21 - La scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II

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1 21 - a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II ü [.a : ultima revisione 15 aprile 2012] Esercizio n.9 Si calcolino le reazioni e si disegni il diagramma delle c.s.i. per il telaio in igura: igura 1 - Un telaio zoppo à Il calcolo delle incognite iperstatiche Il telaio e' tre volte iperstatico, ed una possibile scelta di incognite iperstatiche e' riportata in igura 2: si sono inserite tre cerniere in, in B ed in C, e corrispondentemente sono stati aggiunti i momenti incogniti. Si e' indicato con M IJ il momento nel nodo I agente sul tratto IJ, sicche', per le'equilibrio dei conci: M B = M BC M CB = M CD (1)

2 a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb B M BC M CB M CD D M B C M B igura 2 - Un possibile sistema isostatico equivalente Per ripristinare la situazione originaria, occorrera' rispettare le tre condizioni di congruenza: φ = 0 φ B = 0 φ B = φ BC φ C = 0 φ CB = φ CD dove con f IJ si e'indicata la rotazione in I del tratto IJ. Utilizzando il principio di sovrappposizione degli effetti si potra' scrivere: φ 0 + X 1 φ 1 + X 2 φ 2 + X 3 φ 3 = 0 φ 0 B + X 1 φ 1 B + X 2 φ 2 B + X 3 φ 3 B = φ 0 BC + X 1 φ 1 BC + X 2 φ 2 3 BC + X 3 φ BC φ 0 CB + X 1 φ 1 CB + X 2 φ 2 CB + X 3 φ 3 CB = φ 0 CD + X 1 φ 1 CD + X 2 φ 2 3 CD + X 3 φ CD a particolare scelta della struttura isostatica equivalente implica che il telaio si e' suddiviso in schemi parziali, e quindi molti coefficienti delle (2) si annulleranno, e le equazioni di congruenza si semplificheranno in: (2) (3) M B φ 1 + M B φ 2 = 0 M B φ 1 B + M B φ 2 B = M BC φ 2 3 BC + M CB φ BC M BC φ 2 CB + M CB φ 3 CB = M CD φ 3 0 CD + φ CD (4) Il coefficiente φ 1 e' la rotazione in calcolata sullo schema (1), ossia sul telaio isostatico caricato da una coppia M B unitaria in. Sara' quindi: φ 1 = (5) 3 Il coefficiente φ 2 e' la rotazione in calcolata sullo schema (2), ossia sul telaio isostatico caricato da una coppia M B unitaria in B. Sara' quindi: φ 2 = 6 (6)

3 21 - a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb 397 nalogamente si ha, operando sempre su schemi di travi appoggiate e caricate da una coppia all'estremo : φ 1 B = 6 ; φ 2 B = 3 ; φ 2 BC = 3 ; φ 3 BC = 6 (7) φ 2 CB = 6 ; φ CB 3 = 3 ; φ 3 CD = 3 ; φ 0 CD = 2 I due coefficienti φ 3 CD e φ 0 CD, invece, devono essere calcolati sullo schema di trave appoggiata a sinistra e con bipendolo a destra. Una banalissima applicazione dei corollari di Mohr permette di scrivere; (8) φ 3 CD = ; φ 0 CD = 2 In definitiva, le equazioni si scrivono : 3 M B+ 6 M B = 0 6 M B 3 M B = 3 M BC 6 M BC+ ed utilizzando le (1) : 3 M CB = M CD 2 3 M B 6 M BC = 0 6 M B + 3 M BC = 3 M BC con soluzione : 6 M BC+ M B = M BC = 3 M CB = M CB , 3 +4 M CB = e nel caso =, cui d'ora in poi ci si limitera' : M B = 18 M BC = 9 M CB = 7 18 M B = 9 6 M CB 6 M CB (9) (10) (11) (12) (13)

4 a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb Il calcolo delle reazioni, dei tagli e degli sforzi normali Il quadro completo delle forze agenti sulla struttura e' riportato in igura 3, e da essa deve essere possibile estrarre le informazioni necessarie con considerazioni di equilibrio. N B T T BC B M BC M CB N T CD CB R Dh M B N BC T N CD CB M CD M rd M B R v R h ' equazione diu equilibrio del tratto B alla rotazione intorno al polo B fornisce la reazione orizzontale: R h +M B M B = 0 R h = 18 9 = 6 (14) e l'equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale dello stesso tratto fornisce il taglio T B in testa al piedritto: T B + R h = 0 T B = 6 (15) ' equilibrio del nodo in B alla traslazione orizzontale garantisce che: T B N BC = 0 N BC = 6 (16) e gli altri equilibri alla traslazione orizzontale portano a scrivere: N BC N CB = 0 N CB = 6 N CB N CD = 0 N CD = 6 (17) N CD + R Dh = 0 R Dh = 6 ' equilibrio alla rotazione del secondo tratto, con polo in B, fornisce : T CB M BC + M CB = 0 T CB = M BC + M CB = = 2 ed anche, per l'equilibrio del secondo tratto alla traslazione verticale: (18) T BC + T CB = 0 T CB = 2 ' equilibrio del nodo in B alla traslazione verticale garantisce che : (19)

5 21 - a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb 399 N B T BC = 0 N B = 2 e quindi la reazione verticale dell' incastro : (20) N B + R v = 0 R v = 2 Infine, dall' equilibrio del terzo tratto si trae : T CD + = 0 T CD = M rd M CD = 0 M rd = +M CD = 7 18 = e quindi l' equilibrio del concio in C permette di calcolare la reazione dell' appoggio : (21) (22) T CB + R C + T CD = 0 R C = T CB T CD = 3 2 (23) à Il tracciamento dei diagrammi

6 a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb Esercizio n.10 Si vuole ora affrontare lo stesso esempio precedente assumendo un diverso sistema isostatico equivalente, ed utilizzando il metodo della composizione degli spostamenti. tal fine si sceglie la struttura a mensola di igura 7, e su di essa si impongono le tre condizioni di congruenza: u 2 C = 0 u 3 D = 0 φ D = 0 (24)

7 21 - a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb 401 X 2 X 1 X 3 Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si scrivera' allora : u 2 C = u 0 2 C + X 1 u 1 2 C + X 2 u 2 2 C + X 3 u 3 2 C = 0 u 3 D = u 0 3 D + X 1 u 1 3 D + X 2 u 2 3 D + X 3 u 3 3 D = 0 φ D = φ D 0 + X 1 φ D 1 + X 2 φ D 2 + X 3 φ D 3 = 0 (25) à Il calcolo dei coefficienti 1 1 o schema 1 e' riportato in igura 8, e su di esso si calcolano i coefficienti u 1 2 C, u 1 3 D e φ 1 D. Si ha immediatamente:

8 a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb u 1 2 C = 1 u 1 3 D = 1 φ D 1 = = (26) Il secondo schema prevede una forza orizzontale unitaria in D, che causa il momento riportato in igura 9. Su di esso si calcolano i coefficienti u 2 2 C, u D e φ D 1 1 anch' essi deducibili immediatamente da una semplice composizione di spostamenti : u 2 2 C = 1 2 = 2 u 2 3 D = (27) 2 φ 2 D = 1 Il terzo schema prevede una coppia unitaria in D, che causa il momento riportato in igura 10. Su di esso si calcolano i coefficienti u 3 2 C, u 3 3 D e φ 3 D :

9 21 - a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb u 3 2 C = u 3 (28) 3 D = 1 φ 3 D = Infine, lo schema zero prevede la presenza delle forze applicate, ossia - in questo caso - della forza in D. Il diagramma del momento e' riportato in igura 11, ed i relativi coefficienti si ottengono come: 2 u 0 2 C = 2 u 0 3 D = φ 0 D = = = (29)

10 a scrittura diretta delle equazioni di congruenza - Parte II.nb Si e' utilizzato il metodo di Mohr per ottenere lo spostamento trasversale in mezzeria per una mensola caricata in un estremo. à a soluzione delle equazioni di congruenza Sostituendo i valori dei coefficienti nelle (25) si giunge al sistema: u 2 C = 2 2 u 3 D = 2 φ D = con soluzione : X X X X 1 = X 2 = X 3 = e nel caso in cui = : X 1 = 3 X 2 = 6 2 X 3 = X X X 3 confermando i valori ottenuti nell' esercizio precedente. 2 X 3 2 X 2 2 = 0 + X = = 0 (30) (31) (32) igure igure Vincoli