (RH1 = RH, vedi grafico L(n)

21 Fig 1 e nostra modifica (Fig.2) (Rif.3), la fattorizzazione veloce è quindi possibile (Rif.4, 5 e 6). Numero di divisori da Divisore Wikipedia (parzialmente)a Numero di divisori[modifica] Il numero totale di divisori positivi di n è la funzione moltiplicativa d(n) (ad esempio, d(42) = 8 = = d(2) d(3) d(7)). La somma dei divisori positivi di n è un'altra funzione moltiplicativa σ(n) (ad esempio, σ(42) = 96 = = σ(2) σ(3) σ(7)). Notiamo che se un numero p è primo allora ha due divisori, p 2 ha tre divisori, ecc. ecc. In generale p M ha M + 1 divisori. Quindi se la fattorizzazione prima di n è data da: Allora il numero di divisori positivi di n è: d(n) = (ν 1 + 1)(ν 2 + 1)...(ν M + 1) ed ogni divisore è nella forma: Dove: Ad esempio poiché (i=1,2,...,m) allora e quindi ha 72 divisori. La somma dei divisori positivi di n è un altra funzione moltiplicativa σ(n) (ad esempio, σ(42) = 96 = = σ(2) σ(3) σ(7)).

22 Il grafico comet di cui sopra sulla funzione σ(n), ed altri simili reperibili sul web e sui nostri lavori (vedi Dai multipli di 6 alla Riemann Hipothesis, in Rif.3), e connesso ai divisori di un qualsiasi numero N ( primo o non primo, nel primo caso vale ovviamente la curva rossa, inferiore), mostra che i divisori propri, quando sono primi (detti anche fattori primi), sono connessi alla RH1 e ai relativi grafici di tipo comet, e principalmente il grafico L(n). Poiché tale grafico mostra la verità della RH1, e quindi della RH, ne consegue che la fattorizzazione polinomiale ( cioè veloce) è possibile : Secondo il prof. Bottazzini, invece, il problema della scomposizione di un numero infattori sta in Np, ma non si sa se stia anche in P (la risposta è positiva se l ipotesi di Riemann è vera (Rif.5 e 6) Conclusioni Come visto, tutti i grafici comet a noi noti e relativi ad alcune congetture sui numeri primi, ci confermano la loro verità, poichè escludono la possibilità di contro esempi uguali o minori di zero Inoltre, la congettura di Goldbach, una di queste congetture, potrebbe essere importante sia per la RH che per la fattorizzazione veloce: la sua soluzione potrebbe essere paragonata alla luna, come base intermedia per facilitare le missioni verso Marte e Venere (i due grossi problemi di cui sopra): Per la RH c è la connessione con la RH1, per la fattorizzazione veloce ci potrebbero essere benissimo altre connessioni (che vedremo in seguito, approfondendo l algoritmo di fattorizzazione alla Fermat, molto efficiente per il prodotto di due numeri primi molto vicini tra loro). Riferimenti

23 1) La congettura di Legendre ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese, Dr. Michele Nardelli, prof. Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof. Annarita Tulumello, sul sito 2) Intera sezione Articoli su Goldbach, idem 3) Intera sezione Articoli su Riemann, idem 4) Intera sezione Articoli sulla Fattorizzazione, idem 5) I tre problemi del millennio sui numeri primi (RH, P =N P e congettura di Birch e Swinnerton Dyer: possibili connessioni e una nostra previsione) Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Annarita Tulumello (vedi anche Rif.3) 6) Umberto Bottazzini articolo Goldbach e altre ipotesi tutte da dimostrare su Il Sole - 24 Ore del 20 maggio 2000 Caltanissetta