Corso di Laurea in Economia Anno Accademico 2015/16

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1 Università degli Studi di Catania - Dipartimento di Economia e impresa Corso di Laurea in Economia Anno Accademico 2015/16 Matematica generale (1 Anno, 1 semestre, n CFU: 9) Docente titolare dell insegnamento: Prof. Salvatore Greco Sede: Palazzo delle scienze C.so Italia, 55 - Catania Telefono: ; salgreco@unict.it Orario ricevimento: lunedì e martedì, ore OBIETTIVI FORMATIVI PREREQUISITI RICHIESTI 1. Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente riceverà gli strumenti di base che gli permetteranno di potersi confrontare con i moderni approcci formali alle scienze economiche e aziendalistiche. L enfasi sarà posta sui principi basilari della matematica applicata all economia piuttosto che su uno sterile tecnicismo. Si cercherà anche di dare un idea delle possibili applicazioni degli strumenti introdotti. Più in generale si cercherà di educare lo studente ad un approccio rigoroso all analisi dei fenomeni economici ed aziendalistici. Il rigore della trattazione matematica consentirà allo studente di acquisire una forma mentis che gli sarà utile per tutte le altre materie del suo corso universitario e, in seguito, più in generale, per tutte le tematiche professionali che incontrerà. 2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà messo in grado di analizzare rigorosamente un problema matematico e di utilizzare i concetti di base al fine di trarre opportune conclusioni. Lo studente sarà in grado di risolvere semplici ma non banali problemi matematici. Lo studente sarà in grado di condurre un ragionamento matematico mediante l introduzione di rigorose definizioni e la dimostrazione di alcuni teoremi particolarmente significativi. Lo studente sarà anche in grado di applicare le conoscenze apprese alla formalizzazione di alcuni basilari problemi economici e aziendali quali la massimizzazione del profitto e la massimizzazione del utilità. 3. Autonomia di giudizio: lo studente sarà educato ad elaborare autonomamente l approccio più adeguato ai problemi propostigli rifuggendo da sterili applicazioni di schemi ripetitivi. Lo studente sarà educato a giudicare la formalizzazione proposta da diversi punti di vista quali l eleganza del modello, la potenza dello strumento matematico, la difficoltà computazionale e coì via. 4. Abilità comunicative: lo studente dovrà essere in grado di apprendere i termini tecnici e di sapere esprimere in maniera appropriata la formalizzazione del problema e i risultati con essa ottenuti. Lo studente dovrà essere in grado di dare una presentazione formalizzata dei fenomeni economici e aziendali. Lo studente saprà discutere criticamente modellizazioni quantitative relative a fenomeni economici e aziendali. 5. Capacità di apprendimento: considerato il sempre crescente ricorso alla formalizzazione matematica nella trattazioni di temi economici e aziendali, il corso metterà lo studente in grado di accedere alla letteratura più qualificata in questi settori, costituendo una imprescindibile base per il futuro apprendimento sia a livello didattico che a livello professionale. Le quattro operazioni e le loro proprietà; numeri primi, scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo; frazioni e operazioni su frazioni; potenze, radici e logaritmi; monomi, polinomi e scomposizione di polinomi; equazioni di primo e secondo grado; elementi di base di geometria euclidea (rette, semirette, segmenti, angoli, triangoli, rette perpendicolari e parallele, parallelogrammi, circonferenza, poligoni, Teorema di Pitagora, misura delle grandezze geometriche, similitudine) ORGANIZZAZI ONE E METODI DIDATTICI FREQUENZA LEZIONI TESTI DI RIFERIMENTO Il corso si basa su circa sessanta ore di lezioni frontali ove saranno presentati gli argomenti del programma con particolare attenzione alle possibili applicazioni in economia e in gestione delle aziende. Gli argomenti verranno prima presentati in maniera intuitiva e poi rigorosamente formalizzati. Si svolgeranno e discuteranno anche alcuni esercizi che permetteranno allo studente di padroneggiare gli argomenti del corso. Vivamente consigliata Salvatore Greco, Benedetto Matarazzo, Salvatore Milici, Matematica Generale, Giappichelli Editore, Torino, 2010.

2 .. Prove in itinere durante il corso Allo scopo di permettere loro di verificare la bontà e l efficacia del loro metodo di studio e del relativo apprendimento della disciplina, per gli studenti del primo anno si effettuerà una prova in itinere scritta con cinque esercizi relativamente al primo modulo del programma. Gli studenti che supereranno la prova in itinere potranno accedere alla prova orale finale superando una prova scritta in cui sarà loro richiesto di risolvere solo gli esercizi dei due secondi moduli del programma se si presenteranno entro la fine dell anno accademico. A partire dalla prima sessione del successivo anno accademico decadranno da questo beneficio. PROVA D ESAME Eventuali prove di fine corso L esame si compone di una prova scritta e una prova orale. La prova scritta mira a verificare le capacità dello studente di utilizzare ed applicare opportunamente i concetti di base, gli strumenti ed i risultati fondamentali proposti nel programma mediante lo svolgimento di un certo numero di esercizi. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per accedere alla prova orale, ove si completa la valutazione dello studente mediante l accertamento di un adeguata conoscenza e padronanza di tutti gli argomenti che compongono il programma. Il voto sarà assegnato in base al livello di preparazione dimostrato dallo studente, fermo restando che il superamento dell esame richiede il raggiungimento di una soglia minima di conoscenza sulle tematiche previste nel programma dell insegnamento. Date d esame iario-esami CONSEGNA MATERIALE DIDATTICO PROGRAMMA DEL CORSO I MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU Descrizione del programma ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA: linguaggi e proposizioni; connettivi; quantificatori. INSIEMI: proprietà, sottoinsiemi, operazioni. Applicazioni. Relazioni binarie. Numeri reali e disequazioni. Cenni di trigonometria. Syllabus A.A Pagina 2 di 9

3 CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni, combinazioni e permutazioni, semplici e con ripetizione. Binomio di Newton, coefficienti binomiali. GEOMETRIA ANALITICA: coordinate cartesiane. Equazione della retta nel piano. MATRICI E DETERMINANTI: definizioni e classificazioni. Somma e prodotto tra matrici. Matrice inversa. Determinante e sue proprietà. Rango di una matrice. SISTEMI LINEARI: dipendenza tra forme lineari. Definizioni e proprietà. Sistemi lineari normali: metodo di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo del perno e risoluzione di sistemi parametrici. Applicazioni a problemi economici. II MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU Descrizione del programma FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: definizioni, classificazioni, rappresentazione geometrica. Funzioni composte ed inverse. Limiti: definizioni e teoremi. Successioni numeriche. Funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti. DERIVATE E DIFFERENZIALI: definizioni, proprietà e loro significato geometrico. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e differenziali di somma, prodotto e quoziente di funzioni. Derivate di funzioni composte ed inverse. Derivate e differenziali successivi. Principali teoremi sulle funzioni derivabili. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE: Formule di Taylor e di Mac Laurin. Forme indeterminate. Funzioni monotone, funzioni convesse, estremi relativi ed assoluti, flessi, asintoti. Studio di funzioni. Elasticità di una funzione. Applicazioni a problemi economici. III MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU Descrizione del programma INTEGRALI: integrale indefinito e primitive. Integrale definito e suo significato geometrico. Principali metodi di integrazione. GEOMETRIA ANALITICA: Coniche: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole. Argomenti *1. Teoria degli insiemi: unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza di insiemi, insieme potenza, cardinale di un insieme e teorema dei quattro cardinali. *2. Teoria degli insiemi. Applicazioni: definizione, applicazioni iniettive, suriettive e corrispondenze biunivoche, funzione inversa. Relazioni binarie: definizioni, proprietà, relazioni di equivalenza, relazioni d ordine. Rif. Testo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Primo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Primo *3. Teoria degli insiemi. Operazioni binarie: struttura algebrica, gruppoide, semigruppo, gruppo. Numeri: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali, basi di numerazione. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Primo e Capitolo Secondo *4. Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni semplici in linea aperta e in linea chiusa, inversioni di una permutazione, combinazioni semplici, proprietà di simmetria, legge di Stifel, triangolo di Tartaglia. *5. Calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione, combinazioni con ripetizione, permutazione con ripetizione, binomio di Newton. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Settimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Settimo Syllabus A.A Pagina 3 di 9

4 *6. Matrici: definizione, vari tipi di matrici (quadrate, rettangolari, vettori, nulle, opposte, trasposte, diagonali, scalari, simmetriche, emisimmetriche, estratte, complementari). Confronto tra matrici. Operazioni tra matrici: somma, prodotto scalare. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Ottavo *7. Matrici. Operazioni su matrici: prodotto righe per colonne, matrice inversa, teoremi sulla matrice inversa. Determinante di una matrice:definizione. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Ottavo *8. Determinante di una matrice: proprietà, I e II teorema di Laplace, teorema di Chiò. Matrice aggiunta. Rango di una matrice. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Ottavo *9. Sistemi lineari: forme lineari, forme lineari linearmente indipendenti, principi di equivalenza dei sistemi lineari. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Nono *10. Sistemi lineari: metodo del perno, teorema di Cramer, teorema di Rouché-Capelli. *11. Elementi di metrica. Piano cartesiano, spazio cartesiano, distanza tra?? punti nello spazio. Cenni di trigonometria: circonferenza trigonometrica, seno, coseno, tangente e cotangente, relazioni fondamentali, formule di somma e sottrazione, formule di duplicazione, formule di prostaferesi. *12. Cenni di trigonometria: circonferenza trigonometrica, seno, coseno, tangente e cotangente, relazioni fondamentali, formule di somma e sottrazione, formule di duplicazione, formule di prostaferesi. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Nono Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Decimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sesto *13. Insiemi numerici: maggioranti e minoranti, estremo inferiore ed estremo inferiore, insiemi separati e contigui. Cenni di topoligia: intorni nello spazio euclideo, punti interni e di frontiera, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass, insiemi convessi e connessi. *14. Equazione generale di una retta. Casi particolari e varie forme dell equazione di una retta. Intersezione di due rette. Condizione di parallelismo e condizione di perpendicolarità. Distanza di un punto da una retta. *15. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, restrizione, prolungamento, grafico di una funzione, insieme di esistenza. Cenni sulle disequazioni al fine di calcolare l insieme di esistenza. *16. Limite di una funzione: funzione convergente, divergente, teoremi fondamentali sui limiti. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Undicesimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Dodicesimo Syllabus A.A Pagina 4 di 9

5 *17. Limite di una funzione: operazioni sui limiti, forme indeterminate, limiti notevoli. *18. Funzioni continue, teoremi sulle funzioni continue con particolare riferimento al teorema di esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass. Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie. *19. Funzioni monotone, funzioni inverse, funzioni composte, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche, infinitesimi e infiniti, confronto tra infinitesimi e infiniti. *20. Derivata di una funzione: rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica; definizione di derivata, sua interpretazione geometrica, calcolo delle derivate di alcune funzioni. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quattordicesimo *21. Derivabilità e continuità. Differenziale. Regole di derivazione. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate di ordine successivo al primo. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quattordicesimo *22. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. *23. Teorema di de l Hopital. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo *24. Funzioni crescenti e decrescenti in un punto. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per l esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca degli estremi di una funzione. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo *25. Funzioni convesse e funzioni concave. Punti di flesso. Asintoti. Elasticità di una funzione. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo *26. Integrale indefinito: primitive, definizione dell integrale indefinito, proprietà dell integrale indefinito, integrali immediati. *27. Integrale indefinito: metod di integrazione per decomposizione in somma, metodo di integrazione per parti, integrale di funzioni razionali fratte, metodo di integrazione per sostituzione. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo *28. Integrale definito: definizione dell integrale secondo Riemann, condizioni integrabilità, interpretazione geometrica. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo Syllabus A.A Pagina 5 di 9

6 *29. Integrale definito: proprietà dell integrale definito, teorema della media, teorema di Torricelli-Barrow e sue applicazioni, integrali impropri. *30. Coniche: equazione di una conica, circonferenze, ellissi, iperboli e parabole. Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Diciassettesimo Esempi di domande e/o esercizi frequenti 1 Quali sono le principali operazioni sugli insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza, complemento) e le loro proprietà? 2 Cos è una relazione binaria? 3 C os è un applicazione? 4 C os è un operazione binaria interna? C os è un gruppoide? Cos è un gruppo? 5 Quali sono le operazioni sulle matrici e le loro proprietà? 6 Cos è la matrice inversa e di quali proprietà gode? 7 Cos è il determinante di una matrice e di quali proprietà gode? 8 Mi enuncia i due teoremi di Laplace? 9 Mi enuncia il teorema il teorema di Cauchy-Binet e il teorema di Binet? 10 Cos è la matrice aggiunta e di quali proprietà gode? 11 Cos è il rango di una matrice e di quali proprietà gode? 12 Cos è una forma lineare e quando un insieme di forme lineari si definisce linearmente indipendente? 13 Quando un sistema lineare si dice possibile, impossibile, determinato o indeterminato? 14 Cosa sono e quali sono i principi di equivalenaza dei sistemi lineari? 15 Mi enuncia il teorema di Cramer? 16 Mi enuncia il teorema di Rouché-Capelli? 17 Mi scrive l equazione generale di una retta e mi enuncia, commentandole, le condizioni di Syllabus A.A Pagina 6 di 9

7 parallelismo e perpendicolarità tra due rette? 18 Mi scrive l equazione del fascio di rette passante per un punto e l equazione della retta passante per due punti? 19 Cosa sono e di quali proprietà godono l estremo inferiore, l estremo superiore, il minimo e i massimo di un insieme numerico? 20 Quando due insiemi numerici si dicono separati e quando si diconono contigui? 21 Cosa sono i punti interni, i punti di frontiera e i punti di accumulazione di un insieme? 22 Cosa sono la chiusura e l apertura di un insieme, un insieme aperto, un insieme chiuso, un insieme convesso? 23 Mi enuncia il teorema di Bolzano-Weierstrass? 24 Cosa sono il dominio, il codominio, l estremo superiore, l estremo inferiore, il massimo e il minimo e il grafico di una funzione reale di variabile reale? 25 Quando una funzione converge per x che tende a x 0? 26 Mi enuncia i principali teoremi sui limiti (unicità del limite, primo e secondo teorema del confronto, teorema di Cauchy, etc.)? 27 Cos è una funzione continua? 28 Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weirstrass, etc.)? 29 Quando una funzione si dice monotona e quali sono le sue principali proprietà? 30 Cosa sono le funzioni pari, le funzioni dispari, le funzioni periodiche e quali sono le loro principali proprietà? 31 Cosa si intende per confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti? 32 Cos é la derivata di una funzione? 33 Che relazione esiste tra derivabilità e continuità? 34 Qual è l interpretazione geometrica della derivata? Syllabus A.A Pagina 7 di 9

8 35 Mi enuncia i teoremi relativi alla derivata di una somma algebrica di funzioni, del prodotto di funzioni, del rapporto di funzioni, di funzioni composte e di funzioni inverse? 36 Cos è il differenziale e qual è la sua interpretazione geometrica? 37 Cos è l elasticità di una funzione? 38 Mi enuncia, mi dimostra e mi da l interpretazione geometrica dei Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange? 39 Mi enuncia il teorema di de l'hôpital? 40 Cosa sono la formula di Taylor e la formula di Mac Laurin? 41 Quando una funzione si dice crescente (o decrescente) in x 0? 42 Mi enuncia e mi dimostra i principali teoremi sulle funzioni crescenti (o decrescenti) in un punto? 43 Cos è un punto di massimo (o minimo) relativo? 44 Mi enuncia, mi dimostra e mi commenta il teorema di Fermat? 45 Mi enuncia i teoremi che danno condizioni sufficienti per l esistenza di punti di massimo e minimo relativo? 46 Cos è una funzione convessa e cos'è una funzione concava? 47 Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni convesse e sulle funzioni concave? 48 Mi dice cos è un punto di flesso e mi enuncia i principali teoremi sui punti di flesso? 49 Mi dice cos è un asintoto? 50 Cos è una primitiva di una funzione? 51 Cos é l integrale indefinito e quali sono le sue principali proprietà? 52 Cos é il metodo di integrazione per parti? 53 Cos é l integrale definito? 54 Quali sono le principali condizioni sufficienti per l integrabilità di una funzione? 55 Mi enuncia i principali teoremi sull integrale Syllabus A.A Pagina 8 di 9

9 definito? 56 Mi enuncia e mi commenta il teorema della media? 57 Mi enuncia e mi dimostra il teorema di Torricelli-Barrow? 58 Cos è un integrale improprio? 59 Cos è una conica, quando si dice degnere, quando è una ellisse, un iperbole o una parabola? 60 Mi scrive l equazione della circonferenza? 61 Mi scrive l equazione canonica dell ellisse, dell iperbole e della parabola? Per quanto riguarda gli esercizi assegnati alla prova scritta si potrà trovare una raccolta di compiti assegnati negli ultimi anni sul sito seguendo il seguente percorso: Economia e Impresa / Economia / Matematica Generale/ Documenti / Documenti Matematica Generale * Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell esame Syllabus A.A Pagina 9 di 9