1) Codici ciclici. 2) Esempi di codici ciclici. 3) Algoritmi di codifica e decodifica. 4) Circuiti di codifica

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1 Argomenti della Lezione ) Codici ciclici 2) Esempi di codici ciclici 3) Algoritmi di codifica e decodifica 4) Circuiti di codifica

2 Codici ciclici Un codice lineare a blocchi (n,k) è ciclico se e solo se ogni traslazione ciclica (per esempio a sinistra) di una codeword produce un altra codeword Sono codici che consentono facili operazioni di codifica e semplici algoritmi di decodifica e, dunque, sono di grande interesse pratico Saranno trattati soltanto codici ciclici binari. 2

3 Codici ciclici Un utile rappresentazione dei codici ciclici è con polinomi nell incognita Z di grado non superiore a (n-) a coefficienti binari I simboli binari di una codeword vengono numerati in ordine decrescente da (n-) a, in modo da adattarsi all esponente di Z. Una codeword : x= [x n-, x n-2,,x ] è rappresentata dal polinomio di codice x( dato da: x( = x n- Z n- + x n-2 Z n x Z + x Per definizione di codice ciclico, se x( è polinomio di codice, allora una traslazione ciclica della codeword di i posizioni genera un altro polinomio di codice x (i) ( 3

4 Codici ciclici TEOREMA () Il polinomio di codice x (i) ( è il resto della divisione tra Z i x( e (Z n +): Z i x( = q( (Z n +) + x (i) ( dove q( è polinomio quoziente di grado non superiore a (i-). NOTA: x( ha grado n- Z i x( ha grado n-+i 4

5 Esempio Codici ciclici Il codice lineare a blocchi (3,2): C={,,,} è ciclico. x =[] x 2 =[] x 3 =[] x 4 =[] x 4 si ottiene da x 2 con 2 scorrimenti ciclici a sinistra: i=2. Come verifica del Teorema () svolgiamo la divisione. 4 Z + Z 3 4 Z + Z \ \ 3 Z + Z Z 3 + Z+ x (2) ( = r( = Z + [ ] Z 3 + \ \ Z + 5

6 TEOREMA (2) Codici ciclici Dato un codice ciclico (n,k) esiste un polinomio di codice unico di grado (n-k) che ha la forma: n k n k n k 2 g( = Z + gn k Z + gn k 2Z gz + Tutti gli altri 2 k - polinomi di codice sono multipli di g( e ogni polinomio di grado (n-) o inferiore che sia divisibile per g( deve essere un polinomio di codice. Il polinomio g( è detto polinomio generatore del codice ciclico e lo definisce completamente. Nota: il polinomio generatore di un codice ciclico è il polinomio di codice con grado minimo, escludendo il polinomio nullo. 6

7 Codici ciclici TEOREMA (3) Il polinomio generatore g( di un codice ciclico (n,k) è divisore di (Z n +) VICEVERSA Ogni divisore di (Z n +) di grado (n-k) genera un codice ciclico (n,k). 7

8 Codici ciclici Un polinomio riducibile di grado l è ottenuto come prodotto di due polinomi entrambi di grado inferiore ad l e non costanti. Un polinomio irriducibile di grado l è un polinomio non divisibile per nessun altro polinomio di grado m, con <m<l. Nella tabella dei fattori del polinomio Z n + tutti i fattori sono dei polinomi irriducibili. 8

9 Sia g( il polinomio generatore di un codice ciclico (n,k) e sia h( un polinomio di grado k tale che: Codici ciclici n n g( h( = Z +, cioè g( h( = mod( Z + ) h( è detto polinomio di controllo di parità. Sia y( il polinomio associato al vettore ricevuto. Il polinomio di sindrome s( (di grado <n-k) associato al polinomio y( si ottiene come resto della divisione tra y( e g(: TEOREMA (4) y ( = q( g( + s( Sia C un codice ciclico (n,k) con polinomio di controllo di parità h(. Il polinomio y( è un polinomio di codice se e solo se: n y( h( = mod( Z + ) 9

10 Algoritmi di codifica e decodifica per codici ciclici

11 Codici Ciclici: algoritmi di codifica Dato il polinomio generatore g( di un codice ciclico (n,k), il polinomio di codice x( corrispondente ad una sequenza informativa u( può essere ottenuto come: x ( = u( g( algoritmo di codifica Tale algoritmo non costituisce un codificatore sistematico.

12 Esempio Codici Ciclici: algoritmi di codifica 3 Per il codice di Hamming (7,4) si ha: g( = Z + Z+ La codeword che corrisponde alla dataword, cioè: è data in termini polinomiali da: x( = (Z + Z + )(Z + Z + ) = Z + Z + Z = Z + Z + Z + Z + Z + Z Z 5 + Z 3 u( = + Z 2 + Z Z Z Z+ = Si può notare che la codeword ottenuta è, dunque il codificatore non è sistematico. La altre codeword sono ottenibili allo stesso modo 2

13 Codici Ciclici Sistematici: algoritmi di codifica L algoritmo basato su: x ( = u( g( È modificabile per ottenere un codice ciclico (n,k) sistematico. Data u(, la si moltiplica per Z n-k e si divide per g(: Z n k u( = q( g( + r( N.B. r( ha grado non maggiore di (n-k-), essendo g( di grado n-k. Riarrangiando: 2 ALGORITMO DI CODIFICA Z n k u ( Z ) + r ( Z ) = q ( Z ) g ( Z ) Poichè il secondo membro rappresenta un polinomio di grado minore o uguale a (n-), allora il primo membro rappresenta un polinomio di codice. 3

14 Codici Ciclici Sistematici: algoritmi di codifica Riscrivendo la formula del 2 algoritmo esplicitamente: n n 2 n k n k u k Z + uk 2 Z u Z + rn k Z r = Codeword k digit informativi n-k controlli di parità Il codificatore è sistematico La sezione di controllo di parità di ogni codeword di un codice ciclico sistematico (n,k) è ottenibile come resto della divisione: Z n k u( g( 4

15 Codici Ciclici: algoritmi di codifica Riassumendo: l algoritmo per la codifica di u( tramite un codice ciclico sistematico è il seguente: Si moltiplica u( per Z n-k Si divide u( Z n-k per g( ottenendo come resto r( Si somma il resto r( della divisione a u( Z n-k ottenendo il polinomio di codice. 5

16 ESEMPIO Codici Ciclici Sistematici: algoritmi di codifica Dato il codice ciclico (7,4) con: g( Z ) = Z + Z+ Si cerca la codeword per la sequenza informativa con l algoritmo di codifica di tipo sistematico: (n-k=3) Z u( = Z + Z + Z CON u( = Z + Z + dividendo per g( 3 r( = codeword = Z u( + x( = Z + Z + Z + SISTEMATICO dataword r( parity check 6

17 Codici Ciclici: algoritmi di decodifica a rivelazione di errore Sia y( il polinomio di grado <n associato al vettore ricevuto. La decodifica per la rivelazione d errore si svolge calcolando il resto della divisione tra y( e g( e verificando che corrisponda al polinomio nullo. Come procedimento alternativo si può verificare che: n y( h( = mod( Z + ) 7

18 Codici Ciclici: algoritmi di decodifica a correzione di errore Sia C un codice (n,k) ciclico con capacità di correzione dell errore pari a t. e sia e( il vettore di errore tale che: x( = y( + e(. Teorema (5) Se la sindrome s( calcolata rispetto al polinomio ricevuto y( ha peso t allora e(=s(. Tale Teorema è applicabile per la correzione degli errori soltanto se gli errori avvengono sui bit di parità della codeword trasmessa. Si può però pensare di shiftare ciclicamente y( finchè non si ottiene, dopo m shift verso sinistra, una sindrome s m ( di peso t. Il vettore errore e( sarà allora pari alla sindrome shiftata di n-m posizioni: n m n e( = Z s ( mod( Z + ) m 8

19 Esempi di Codici Ciclici 9

20 Codici di Hamming Ogni codice di Hamming è un codice ciclico Codice di Hamming (7,4) ESEMPIO: codice di Hamming (7,4) per la codeword le sei traslazioni Datawords Codewords circolari (a sinistra) sono: ed appartengono tutte all insieme delle codeword Lo stesso vale per ogni altra codeword 2

21 Codici di Hamming Per ogni l = 2, 3,... esiste un codice di Hamming (n,k) con: n = 2 l -, k = 2 l - - l Tali codici hanno d min = 3 correggono tutti gli errori singoli rivelano gli errori doppi Aumentando i, il codice è meno ridondante Tali codici sono perfetti, cioè verificano la Hamming bound con il segno di uguaglianza. Alcuni codici di Hamming: i (n,k) (3,) (7,4) (5,) (3,26) (63,57) (27,2) 2

22 Codice di Hamming (5,) Hanno matrice H con colonne date da tutte le possibili sequenze di = H n = 5, k = (n-k) x n = 4 x 5 Codici di Codici di Hamming Hamming (n-k) bit, eccetto la sequenza zero La matrice H non è in forma sistematica, ma può diventarlo riarrangiando le colonne I quattro bit delle colonne di H, viste come numero binario, identificano la posizione della colonna Un vettore errore con errore singolo genera una sindrome che fornisce, in forma binaria, la posizione dell errore nella sequenza ricevuta. Tale informazione è utilizzabile per la correzione 22

23 Codici BCH I codici BCH (Bose - Chauduri - Hocquenghem) sono codici ciclici non necessariamente binari che costituiscono una generalizzazione dei codici di Hamming per t. Si è visto che dato m 3 intero, esiste un codice BCH binario di parametri: n = 2 m, n k mt, d 2t Il quale può correggere t errori. min + Il polinomio generatore per un codice BCH è costruibile dai fattori di: Z n + = Z 2 m + 23

24 Circuiti di codifica e decodifica per codici ciclici 24

25 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Per effettuare le operazioni di codifica e decodifica di codici ciclici sono necessari dei circuiti che svolgano le due operazioni necessarie: moltiplicazione e divisione di polinomi. La forma del circuito dipende dai coefficienti del polinomio f( di grado n, (f n =). Gli elementi circuitali utilizzati sono: r stadio di un registro a scorrimento f n moltiplicatore per una costante sommatore modulo 2 Inizialmente i registri contengono tutti bit pari a zero. All ingresso del circuito entra il polinomio (un bit ogni colpo di clock partendo dal bit più significativo). Dopo k colpi di clock (polinomio in ingresso di grado k-) all uscita del circuito si ottiene il risultato completo dell operazione di moltiplicazione o divisione. 25

26 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito moltiplicatore p( f n- f n-2 f n-3 f m( r r r 2 r n- p( = m( f( Circuito divisore q( f f f 2 f 3 f n- d( r r r 2 r n- d( = q( f( + r( 26

27 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica di codici ciclici (n,k) Durante l ingresso dei k bit della dataword i deviatori sono tutti sulla posizione A (k colpi di clock). Escono prima i k bit della dataword. Dopo k colpi di clock i deviatori si portano sulla posizione B per n-k colpi di clock. La codeword è disponibile in uscita dopo n clock. 27

28 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) u r r 2 i r POSIZIONE DEGLI INTERRUTTORI: A) PER 4 COLPI DI CLOCK B) PER 3 COLPI DI CLOCK 28

29 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) b i r u r r2 i Dato il codice ciclico (7,4), la codeword per la sequenza si ottiene facendo scorrere nel circuito la sequenza d informazione ed estraendo serialmente il resto della divisione. Come si analizza il singolo colpo di clock: ) Ad ogni colpo di clock il registro scorre a destra ciclicamente 2) Il bit u i entra e si somma allo scorrimento di r 2 a destra e genera il bit b i che gira su r e, sommato allo scorrimento di r, su r 29

30 SI ILLUSTRA QUANTO DETTO PER IL CASO DELL ESEMPIO: u = [] Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) PASSO ) u i = (PER PRIMO ENTRA MSB) E DA r 2 SCORRE b i = + = su r e r gira b i = r r r 2 b i +b i r r r 2 è lo scorrimento iniziale 3

31 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) PASSO 2) u i = E DA r 2 SCORRE = + = b i su r e r gira b i = r r r 2 b i +b i r r r 2 è lo scorrimento di r è lo scorrimento di r 3

32 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) PASSO 3) u i = E DA r 2 SCORRE = + = b i su r e r gira b i = r r r 2 b i +b i r r r 2 lo scorrimento di r è lo scorrimento di r 32

33 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) PASSO 4) u i = E DA r 2 SCORRE = + = b i su r e r gira b i = r r r 2 b i +b i r r r 2 è lo scorrimento di r è lo scorrimento di r r(= 33

34 Codici Ciclici: circuiti di codifica e decodifica Circuito per la codifica sistematica del codice di Hamming (7,4) IN TABELLA SONO RIPORTATI I RISULTATI TROVATI AD OGNI PASSO CONTENUTO DEL REGISTRO AD OGNI PASSO QUANDO I 4 BIT INFORMATIVI SONO ENTRATI NEL REGISTRO SI HA r r r 2 = Cioè il resto: r(= 34