Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2011/2012. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Della seguente funzione 0ab si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0ab œ % È $ logk$ k Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

2 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. $ 0ab œ / 2

3 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim sin a b cos ˆ Ä tan$ a b 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 Œ cos sin 8 8 8œ 3

4 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 5. Calcolare il seguente integrale definito: $ ( % $.Þ 6. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge oppure no, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai teoremi studiati: ( _ È $ log.þ 4

5 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Sia 0ab œ / log. a. Calcolare 0 wa b, e dedurre che in a ß_ b la funzione 0 è monotona e quindi invertibile. (NON si chiede di scrivere la funzione inversa). b. Detta la funzione inversa di 0 nell'intorno di cui sopra, calcolare w Š / /.

6 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 2 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. $ 0ab œ / Ê & Þ 2

7 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 2 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim Ä / ' sin Þ $ $ a bê cosš È 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 Þ 8œ 8 alog8b È8 3

8 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 2 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( È k k.þ 6. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge oppure no, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai teoremi studiati: È / $ ( Œ ˆ sin sin.þ $ 4

9 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Tema n 3 Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Della seguente funzione 0ab si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0ab œ Î$ % loga*bþ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

10 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 3 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. 0ab œ arctanœ Þ $ $ 2

11 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 3 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim Ä_ cos È / È Þ % $ 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ ˆ 8 sin a b ' 8cos 8 8 &8 Þ 8œ 3

12 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 3 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( È $.Þ 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( log k k.. 4

13 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Tema n 4 Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Sia 0ab œ logalogb. a. Calcolare 0 w a b, e dedurre che in un intorno di / la funzione 0 è monotona e quindi invertibile. (NON si chiede di scrivere la funzione inversa). b. Detta la funzione inversa di 0 nell'intorno di cui sopra, calcolare w log Š. / %

14 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 4 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. $ 0ab œ log Þ % 2

15 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 4 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): logˆ / sin lim Ä ˆ cos sin sin$ Þ $ 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a$ sin8b Œ 8 8log8 Þ 8œ 3

16 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Tema n 4 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( / sina b.þ Î% $ 6. Calcolare esplicitamente l'integrale definito, semplificando il risultato trovato: Î ( cos sin cos.. 4

17 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Della seguente funzione 0ab si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0ab œ % È $ logk$ k Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. La funzione è definita per Á $. Nell'insieme di definizione è certamente derivabile tranne nei seguenti punti, che vanno studiati: œ (argomento del modulo si annulla); k$ k œ (radicando si annulla), quindi œ % e œ Þ Calcoliamo, per Á ß%: w 0 ab œ sgnˆ % È $ k$ k log % Þ Î$ $ alogk$ kb a$ b Per Ä ß0 w a b µ % sgn a b È$ Ä % È$ log& log& perciò in œ la funzione non è derivabile e ha un punto angoloso. Per Ä ß sgnˆ % È$ $ µ % sgna bè$ logk k ab Ä ß % k k % % µ œ Ä Î$ Î$ $ alogk$ kb a$ b $ ab $ k kî$ perciò 0 w ab Ä, quindi in œ la funzione è derivabile con derivata nulla. Per Ä %ß0 w a b µ % a% b Î$ Ä _ perciò œ % è punto (di non derivabilità) di flesso a tangente verticale, crescente. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.

18 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n $ 0ab œ / Definita per Á Þ con tangente orizzontale Per Ä ß0 Ä a b œ _ œ asintoto verticale per Ä Þ Per Ä _ß0a b µ / Ä _ con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo: $ $ & 0ab / œ / / µ / œ / Ä &/Þ Dunque esiste asintoto obliquo C œ /&/ per Ä _Þ Calcolo la derivata prima: 0 w $ a ba$ b / ab œ / œ *% Þ a b a b ˆ $ œ * È'& * È'& 0 w ab per *% Þ * È'& * È'& à Ÿ Þ punto di massimo relativo; œ punto di minimo relativo; grafico qualitativo: 2

19 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 3. Calcolo di limiti mediante Taylor / De L'Hospital / Sviluppi di MacLaurin Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): De L'Hospital: lim sin a b cos ˆ Ä tan$ a b lim sin a b cos ˆ œ Ä tan$ a Þ b tan $ ˆ µ ˆ $ $ $ œ ca ba bd µ ) a b Þ lim sin a b cos ˆ w Ä ) a b $ w œ cosa bsinˆ œ lim œ Þ Ä % a b Ancora De L'Hospital: lim Ä sin ab cos ˆ œ %) a b Ancora De L'Hospital: lim Ä Questo è il valore del limite di partenza. $ $ cosab $ % sinˆ $ $ % œ œ Þ %) %) '% 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 Œ cos sin 8 8 8œ 8 Œcos sin œ 8 8 œ 8 Œ 9 9 œ 8 %x8% Œ 8 % Œ 8 '8' Œ 8' œ 8 Œ 9 %x8% Œ 8% µ %8, 3

20 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n serie armonica genralizzata convergente; per il criterio del confronto asintotico, la serie di partenza (a termini positivi), converge. 5. Calcolare il seguente integrale definito: $ ( % $.Þ $ $ œ à $ $ +, $ œ Ê +, œ $ œ +, œ Ê + œ ß, œ &à $ $ & (. œ ( Œ. œ $ % % $ % œ c logk k& logk kd œ log log$& log œ œ ( log log$þ 6. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge oppure no, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai teoremi studiati: Poiché ( _ Èlog œ È $ log.þ $ $ Èlog a ba b dobbiamo studiare l'integranda in œ e per Ä _Þ È$ $ a b $ a b È $ log $Î Per Ä ß0a b µ œ, positiva e integrabile perché Î$. Î$ Per Ä _ß0a b µ Ÿ in un intorno di _, perciò 0 è positiva e integrabile all'infinito perché $Î. (Criteri del confronto asintotico e del confronto). In conclusione, l'integrale generalizzato converge. 4

21 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 2. Sia 0ab œ / log. a. Calcolare 0 wa b, e dedurre che in a ß_ b la funzione 0 è monotona e quindi invertibile. (NON si chiede di scrivere la funzione inversa). b. Detta la funzione inversa di 0 nell'intorno di cui sopra, calcolare w Š / /. a. 0 w ab œ / Per Œ log. è 0 w ab quindi 0 è strettamente crescente in aß_ b, e quindi ivi invertibile. b. 0 a/ b œ / /, dunque Š / / œ /, / / w Š / / œ œ œ Þ 0 w a/ b / / ˆ / / / 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. Definita per Á Þ & É & Per Ä ß0a b µ / $ 0ab œ / Ê & Þ Ä _ œ asintoto verticaleþ con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo) Per Ä _ß0a b µ / Ä œ _ C œ asintoto orizzontale per Ä _. Calcolo la derivata prima: Î& w a$ b ab aba$ b 0 ab œ / œ Î& %Î& a b & a$ b ab %Î&

22 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 Î& a$ b / œ / œ $ œ Î& %Î& aa ba b b 'Î& %Î& 'Î& ab a$ b a b a$ b ab œ a$ b / ˆ ( ab 'Î& %Î& purché Á ß Á $. lim Ä$ w 0 ab œ _. œ $ punto di non derivabilità, di flesso a tangente verticale, discendente. œ È* È* w 0 ab per ( Ÿ Þ È* È* Ÿ Ÿ Þ punto di massimo relativo; œ punto di minimo relativo; grafico qualitativo: 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - 2

23 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 MacLaurin): lim Ä / ' sin Þ $ $ a bê cosš È lim Ä / ' sin œ Þ $ $ a bê cosš È $ & / % & sin œ Œ 9ˆ 9 œ ' ' Œ ˆ ' &x $ & $ & & & & & œ 9ˆ 9ˆ œ Œ 9ˆ µ Þ ' ( ' &x ( ) Í $ Í $ $ & ˆ $ ˆ cos Ì È µ Ì È œ œ Þ % % & ) 0ab µ œ Þ & %& 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. Þ 8œ 8 alog8b È8 % & _ 8 Serie a termini positivi, criterio della radice: Î8 a+ 8 b Î8 8 œ È œ à 8 È µ 8 Î 8 ÎÈ8 alog8b ˆ È8 8 alog8b alog8b perciò ÎÈ8 È8 alog8b œ / e per il criterio della radice la serie diverge. log a log b a+ 8 b Î8 Ä ß 8 Ä / œ ß 3

24 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( È k k.þ ( Èk k. œ ( È.( È.Þ ( È. œ c œ sin> d œ ( cos >.> œ. % ( È Sh> Ch>>. œ c œ Ch> d œ ( Sh >.> œ œ SettCh È SettCh œ œ È$ SettChÞ ( È k k. œ È $ SettChÞ % SettCh 6. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge oppure no, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai teoremi studiati: È / $ ( Œ ˆ sin sin.þ $ L'integranda ha infinite oscillazioni di segno, studiamo la sua eventuale integrabilità assoluta. Per Ä ß È / $ È$ k0abk Ÿ ˆ sin µ œ, integrabile perché Î$ Þ $ $ Î$ Per il criterio del confronto e del confronto asintotico, 0 è assolutamente integrabile, e quindi integrabile (criterio dell'assoluta integrabilità). L'integrale di partenza converge. 4

25 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 3. Della seguente funzione 0ab si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0ab œ Î$ % loga*bþ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. La funzione è definita per *. Nell'insieme di definizione è certamente derivabile tranne nei seguenti punti, che vanno studiati: œ ) (argomento del modulo si annulla); œ (radicando si annulla). Calcoliamo, per Á )ß: 0 œ Î$ w % a b sgnˆ Î$ % loga*b Þ $Î$ * Per Ä ) ß0 w ab sgnˆ Î$ µ % log( Ä log( $ $ perciò in œ ) la funzione non è derivabile e ha un punto angoloso. Per Ä ) ß µ Ä $ sgn ˆ Î$ % * Î$ $ sgn ˆ Î$ loga b % a)b Î$ % * Ä ß quindi 0 w ab Ä perciò in œ ) la funzione è derivabile con derivata nulla. w Per Ä ß0 a b µ $ Î$ loga* b Ä _ perciò œ è punto (di non derivabilità) di cuspide, rivolta verso l'alto. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali

26 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 3 asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. $ 0ab œ arctanœ Þ $ Definita per ogni Þ Per Ä _ß0a b µ arctanaî$ b Ä. C œ asintoti orizzontali per Ä _Þ 0ab œ per œ Þ Calcolo la derivata prima: $ w $ a$ b'a b 0 ab œ œ ˆ $ a$ b $ % $ $ $ ' $a b œ œ Þ ˆ $ a$ b ˆ $ a$ b $ $ 0 w a b per $ ˆ $ ß ˆ a b ß œ punto di massimo relativo; œ punto di minimo relativo; grafico qualitativo: a b ß quindi per Ÿ ß Þ Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim Ä_ cos È / È Þ % $ 2

27 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 3 lim Ä_ cos È / È % $ œ c _ dþ cos È È cos / % $ µ / È œ œ 9 9 œ %x Œ Œ Œ µ Œ œ Þ %x ) 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ ˆ 8 sin a b ' 8cos 8 8 &8 Þ 8œ Studiamo separatamente le due serie _ ˆ 8 _ sin ' 8 ß cosa8 bœ. 8 &8 8 &8 8œ 8œ sinˆ 8 '»» Ÿ 8 &8 k8 &8 k µ 8, serie convergente. Per il criterio del confronto e del confronto asintotico, la prima serie converge assolutamente, e quindi converge anche semplicemente. La seconda è una serie a segni alterni, con 8 8 &8 µ Ä Þ 8 Per applicare il criterio di Leibniz occorre verificare che questa successione sia monotona decrescente. Consideriamo 0ab œ e calcoliamo & w & a& b 0 ab œ œ & µ œ a b a & b %, perciò per Ä _ è 0 w ab definitivamente negativa, 0 definitivamente decrescente, e la 8 successione 8 &8 è definitivamente decrescente. Si può applicare il criterio di Leibniz e 3

28 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 3 affermare che la seconda serie converge. Allora, essendo somma di due serie convergenti, la serie di partenza converge. 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( È $.Þ ( È $. œ È $ œ >à $ œ > à. œ >.> Ô > œ (.> œ ( Ö Ù.> œ > Õ Š > È Š > È Ø > È œ (.> œ > - œ È > È»» > È log È > È œ È $ È $ È log -Þ È» È $ È» 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( log k k.. Notiamo che la funzione integranda è pari; inoltre è prolungabile con continuità in œ ponendo 0 a b œ Þ Per simmetria: ( logk k. œ ( log. œ aper partib $ $ $ ) ' ' œ log (. œ œ Þ $ $ Ÿ log $ * Ÿ log $ * 4

29 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/202. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 4. Sia 0ab œ logalogb. w a. Calcolare 0 a b, e dedurre che in un intorno di / la funzione 0 è monotona e quindi invertibile. (NON si chiede di scrivere la funzione inversa). b. Detta la funzione inversa di 0 nell'intorno di cui sopra, calcolare w log Š. / % a. 0 w ab œ log log log log œ % $ a b logalogb. w 0 ˆ / œ log Þ /' Poiché 0 w è continua per, per il teorema di permanenza del segno 0 w ab in un intorno di /, quindi 0 è strettamente decrescente, e quindi invertibile, in quell'intorno. b. 0 a/ b œ log log /% /%, dunque Š œ /, ' w log / Œ œ œ œ Þ / % 0 w a/ b log log 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. $ 0 a b $ œ log Þ % Definita per Á ß %, quindi $ß Þ Per Ä _ß0a b µ logˆ Ä _ con crescita sottolineare, senza asintoto obliquo. % ab Per Ä ß0a b µ log Ä _ß œ asintoto verticale. & % ab $ & Per Ä ß0a b µ log Ä _ß œ asintoto verticale. Per Ä $ ß0a b µ log Ä _ß œ $ asintoto verticale. Calcolo la derivata prima: / ' 0ab œ logk$ k log % ß

30 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 4 w %a$ b '% 0 ab œ œ œ Þ $ % a$ ba % b a$ ba % b Poiché nell'insieme di definizione di 0 è a$ ba % b ß w 0 ab per '% Ÿ $ È&ß $ È& Quindi 0 wa b per Ÿ $ È &ß$ È & Ÿ ß œ $ È & punto di massimo relativo; œ $ È & punto di minimo relativo; Cerchiamo eventuali intersezioni con l'asse. $ 0 œ Í Í œ Í œ È a b &. % œ Ci sono quindi due punti di intersezioe, entrambi nell'intervallo aß b. Grafico qualitativo: 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): logˆ / sin lim Ä ˆ cos sin sin$ Þ $ 2

31 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 4 / logˆ sin lim Ä ˆ cos sin sin $ œ Þ $ / a b logœ sin œ log $ 9 $ ' ˆ 9ˆ œ œ logœ 9ˆ 9ˆ œ ' œ 9ˆ Œ 9ˆ 9ˆ 9ˆ œ ' ' œ Œ 9ˆ µ Þ ' ) % cos sin sin$ œ $ & & œ a9abb a9abb a$9abb œ 9ˆ µ Þ $ $ $ % 0ab µ & œ Þ % $ 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a$ sin8b Œ 8 8log8 Þ 8œ Serie a termini positivi. Poiché a$ sin8b, si ha: 8 a$ sin8 b œ ß 8log8 8 µ 8log8 8 8 serie divergente. Per il criterio del confronto asintotico e del confronto, la serie di partenza diverge. (Notare che non si può invece affermare direttamente che per qualche costante -). 8 a$ sin8b µ - 8 8log8 8 3

32 2 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 20/2. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 4 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( / sina b.þ Î% $ $ M œ ( / a b. œ w $ sin per parti, 0 œ / ß œ sinab Î% Î% Î% œ $ / ab ( $ sin / cosa b. œ $ $ Î% Î% $ Î% $ $ œ / / /. œ $ $ cosa b ( sina b $ $ Ÿ $ Î% $ Î% % œ / œ M œ / MÞ $ $ $ $ * $ * $ $ Î% * $ Î% $ $ Î% M œ / àm œ Œ / œ / Þ * * $ $ * $ $ $ 6. Calcolare esplicitamente l'integrale definito, semplificando il risultato trovato: Î ( cos sin cos.. Î Î cos cos (. œ (. œ csin œ > d sin cos sin sin œ (.>.> œ œ > œ > > ( ˆ > È$ È Œ arctan $ $ % $ œ œ œ œ È arctan arctan $ È$ È Š Š. $ È$ $ ' È$ ' $ È$ 4